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新人教九年级数学下
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
小松中学 温光洪
第一课时 正弦
新人教九年级数学下
学习目标
1、知道正弦的概念,并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。
2、经历探究"当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值"这一事实的过程,体会由特殊到一般的思想方法。
学习重点
知道正弦的概念
学习难点
会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值
新人教九年级数学下
（阅读本节课教材）
1、仿照"阅读"中的解答,完成本课时第一个"思考"中的问题。
2、当BC=a m时,AB的长是多少 当∠A为300时, 的值是否固定 若固定,值是多少
3、∠A的对边记作 ,∠B的对边记作 ,∠C的对边记作 。
4、在Rt△ABC中,∠C=900,我们把∠A的 与 的
比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA= = .
预习导学
根据“在直角三角形中，300所对的直角边等于斜边的一半”， 即 AB=2BC=100m，需要准备100m长的水管。
当BC=a m时，AB的长是2a m，当∠A=300时， 的值固定, 固定值为
a
b
c
对边
斜边
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为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
梳理：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
A
B
C
50m
35m
B '
C '
AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100(m)
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在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:
因此
梳理：在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？
A
B
C
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综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.
精心梳理：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大.
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如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
注意在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
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新人教九年级数学下
1、在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个 。
2、在直角三角形ABC中， ，若直角三角形DEF中∠D=∠B，则 。
4、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大10倍，那么sinA（ ）
A.扩大10倍 B.缩小10倍 C.没有变化 D.不能确定
固定值
3、在Rt△ABC中，∠C=900，sinA= 则sinB等于 （ ）
A. B. C. D.
A
C
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解： （1）在Rt△ABC中，
因此
（2）在Rt△ABC中，
因此
A
B
C
3
4
求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比
A
B
C
13
5
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例2.如图， 在平面直角坐标系内有一点P（3，4）， 连接OP， 求OP与x轴正方向所夹锐角α 的正弦值.
解： 平面直角坐标系内点P的坐标为（3，4），
连接OP，由勾股定理得 OP=5,
角α的对边是直角边，边长为4，而斜边长OP为5 ，
∴
准确的直角坐标系中找出∠α的对边与斜边,再根据正弦函数求值。
例2
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1、判断对错
A
10m
6m
B
C
1) 如图 (1) sinA= （ ）
(2)sinB= （ ）
(3)sinA=0.6m （ ）
(4)SinB=0.8 （ ）
√
√
×
×
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
2)如图， sinA= （ ）
×
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2、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，
BC=5，AB=13.则sinA= sinB= .
3、在Rt△ABC中,∠C＝90°,sinB＝ ,则sinA的值是( )
A. B. C. D.
4、如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( )
A. B. C. D.
C
D
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5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA= ,则AB等于( )
6、在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝ ．
7、如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ BC＝2，
求AC，AB的长．
A．8 B．9 C．10 D．12
解：∵sinA＝ ，∴ ＝ ，
∴AB＝4BC＝4×2＝8
∴AC＝ ＝ ＝ ＝
C
6
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2、如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα＝_ _．
1、如图，在⊙O中，过直线AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC＝7，AB＝4，则sinC的值为_ _．
3、如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA＝ ，求DE的长和菱形ABCD的面积．
解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°
在Rt△AED中，sinA＝ ，即 ＝ ，
解得DE＝6，∴菱形ABCD的面积为：10×6＝60(cm2)
1题
2题
3题
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4、在Rt△ABC中，有两条边5，12，求两锐角的正弦值
解：①当5，12为直角边时，则斜边为13.两锐角的正弦值分别为 ， .
②当5为直角边，12为斜边时 ，则另一直角边为，两锐角的正弦值分别为 ，
5、如图，Rt△ABC中，∠C=900，CD⊥AB，图中sinB可由哪两条线段比求得。
∵∠B=∠ACD,∴
在Rt△BCD中，
解：在Rt△ABC中，
点拔：求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。
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6、如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE.
(1)求证：△ABE≌△DFA；
(2)如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．
解：(1)证明：在矩形ABCD中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，AE＝BC，∴∠AFD＝90°＝∠B，AE＝AD，∴△ABE≌△DFA
(2)由(1)知△ABE≌△DFA，∴AB＝DF＝6，在Rt△ADF中，AF＝ ＝ ＝8，∴EF＝AE－AF＝AD－AF＝2，在Rt△DFE中，DE＝ ＝ ＝2，
∴sin∠EDF＝ ＝ ＝
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1、已知锐角A满足关系式2sin2A－7sinA＋3＝0，则sinA的值为( )
A. B．3 C. 或3 D．4
2、如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于( )
A．OM的长
B．2OM的长
C．CD的长
D．2CD的长
A
A
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(2014·上海)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH.
(1)求sinB的值；
(2)如果CD＝ ，求BE的值．
解：(1)∵∠ACB＝90° CD是斜边AB上的中线 ∴CD＝BD ∴∠B＝∠BCD ∵AE⊥CD ∴∠CAH＋∠ACH＝90° ∴∠B＝∠CAH ∵AH＝2CH，
∴由勾股定理得AC＝ CH
∴CH∶AC＝1∶ ，∴sinB＝
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(2014·上海)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH.
(1)求sinB的值；
(2)如果CD＝ ，求BE的值．
解：(2)∵sinB＝ ∴AC∶AB＝1∶ ∵CD＝ ∴ AB＝2 由勾股定理得AC＝2 则CE＝1 在Rt△ABC中 AC2＋BC2＝AB2 ∴BC＝4，∴BE＝BC－CE＝3
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把知识留给自己，把困惑告诉老师和同学。共同帮助进步。
作业：导学测评人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数第一课时正弦同步练习
一、基础训练
1. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 ( )
A． B． C． D．
2. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=8，CD=4，DA=3，则sinB的值是（ ）
2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
3.如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）21cnjy.com
A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
4.如图，已知在Rt△ABC中，∠ C＝90°，BC＝3，AB=7，则sinA的值为________．
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5.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是 .
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二、能力培优
6. 如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A，B两点间的距离为 米．
7.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B间距离的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
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8. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值( )
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
9.在△ABC中，∠C=90°，AC =3，BC=4，则sinA的值是_______
10. △ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB=__________
11. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的长为8米，求斜坡AB与水平面所夹的锐角度数.
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三、拓展提升
12. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。点D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，再过F作FE//AC，交AB于E。设CD=x，DF=y.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
（3）当△FED是直角三角形时，求x的值.
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2.知识点：特殊角的三角函数值、解直角三角形
答案：A.
解析：试题分析：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠A=90°，
∴CE=AD=3，AE=CD=4，
∴BE=AB-AE=8-4=4，
在Rt△CEB中，∵BC= ，
∴sinB=.
故选A．
考点：1.直角梯形；2.勾股定理；3.锐角三角函数的定义．
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3.知识点：圆周角定理、锐角三角函数的定义
答案：A
解析：试题分析： 连接OA、OB，由于OM⊥AB，根据垂径定理易证得∠BOM= ∠AOB，而由圆周角,
∠BCD=∠AOB=∠BOM，又∵∠BDC=∠BMO=90° ∴∠CBD=∠OBM，只需求得∠OBM的正弦值即可 ；在Rt△OBM中，已知⊙O的半径OB=1，即可求出∠OBM即∠CBD得正弦值，由此得解．sin∠CBD＝ sin∠OBM ＝＝=OM.故选A
考点：1、圆周角定理；2、垂径定理；3、三角函数公式.
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4.知识点：锐角三角函数的定义
答案：
5.知识点：锐角三角函数的定义
答案：
7.知识点：二次根式的性质与化简、特殊角的三角函数值
答案：C
8.知识点：锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性
答案：A
9.知识点：锐角三角函数的定义
答案：
解析：试题考查知识点：勾股定理、三角函数
思路分析：计算直角三角形的斜边长后，利用三角函数的定义计算sinA
具体解答过程：
如图所示。
∵∠C=90°，AC =3，BC=4
∴AB=
∴sin
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10.知识点：等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、解直角三角形
答案：.
解析：试题分析： 作AD⊥BC与D．∵AB=AC=5，D是BC的中点，即BD=4，∴AD=3．∴sinB=；故答案为： ．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．等腰三角形的性质．21·cn·jy·com
12.知识点：菱形的性质、锐角三角函数的定义
答案：（1）；（2）40；（3）30.
解析：试题分析：（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可得∠C=30°，从而在Rt△CDF中，再应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可得y与x的函数关系式.
（2）根据菱形四边相等的性质，由AD=DF即AC－CD=DF列方程求解.
（3）首先判断△FED是直角三角形只有∠FDE=90°，得出 ， 解之即为所求.
试题解析：（1）∵∠B=90°，AC=60，AB=30，
∴.∴∠C=30°.∴.
∴y与x的函数关系式为.
（2）当四边形AEFD为菱形时，有AD=DF，
∴AC－CD=DF，即 ， 解得x=40.
∴当四边形AEFD为菱形时，x=40.
（3）如图，当△FED直角三角形是时，只能是∠FDE=90°，
∵DF⊥BC，∠B=90°，∴DF//AB.
又∵FE//AC，∴四边形AEFD为平行四边形. ∴AE=DF.
由DF⊥BC得∠2=90°，∴∠1=∠2. ∴DE//BC.
∴∠3=∠B=90°，∠4=∠C=30°.
在Rt△BOC中， ， 即60－x=x，
∴x=30.
∴当△FED是直角三角形时，x=30.
考点：1.单动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.菱形四边的性质；5.方程思想的应用.
2 / 2人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数第一课时正弦同步练习
一、基础训练
1. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 ( )
A． B． C． D．
2. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=8，CD=4，DA=3，则sinB的值是（ ）
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A． B． C． D．
2.知识点：特殊角的三角函数值、解直角三角形
答案：A.
解析：试题分析：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠A=90°，
∴CE=AD=3，AE=CD=4，
∴BE=AB-AE=8-4=4，
在Rt△CEB中，∵BC= ，
∴sinB=.
故选A．
考点：1.直角梯形；2.勾股定理；3.锐角三角函数的定义．
3.如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）21cnjy.com
A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
3.知识点：圆周角定理、锐角三角函数的定义
答案：A
解析：试题分析： 连接OA、OB，由于OM⊥AB，根据垂径定理易证得∠BOM= ∠AOB，而由圆周角,
∠BCD=∠AOB=∠BOM，又∵∠BDC=∠BMO=90° ∴∠CBD=∠OBM，只需求得∠OBM的正弦值即可 ；在Rt△OBM中，已知⊙O的半径OB=1，即可求出∠OBM即∠CBD得正弦值，由此得解．sin∠CBD＝ sin∠OBM ＝＝=OM.故选A
考点：1、圆周角定理；2、垂径定理；3、三角函数公式.
4.如图，已知在Rt△ABC中，∠ C＝90°，BC＝3，AB=7，则sinA的值为________．
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4.知识点：锐角三角函数的定义
答案：
5.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是 .
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5.知识点：锐角三角函数的定义
答案：
二、能力培优
6. 如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A，B两点间的距离为 米．
7.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B间距离的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
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7.知识点：二次根式的性质与化简、特殊角的三角函数值
答案：C
8. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值( )
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
8.知识点：锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性
答案：A
9.在△ABC中，∠C=90°，AC =3，BC=4，则sinA的值是_______
9.知识点：锐角三角函数的定义
答案：
解析：试题考查知识点：勾股定理、三角函数
思路分析：计算直角三角形的斜边长后，利用三角函数的定义计算sinA
具体解答过程：
如图所示。
∵∠C=90°，AC =3，BC=4
∴AB=
∴sin
试题点评：
10. △ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB=__________
10.知识点：等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、解直角三角形
答案：.
解析：试题分析： 作AD⊥BC与D．∵AB=AC=5，D是BC的中点，即BD=4，∴AD=3．∴sinB=；故答案为： ．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．等腰三角形的性质．
11. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的长为8米，求斜坡AB与水平面所夹的锐角度数.
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三、拓展提升
12. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。点D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，再过F作FE//AC，交AB于E。设CD=x，DF=y.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
（3）当△FED是直角三角形时，求x的值.
12.知识点：菱形的性质、锐角三角函数的定义
答案：（1）；（2）40；（3）30.
解析：试题分析：（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可得∠C=30°，从而在Rt△CDF中，再应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可得y与x的函数关系式.
（2）根据菱形四边相等的性质，由AD=DF即AC－CD=DF列方程求解.
（3）首先判断△FED是直角三角形只有∠FDE=90°，得出 ， 解之即为所求.
试题解析：（1）∵∠B=90°，AC=60，AB=30，
∴.∴∠C=30°.∴.
∴y与x的函数关系式为.
（2）当四边形AEFD为菱形时，有AD=DF，
∴AC－CD=DF，即 ， 解得x=40.
∴当四边形AEFD为菱形时，x=40.
（3）如图，当△FED直角三角形是时，只能是∠FDE=90°，
∵DF⊥BC，∠B=90°，∴DF//AB.
又∵FE//AC，∴四边形AEFD为平行四边形. ∴AE=DF.
由DF⊥BC得∠2=90°，∴∠1=∠2. ∴DE//BC.
∴∠3=∠B=90°，∠4=∠C=30°.
在Rt△BOC中， ， 即60－x=x，
∴x=30.
∴当△FED是直角三角形时，x=30.
考点：1.单动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.菱形四边的性质；5.方程思想的应用.
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