北京市朝阳区名校2023-2024学年高二上册数学开学检测试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（2023高二上·朝阳开学考）设集合，，，则A，B，C间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】解：令，则，，， .
故答案为：B.
【分析】结合虚数、纯虚数、复数定义判断求解.
2．（2023高二上·朝阳开学考）已知，，且，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：设，由 得 ，即，求得，.
故答案为：D.
【分析】根据向量坐标运算求解.
3．（2023高二上·朝阳开学考）某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A．86 B．85.5 C．85 D．84.5
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排序为： 35，53，54，58，72，80，85，86，111，125，又，这组数据的第70百分位数是.
故答案为：B.
【分析】先将这组数据从小到大排列，再根据百分位数定义求解.
4．（2023高二上·朝阳开学考）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若向量，则的值等于（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
则，，，由，得，，求得，.
故答案为：C.
【分析】建立平面直角坐标系，求向量，，坐标，根据坐标运算求出 ，进而求.
5．（2023高二上·朝阳开学考）将函数的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；诱导公式；辅助角公式
【解析】【解答】解： ， 向右平移个单位得到.
故答案为：B.
【分析】结合诱导公式和辅助角公式平移化简求解.
6．（2023高二上·朝阳开学考）已知四面体ABCD中，，，，点M在棱DA上，，N为BC中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解： ，，N为BC中点，，.
故答案为：C.
【分析】结合平行四边形法则和向量减法运算法则求解.
7．（2022高三上·西城期末）如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】在直三棱柱中，
因为，平面，平面，所以平面，A符合题意；
因为平面平面，平面，所以平面，B符合题意；
取中点，连接，
因为点，F分别是棱，BC的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，C符合题意；
取中点，连接，可证得四边形为平行四边形，所以，与平面相交，所以与平面相交，D不正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意由直三棱锥的几何性质，结合中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论，由此对选项逐一判断即可得出答案。
8．（2023高二上·朝阳开学考）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得”是“平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；共面向量定理
【解析】【解答】解：充分性：存在实数，，使得成立，则共线，平面或平面，充分性不成立，
必要性：若平面，则共线，存在实数，，使得成立，必要性成立，
“存在实数x，y，使得”是“平面ABC”必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用存在实数，，使得平面或平面，结合充分必要条件定义判断.
9．（2023高二上·朝阳开学考）在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律．有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度为20℃，但当气温上升到31℃时，时钟花基本都会凋谢．在花期内，时钟花每天开闭一次．已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时~14时的气温T（单位：℃）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时14时中，观的最时约为（ ）（参考数据：）
A．6.7时~11.6时 B．6.7时~12.2时
C．8.7时~11.6时 D．8.7时~12.2时
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，，函数单调递增， 当时，，当时，，在6时14时中，观花的最佳时段约为8.7时~11.6时.
故答案为：C.
【分析】利用三角函数性质判断.
10．（2023高二上·朝阳开学考）已知函数，给出下列四个结论：
①存在无数个零点； ②在上有最大值；
③若，则； ④区间是的单调递减区间．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性；正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： ①令求得或，函数定义域为，
令，得，即求得，函数有无数个零点，①正确；
②当时，，
令，即求得，
当时，，，，，
假设函数在上的有最大值，则函数的最大值在上取得，
在上是一条连续不断的曲线，函数在上存在最大值
故函数在上存在最大值，正确；
③对任意的， ， ，③正确；
④，，
，存在，使得，函数在上不可能单调递减，④错误；
综上，①②③正确.
故答案为：A.
【分析】A令，求出判断；B分析得函数的最大值点在区间上；C由可判断；D利用特值法，则存在，使得，进而判断.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．（2023高二上·朝阳开学考）若复数z满足，则 ．
【答案】5
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意得 ，.
故答案为：5.
【分析】先根据复数除法求解，再求.
12．（2023高二上·朝阳开学考）某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了 人．
【答案】30
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解： 本地区中小学生总人数，设高中生中抽取了人，根据分层抽样原理得，求得.
故答案为：30.
【分析】根据分层抽样原理计算求解.
13．（2023高一下·房山期末）已知一个长方体的个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为，，，则长方体的体对角线的长等于 ；球的表面积等于 .
【答案】；
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】 由于长方体的体对角线即为外接球的直径，
设外接球的半径为r，即，解得2r=4，即r=2，
即长方体的体对角线为4，
故外接球的表面积S=4πr2=16π.
故答案为： 4；16π.
【分析】依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算可得球的表面积 .
14．（2023高二上·朝阳开学考）在中，，，请给出一个b的值，使得满足条件的三角形恰有两个，则b的一个值是 ．
【答案】5（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由余弦定理得，即关于的方程有两正根，，，，求得.
故答案为：5（答案不唯一）.
【分析】利用余弦定理得，则关于的方程有两正根，进而利用一元二次方程性质求解.
15．（2023高二上·朝阳开学考）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN截正方体所得的截面图形是五边形；
②直线到平面CMN的距离是；
③存在点P，使得；
④面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：① 如图：
延长直线与，的延长线分别交于，，连接，分别交，于，，连接，，
则平面截正方体所得的截面图形是五边形，①正确；
②由题意知，易证得平面，直线到平面的距离即为到平面的距离，
以为原点，以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面一个法向量为，则，令，求得，到平面的距离为，直线到平面的距离为，②错误；
③设，
又，，
假设存在点使得，则，求得或（舍去），点使得，③正确；
④ 由③知，，又
点到的距离为
当时，点到的距离最小，
面积的最小值是，④正确.
故答案为： ①③④ .
【分析】 ①延长直线与，的延长线分别交于，，连接，分别交，于，，连接，判断； ②转化为求到平面的距离，以为原点，以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；③设，求出坐标，证明存在使得即可；④ 结合 ③利用点到直线的距离公式求解判断.
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（2023高二上·朝阳开学考）已知函数，是的一个零点．
（1）求的值；
（2）请把的解析式化简成的形式；
（3）当时，若曲线与直线有2个公共点，求m的取值范围．
【答案】（1）解：由题设．
所以．
因为，所以．
所以．
所以．
（2）解：由（Ⅰ）
．
（3）解：因为，所以．
于是，当且仅当，即时，取得最大值1；
当且仅当，即时，取得最小值．
又，即时，．
所以m的取值范围是．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】(1)由题意得 ，再根据三角函数性质和 ，求的值 ；
(2)代入得解析式，再利用三角恒等变化化简；
(3)由 ，得 ，结合正弦函数的性质，求曲线与直线有2个公共点时m的取值范围．
17．（2023高二上·朝阳开学考）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分：
9.6 10.1 9.7 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 10.1 10.2
经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，．
（1）求这组样本平均数和方差；
（2）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差；
（3）在第（2）问前提下，再从改进后生产的产品中随机抽取的10件产品，估计这10件产品平均等级是否为一等品？说明理由．
【答案】（1）解：样本平均值
样本方差．
（2）解：估计改进后该厂生产的产品评分的平均数，
方差．
（3）解：可以认为是一等品．因为改进后该厂生产的产品评分由样本数据估计平均数为，所以可以认为这10件产品平均等级为一等品不一定是一等品．
因为样本数据具有随机性，所以新样本平均值不一定达到10分及以上，所以新样本平均等级不一定是一等品．
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)利用平均数和方差的定义求解；
(2)根据平均数的性质和方差的性质求解；
(3)从平均数角度分析或从抽样具有随机性角度分析.
18．（2023高二上·朝阳开学考）向量与的夹角为，，，，．
（1）请用，t的关系式表示；
（2）在时取得最小值．当时，求夹角的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，
，
且，故．
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；向量的模；平面向量减法运算；余弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据向量的减法求 ，再根据模长公式求；
(2)取二次函数的对称轴时，取最小值解不等式求出的范围，再求夹角的取值范围.
19．（2023高二上·朝阳开学考）如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，，点F在棱PA上．
（1）求证：平面CDE；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，．
因为平面CDE，平面CDE，
所以平面CDE．
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以．
因为平面CDE，平面CDE，
所以平面CDE．
又因为平面PAB，平面PAB，．
所以平面平面CDE．
因为平面PAB，
所以平面CDE．
（2）解：因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
所以，．
又因为ABCD是矩形，，
所以AD，AB，PA两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，．
设平面PEC的一个法向量为，则
，即．
令，则，．
于是．
取平面PEA的法向量为．
则．
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值是．
（3）解：令线段AF的长为t，则，．
所以，
因为点F到平面PCE的距离．
所以，即．
解得或（舍）．
所以线段AF的长为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 通过证明平面平面 ，从而证明 平面；
(2) 先证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；
(3)设线段的长为，则，利用点到平面距离公式列方程，求出即可.
20．（2023高二上·朝阳开学考）在中，．
（1）求；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：AB边上的高为．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分．
【答案】（1）解：由已知可得：，
∴，而，
∴．
（2）解：选①②：
∵，，
∴；
由正定理得，∴；
故．
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1)利用余弦降幂公式和二倍角公式化简；
(2)选①② ，由条件求出角，利用正弦定理求边，再根据三角形内角和定理和面积公式求解.
21．（2023高二上·朝阳开学考）设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是S的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中，
设，令是，，…，中的最大值．
（1）若，，且，求，，及；
（2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求n的最小值；
（3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．
【答案】（1）解：，，，．
（2）解：设使得，
则，
所以．
所以至少有3个元素个数相同的非空子集．
当时，，其非空子集只有自身，不符题意．
当时，，其非空子集只有，，，不符题意．
当时，，元素个数为1的非空子集有，，，
元素个数为2的非空子集有，，．
当时，，不符题意．
当时，，不符题意．
当时，，令，，，
则，．
所以n的最小值为4．
（3）解：由题可知，，记为集合中的元素个数，
则为数表第j列之和．
因为是数表第i行之和，
所以．
因为，所以．
所以．
当，，，，
，，时，，
．所以的最小值为3．
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集；集合中元素的个数问题；空集
【解析】【分析】(1)根据 和 求解；
(2)将问题转化为 至少有3个元素个数相同的非空子集，对中的元素个数进行列举讨论分析；
(3)根据 的定义和 ，结合S 集合，，…，中的元素个数均为3进行讨论求解.
1 / 1北京市朝阳区名校2023-2024学年高二上册数学开学检测试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（2023高二上·朝阳开学考）设集合，，，则A，B，C间的关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·朝阳开学考）已知，，且，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·朝阳开学考）某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A．86 B．85.5 C．85 D．84.5
4．（2023高二上·朝阳开学考）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若向量，则的值等于（ ）
A．1 B． C．3 D．
5．（2023高二上·朝阳开学考）将函数的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·朝阳开学考）已知四面体ABCD中，，，，点M在棱DA上，，N为BC中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高三上·西城期末）如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
8．（2023高二上·朝阳开学考）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得”是“平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2023高二上·朝阳开学考）在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律．有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度为20℃，但当气温上升到31℃时，时钟花基本都会凋谢．在花期内，时钟花每天开闭一次．已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时~14时的气温T（单位：℃）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时14时中，观的最时约为（ ）（参考数据：）
A．6.7时~11.6时 B．6.7时~12.2时
C．8.7时~11.6时 D．8.7时~12.2时
10．（2023高二上·朝阳开学考）已知函数，给出下列四个结论：
①存在无数个零点； ②在上有最大值；
③若，则； ④区间是的单调递减区间．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．（2023高二上·朝阳开学考）若复数z满足，则 ．
12．（2023高二上·朝阳开学考）某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了 人．
13．（2023高一下·房山期末）已知一个长方体的个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为，，，则长方体的体对角线的长等于 ；球的表面积等于 .
14．（2023高二上·朝阳开学考）在中，，，请给出一个b的值，使得满足条件的三角形恰有两个，则b的一个值是 ．
15．（2023高二上·朝阳开学考）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN截正方体所得的截面图形是五边形；
②直线到平面CMN的距离是；
③存在点P，使得；
④面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（2023高二上·朝阳开学考）已知函数，是的一个零点．
（1）求的值；
（2）请把的解析式化简成的形式；
（3）当时，若曲线与直线有2个公共点，求m的取值范围．
17．（2023高二上·朝阳开学考）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分：
9.6 10.1 9.7 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 10.1 10.2
经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，．
（1）求这组样本平均数和方差；
（2）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．根据以上随机抽取的10件产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差；
（3）在第（2）问前提下，再从改进后生产的产品中随机抽取的10件产品，估计这10件产品平均等级是否为一等品？说明理由．
18．（2023高二上·朝阳开学考）向量与的夹角为，，，，．
（1）请用，t的关系式表示；
（2）在时取得最小值．当时，求夹角的取值范围．
19．（2023高二上·朝阳开学考）如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，，点F在棱PA上．
（1）求证：平面CDE；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长．
20．（2023高二上·朝阳开学考）在中，．
（1）求；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：AB边上的高为．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分．
21．（2023高二上·朝阳开学考）设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是S的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中，
设，令是，，…，中的最大值．
（1）若，，且，求，，及；
（2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求n的最小值；
（3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】解：令，则，，， .
故答案为：B.
【分析】结合虚数、纯虚数、复数定义判断求解.
2．【答案】D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：设，由 得 ，即，求得，.
故答案为：D.
【分析】根据向量坐标运算求解.
3．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排序为： 35，53，54，58，72，80，85，86，111，125，又，这组数据的第70百分位数是.
故答案为：B.
【分析】先将这组数据从小到大排列，再根据百分位数定义求解.
4．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
则，，，由，得，，求得，.
故答案为：C.
【分析】建立平面直角坐标系，求向量，，坐标，根据坐标运算求出 ，进而求.
5．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；诱导公式；辅助角公式
【解析】【解答】解： ， 向右平移个单位得到.
故答案为：B.
【分析】结合诱导公式和辅助角公式平移化简求解.
6．【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解： ，，N为BC中点，，.
故答案为：C.
【分析】结合平行四边形法则和向量减法运算法则求解.
7．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】在直三棱柱中，
因为，平面，平面，所以平面，A符合题意；
因为平面平面，平面，所以平面，B符合题意；
取中点，连接，
因为点，F分别是棱，BC的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，C符合题意；
取中点，连接，可证得四边形为平行四边形，所以，与平面相交，所以与平面相交，D不正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意由直三棱锥的几何性质，结合中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论，由此对选项逐一判断即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；共面向量定理
【解析】【解答】解：充分性：存在实数，，使得成立，则共线，平面或平面，充分性不成立，
必要性：若平面，则共线，存在实数，，使得成立，必要性成立，
“存在实数x，y，使得”是“平面ABC”必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用存在实数，，使得平面或平面，结合充分必要条件定义判断.
9．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，，函数单调递增， 当时，，当时，，在6时14时中，观花的最佳时段约为8.7时~11.6时.
故答案为：C.
【分析】利用三角函数性质判断.
10．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性；正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： ①令求得或，函数定义域为，
令，得，即求得，函数有无数个零点，①正确；
②当时，，
令，即求得，
当时，，，，，
假设函数在上的有最大值，则函数的最大值在上取得，
在上是一条连续不断的曲线，函数在上存在最大值
故函数在上存在最大值，正确；
③对任意的， ， ，③正确；
④，，
，存在，使得，函数在上不可能单调递减，④错误；
综上，①②③正确.
故答案为：A.
【分析】A令，求出判断；B分析得函数的最大值点在区间上；C由可判断；D利用特值法，则存在，使得，进而判断.
11．【答案】5
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意得 ，.
故答案为：5.
【分析】先根据复数除法求解，再求.
12．【答案】30
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解： 本地区中小学生总人数，设高中生中抽取了人，根据分层抽样原理得，求得.
故答案为：30.
【分析】根据分层抽样原理计算求解.
13．【答案】；
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】 由于长方体的体对角线即为外接球的直径，
设外接球的半径为r，即，解得2r=4，即r=2，
即长方体的体对角线为4，
故外接球的表面积S=4πr2=16π.
故答案为： 4；16π.
【分析】依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算可得球的表面积 .
14．【答案】5（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由余弦定理得，即关于的方程有两正根，，，，求得.
故答案为：5（答案不唯一）.
【分析】利用余弦定理得，则关于的方程有两正根，进而利用一元二次方程性质求解.
15．【答案】①③④
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：① 如图：
延长直线与，的延长线分别交于，，连接，分别交，于，，连接，，
则平面截正方体所得的截面图形是五边形，①正确；
②由题意知，易证得平面，直线到平面的距离即为到平面的距离，
以为原点，以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面一个法向量为，则，令，求得，到平面的距离为，直线到平面的距离为，②错误；
③设，
又，，
假设存在点使得，则，求得或（舍去），点使得，③正确；
④ 由③知，，又
点到的距离为
当时，点到的距离最小，
面积的最小值是，④正确.
故答案为： ①③④ .
【分析】 ①延长直线与，的延长线分别交于，，连接，分别交，于，，连接，判断； ②转化为求到平面的距离，以为原点，以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；③设，求出坐标，证明存在使得即可；④ 结合 ③利用点到直线的距离公式求解判断.
16．【答案】（1）解：由题设．
所以．
因为，所以．
所以．
所以．
（2）解：由（Ⅰ）
．
（3）解：因为，所以．
于是，当且仅当，即时，取得最大值1；
当且仅当，即时，取得最小值．
又，即时，．
所以m的取值范围是．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】(1)由题意得 ，再根据三角函数性质和 ，求的值 ；
(2)代入得解析式，再利用三角恒等变化化简；
(3)由 ，得 ，结合正弦函数的性质，求曲线与直线有2个公共点时m的取值范围．
17．【答案】（1）解：样本平均值
样本方差．
（2）解：估计改进后该厂生产的产品评分的平均数，
方差．
（3）解：可以认为是一等品．因为改进后该厂生产的产品评分由样本数据估计平均数为，所以可以认为这10件产品平均等级为一等品不一定是一等品．
因为样本数据具有随机性，所以新样本平均值不一定达到10分及以上，所以新样本平均等级不一定是一等品．
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)利用平均数和方差的定义求解；
(2)根据平均数的性质和方差的性质求解；
(3)从平均数角度分析或从抽样具有随机性角度分析.
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，
，
且，故．
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；向量的模；平面向量减法运算；余弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据向量的减法求 ，再根据模长公式求；
(2)取二次函数的对称轴时，取最小值解不等式求出的范围，再求夹角的取值范围.
19．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，．
因为平面CDE，平面CDE，
所以平面CDE．
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以．
因为平面CDE，平面CDE，
所以平面CDE．
又因为平面PAB，平面PAB，．
所以平面平面CDE．
因为平面PAB，
所以平面CDE．
（2）解：因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
所以，．
又因为ABCD是矩形，，
所以AD，AB，PA两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，．
设平面PEC的一个法向量为，则
，即．
令，则，．
于是．
取平面PEA的法向量为．
则．
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值是．
（3）解：令线段AF的长为t，则，．
所以，
因为点F到平面PCE的距离．
所以，即．
解得或（舍）．
所以线段AF的长为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 通过证明平面平面 ，从而证明 平面；
(2) 先证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；
(3)设线段的长为，则，利用点到平面距离公式列方程，求出即可.
20．【答案】（1）解：由已知可得：，
∴，而，
∴．
（2）解：选①②：
∵，，
∴；
由正定理得，∴；
故．
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1)利用余弦降幂公式和二倍角公式化简；
(2)选①② ，由条件求出角，利用正弦定理求边，再根据三角形内角和定理和面积公式求解.
21．【答案】（1）解：，，，．
（2）解：设使得，
则，
所以．
所以至少有3个元素个数相同的非空子集．
当时，，其非空子集只有自身，不符题意．
当时，，其非空子集只有，，，不符题意．
当时，，元素个数为1的非空子集有，，，
元素个数为2的非空子集有，，．
当时，，不符题意．
当时，，不符题意．
当时，，令，，，
则，．
所以n的最小值为4．
（3）解：由题可知，，记为集合中的元素个数，
则为数表第j列之和．
因为是数表第i行之和，
所以．
因为，所以．
所以．
当，，，，
，，时，，
．所以的最小值为3．
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集；集合中元素的个数问题；空集
【解析】【分析】(1)根据 和 求解；
(2)将问题转化为 至少有3个元素个数相同的非空子集，对中的元素个数进行列举讨论分析；
(3)根据 的定义和 ，结合S 集合，，…，中的元素个数均为3进行讨论求解.
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