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7．2 向量的应用举例(二)
课时目标 经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．
1．力向量
力向量与前面学过的自由向量有区别．
(1)相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．
(2)不同点：向量与始点无关，力和作用点有关，大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．21·cn·jy·com
2．向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是________．
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．www.21-cn-jy.com
(3)动量mν是数乘向量．
(4)功是力F与所产生位移s的数量积．
一、选择题
1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( )
A．|F|·s B．Fcos θ·s
C．Fsin θ·s D．|F|cos θ·s
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．40 N B．10 N C．20N D．10 N
3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )21·世纪*教育网
A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2
4．一质点受到平面上的三个力F1，F2 ( http: / / www.21cnjy.com )，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．6 B．2 C．2 D．2
5．质点P在平面上作匀速 ( http: / / www.21cnjy.com )直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )www-2-1-cnjy-com
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
6．已知作用在点A的三个力f1＝(3, ( http: / / www.21cnjy.com )4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )2-1-c-n-j-y
A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9) 21*cnjy*com
二、填空题
7．若＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为________．
8．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．【来源：21cnj*y.co*m】
9．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________．【出处：21教育名师】
10．如图所示，小船被绳索拉 ( http: / / www.21cnjy.com )向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
三、解答题
11．如图所示，两根绳子 ( http: / / www.21cnjy.com )把重1 kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．
12．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．2·1·c·n·j·y
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
能力提升
13．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．21教育网
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
14．已知e1＝(1,0 ( http: / / www.21cnjy.com ))，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为e1＋e2；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e1＋2e2，设P、Q在t＝0 s时分别在P0、Q0处，问当⊥时所需的时间t为多少？21cnjy.com
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问 ( http: / / www.21cnjy.com )题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．21世纪教育网版权所有
7．2 向量的应用举例(二) 答案
知识梳理
1．(1)大小 方向 2．(1)向量 (2)加、减
作业设计
1．D
2．B [|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10，
当θ＝ 120°，由平行四边形法则知：
|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N．]
3．D [F1＋F2＝(1,2lg 2)．
∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)
＝2lg 5＋2lg 2＝2．]
4．C [因为力F是一个向量，由向量加 ( http: / / www.21cnjy.com )法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1＋F2|2＝|F1|2＋|F2|2＝4＋16＝20，
∴|F3|＝2．]
5．C [设(－10,10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，
则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5ν．
即(x＋10，y－10)＝(20，－15) ．]
6．A [f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)
＝(8,0)，
设合力f的终点为P(x，y)，则
＝＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．]
7．5
解析 ∵F1＋F2＝(0,5)，
∴|F1＋F2|＝＝5．
8．10 J
解析 WG＝G·s＝|G|·|s|·cos 60°＝20×1×＝10(J)．
9．4 km/h
解析 如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．
则v0＋v1表示船实际航行速度，
∵|v0|＝4，|v1|＝8，
∴解直角三角形
|v0＋v1|＝＝4．
10．①③
解析 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<)．则|F|cos θ＝|f|，
∴|F|＝．
∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．
∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．
11．解
设A、B所受的力分别为f1、f2，
10 N的重力用f表示，则f1＋f2＝f，以 ( http: / / www.21cnjy.com )重力的作用点C为f1、f2、f的始点，作右图，使＝f1，＝f2，＝f，则∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°．
∴||＝||·cos 30°＝10×＝5．
||＝||·cos 60°＝10×＝5．
∴在A处受力为5 N，在B处受力为5 N．
12．解 (1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J．
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102 J．
13．解
(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，
|F2|＝|G|tan θ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cos θ≥．
又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°．
14．解 e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为(，)；3e1＋2e2＝(3,2)，
|3e1＋2e2|＝，其单位向量为(，)，如图．
依题意，||＝t，||＝t，
∴＝||(，)＝(t，t)，
＝||(，)＝(3t,2t)，
由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，
∴＝(－1，－3)，
＝(2t－1，t－3)，
由于⊥，∴·＝0，
即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2．
∴当⊥时所需的时间为2 s．
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§3 从速度的倍数到数乘向量
3．1 数乘向量
课时目标 1．掌握向量数乘的定义．2．理解向量数乘的几何意义．3．了解向量数乘的运算律．4．理解向量共线的条件．21教育网
1．向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的________，记作______，其长度与方向规定如下：21世纪教育网版权所有
(1)|λa|＝________．
(2)λa (a≠0)的方向；
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝______或λ0＝_____________________________．
2．向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝______．
(2)(λ＋μ)a＝________．
(3)λ(a＋b)＝________．
特别地，有(－λ)a＝________＝______；
λ(a－b)＝________．
3．共线向量定理
向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________．
4．向量的线性运算
向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有21cnjy.com
λ(μ1a±μ2b)＝____________________．
一、选择题
1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )2·1·c·n·j·y
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝
2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B、C、D B．A、B、C
C．A、B、D D．A、C、D
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上
4．已知△ABC和点M满足＋＋＝0．若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s等于( )
A．0 B． C． D．3
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．8 B．4 C．2 D．1
二、填空题
7．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝
________________．
8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________．21·世纪*教育网
9．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝______．(填写正确的序号)
①－＋ ②－－
③－ ④＋
10．如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______．(用a，b表示)www-2-1-cnjy-com
三、解答题
11．两个非零向量a、b不共线．
(1)若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．
12．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD．
求证：M、N、C三点共线．
能力提升
13．已知O是平面内一定点 ( http: / / www.21cnjy.com )，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝a，＝b，则等于( )21·cn·jy·com
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．www.21-cn-jy.com
3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
§3 从速度的倍数到数乘向量
3．1 数乘向量
答案
知识梳理
1．向量 数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 0 0
2．(1)(λμ)a (2)λa＋μa ( ( http: / / www.21cnjy.com )3)λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb 3．b＝λa 4．加 减 数乘 λμ1a±λμ2b2-1-c-n-j-y
作业设计
1．D [当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2．
∴n＝2m，此时，m，n共线．]
2．C [∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A、B、D三点共线．]
3．D [＋＋＝－，
∴＝－2，∴P在AC边上．]
4．B [∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心．
∴＋＝3，∴m＝3．]
5．C [∵＝＋＝4，
∴＝3．
∴＝－＝＋－
＝＋－
＝＋(－)－
＝－
∴r＝，s＝－，r－s＝．]
6．C [∵2＝16，
∴||＝4．又|－|＝||＝4，
∴|＋|＝4．
∵M为BC中点，∴＝(＋)，
∴||＝|＋|＝2．]
7．a－b＋c
8．1
解析 ∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R使＝λ．
∴－＝λ(－)．
∴＝(1－λ)＋λ．
∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1．
9．①
解析 －＋＝＋
＝＋＝．
10．(b－a)
解析 ＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．
11．(1)证明 ∵A＝A＋B＋C＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6A，
∴A、B、D三点共线．
(2)解 ∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．
∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，
∴ k＝±．
12．证明 设＝a，＝b，则由向量加法的三角形法则可知：
＝－＝－＝a－b．
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，又∵与共点为C，
∴C、M、N三点共线．
13．B [为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．
又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而＝＋λ，
∴点P在上移动．
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]
14．B [
如图所示，
∵E是OD的中点，
∴＝＝b．
又∵△ABE∽△FDE，
∴＝＝．
∴＝3，∴＝．
在△AOE中，＝＋＝a＋b．
∴＝＝a＋b．]
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§5 从力做的功到向量的数量积
课时目标 1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3．掌握向量数量积的运算律．
1．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个____________a和b，作＝a，＝b，则________＝θ (0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．21世纪教育网版权所有
①范围：向量a与b的夹角的范围是__________．
②当θ＝0°时，a与b________．
③当θ＝180°时，a与b________．
(2)垂直：如果a与b的夹角是________，
则称a与b垂直，记作________．
2．射影的概念
____________叫作向量b在a方向上的射影．____________叫作向量a在b方向上的射影．21·cn·jy·com
3．向量的数量积的定义
已知两个向量a与b，它们的夹角为θ， ( http: / / www.21cnjy.com )则把__________________叫作a与b的__________(或________)，记作________，即____________________________________．
4．数量积的基本性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b __________；
(2)当a与b同向时，a·b＝__________，
当a与b反向时，a·b＝____________；
(3)a·a＝__________或|a|＝＝；
(4)cos θ＝__________________(|a||b|≠0)；
(5)|a·b|≤__________(当且仅当a∥b时等号成立)．
5．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
一、选择题
1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的射影等于( )21教育网
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A． B．－ C．± D．1
3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
4．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－ B．0 C． D．3
5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
二、填空题
7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
8．给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0．www.21-cn-jy.com
其中正确结论的序号是________．
9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________．
10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
三、解答题
11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．
12．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|．
能力提升
13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．2·1·c·n·j·y
14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
1．两向量a与b的数量积是一个实数 ( http: / / www.21cnjy.com )，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．【来源：21·世纪·教育·网】
2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ( http: / / www.21cnjy.com )·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．21·世纪*教育网
§5 从力做的功到向量的数量积 答案
知识梳理
1．(1)非零向量 ∠AOB ①[0，π] ②同向 ③反向 (2)90° a⊥b
2．|b|cos θ |a|cos θ
3．|a||b|cos θ 数量积 内积 a·b
a·b＝|a||b|·cos θ
4．(1)a·b＝0 (2)|a||b| －|a||b|
(3)|a|2 (4) (5)|a||b|
作业设计
1．D [a在b方向上的射影是
|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1．]
2．A [∵(3a＋2b)·(λa－b)
＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0．
∴λ＝．]
3．B [|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2．]
4．A [a·b＝·＝－·
＝－||||cos 60°＝－．
同理b·c＝－，c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－．]
5．C [由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．
∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°．]
6．C [∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b
＝|a|2－2|a|－96＝－72．
∴|a|＝6．]
7．0
解析 b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2
＝2×4×4×cos 120°＋42＝0．
8．④
解析 因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；21cnjy.com
④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0．
9．120°
解析 ∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2．
又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，
即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2．
∴cos〈a，b〉＝－，
∴〈a，b〉＝120°．
10．[0,1]
解析 b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1．
11．解 (1)当a∥b时，若a与b同向，
则a与b的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12．
若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12．
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，
∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0．
(3)当a与b的夹角为60°时，
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×＝6．
12．解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝．
|a＋b|＝＝
＝＝5．
|a－b|＝＝
＝＝5．
13．解 (2a－b)·(a＋b)
＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝．
|a＋b|＝＝
＝＝1．
∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉
＝|2a－b|·
＝＝．
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的射影为．
14．解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝．
|a|＝|2m＋n|＝
＝
＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)
＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－．
设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－．
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为．
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3．2 平面向量基本定理
课时目标 1．了解基底的概念及基底的两个主要特征．2．理解并应用平面向量基本定理解决有关问题．
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内的两个__________向量，那么对于这一平面内的________向量a，________________实数λ1，λ2，使a＝____________．
(2)基底：把__________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．
2．对基底的理解
(1)基底的两个主要特征
①基底是两个__________的向量；②基底的选择是________的．
(2)零向量与任意向量________，故不能作为基底．
3．一个有用的结论
设e1，e2是平面内一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝____时，恒有__________．
一、选择题
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
2．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表 ( http: / / www.21cnjy.com )示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于( )
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D．a＋b
4．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数多对；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；21世纪教育网版权所有
④若实数λ、μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0．
A．①② B．②③ C．③④ D．②
5．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
6．如图，
在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且＝，连结CF并延长交AB于E，则等于( )21教育网
A． B． C． D．
二、填空题
7．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p，p＝________．
8．设e1、e2是不共线 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1．其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)21cnjy.com
9．在△ABC中，＝c，＝b．若点D满足＝2，则＝____________．
10．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________．21·cn·jy·com
三、解答题
11．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，．www.21-cn-jy.com
12．如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b．2·1·c·n·j·y
(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
能力提升
13．如图所示，OM∥AB，点P在 ( http: / / www.21cnjy.com )由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是____________．【来源：21·世纪·教育·网】
14．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1．21·世纪*教育网
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：① ( http: / / www.21cnjy.com )基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．www-2-1-cnjy-com
(2)平面向量基本定理体现了转化与 ( http: / / www.21cnjy.com )化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
3．2 平面向量基本定理 答案
知识梳理
1．(1)不共线 任一 存在唯一 ( http: / / www.21cnjy.com )一对 λ1e1＋λ2e2 (2)不共线 所有 2．(1)①不共线 ②不唯一 (2)共线 3．0 λ1＝λ2＝02-1-c-n-j-y
作业设计
1．D 2．B
3．D [∵＝λ，∴－＝λ(－)，
∴(1＋λ)＝＋λ，
∴＝＋＝a＋b．]
4．B [由平面向量基本定理可知， ( http: / / www.21cnjy.com )①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B．]
5．C [因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，即＋＝0如图．]
6．D [设＝a，＝b，＝λ．
∵＝，∴＝＋
＝＋＝(＋)－
＝－＝a－b．
＝＋
＝＋
＝－
＝a－b．
∵∥，
∴＝．∴λ＝．]
7．－m＋n
解析 设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，
得 ．
8．①②
解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．
9．b＋c
解析 ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋＝b＋c．
10．
解析 设＝a，＝b，
则＝a＋b，
＝a＋b，
又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝．
11．解 ＝＋
＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)
＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)
＝a＋b．
12．解 (1)由题意，A是BC的中点，且＝，
由平行四边形法则，＋＝2．
∴＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b．
(2)∥．又∵＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b，
∴＝，∴λ＝．
13．(－∞，0)
解析 由题意得：
＝a·＋b·(a，b∈R＋，0＝a·λ＋b·
＝aλ(－)＋b·
＝－aλ·＋(aλ＋b)·(λ>0)．
由－aλ<0，得x∈(－∞，0)．
又由＝x＋y，则有0当x＝－时，有0<－＋y<1，解得y∈．
14．解 设＝b，＝c，
则＝b＋c，＝＝c，
＝＋＝c－b．
∵∥，∥，
∴存在λ，μ∈R，使得＝λ，＝μ，
又∵＋＝，
∴λ－μ＝，
由λ－μ＝b得
b＋c＝b．
又∵b与c不共线，
∴解得
故＝，即AP∶PM＝4∶1．
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§6 平面向量数量积的坐标表示
课时目标 1．掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．21教育网
1．平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__________________．
即两个向量的数量积等于______________________．
2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b ____________________．
3．平面向量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝__________________．
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝________________________．
4．向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b ( http: / / www.21cnjy.com )＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝____________________＝______________________________________________________．
一、选择题
1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B． C．2 D．4
2．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A． B．2 C．4 D．12
3．已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A． B．－ C． D．－
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A． B．
C． D．
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )
A． B． C．5 D．25
6．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A．－ B． C．－ D．
二、填空题
7．已知a＝(3，)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝_______________________________．
8．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________．
9．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影为______．
10．已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．
三、解答题
11．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10．
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c．
12．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
能力提升
13．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，a的范围是( )21世纪教育网版权所有
A．(0,1) B．
C．∪(1，) D．(1，)
14．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝
________．
1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．21cnjy.com
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．21·cn·jy·com
§6 平面向量数量积的坐标表示 答案
知识梳理
1．x1x2＋y1y2 相应坐标乘积的和 2．x1x2＋y1y2＝0
3．(1) (2)
4．
作业设计
1．C [由(2a－b)·b＝0，则2a·b－|b|2＝0，
∴2(n2－1)－(1＋n2)＝0，n2＝3．
∴|a|＝＝2．]
2．B [a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1．
∴|a＋2b|＝＝2．]
3．C [∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，
∴a·b＝－20＋36＝16．
又|a|＝5，|b|＝13，
∴cos〈a，b〉＝＝．]
4．D [设c＝(x，y)，
由(c＋a)∥b有－3(x＋1)－2(y＋2)＝0，①
由c⊥(a＋b)有3x－y＝0，②
联立①②有x＝－，y＝－，则c＝(－，－)．]
5．C [∵|a＋b|＝5，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝5＋2×10＋b2＝(5)2，
∴|b|＝5．]
6．A [由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．
又(λa＋b)·(a－2b)＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－．]
7．1
解析 a－2b＝(1，)，
(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1．
8．(－4,8)
解析 由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b＝－4a＝(－4,8)．
9．
解析 设a、b的夹角为θ，
则cos θ＝＝，
故a在b方向上的射影为|a|cos θ＝×＝．
10．∪(2，＋∞)
解析 由题意cos α＝＝，
∵90°<α<180°，∴－1∴－1<<0，∴
即 即
∴λ的取值范围是∪(2，＋∞)．
11．解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10×(2，－1)＝(20，－10)．
12．(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD．
(2)解 ⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝．
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴ 得
∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16，
||＝2 ，||＝2 ．
设与夹角为θ，则
cos θ＝＝＝>0，
∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为．
13．C
[已知＝(1,1)，即A(1,1)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，即∠AOB1＝∠AOB2＝，此时，∠B1Ox＝－＝，∠B2Ox＝＋＝，
故B1，B2(1，)，又a与b夹角不为零，
故a≠1，由图易知a的范围是∪(1，)．]
14．－2
解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A(0,3)，B(－，0)，M(0,2)，
∴＝(0,1)，
＝(－，－2)．
∴·＝－2．
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第二章 平面向量
§1 从位移、速度、力到向量
课时目标 1．通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示．2．掌握平行向量与相等向量的概念．21教育网
1．向量：既有________，又有______的量叫向量．
2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．
3．向量的有关概念：
(1)零向量：长度为____的向量叫做零向量，记作____．
(2)单位向量：长度为____的向量叫做单位向量．
(3)相等向量：____________且____________的向量叫做相等向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向____________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．2·1·c·n·j·y
①记法：向量a平行于b，记作______．
②规定：零向量与____________平行．
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列条件中能得到a＝b的是( )
A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同
C．a＝0，b为任意向量 D．a＝0且b＝0
3．下列说法正确的有( )
①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长 ( http: / / www.21cnjy.com )度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”( )
A．总成立 B．当a≠0时成立
C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立
5．下列各命题中，正确的命题为( )
A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
B．模为0的向量与任一向量平行
C．向量就是有向线段
D．|a|＝|b| a＝b
6．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
二、填空题
7．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝ ( http: / / www.21cnjy.com )|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)
8．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的形状为________．
9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．
①把所有单位向量移到同一起点；
②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；
③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．
①__________；②____________；③____________．
10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB ( http: / / www.21cnjy.com )、AC的中点，则与向量共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．21cnjy.com
三、解答题
11．在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1．
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
12．如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
能力提升
13．如图，已知＝＝．求证：(1)△ABC≌△A′B′C′；
(2)＝，＝．
14．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c．
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．
1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．
2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a>b没有意义，而|a|>|b|有意义．
3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．
第二章 平面向量
§1 从位移、速度、力到向量
答案
知识梳理
1．大小 方向 2． 3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零 ①a∥b ②任一向量21世纪教育网版权所有
作业设计
1．D 2．D
3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]
4．C [当b＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]
5．B [由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B．]
6．C [向量∥包含所在的直线平行于所在的直线和所在的直线与所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A、B、D均错．]21·cn·jy·com
7．①③④
解析 相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．www.21-cn-jy.com
8．菱形
解析 ∵＝，∴AB綊DC
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．
9．①单位圆 ②相距为2的两个点 ③一条直线
10．，，
解析 ∵E、F分别为△ABC对应边的中点，
∴EF∥BC，
∴符合条件的向量为，，．
11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)．
12．解 (1)因为E、F分别是AC、AB的中点，
所以EF綊BC．又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有：，，，，，，．
(2)与模相等的向量有：，，，，．
(3)与相等的向量有：与．
13．证明 (1)∵＝，
∴||＝||，且∥．
又∵A不在上，∴AA′∥BB′．
∴四边形AA′B′B是平行四边形．
∴||＝||．
同理||＝||，||＝||．
∴△ABC≌△A′B′C′．
(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且||＝||．
∴＝．同理可证＝．
14．解 (1)与a的模相等的向量有23个．
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，，，．
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，．
(4)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，．
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§4 平面向量的坐标
4．1 平面向量的坐标表示
4．2 平面向量线性运算的坐标表示
课时目标 1．掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．2．掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．21世纪教育网版权所有
1．平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分 ( http: / / www.21cnjy.com )别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝________，则____________叫作向量a的坐标，____________叫作向量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，若A(x，y)，则＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝______________________．21·cn·jy·com
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)若a＝(x1，y1)，b＝( ( http: / / www.21cnjy.com )x2，y2)，则a＋b＝______________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．www-2-1-cnjy-com
(2)若a＝(x1，y1)， ( http: / / www.21cnjy.com )b＝(x2，y2)，则a－b＝__________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．2-1-c-n-j-y
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝__________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
2．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(－2,2) D．(2，－2)
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为( )
A．(－8,1) B．
C． D．(8，－1)
5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
6．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．(－7,0) B．(7,6)
C．(6,7) D．(7，－6)
二、填空题
7．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则－的坐标是________．
8．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________．
9．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3，2)，则x＝________．
10．函数y＝x2＋2x＋2按向量a平移所得图像的解析式为y＝x2，则向量a的坐标是________．21教育网
三、解答题
11．已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c．
12．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．21cnjy.com
能力提升
13．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0, ( http: / / www.21cnjy.com )1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于( )www.21-cn-jy.com
A．{(1,1)} B．{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
14．函数y＝cos－2的图像F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y＝f(x)，当y＝f(x)为奇函数时，向量a可以等于( )21·世纪*教育网
A． B．
C． D．
1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示： 21*cnjy*com
2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．【出处：21教育名师】
§4 平面向量的坐标
4．1 平面向量的坐标表示
4．2 平面向量线性运算的坐标表示
答案
知识梳理
1．(2)单位向量 xi＋yj 有序数对(x，y) a＝(x，y)
(3)(x，y) (x2－x1，y2－y1) 2．(1)(x1＋x2，y1＋y2)
(2)(x1－x2，y1－y2) (3)(λx，λy)
作业设计
1．D 2．D
3．D [由解得]
4．C [设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝×(－8,1)，
∴x＝－1，y＝－．]
5．B [∵＝＋，
∴＝－＝(－1，－1)．
∴＝－＝(－3，－5)．]
6．D [设D(x，y)，由＝，
∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)．
∴x＝7，y＝－6．]
7．(－3,6)
8．
解析 ∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，
＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
又2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
∴ 解得
∴x＋y＝．
9．－1
解析 ∵A(1,2)，B(3,2)，
∴＝(2,0)．
又∵a＝，它们的坐标一定相等．
∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)．
∴
∴x＝－1．
10．(1，－1)
解析 函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y＝x2的顶点坐标为(0,0)，则a＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．2·1·c·n·j·y
11．解 设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)
＝(－2x＋3y,3x＋y)，
∴
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b．
12．解 (1)当平行四边形为ABCD时，＝，
设点D的坐标为(x，y)．
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴ ∴ ∴D(0，－1)；
(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)；
(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)．
综上可知点D可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．
13．A [设a＝(x，y)，则
P＝，
∴集合P是直线x＝1上的点的集合．
同理集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，
即P＝{(x，y)|x＝1}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}．
∴P∩Q＝{(1,1)}．故选A．]
14．B [函数y＝cos－2按向量a＝( ( http: / / www.21cnjy.com )m，n)平移后得到y′＝cos＋n－2．若平移后的函数为奇函数，则n＝2，－2m＝kπ＋(k∈Z)，故m＝－时适合．]
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第二章 章末复习课
课时目标 1．掌握向量线性运算及其几何意义．2．理解共线向量的含义、几何表示及坐标表示的条件．3．掌握数量积的含义、坐标形式及其应用．21cnjy.com
知识结构
一、选择题
1．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)等于( )
A．20 B．(－10,30)
C．54 D．(－8,24)
2．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )
A．＝ B．＝2
C．＝3 D．2＝
4．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
5．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为( )
A．0 B． C． D．
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )2·1·c·n·j·y
A． B． C．－ D．－
二、填空题
7．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程是____________．
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的射影是______．
9．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．
10．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
三、解答题
11．已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3)，以、为一组基底来表示＋＋．21教育网
12．设a，b是两个不共线的非零向量，t∈R．
(1)若a与b起点相同，t为何值时a，tb，(a＋b)三向量的终点在一直线上？
(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小？
能力提升
13．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定是△ABC的( )www.21-cn-jy.com
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
14．如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求实数λ、μ的值．
1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法 ( http: / / www.21cnjy.com )，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．21世纪教育网版权所有
第二章 章末复习课 答案
作业设计
1．B [a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)，
∴(a·b)(a＋b)＝5×(－2,6)＝(－10,30)．故选B．]
2．A [(λa＋b)·a＝0，∴λa2＋a·b＝0．
∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1．]
3．A [由题意D是BC边的中点，
所以有＋＝2，
所以2＋＋＝2＋2
＝2(＋)＝0
＋＝0 ＝．]
4．D [＝＋＝(1,2)，
＝－＝(－3,2)，
解得＝(－1,2)，
∴·＝(－1,2)·(1,2)＝3．]
5．D [∵a·c＝
＝a·a－·(a·b)＝0，
∴〈a，c〉＝．]
6．A [易知P为△ABC的重心，则＋＝－＝，
故·(＋)＝2＝，故选A．]
7．2x＋y－7＝0
解析 设直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
由·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得2x＋y－7＝0．
8．1
解析 b在a上的投影为|b|cos θ＝2×cos 60°＝1．
9．2
解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线，
∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2．
10．
解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，
∴α2－2α·β＝0．
又∵|α|＝1，∴α·β＝．
又∵|β|＝2，∴|2α＋β|＝＝＝＝．
11．解 ∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，
＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)
＝(－12,8)．
根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m，n使得
＋＋＝m＋n，
∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)．
∴，得m＝32，n＝－22．
∴＋＋＝32－22．
12．解 (1)设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，
化简得(m－1)a＝(－t)b，
∵a与b不共线，
∴，
∴
∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．
(2)|a－tb|2＝(a－tb)2
＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°
＝(1＋t2－t)|a|2．
∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|．
13．C [由2＋2＝2＋2，得2＋(－)2＝2＋(－)2，得·＝·．
∴·＝0，O在边AB的高线上．同理O在边AC的高线上，即O为△ABC的垂心．故选C．]
14．解 方法一
过点C分别作平行于OB的直线CE交直线OA于点E，平行于OA的直线CF交直线OB于点F．如图所示．
在Rt△OCE中，||＝＝＝4；
||＝||·tan 30°＝2×＝2，
由平行四边形法则知，
＝＋＝4＋2，
∴λ＝4，μ＝2．
方法二
如图所示，以所在直线为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴建立直角坐标系．设B点在x轴的射影为B′，C点在x轴的射影为C′．21·cn·jy·com
易知，OC′＝2cos 30°＝3，CC′＝OCsin 30°＝，
BB′＝OBsin 60°＝，OB′＝OBcos 60°＝，
∴A点坐标为(1,0)，B点坐标为，
C点坐标为(3，)．
∵＝λ＋μ
∴∴．
方法三 ∵＝λ＋μ．
∴，
∴，解得λ＝4，μ＝2．
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§7 向量应用举例
7．1 点到直线的距离公式
课时目标 1．了解直线的方向向量、法向量．2．能利用直线的法向量推导点到直线的距离公式．3．能利用直线的法向量判断两直线的位置关系．21·cn·jy·com
1．直线的法向量
(1)直线l：ax＋by＋c＝0 (a2＋b2≠0)的一个方向向量是__________，它的一个法向量是__________．www.21-cn-jy.com
(2)直线l：y＝kx＋b的一个方向向量是__________，它的一个法向量是__________．
所以，一条直线的法向量有__________个，它们都是__________向量．
2．点到直线的距离公式
设点M(x0，y0)为平面内任一点，则点M到直线l：ax＋by＋c＝0 (a2＋b2≠0)的距离
d＝_____________________________________________________________________．
3．两平行线间距离
直线l1：ax＋by＋c1＝0与直线l2：ax＋by＋c2＝0 (a2＋b2≠0且c1≠c2)的距离
d＝_____________________________________________________________________．
4．两直线的位置关系
设直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，直线l2：a2x＋b2y＋c2＝0的法向量依次为n1，n2．则：
(1)l1⊥l2 ______________ ______________________________________________；
(2)l1与l2重合或平行 __________ ______________________．
一、选择题
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A． B． C． D．
2．已知三点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是( )
A．以A为直角顶点的直角三角形
B．以B为直角顶点的直角三角形
C．以C为直角顶点的直角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
3．已知直线l1：(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线l2：(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直，则实数m的值是( )2·1·c·n·j·y
A．－2 B．
C．－2或 D．－或2
4．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的值是( )
A．2 B．－1 C．2或－1 D．
5．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是( )
A．30° B．45° C．135° D．150°
6．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则两平行线间的距离是( )21·世纪*教育网
A． B． C． D．
二、填空题
7．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为________．
8．过点A(－2,1)且平行于向量a＝(3,1)的直线方程为________________．
9．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程是____________．
10．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0与l2：6x＋8y－3＝0之间的距离为________．
三、解答题
11．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．2-1-c-n-j-y
(1)求直线DE、EF、FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
12．已知M(x0，y0)为直线l：Ax＋By＋C＝0 (AB≠0)外一点．
(1)求过点M与直线l垂直的直线l1；
(2)求过点M与直线l平行的直线l2．
能力提升
13．已知向量c＝(0,1)，i＝(1 ( http: / / www.21cnjy.com ),0)，经过原点O以c＋λi为方向向量的直线与经过定点A(0,1)，以i－2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，求点P的轨迹方程．
14．如图所示，在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求向量的坐标．21教育网
1．若直线方程为ax＋by＋c＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0(a2＋b2≠0)，则(a，b)就是它的一个法向量，(b，－a)是它的一个方向向量；若直线方程为y＝kx＋b，则(1，k)就是它的一个方向向量，(k，－1)是它的一个法向量．21cnjy.com
2．点M(x0，y0)到直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝．利用该公式求点到直线的距离必须先将方程化为一般式．利用点到直线的距离公式可以推导出两条平行线ax＋by＋c1＝0与ax＋by＋c2＝0间的距离为．【来源：21·世纪·教育·网】
3．直线的法向量或方向向量在求两直线夹角、计算点到直线的距离或判断两条直线的位置关系中都有着重要应用，应熟练掌握．www-2-1-cnjy-com
§7 向量应用举例
7．1 点到直线的距离公式
答案
知识梳理
1．(1)(b，－a) (a，b) (2)(1，k) (k，－1) 无数多 共线
2． 3． 4．(1)n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＝0
(2)n1∥n2 a1b2－a2b1＝0
作业设计
1．D 2．A
3．C [(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝(m＋2)(4m－2)＝0，
∴m＝－2或．]
4．B [直线l1的法向量n1＝(a,2)，
直线l2的法向量n2＝(1，a－1)，
∵l1∥l2，∴n1∥n2，
∴a(a－1)－1×2＝0，解得：a＝－1或a＝2．
当a＝－1时，l1：x－2y－6＝0，l2：x－2y＝0，
∴l1∥l2．
当a＝2时，l1：x＋y＋3＝0，l2：x＋y＋3＝0．
∴l1与l2重合，a＝2舍．
综上所述，a＝－1．]
5．B [设l1、l2的方向向量为v1，v2，则
v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)，
∴|cos〈v1，v2〉|＝＝＝．
∴l1与l2的夹角为45°．]
6．D [＝(m＋2,4－m)，·(2,1)＝0，
∴m＝－8，∴直线AB方程为：2x＋y＋12＝0．
∴d＝＝．]
7．
8．x－3y＋5＝0
解析 设P(x，y)是所求直线上的任一点，
＝(x＋2，y－1)．
∵∥a．∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0．
即所求直线方程为x－3y＋5＝0．
9．2x＋y－7＝0
解析 设直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
由·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，
得2x＋y－7＝0．
10．
解析 取直线l2的一个法向量为n＝(6,8)，
分别在直线l1和l2上任取一点M(0，)和P(，0)．
则＝(－，)，设与n的夹角为θ．
∴点M到直线l2的距离
d＝||·|cos θ|＝||·||
＝＝||＝．
又∵两条平行线间的距离处处相等，
∴点M到直线l2的距离即为两平行线l1与l2间的距离，
∴两平行线l1：3x＋4y－2＝0与l2：6x＋8y－3＝0之间的距离为．
11．解 (1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．
设点M(x，y)是直线DE上任意一点，
则∥，＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0．
(2)设点N(x，y)是CH所在的直线上任意一点，
则⊥，∴·＝0．
又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH所在的直线方程．
12．解 (1)设P(x，y)为直线l1上任一点．
由·(B，－A)＝0，
得(x－x0，y－y0)·(B，－A)＝0，
∴B(x－x0)－A(y－y0)＝0，即＝．
(2)设P(x，y)为直线l2上任一点，
由·(A，B)＝0．
∴(x－x0，y－y0)·(A，B)＝0．
∴A(x－x0)＋B(y－y0)＝0．
13．解 设P点坐标为(x，y)，
∵i＝(1,0)，c＝(0,1)，
∴c＋λi＝(λ，1)，i－2λc＝(1，－2λ)，
直线OP与AP的方程分别为λy＝x和y－1＝－2λx，
消去参数λ，所求的轨迹方程为2x2＋y2－y＝0．
14．解 如图所示，已知A(0,1 ( http: / / www.21cnjy.com ))，B(－3,4)，过B作BD∥y轴，与OC的延长线交于点D，过D作OB的平行线交y轴于E，所以四边形OBDE为菱形，21世纪教育网版权所有
所以D(－3,9)，E(0,5)．
设C(x1，y1)，||＝3，
所以＝，
所以(x1，y1)＝(－3,9)，
所以所以
所以C，
所以＝．
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7．2 向量的应用举例(一)
课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．
向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)
________ ______________________．
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b
__________ ______________________________．
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝__________＝
________________________________________________________________________．
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：
|a|＝__________．
一、选择题
1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2 B． C．3 D．
2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于( )21cnjy.com
A．2 B． C．－3 D．－
5．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形
6．已知点O，N，P在△ABC所在平面内， ( http: / / www.21cnjy.com )且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )2·1·c·n·j·y
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
二、填空题
7．已知边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________．21世纪教育网版权所有
8．已知|a|＝2，|b|＝ ( http: / / www.21cnjy.com )4，a与b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．【来源：21·世纪·教育·网】
9．已知平面上三点A、B、C满 ( http: / / www.21cnjy.com )足||＝3，||＝4，||＝5．则·＋·＋·＝________________________________________________________________________．
10．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是______．www.21-cn-jy.com
三、解答题
11．求证：△ABC的三条高线交于一点．
12．P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF．
能力提升
13．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝________．
14．已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小．21·世纪*教育网
利用向量方法可以解决平面几何中的平行 ( http: / / www.21cnjy.com )、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．www-2-1-cnjy-com
7．2 向量的应用举例(一) 答案
知识梳理
(1)a＝λb x1y2－x2y1＝0 (2)a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
(3) (4)
作业设计
1．B [BC中点为D(，6)，＝(－，5)，
∴||＝．]
2．D [∵·＝·．∴(－)·＝0．
∴·＝0．∴OB⊥AC．同理OA⊥BC，
OC⊥AB，∴O三条高的交点．]
3．B [∵|－|＝||＝|－|，
|＋－2|＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°．
∴△ABC是直角三角形．]
4．C
[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，
∴＝3，
∴＝－3．]
5．D [由·＝0，得角A的平分线垂直于BC．∴AB＝AC．
而·＝cos〈，〉＝，
又〈，〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°．
故△ABC为正三角形，选D．]
6．C [如图，∵＋＋＝0，
∴＋＝－．依向量加法的平行四边形法则，知|N|＝2||，故点N为△ABC的重心．
∵·＝·，
∴(－)·
＝·＝0．
同理·＝0，·＝0，
∴点P为△ABC的垂心．
由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．]
7．2
解析 注意||＝|c|＝1，
而a＋b＝c，
∴|a＋b＋c|＝|2c|＝2．
8．2
解析
如图所示，以a、b为邻边作平行四边形ABCD，
AC＝
＝2，
BD＝
＝2 ．
∵2＜2 ，
∴较短的一条对角线长为2 ．
9．－25
解析 △ABC中，B＝90°，cos A＝，cos C＝，
∴·＝0，·＝4×5×＝－16，
·＝5×3×＝－9．
∴·＋·＋·＝－25．
10．等腰三角形
解析 ∵(＋－2)·(－)
＝[(－)＋(－)]·(－)
＝(＋)·(－)＝2－2
＝||2－||2＝0，
∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形．
11．证明
如图所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高．
设BE，CF交于H点，
令＝b，＝c，＝h，
则＝h－b，＝h－c，＝c－b．
∵⊥，⊥，
∴(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，
即(h－b)·c＝(h－c)·b
整理得h·(c－b)＝0，∴·＝0
∴AH⊥BC，∴与共线．
AD、BE、CF相交于一点H．
12．证明 以D为坐标原点，DC所 ( http: / / www.21cnjy.com )在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，||＝λ，则A(0,1)，21教育网
P，E，F，
于是＝，＝．
∴||＝＝，
同理||＝，
∴||＝||，∴PA＝EF．
∴·＝＋
＝0，
∴⊥．∴PA⊥EF．
13．－
解析
设{，}为一平面内一组基底．如图所示，设O为△ABC的外心，M为BC中点，连结OM、AM、OA，则易知OM⊥BC．21·cn·jy·com
又由＝－，
＝＋＝(＋)＋．
∴·＝·(＋)
＝·＋·
＝·(其中·＝0)
＝(－)·(＋)
＝(－)
＝×(122－132)
＝－．
14．解 建立如图所示的平面直角坐标系，
设A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，＝(0，a)，
＝(c，a)，＝(c,0)，＝(2c,0)．
因为BB′、CC′为AC、AB边的中线，
所以＝(＋)＝，
同理＝．
因为⊥，所以·＝0，
即－＋＝0，a2＝9c2，
又cos A＝＝＝＝．
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2．2 向量的减法
课时目标 1．理解向量减法的法则及其几何意义．2．能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝______．如图所示．
(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在 ( http: / / www.21cnjy.com )一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为__________的向量．例如：－＝______．
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
2．化简－＋＋的结果等于( )
A． B． C． D．
3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
4．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有( )
A．＝0 B．＝0或＝0
C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形
5．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13)21教育网
6．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________．21cnjy.com
8．化简(－)－(－)的结果是________．
9．如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则＝____________(用a，b，c表示)．21·cn·jy·com
10．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则 |a＋b|＝________．
三、解答题
11．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝．www.21-cn-jy.com
12．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量并分别求出其长度．21世纪教育网版权所有
(1)a＋b＋c； (2)a－b＋c．
能力提升
13．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
14．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋．
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算 ( http: / / www.21cnjy.com )．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接
两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以向量＝a、＝b为邻边作平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
2．2 向量的减法 答案
知识梳理
(1)相反向量 (2) (3)始点 终点
作业设计
1．A 2．B 3．B
4．C [＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，
∴ABCD是矩形．]
5．C [∵||＝|－|且
|||－|||≤|－|≤|A|＋||．
∴3≤|－|≤13．
∴3≤||≤13．]
6．D [
如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则－＝＋
＝＋＝．
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，易求AD＝，
∴|－|＝．]
7．
8．0
解析 方法一 (－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0．
方法二 (－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0．
9．a－b＋c
解析 ＝＋＝＋
＝＋－＝a＋c－b
＝a－b＋c．
10．4
解析 如图所示．
设O＝a，O＝b，则|B|＝|a－b|．
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，
则|O|＝|a＋b|．由于(＋1)2＋(－1)2＝42．
故|O|2＋|O|2＝|B|2，
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，
从而OA⊥OB，
所以 OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等有|O|＝|B|＝4，
即|a＋b|＝4．
11．证明 方法一 ∵b＋c＝＋
＝＋＝，
＋a＝＋＝，
∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝．
方法二 ∵c－a＝－＝－＝，
＝＋＝－b，
∴c－a＝－b，即b＋c－a＝．
12．解 (1)由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，
∴延长AC到E，
使||＝||．
则a＋b＋c＝，且||＝2．
∴|a＋b＋c|＝2．
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2．
∴|a－b＋c|＝2．
13．解 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，
＝－＝a－b．
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
14．证明 作直径BD，连接DA、DC，则＝－，
DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC．
∴CH∥DA，AH∥DC，
故四边形AHCD是平行四边形．
∴＝，
又＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＝＋＋．
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§2 从位移的合成到向量的加法
2．1 向量的加法
课时目标 1．理解向量加法的法则及其几何意义．2．能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．
1．向量的加法法则
(1)三角形法则
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内 ( http: / / www.21cnjy.com )任取一点A，作＝a，＝b，则向量______叫做a与b的和(或和向量)，记作________，即a＋b＝＋＝______．上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．21世纪教育网版权所有
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝____＋____＝____．
(2)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b ( http: / / www.21cnjy.com )，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以____，____为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．【来源：21·世纪·教育·网】
2．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝______．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________．
一、选择题
1．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示( )
A．向东南航行 km B．向东南航行2 km
C．向东北航行 km D．向东北航行2 km
2．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A．＝，＝
B．＋＝
C．＋＝＋
D．＋＋＝
3．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．四边形ABCD一定是矩形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是正方形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
4．已知a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A． B． C． D．
6．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2 C．3 D．2
二、填空题
7．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________．
8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．
9．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．
10．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＋＝________．
三、解答题
11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．21教育网
12．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
能力提升
13．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______．
14．在水流速度为4 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．21·cn·jy·com
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量 ( http: / / www.21cnjy.com )和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
§2 从位移的合成到向量的加法
2．1 向量的加法
答案
知识梳理
1．(1) a＋b 0 a a (2)OA OB 平行四边形
2．(1)b＋a (2)a＋(b＋c)
作业设计
1．A 2．C 3．D 4．A
5．C [＋＋＝＋(＋)
＝＋0＝．]
6．B [|＋＋|＝|＋＋|
＝||＝2．]
7．0
解析 注意＋＝0，＋＝0．
8．2
解析 |＋＋|＝|2|＝2||＝2．
9．8
解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8．
∴|a＋b|的最大值为8．
10．(1) (2)0 (3) (4)
11．解
如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，21cnjy.com
||＝5 (km/h)．
∵四边形OACB为矩形，
∴||＝＝5 (km/h)，
||＝＝10 (km/h)，
∴水流速度大小为5 km/h，船实际速度为10 km/h．
12．证明 ＝＋，＝＋，因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，因为FD＝BE，且与的方向相同，所以＝，www.21-cn-jy.com
所以＝，即AE与FC平行且相等，
所以四边形AECF是平行四边形．
13．0
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0．
14．解
如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则即表示船航行的速度．因为||＝4 ，||＝12，∠CAB＝90°，2·1·c·n·j·y
所以tan∠ACB＝＝，
即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°．
所以||＝8 ，∠BAD＝120°．
即船航行的速度大小为8 km/h，方向与水流方向所成角为120°．
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4．3 向量平行的坐标表示
课时目标 1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
两向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有__________________．
(2)当a∥b且y1y2≠0时，有__________________________．
一、选择题
1．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
3．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于( )
A．2 B． C．－2 D．－
4．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b．如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为( )
A．－1 B．－ C． D．1
6．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )21教育网
A．－13 B．9 C．－9 D．13
二、填空题
7．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于________．
8．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则2a＋3b＝________．
9．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为________．
10．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．
三、解答题
11．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？21·cn·jy·com
12．如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求AC与OB的交点P的坐标．
能力提升
13．平面直角坐标系中，O为坐标原点 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知两点A(3,1)，B(－1，3)，若点C满足＝m＋n，其中m，n∈R且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为( )
A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0
14．已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，则点C的坐标为________．21世纪教育网版权所有
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)当b≠0，a＝λb．
(2)x1y2－x2y1＝0．
(3)当y1y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
2．向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．
(1)已知两个向量的坐标判定两向量 ( http: / / www.21cnjy.com )共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．21cnjy.com
4．3 向量平行的坐标表示 答案
知识梳理
(1)x1y2－x2y1＝0 (2)＝
作业设计
1．C
2．C [∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．]
3．A [∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α．
∴tan α＝2．故选A．]
4．D [由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，
∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0．又a与b不共线，
∴k－λ＝0，且λ＋1＝0．
∴k＝－1．此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d．
故c与d反向，选D．]
5．B [∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)，
v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，
又u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－．故选B．]
6．C [C点坐标(6，y)，
则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9．]
7．
解析 由a∥b得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝．
8．(－4，－8)
解析 由a∥b得m＝－4．
∴2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．
9．3
解析 ＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，
∵P、A、B三点共线，
∴与共线．
∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得x＝3．
10．2
解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，c＝(－4，－7)，
∴＝，∴λ＝2．
11．解 由已知得ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－．
此时ka＋b＝＝－(a－3b)，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
12．解 方法一 由题意知P、B、O三点共线，又＝(4,4)．
故可设＝t＝(4t,4t)，
∴＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
又∵A、C、P三点共线，∴∥，
∴6(4t－4)＋8t＝0，解得t＝，
∴＝(3,3)，即点P的坐标为(3,3)．
方法二 设点P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．
∵P、B、O三点共线，∴∥，∴4x－4y＝0．
又＝－＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，
∵P、A、C三点共线，∴∥，∴6(x－4)＋2y＝0．
由 得
所以点P的坐标为(3,3)．
13．D [设点C的坐标为(x，y)，
则(x，y)＝m(3,1)＋n(－1,3)＝(3m－n，m＋3n)，
∴
①＋2×②得，x＋2y＝5m＋5n，又m＋n＝1，
∴x＋2y－5＝0．
∴点C的轨迹方程为x＋2y－5＝0．]
14．(2,3)
解析 设＝λ，则得C点坐标为．
把C点坐标代入直线x＋y－5＝0的方程，解得λ＝－3．∴C点坐标为(2,3)．
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