人教A版(2019)必修第一册2.2基本不等式同步练习（含解析）

2.2基本不等式
一．选择题（共5小题）
1．已知实数，，满足，，则的最小值是　　
A． B． C． D．1
2．已知实数，满足，，，当取最小值时，的值为　　
A． B． C． D．1
3．若，，且，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．
4．实数、满足，若的最大值为1，则有　　
A．最大值9 B．最大值18 C．最小值9 D．最小值18
5．已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点，在轴上，顶点，在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
6．若实数，满足，则的最大值为　　．
7．已知，，且，则的最大值为　　，最小值为　　．
8．设、、是三个正实数，且，则的最大值为　　．
9．若，则的最小值为　　；最大值为　　．
三．解答题（共4小题）
10．已知正实数、满足．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值；
（3）求的最小值．
11．已知点在圆，上，
（1）求的最小值；
（2）是否存在，，满足？如果存在，请说明理由．
12．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间的函数关系为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
13．设正实数，，满足．
（1）求的最大值；
（2）的最小值．
高中数学人教版新业2.2基本不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知实数，，满足，，则的最小值是　　
A． B． C． D．1
【分析】由已知条件可得；，由可得，所求式子可以用表示，由可以求出的范围．再利用导数求关于的函数的单调性可求最值．
【解答】解：，，
，，，
，
又，，解得，
令，
则，
则当，，时，，当时，，
则在，、，上单调递增，在上单调递减，
且，，
故的最小值是，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质及重要不等式的应用，同时考查了函数的性质及导数的综合应用，属于难题．
2．已知实数，满足，，，当取最小值时，的值为　　
A． B． C． D．1
【分析】令，由和“1”的代换，得到的关于的表达式，然后利用换元法构造函数，结合题中给出的选项进行判断即可．
【解答】解：令，由，
所以
，
令，则，
所以，
通过题中选项给出的数据，可得当时，，
故当时，取得最小值，即当的值为时，取最小值．
故选：．
【点评】本题考查了基本不等式中“1”的代换的应用，同时考查利用导数求解函数最值的应用，解题的关键是利用“1”的代换将进行变形，属于难题．
3．若，，且，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．
【分析】法一：原式变形为，则可化为，利用基本不等式即可求得其最小值；
法二：原式变形为，则可化为，利用基本不等式即可
【解答】解：（法一）可变形为，
所以
，
当且仅当即，时取等号，
（法二）原式可得，则，
当且仅当，即时取“”
故选：．
【点评】本题考查不等式的应用，关键是对，和的变形，属于难题，可作为章节的压轴题．
4．实数、满足，若的最大值为1，则有　　
A．最大值9 B．最大值18 C．最小值9 D．最小值18
【分析】根据，求出点满足的图形，根据的最值，求出，的关系，再根据基本不等式求解．
【解答】根据，可得点满足的图形为、、、为顶点的正方形，可知，时取得最大值，故，所以，当取得．
故选：．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
5．已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点，在轴上，顶点，在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为　　
A． B． C． D．
【分析】求出，的值，令，整理得，则，为这个一元二次方程的两不等实根，求出圆柱的体积，结合基本不等式的性质求出体积的最大值即可．
【解答】解：由，及（1）得，，，，
如图，不妨设点，在轴的上方，
不难知该旋转体为圆柱，半径，
令，整理得，
则，为这个一元二次方程的两不等实根，
于是圆柱的体积，
当且仅当时，等号成立．
故选：．
【点评】本题考查了函数和方程问题，考查圆柱的体积以及基本不等式的性质，是一道综合题．
二．填空题（共4小题）
6．若实数，满足，则的最大值为　　．
【分析】对已知的等式进行因式分解，得到，分类讨论，当时，利用基本不等式求解；当时，利用导数求解的最值，比较即可得到答案．
【解答】解：，
所以，
因此，
①当时，
由基本不等式可得，
则，
所以，即，
当且仅当，即时取等号，
此时；
②当时，此时，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有最大值，
所以的最大值为．
因为，
所以的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用基本不等式求解最值的应用，利用导数研究函数值域问题，考查了逻辑推理了与运算能力，属于难题．
7．已知，，且，则的最大值为　　，最小值为　　．
【分析】先由题设且，再利用不等式的性质和基本不等式，进而有与，解出的取值范围，即可求得结果．
【解答】解：，且，即且，
，当且仅当时取“ “，
，当且仅当时取“ “，
即，解得：，当且仅当时取“ “，
又，，
，当或时取“ “，解得：，当且仅当或时取“ “，
，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查式子的变形、基本不等式的应用、不等式的性质的应用及求解不等式，属于有一定难度的题．
8．设、、是三个正实数，且，则的最大值为　3　．
【分析】由题意可求出的表达式，根据，把原式转化为关于的解析式，
设，构造函数，利用基本不等式求出函数的最小值，从而求出答案．
【解答】解：，
，
，
，
，
解法一：设，则，；
，
当且仅当时成立；
的最大值为3．
解法二：由，得，
；
设，则，
所以，
当且仅当时取等号，
，
即的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了转化与化归思想，是难题．
9．若，则的最小值为　1　；最大值为　　．
【分析】把已知两边平方，把通分化成关于为自变量的函数，利用函数的单调性即可求出最值．
【解答】解：若，则，，有基本不等式，（当且仅当，时“”成立），得，
又由，得，
令，
则，
令，则，，
，，则，令，得或（舍去），
当，时，，当，，
函数，在区间当，上单调递增，在区间当，上单调递减，
当时，有最大值，最大值是：，
又因为，当时，，当时，，，
所以，的最小值为：1
故答案为：1；．
【点评】本题考查了基本不等式、函数的导数与单调性的基本知识．属于难题．
三．解答题（共4小题）
10．已知正实数、满足．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值；
（3）求的最小值．
【分析】首先作下列变形：，即，，，，，
（1），展开后利用基本不等式可求得最小值；
（2），再利用基本不等式可求得最小值；
（3），再利用基本不等式可求得最小值．
【解答】解：，即，，，，，
（1）因为、是正实数，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为4；
（2）因为，，所以，，
则，
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为25；
（3）因为，，，
所以
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为．
【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于难题．
11．已知点在圆，上，
（1）求的最小值；
（2）是否存在，，满足？如果存在，请说明理由．
【分析】（1）整理所给的代数式，结合均值不等式的结论即可求得最小值；
（2）利用题意首先求得的范围，然后结合均值不等式的结论求解原问题即可．
【解答】解：（1），
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为2．
（2）存在．
因为，所以，
所以，
又，，所以．
从而有，
因此存在，，满足．
【点评】本题考查均值不等式及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
12．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间的函数关系为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【分析】（1）根据基本不等式性质可知，进而求得的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．
（2）在该时间段内车流量超过10千辆小时时，解不等式即可求出的范围．
【解答】解：（1）依题意，，
当且仅当，即时，上式等号成立，
（千辆时）．
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆时；
（2）由条件得，
整理得，
即，
解得，
所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆时，
则汽车的平均速度应大于且小于．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．
13．设正实数，，满足．
（1）求的最大值；
（2）的最小值．
【分析】（1）根据题中给出的等式，直接利用三元基本不等式，即可得到答案；
（2）由已知等式变形可得，，然后将所要求解的式子转化为和表示，然后进行变形，得到，由基本不等式求解最值即可．
【解答】解：（1）因为，，，所以，解得，
当且仅当,即时取等号，
故的最大值为；
（2）因为,所以，
所以
，
当且仅当,即时取等号，
故的最小值为5．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，主要考查了利用基本不等式求解最值问题，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于较难题