上海市曹杨第二中学2023-2024学年高三上册数学开学考试试卷
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（2023高三上·上海市开学考）过P（﹣2，m）、Q（m，4）两点的直线的倾斜角为45° ．
【答案】1
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：由题意得，即，求得.
故答案为：1.
【分析】根据直线倾斜角的正切值等于直线斜率进行求解.
2．（2023高三上·上海市开学考）若集合A＝{x|3x2﹣14x+16≤0}，，则A∩B＝ ．
【答案】
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：的解为，，
的解为或，，.
故答案为： .
【分析】先根据一元二次不等式和分式不等式的求法求出集合A，B，再根据交集的定义求 A∩B .
3．（2023高三上·上海市开学考）双曲线4x2﹣y2＝1的一条渐近线与直线tx+y+1＝0垂直，则t＝ ．
【答案】
【知识点】两条直线垂直的判定；用斜率判定两直线垂直；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线为，斜率为，直线斜率为，则，求得.
故答案为： .
【分析】 先求出渐近线方程斜率，结合两直线垂直求t的值.
4．（2023高三上·上海市开学考）如图为函数f（x）的图象，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式<0的解集为 ．
【答案】（﹣3，﹣1）∪（0，1）
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由图象知当时，当时，
，即或，.
故答案为：.
【分析】由图象的单调性判断导数的正负，再结合分式不等式的解法求解.
5．（2023高三上·上海市开学考）“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 条件．
【答案】充要
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：充分性：，则，椭圆的焦点在轴上，即椭圆的焦点在轴上，充分性成立；
必要性：椭圆的焦点在轴上，则，，，必要性成立，是椭圆的焦点在轴上充要条件.
故答案为：充要.
【分析】根据充分必要条件的定义结合椭圆性质求解.
6．（2016高二下·右玉期中）若曲线y=e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为 ．
【答案】（﹣ln2，2）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，
∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，
令﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，
∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．
故答案为：（﹣ln2，2）．
【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．
7．（2023高三上·上海市开学考）若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】[1，+∞）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：由题意得在上恒成立，，求得.
故答案为： [1，+∞） .
【分析】先求，由在R上单调得，进而求解.
8．（2023高三上·上海市开学考）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，则过点且与C1，C2都相切的直线方程为 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：当直线斜率不存在时不满足，当直线斜率存在时设直线为，由题意可得，求得，过点且与C1，C2都相切的直线方程为，即.
故答案为：.
【分析】讨论当直线斜率是否存在，斜率存在时设直线，由题意得且过，代入求解直线方程.
9．（2023高三上·上海市开学考）如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到目球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道1上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道2的离心率为 。（用R、r表示）．
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为，焦距为，由题意得，求得，椭圆轨道Ⅱ的离心率为.
故答案为： .
【分析】由题意易得，再根据离心率定义求椭圆轨道Ⅱ的离心率.
10．（2023高三上·上海市开学考）已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数，则PQ连线的斜率的取值范围是 ．
【答案】[﹣3，+∞）
【知识点】直线的斜率；恒过定点的直线
【解析】【解答】解： 直线方程可化为，，求得，，则点不在函数上，设，，PQ连线的斜率的取值范围是.
故答案为： .
【分析】先求出定点，设，结合二次函数性质求斜率取值范围.
11．（2023高三上·上海市开学考）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线l：x＝5，点A、B分别是抛物线C、直线l上的动点，若点B在某个位置时，仅存在唯一的点A使得|AF|＝|AB|，则满足条件的所有|AB|的值为 ．
【答案】或
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；点、线、面间的距离计算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：设，，抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线定义知，又
， ，代入，化简得， 仅存在唯一的点使得， 则关于的方程只有一解，
当时，代入方程解得，，，
当时，，求得，代入方程解得，，，
综上或.
故答案为：或.
【分析】设，，由 ，结合抛物线定义和两点间距离公式得，关于的方程只有一解，进而分析求解.
12．（2023高三上·上海市开学考）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0与a2﹣bc＝3，则abc的取值范围为 ．
【答案】[﹣2，2]
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：，，求得，，令，，，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，，当时，，abc的取值范围为.
故答案为：.
【分析】 由求出的取值范围，则，令，利用导数求解. .
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．（2023高三上·上海市开学考）已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据极限和导数的定义代入计算.
14．（2023高三上·上海市开学考）已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：由题意知与不平行，、、将平面分为六个部分则、、交于一点，或与平行，或与平行，
当时，与平行满足题意；，斜率为，斜率为，当时，即，与平行满足题意；
联立求得，代入：求得，此时、、交于一点，满足题意的有3个.
故答案为：C.
【分析】由题意知、、将平面分为六个部分则、、交于一点，或与平行，或与平行，进而讨论求解.
15．（2023高三上·上海市开学考）已知函数f（x）的导函数f′（x）满足f（x）+（x+1）f'（x）＞0对x∈R恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）
A．0＜f（0）＜2f（1） B．f（0）＜0＜2f（1）
C．0＜2f（1）＜f（0） D．2f（1）＜0＜f（0）
【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则对恒成立，单调递增，，即.
故答案为：A.
【分析】令，由题意得，所以单调递增，进而判断选项.
16．（2023高三上·上海市开学考）已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，A'、B'分别为A、B在l
上的射影，M为A'B'的中点
①A'F⊥B'F；
②AM⊥BM；
③A'F∥BM；
④A'F与AM的交点在y轴上；
⑤AB'与A'B交于原点．
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：①如图：
由抛物线的定义得，，
又轴，，
同理，，，①正确；
②如图：
取的中点，连接，又为的中点，
点在以为直径的圆上，，②正确；
③如图：
，，，，
，，在中，，，
又由②知，，③正确；
④由③知与的交点为中点，又为抛物线焦点，在抛物线准线上，与的交点在轴上，④正确；
⑤设，，则，，设直线方程为：，
联立，得，则，，，直线方程为：过原点，同理可以证明直线过原点，与交于原点，⑤正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 根据抛物线的定义和平行得，，所以得到；
② 根据抛物线定义和梯形的中位线得点在以为直径的圆上，所以；
③ 在中，通过证明，，得到结合②判断；
④ 由③知与的交点为中点结合为抛物线焦点，在抛物线准线上判断；
⑤ 设直线方程与抛物线联立，求直线斜率，写出直线方程结合韦达定理化简证明过原点，同理直线过原点，所以判断与交于原点；
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（2023高三上·上海市开学考）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．
（1）求A∪B；
（2）设集合D＝{x|a＜x＜a+3，a∈R}，若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：∵集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．∴A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|0＜x＜4}；
（2）解：，∵，
∴a+3≤﹣1或a≥3，
∴a≤﹣4或a≥3，
∴a的取值范围为{a|a≤﹣4或a≥3}．
【知识点】并集及其运算；补集及其运算；子集与交集、并集运算的转换；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】 (1)先求出集合A，B，在根据并集的定义求A∪B；
(2)根据列不等式，求实数a的取值范围．
18．（2023高三上·上海市开学考）已知圆C经过A（﹣1，0），B（2，3）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣4＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（3，2）的直线l与圆C交于P，Q两点，求直线l的方程．
【答案】（1）解：由题意设圆心，设圆的半径为 r，则 ，
即（a+1）2+（2a﹣4）2＝（a﹣2）7+（2a﹣7）2，解得 a＝2，所以圆心 C（2，0）＝3，
所以圆 C 的方程为：（x﹣2）2+y2＝9；
（2）解：当直线 l 的斜率不存在时，设直线 l 的方程为 x＝3，12+y2＝9，可得，所以，显然符合条件；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx+t，（3，2）在直线上，圆心 C 到直线 l 的距离 d＝，
弦长|PQ|＝，可得 d＝1，即，解得 k＝，
所以直线PQ的方程为；
综上所述：直线 l 的方程为：x＝3或．
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)设圆心，根据，求出，写出圆C的方程；
(2)分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算求解.
19．（2023高三上·上海市开学考）某网球中心在10000平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为1000平方米．当该中心建设x（x∈N）块球场时（单位：元）可近似地用函数
关系式来刻画
（1）请写出当网球中心建设x（x∈N）块球场时，该工程每平方米的综合费用g（x），并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；
（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？
【答案】（1）解：由题意可知，1≤x≤10，
因为每平方米的平均环保费用为元，每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式，
所以每平方米的综合费用g（x）＝f（x）+＝800+160lnx+；
（2）解：由（1）可知g（x）＝800+160lnx+（1≤x≤10），则g'（x）＝﹣＝，
令g'（x）＝0得，x＝8，
当4≤x＜8时，g'（x）＜0；当5＜x≤10时，g（x）单调递增，所以当x＝8时，g（x）取得最小值，
即当该网球中心建8个球场时，该工程每平方米的综合费用最省．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意得1≤x≤10， 每平方米的平均环保费用为元，进而求每平方米的综合费用的表达式和定义域；
（2） 由(1)知，利用导数求的单调性，进而求取最小值时 x 的值即可.
20．（2023高三上·上海市开学考）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆C1与抛物线C2的一个交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M（B、M不同于A）．
（1）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求p的值；
（2）若直线l过椭圆的右焦点，求△ABO面积的最大值及此时直线l的方程；
（3）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（1）解：已知椭圆的右焦点坐标为（1，0）
若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得p＝2；
（2）解：不妨设直线的方程为x＝my+1，联立，消去x并整理得，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得，
此时，
则，当且仅当m＝0时，
所以△AOB面积有最大值为，此时直线l的方程为x＝1；
（3）解：解：当直线l与x轴垂直时，可得点M与点A或点B重合，不符合题意；当直线l不与x轴垂直时，
不妨设直线l的方程为y＝kx+t，A（x3，y3），B（x4，y4），M（x0，y0），
联立，消去y并整理得（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，
此时Δ＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）＞0，解得t2＜1+2k2，
易知，所以，则点，
因为点M在抛物线C2上，则，
联立，解得，代入椭圆方程中得，
解得，又，
所以，当且仅当1＝2k2，即时，等号成立，故p的最大值为．
【知识点】基本不等式；椭圆的定义；椭圆的简单性质；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先求出椭圆的右焦点坐标，进而值；
(2)设出直线的方程与椭圆方程联立，建立三角形面积的函数关系利用韦达定理化简求最大值，和直线方程；
(3)设出直线的方程与椭圆方程联立，由线段的中点在抛物线上和点是椭圆与抛物线的公共点建立关系式结合基本不等式求解.
21．（2023高三上·上海市开学考）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b，（a，b∈R）．
（1）g（1）＝f（0），g'（1）=f（0），求实数a，b的值；
（2）若a＝1，b＝2，且不等式f（x）≥kg（e-x+2）﹣2对任意x∈R恒成立，求k的取值范围；
（3）设b＝2，试利用结论ex+e﹣x≥x2+2，证明：若θ1，θ2，…，θn∈（0，），其中n≥2，n∈N*，则f（sinθ1） f（cosθn）+f（sinθ2） f（cosθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1） f（cosθ2）+f（sinθn） f（cosθ1）＞6n．
【答案】（1）解：已知f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b，函数f（x），g（x）定义域为R，易知f（0）＝2，g（1）＝a+b，因为g（1）＝f（0），
所以a+b＝2，①易知g′（x）＝2ax，可得g′（1）＝2a，因为g'（1）＝f（0），所以2a＝2，②联立①②，解得a＝1，b=1；
（2）解：若a＝1，b＝2，
此时f（x）＝ex+e﹣x，g（x）＝x2+2，可得g′（x）＝2x，
因为不等式f（x）≥kg'（e﹣x+2）﹣2对任意x∈R恒成立，可得ex+e﹣x≥2k（e﹣x+2）﹣2，
即对任意x∈R恒成立，
不妨令t＝ex，t＞0，
不妨设，函数定义域为t＞0，易得恒成立，
所以函数h（t）在（0，+∞）上严格递增，
此时，
解得；
（3）解：证明：当b＝2时，此时f（x）＝ex+e﹣x，
可得f（x1） f（x2）＝（+）（+）
＝+++，因为ex+e﹣x≥x2+2，
所以+≥+2，
当且仅当x1+x2＝0时，等号成立；
而，当且仅当x1﹣x2＝0时，等号成立，所以f（x1） f（x2）≥+2+4，当且仅当x1＝x2＝0时，等号成立，
则，当且仅当x1＝x2＝0时等号成立，
故，
f（sinθ2）f（cosθn﹣1）＞2sin2θ2+2cos2θn﹣1+4，…，
，以上n个式子相加可得：
f（sinθ1） f（cosθn）+f（sinθ2） f（cosθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1） f（cosθ2）+f（sinθn） f（cosθ1）＞6n．
【知识点】全称量词；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】(1) 由题意得g′（x）＝2ax，再根据条件列方程组求解 实数a，b的值；
(2)把条件转化为 对任意x∈R恒成立，令，t＞0，设，利用导数求即可；
(3)由不等式，推得，再进而利用累加法求解证明.
1 / 1上海市曹杨第二中学2023-2024学年高三上册数学开学考试试卷
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（2023高三上·上海市开学考）过P（﹣2，m）、Q（m，4）两点的直线的倾斜角为45° ．
2．（2023高三上·上海市开学考）若集合A＝{x|3x2﹣14x+16≤0}，，则A∩B＝ ．
3．（2023高三上·上海市开学考）双曲线4x2﹣y2＝1的一条渐近线与直线tx+y+1＝0垂直，则t＝ ．
4．（2023高三上·上海市开学考）如图为函数f（x）的图象，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式<0的解集为 ．
5．（2023高三上·上海市开学考）“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 条件．
6．（2016高二下·右玉期中）若曲线y=e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为 ．
7．（2023高三上·上海市开学考）若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是 ．
8．（2023高三上·上海市开学考）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，则过点且与C1，C2都相切的直线方程为 ．
9．（2023高三上·上海市开学考）如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到目球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道1上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道2的离心率为 。（用R、r表示）．
10．（2023高三上·上海市开学考）已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数，则PQ连线的斜率的取值范围是 ．
11．（2023高三上·上海市开学考）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线l：x＝5，点A、B分别是抛物线C、直线l上的动点，若点B在某个位置时，仅存在唯一的点A使得|AF|＝|AB|，则满足条件的所有|AB|的值为 ．
12．（2023高三上·上海市开学考）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0与a2﹣bc＝3，则abc的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．（2023高三上·上海市开学考）已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
14．（2023高三上·上海市开学考）已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
15．（2023高三上·上海市开学考）已知函数f（x）的导函数f′（x）满足f（x）+（x+1）f'（x）＞0对x∈R恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）
A．0＜f（0）＜2f（1） B．f（0）＜0＜2f（1）
C．0＜2f（1）＜f（0） D．2f（1）＜0＜f（0）
16．（2023高三上·上海市开学考）已知抛物线y2＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，A'、B'分别为A、B在l
上的射影，M为A'B'的中点
①A'F⊥B'F；
②AM⊥BM；
③A'F∥BM；
④A'F与AM的交点在y轴上；
⑤AB'与A'B交于原点．
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（2023高三上·上海市开学考）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．
（1）求A∪B；
（2）设集合D＝{x|a＜x＜a+3，a∈R}，若，求实数a的取值范围．
18．（2023高三上·上海市开学考）已知圆C经过A（﹣1，0），B（2，3）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣4＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（3，2）的直线l与圆C交于P，Q两点，求直线l的方程．
19．（2023高三上·上海市开学考）某网球中心在10000平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为1000平方米．当该中心建设x（x∈N）块球场时（单位：元）可近似地用函数
关系式来刻画
（1）请写出当网球中心建设x（x∈N）块球场时，该工程每平方米的综合费用g（x），并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；
（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？
20．（2023高三上·上海市开学考）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆C1与抛物线C2的一个交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M（B、M不同于A）．
（1）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求p的值；
（2）若直线l过椭圆的右焦点，求△ABO面积的最大值及此时直线l的方程；
（3）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
21．（2023高三上·上海市开学考）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b，（a，b∈R）．
（1）g（1）＝f（0），g'（1）=f（0），求实数a，b的值；
（2）若a＝1，b＝2，且不等式f（x）≥kg（e-x+2）﹣2对任意x∈R恒成立，求k的取值范围；
（3）设b＝2，试利用结论ex+e﹣x≥x2+2，证明：若θ1，θ2，…，θn∈（0，），其中n≥2，n∈N*，则f（sinθ1） f（cosθn）+f（sinθ2） f（cosθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1） f（cosθ2）+f（sinθn） f（cosθ1）＞6n．
答案解析部分
1．【答案】1
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：由题意得，即，求得.
故答案为：1.
【分析】根据直线倾斜角的正切值等于直线斜率进行求解.
2．【答案】
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：的解为，，
的解为或，，.
故答案为： .
【分析】先根据一元二次不等式和分式不等式的求法求出集合A，B，再根据交集的定义求 A∩B .
3．【答案】
【知识点】两条直线垂直的判定；用斜率判定两直线垂直；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线为，斜率为，直线斜率为，则，求得.
故答案为： .
【分析】 先求出渐近线方程斜率，结合两直线垂直求t的值.
4．【答案】（﹣3，﹣1）∪（0，1）
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由图象知当时，当时，
，即或，.
故答案为：.
【分析】由图象的单调性判断导数的正负，再结合分式不等式的解法求解.
5．【答案】充要
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：充分性：，则，椭圆的焦点在轴上，即椭圆的焦点在轴上，充分性成立；
必要性：椭圆的焦点在轴上，则，，，必要性成立，是椭圆的焦点在轴上充要条件.
故答案为：充要.
【分析】根据充分必要条件的定义结合椭圆性质求解.
6．【答案】（﹣ln2，2）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，
∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，
令﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，
∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．
故答案为：（﹣ln2，2）．
【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．
7．【答案】[1，+∞）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：由题意得在上恒成立，，求得.
故答案为： [1，+∞） .
【分析】先求，由在R上单调得，进而求解.
8．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：当直线斜率不存在时不满足，当直线斜率存在时设直线为，由题意可得，求得，过点且与C1，C2都相切的直线方程为，即.
故答案为：.
【分析】讨论当直线斜率是否存在，斜率存在时设直线，由题意得且过，代入求解直线方程.
9．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为，焦距为，由题意得，求得，椭圆轨道Ⅱ的离心率为.
故答案为： .
【分析】由题意易得，再根据离心率定义求椭圆轨道Ⅱ的离心率.
10．【答案】[﹣3，+∞）
【知识点】直线的斜率；恒过定点的直线
【解析】【解答】解： 直线方程可化为，，求得，，则点不在函数上，设，，PQ连线的斜率的取值范围是.
故答案为： .
【分析】先求出定点，设，结合二次函数性质求斜率取值范围.
11．【答案】或
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；点、线、面间的距离计算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：设，，抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线定义知，又
， ，代入，化简得， 仅存在唯一的点使得， 则关于的方程只有一解，
当时，代入方程解得，，，
当时，，求得，代入方程解得，，，
综上或.
故答案为：或.
【分析】设，，由 ，结合抛物线定义和两点间距离公式得，关于的方程只有一解，进而分析求解.
12．【答案】[﹣2，2]
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：，，求得，，令，，，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，，当时，，abc的取值范围为.
故答案为：.
【分析】 由求出的取值范围，则，令，利用导数求解. .
13．【答案】C
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据极限和导数的定义代入计算.
14．【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：由题意知与不平行，、、将平面分为六个部分则、、交于一点，或与平行，或与平行，
当时，与平行满足题意；，斜率为，斜率为，当时，即，与平行满足题意；
联立求得，代入：求得，此时、、交于一点，满足题意的有3个.
故答案为：C.
【分析】由题意知、、将平面分为六个部分则、、交于一点，或与平行，或与平行，进而讨论求解.
15．【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则对恒成立，单调递增，，即.
故答案为：A.
【分析】令，由题意得，所以单调递增，进而判断选项.
16．【答案】D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：①如图：
由抛物线的定义得，，
又轴，，
同理，，，①正确；
②如图：
取的中点，连接，又为的中点，
点在以为直径的圆上，，②正确；
③如图：
，，，，
，，在中，，，
又由②知，，③正确；
④由③知与的交点为中点，又为抛物线焦点，在抛物线准线上，与的交点在轴上，④正确；
⑤设，，则，，设直线方程为：，
联立，得，则，，，直线方程为：过原点，同理可以证明直线过原点，与交于原点，⑤正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 根据抛物线的定义和平行得，，所以得到；
② 根据抛物线定义和梯形的中位线得点在以为直径的圆上，所以；
③ 在中，通过证明，，得到结合②判断；
④ 由③知与的交点为中点结合为抛物线焦点，在抛物线准线上判断；
⑤ 设直线方程与抛物线联立，求直线斜率，写出直线方程结合韦达定理化简证明过原点，同理直线过原点，所以判断与交于原点；
17．【答案】（1）解：∵集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．∴A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|0＜x＜4}；
（2）解：，∵，
∴a+3≤﹣1或a≥3，
∴a≤﹣4或a≥3，
∴a的取值范围为{a|a≤﹣4或a≥3}．
【知识点】并集及其运算；补集及其运算；子集与交集、并集运算的转换；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】 (1)先求出集合A，B，在根据并集的定义求A∪B；
(2)根据列不等式，求实数a的取值范围．
18．【答案】（1）解：由题意设圆心，设圆的半径为 r，则 ，
即（a+1）2+（2a﹣4）2＝（a﹣2）7+（2a﹣7）2，解得 a＝2，所以圆心 C（2，0）＝3，
所以圆 C 的方程为：（x﹣2）2+y2＝9；
（2）解：当直线 l 的斜率不存在时，设直线 l 的方程为 x＝3，12+y2＝9，可得，所以，显然符合条件；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx+t，（3，2）在直线上，圆心 C 到直线 l 的距离 d＝，
弦长|PQ|＝，可得 d＝1，即，解得 k＝，
所以直线PQ的方程为；
综上所述：直线 l 的方程为：x＝3或．
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)设圆心，根据，求出，写出圆C的方程；
(2)分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算求解.
19．【答案】（1）解：由题意可知，1≤x≤10，
因为每平方米的平均环保费用为元，每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式，
所以每平方米的综合费用g（x）＝f（x）+＝800+160lnx+；
（2）解：由（1）可知g（x）＝800+160lnx+（1≤x≤10），则g'（x）＝﹣＝，
令g'（x）＝0得，x＝8，
当4≤x＜8时，g'（x）＜0；当5＜x≤10时，g（x）单调递增，所以当x＝8时，g（x）取得最小值，
即当该网球中心建8个球场时，该工程每平方米的综合费用最省．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意得1≤x≤10， 每平方米的平均环保费用为元，进而求每平方米的综合费用的表达式和定义域；
（2） 由(1)知，利用导数求的单调性，进而求取最小值时 x 的值即可.
20．【答案】（1）解：已知椭圆的右焦点坐标为（1，0）
若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得p＝2；
（2）解：不妨设直线的方程为x＝my+1，联立，消去x并整理得，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得，
此时，
则，当且仅当m＝0时，
所以△AOB面积有最大值为，此时直线l的方程为x＝1；
（3）解：解：当直线l与x轴垂直时，可得点M与点A或点B重合，不符合题意；当直线l不与x轴垂直时，
不妨设直线l的方程为y＝kx+t，A（x3，y3），B（x4，y4），M（x0，y0），
联立，消去y并整理得（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，
此时Δ＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）＞0，解得t2＜1+2k2，
易知，所以，则点，
因为点M在抛物线C2上，则，
联立，解得，代入椭圆方程中得，
解得，又，
所以，当且仅当1＝2k2，即时，等号成立，故p的最大值为．
【知识点】基本不等式；椭圆的定义；椭圆的简单性质；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先求出椭圆的右焦点坐标，进而值；
(2)设出直线的方程与椭圆方程联立，建立三角形面积的函数关系利用韦达定理化简求最大值，和直线方程；
(3)设出直线的方程与椭圆方程联立，由线段的中点在抛物线上和点是椭圆与抛物线的公共点建立关系式结合基本不等式求解.
21．【答案】（1）解：已知f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b，函数f（x），g（x）定义域为R，易知f（0）＝2，g（1）＝a+b，因为g（1）＝f（0），
所以a+b＝2，①易知g′（x）＝2ax，可得g′（1）＝2a，因为g'（1）＝f（0），所以2a＝2，②联立①②，解得a＝1，b=1；
（2）解：若a＝1，b＝2，
此时f（x）＝ex+e﹣x，g（x）＝x2+2，可得g′（x）＝2x，
因为不等式f（x）≥kg'（e﹣x+2）﹣2对任意x∈R恒成立，可得ex+e﹣x≥2k（e﹣x+2）﹣2，
即对任意x∈R恒成立，
不妨令t＝ex，t＞0，
不妨设，函数定义域为t＞0，易得恒成立，
所以函数h（t）在（0，+∞）上严格递增，
此时，
解得；
（3）解：证明：当b＝2时，此时f（x）＝ex+e﹣x，
可得f（x1） f（x2）＝（+）（+）
＝+++，因为ex+e﹣x≥x2+2，
所以+≥+2，
当且仅当x1+x2＝0时，等号成立；
而，当且仅当x1﹣x2＝0时，等号成立，所以f（x1） f（x2）≥+2+4，当且仅当x1＝x2＝0时，等号成立，
则，当且仅当x1＝x2＝0时等号成立，
故，
f（sinθ2）f（cosθn﹣1）＞2sin2θ2+2cos2θn﹣1+4，…，
，以上n个式子相加可得：
f（sinθ1） f（cosθn）+f（sinθ2） f（cosθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1） f（cosθ2）+f（sinθn） f（cosθ1）＞6n．
【知识点】全称量词；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】(1) 由题意得g′（x）＝2ax，再根据条件列方程组求解 实数a，b的值；
(2)把条件转化为 对任意x∈R恒成立，令，t＞0，设，利用导数求即可；
(3)由不等式，推得，再进而利用累加法求解证明.
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