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§1 同角三角函数的基本关系(二)
课时目标 1．灵活运用同角三角函数的基本关系进行化简、证明．2．通过对同角三角函数的基本关系的变用、逆用、活用，提高三角恒等变形的能力．21世纪教育网版权所有
1．化简三角函数式的要求：
(1)能求出值的应求出值；
(2)使三角函数种类尽量少；
(3)使项数尽量少；
(4)尽量使分母不含三角函数；
(5)尽量使开方数不含三角函数．
2．三角恒等式的证明
证明三角恒等式时要认真分析等式两边三角函数式的特点，角度 、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．21cnjy.com
对于有附加条件的恒等式的证明．证明的关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是恰当地利用附加条件，要认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用．
1．若sin α＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是( )
A． B． C．1 D．
3．化简(＋)(1－cos α)的结果是( )
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
4．已知＝－，那么的值是( )
A． B．－ C．2 D．－2
5．已知α是第三象限角，则 －等于( )
A．－2tan α B．－2cos α
C．tan α D．1－sin α
6．已知A为锐角，lg(1＋cos A)＝m，lg ＝n，则lg sin A的值为( )
A．m＋ B．m－n
C． D．(m－n)
二、填空题
7．三角函数式的化简结果是________．
8．化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝____．
9．化简sin6α＋cos6α＋3sin2αcos2α＝________．
三、解答题
10．化简：．
11．证明：
(1)－＝sin α＋cos α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
能力提升
12．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1．
13．求证：－＝．
1．化简三角恒等式常用的方法有：(1 ( http: / / www.21cnjy.com ))化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．21教育网
2．证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．
证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．
常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
常用技巧：切化弦、整体代换．
§1 同角三角函数的基本关系(二) 答案
作业设计
1．B [sin α＝1－sin2α＝cos2α，
cos2α＋cos4α＝cos2α＋sin2α＝1．]
2．C [sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β
＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)
＝sin2β＋cos2β
＝1．]
3．A [原式＝(＋)(1－cos α)
＝＝
＝＝sin α．]
4．A [因·＝＝－1，
故＝．]
5．A [原式＝－
＝－
＝＝－2tan α．]
6．D [两式相减得lg(1＋cos A)－lg
＝m－n
lg[(1＋cos A)(1－cos A)]＝m－n
lg sin2A＝m－n，
∵A为锐角，∴sin A>0，
∴2lg sin A＝m－n，∴lg sin A＝．]
7．tan α
解析 原式＝
＝＝
＝＝tan α．
8．1
解析 原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β
＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β
＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)
＝sin2α＋cos2α＝1．
9．1
解析 原式＝(sin2α＋cos2α)(sin4α＋cos4α－sin2αcos2α)＋3sin2αcos2α
＝sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α＝(sin2α＋cos2α)2＝1．
10．解 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝．
11．证明 (1)左边＝－
＝－
＝－
＝－
＝
＝sin α＋cos α＝右边．
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)
＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α
∴左边＝右边，∴原式成立．
12．证明 由tan2α＝2tan2β＋1，
得＝＋1
即＝
∴＝．
∴＝(比例的性质)
∴sin2β＋1＝2sin2α，即sin2β＝2sin2α－1．
13．证明 方法一 左边
＝
＝
＝
＝
＝＝右边．
∴原式成立．
方法二 ∵＝＝，
＝＝，
∴－＝．
∴原式成立．
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第三章 章末复习课
课时目标 1．灵活运用同角三角函数基本关系、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的恒等变换．2．体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力．21cnjy.com
知识结构
一、选择题
1．tan 15°＋等于( )
A．2 B．2＋ C．4 D．
2．若3sin α＋cos α＝0，则的值为( )
A． B． C． D．－2
3．函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期是( )
A． B． C．π D．2π
4．已知θ是第三象限角，若sin4 θ＋cos4 θ＝，那么sin 2θ等于( )
A． B．－ C． D．－
5．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )21·cn·jy·com
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
6．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m ( http: / / www.21cnjy.com )＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
二、填空题
7．函数f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)的最小正周期是________．
8．函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
9．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________．
10．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－，则tan＝________．
三、解答题
11．已知tan α＝－，cos β＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
12．设函数f(x)＝sin－2cos2x＋1．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．21世纪教育网版权所有
能力提升
13．函数f(x)＝是( )
A．以4π为周期的偶函数
B．以2π为周期的奇函数
C．以2π为周期的偶函数
D．以4π为周期的奇函数
14．设α为第四象限的角，若＝，则tan 2α＝________．
本章所学内容是三角恒等变换 ( http: / / www.21cnjy.com )的重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．21教育网
第三章 章末复习课 答案
作业设计
1．C
2．A [∵3sin α＋cos α＝0，
∴tan α＝－，
∴＝
＝＝＝．]
3．B [f(x)＝sin4x＋1－sin2x
＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1
＝1－sin2xcos2x＝1－sin22x
＝1－×＝cos 4x＋
∴T＝＝．]
4．A [∵sin4 θ＋cos4 θ
＝(sin2 θ＋cos2 θ)2－2sin2 θcos2 θ
＝1－sin2 2θ＝，
∴sin2 2θ＝．
∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0．
∴sin 2θ＝．]
5．C [f(x)＝sin ωx＋cos ωt＝2sin．因为函数y＝f(x)的图像与y＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y＝f(x)的周期为π．所以＝π，即ω＝2．所以f(x)＝2sin．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得2kπ－≤2x≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．]
6．C [∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B
＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C
＝2sin＝1．
∴sin＝，
∴＋C＝π或＋C＝(舍去)，
∴C＝π．]
7．π
解析 f(x)＝sin2(x＋)－sin2(x－)
＝cos2(－x)－sin2(x－)
＝cos2(x－)－sin2(x－)
＝cos(2x－)＝sin 2x．
∴T＝π．
8．1－
解析 ∵y＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x
＝1＋sin(2x＋)，
∴ymin＝1－．
9．
解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2
＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)
＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136．
∴80sin(α＋β)＝47，
∴sin(α＋β)＝．
10．－
解析 由题意，得2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，
∴4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π．∴sin 2α＞0．
∴sin 2α＝＝．
∴tan 2α＝＝－．
∴tan＝＝＝－．
11．解 (1)由cos β＝，β∈(0，π)，
得sin β＝，tan β＝2，
所以tan(α＋β)＝＝1．
(2)因为tan α＝－，α∈(0，π)，
所以sin α＝，cos α＝－，
f(x)＝(sin xcos α－cos xsin α)＋cos xcos β－sin xsin β2·1·c·n·j·y
＝－sin x－cos x＋cos x－sin x
＝－sin x，
又－1≤sin x≤1，所以f(x)的最大值为．
12．解 (1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx
＝sinx－cosx
＝sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8．
(2)在y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．
由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图像上，
从而g(x)＝f(2－x)＝sin
＝sin＝cos．
当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间上的最大值为
g(x)max＝cos＝．
13．A [由sin x＋2sin ＝2sin (cos ＋1)≠0，
得x≠2kπ，k∈Z．
∴f(x)定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}关于原点对称．
∵f(x)＝＝．
∴f(－x)＝＝＝f(x)．
∴函数f(x)为偶函数．
又f(x＋2π)＝＝
＝≠f(x)．
f(x＋4π)＝＝
＝＝f(x)，
∴函数f(x)以4π为周期．]
14．－
解析 由＝
＝
＝2cos2α＋cos 2α＝．
∵2cos2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝，
∴cos 2α＝．
∵α为第四象限角，
∴2kπ＋<α<2kπ＋2π，(k∈Z)
∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π，(k∈Z)
故2α可能在第三、四象限，
又∵cos 2α＝，
∴sin 2α＝－，tan 2α＝－．
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第三章 三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系（一）
课时目标 1．理解并掌握同角三角函数的基本关系式及常见变形．2．能运用平方关系和商的关系进行求值．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：________________________．
(2)商数关系：________________________(α≠kπ＋，k∈Z)
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝____________；cos2α＝____________；
(sin α＋cos α)2＝_________________________________________________________；
(sin α－cos α)2＝_________________________________________________________；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；
sin α·cos α＝__________________________＝______________________________．
(2)tan α＝的变形公式：
sin α＝__________________；cos α＝_______________________________________．
一、选择题
1．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于( )
A． B．－ C． D．－
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－ C． D．
3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A． B．－
C． D．－
4．已知tan α＝－，则的值是( )
A． B．3 C．－ D．－3
5．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－4 B．4 C．－8 D．8
6．若cos α＋2sin α＝－，则tan α等于( )
A． B．2 C．－ D．－2
二、填空题
7．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α＝________．
8．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝_____________________________．
9．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝____________________________．
10．若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．
三、解答题
11．已知＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ．
12．已知α是第三象限角，f(α)＝sin(α－)cos(π＋α)tan(π－α)
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值．
能力提升
13．设定义在区间(0，)上的函数y ( http: / / www.21cnjy.com )＝6cos x的图像与y＝5tan x的图像交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图像交于点P2，则线段P1P2的长为________．21·cn·jy·com
14．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)．
求：(1)sin θ－cos θ；(2)sin3θ＋cos3θ．
1．对基本关系的理解
注意“同角”，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．21教育网
如：sin23α＋cos23α＝1；＝tan ；而sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
2．已知角α的某一种三角函数值，求 ( http: / / www.21cnjy.com )角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．21cnjy.com
3．熟悉sin θ＋cos θ，s ( http: / / www.21cnjy.com )in θ·cos θ，sin θ－cos θ这三个式子之间的关系，已知其中一个式子的值，可求出另外两式子的值，但应注意符号选取．2·1·c·n·j·y
第三章 三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系(一)
答案
知识梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)tan α＝
2．(1)1－cos2α 1－sin2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2 www.21-cn-jy.com
(2)cos αtan α
作业设计
1．D [∵α是第四象限角，且tan α＝－，
∴sin α＝－＝－．]
2．B [sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝2×－1＝－．]
3．B [∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝．∴tan 80°＝．
∴tan 100°＝－tan 80°＝－．]
4．C [＝
＝＝＝＝－．]
5．C [tan α＋＝＋＝．
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8．]
6．B [方法一 由联立消去cos α后得
(－－2sin α)2＋sin2α＝1．
化简得5sin2α＋4sin α＋4＝0
∴(sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－．
∴cos α＝－－2sin α＝－．
∴tan α＝＝2．
方法二 ∵cos α＋2sin α＝－，
∴cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝5，
∴＝5，
∴＝5，
∴tan2α－4tan α＋4＝0，
∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2．]
7．－
8．
解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝
＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝．
9．－
解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∵<α<，∴cos α
10．
解析 ∵sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，
∴k2＋6k－7＝0，
∴k1＝1或k2＝－7．
当k＝1时，cos θ不符合，舍去．
当k＝－7时，sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝．
11．解 由已知＝，
∴＝．
解得：tan θ＝2．
(1)原式＝＝＝1．
(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ
＝
＝
＝－．
12．解 (1)f(α)＝
＝
＝
＝＝－＝－cos α．
(2)∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－sin α＝
∴sin α＝－，∵α是第三象限角，
∴cos α＝－
∴f(α)＝－cos α＝．
13．
解析 由消去y得6cos x＝5tan x．
整理得6cos2x＝5sin x,6sin2x＋5sin x－6＝0，
(3sin x－2)·(2sin x＋3)＝0，
所以sin x＝或
sin x＝－(舍去)．
点P2的纵坐标y2＝，所以|P1P2|＝．
14．解 (1)由sin θ＋cos θ＝两边平方得，
sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，
∴2sin θcos θ＝－，
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝．
又∵sin θcos θ<0，θ∈(0，π)，∴cos θ<0，θ∈(，π)，
∴sin θ－cos θ＝．
(2)sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)21世纪教育网版权所有
＝×(1＋)＝．
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2．3 两角和与差的正切函数
课时目标 1．能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式．2．掌握两角和与差的正切公式及变形运用．21教育网
1．两角和与差的正切公式
(1)T(α＋β)：tan(α＋ ( http: / / www.21cnjy.com )β)＝_____________________________________________________．
(2)T(α－β)：tan(α－β)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________________________________________________．
2．两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝____________________________________________________________．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________．
tan α·tan β＝_____________________________________________________________．
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝___________________________________________________________．
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________．
tan αtan β＝_ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________________________________________________________．
一、选择题
1．已知α∈，sin α＝，则tan的值等于( )
A． B．7 C．－ D．－7
2．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )
A． B．－ C．－7 D．－
3．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是( )
A． B． C． D．
4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )21cnjy.com
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )
A．1 B．2 C．tan 10° D．tan 20°
6．在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．＝________．
8．已知tan＝2，则的值为________．
9．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________．
10．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________．
三、解答题
11．在△ABC中，tan B＋t ( http: / / www.21cnjy.com )an C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．21·cn·jy·com
12．如图，在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．
求tan(α＋β)的值；
能力提升
13．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝．
(1)求证：tan A＝2tan B；
(2)设AB＝3，求AB边上的高．
1．公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．
要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝．
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．21世纪教育网版权所有
2．3 两角和与差的正切函数 答案
知识梳理
1．(1) (2)
2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－
(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) －1
作业设计
1．A 2．C 3．C
4．A [tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角．]
5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°
＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)
＝tan 30°＝1．]
6．B [tan(A＋B)＝－tan C＝－tan 120°＝，
∴tan(A＋B)＝＝，
即＝，解得tan A·tan B＝．]
7．－
8．
解析 ∵tan＝2，
∴＝2，
解得tan α＝．
∴＝
＝＝＝．
9．－
解析 ＝
＝＝＝－．
10．1
解析 tan β＝＝．
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α．
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1．
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β．
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1．
11．解 由tan B＋tan C＋tan Btan C＝，
得tan B＋tan C＝(1－tan Btan C)．
∴tan(B＋C)＝＝，
又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝．
又tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，
∴tan A＋tan B＝－(1－tan Atan B)，
∴tan(A＋B)＝＝－，
而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，又∵A＋B＋C＝π，
∴A＝，B＝C＝．∴△ABC为等腰三角形．
12．解 由条件得cos α＝，cos β＝．
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝．
因此tan α＝＝7，tan β＝＝．
tan(α＋β)＝＝＝－3．
13．解 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝>0．
而α∈(0，π)，故α∈(0，)．
∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π．
∴－π<α－β<0．而tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－．
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝1，
∴2α－β＝－．
14．(1)证明 ∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，
∴
＝2，所以tan A＝2tan B．
(2)解 ∵∴tan(A＋B)＝－，即＝－．
将tan A＝2tan B代入上式并整理得，2tan2 B－4tan B－1＝0．
解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝．
∴tan A＝2tan B＝2＋．设AB边上的高为CD．
则AB＝AD＋DB＝＋＝．
由AB＝3，得CD＝2＋．
∴AB边上的高等于2＋．
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§2 两角和与差的三角函数
2．1 两角差的余弦函数
课时目标 1．会用向量的数量积推导两角差的余弦公式．2．掌握两角差的余弦公式．
两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝_______________________________________________________，
其中α、β为任意角．
一、选择题
1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°等于( )
A．－ B． C．0 D．1
2．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )
A．cos α B．cos β
C．cos(2α＋β) D．sin(2α＋β)
3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( )
A． B．－ C． D．－
4．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A． B． C． D．
5．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )21世纪教育网版权所有
A．－ B． C． D．
6．若sin α＋sin β＝1－，cos α＋cos β＝，
则cos(α－β)的值为( )
A． B．－ C． D．1
二、填空题
7．cos 15°的值是________．
8．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________．
9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
10．已知α、β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为________．
三、解答题
11．已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．
12．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
能力提升
13．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos的值．
14．已知α、β、γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．
1．给式求值或给值求值问题， ( http: / / www.21cnjy.com )即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
§2 两角和与差的三角函数
2．1 两角差的余弦函数
答案
知识梳理
cos αcos β＋sin αsin β
作业设计
1．C 2．B
3．A [原式＝cos(α－45°)c ( http: / / www.21cnjy.com )os(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝．]21教育网
4．C [sin(α－β)＝－(－<α－β<0)．
sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝．]
5．B [∵sin(π＋θ)＝－，
∴sin θ＝，θ是第二象限角，
∴cos θ＝－．
∵sin＝－，∴cos φ＝－，
φ是第三象限角，
∴sin φ＝－．
∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝×＋×＝．]
6．B [由题意知
①2＋②2 cos(α－β)＝－．]
7．
8．
解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos(α－β)＝．
9．－
解析 由
①2＋②2 2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1
cos(α－β)＝－．
10．－
解析 ∵α、β∈，
∴cos α＝，sin β＝，
∵sin α∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝，
∴α－β＝－．
11．解 ∵α∈，tan α＝4，
∴sin α＝，cos α＝．
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝．
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝．
12．解 ∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝．
∵π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，
∴cos(α＋β)＝．
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1．
∵<α－β<π，π<α＋β<2π，
∴<2β<，∴2β＝π，∴β＝．
13．解 ∵<α<π，∴<<．
∵0<β<，∴－<－β<0，－<－<0．
∴<α－<π，－<－β<．
又cos(α－)＝－<0，
sin(－β)＝>0，
∴<α－<π，0<－β<．
∴sin(α－)＝＝．
cos(－β)＝＝．
∴cos＝cos[(α－)－(－β)]
＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)
＝(－)×＋×＝．
14．解 由已知，得
sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β．
平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1．
∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，
∴β－α＝±．
∵sin γ＝sin β－sin α>0，
∴β>α，∴β－α＝．
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§3 二倍角的三角函数(一)
课时目标 1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
1．倍角公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin cos ＝sin α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1
＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝．
2．倍角公式常用变形
(1)＝__________，＝__________；
(2)(sin α±cos α)2＝______________；
(3)sin2α＝__________________，cos2α＝
________________________________________________________________________．
一、选择题
1．计算1－2sin222．5°的结果等于( )
A． B． C． D．
2．函数y＝2cos2(x－)－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
3．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为( )
A．－ B．－ C． D．
4．若＝1，则的值为( )
A．3 B．－3 C．－2 D．－
5．如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )
A．－ B． C．－ D．
6．已知角α在第一象限且cos α＝，则等于( )
A． B． C． D．－
二、填空题
7．的值是________．
8．函数f(x)＝cos x－sin2x－cos 2x＋的最大值是______．
9．已知tan ＝3，则＝______．
10．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，)，则α＝________．
三、解答题
11．求证：＝tan4 A．
12．若cos＝－，求的值．
能力提升
13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°．
14．求值：tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1)．
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝ (n∈N*)．21世纪教育网版权所有
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样 ( http: / / www.21cnjy.com )，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝．
§3 二倍角的三角函数(一) 答案
知识梳理
2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α (3)
作业设计
1．B 2．A
3．B [cos(＋2α)＝－cos(－2α)＝－cos[2(－α)]
＝－[1－2sin2(－α)]＝2sin2(－α)－1＝－．]
4．A [∵＝1，∴tan θ＝－．
∴＝＝
＝＝＝3．]
5．C [∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－．
∵<<π，∴sin <0．
由sin2＝＝，
∴sin ＝－．]
6．C [∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝．
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
原式＝
＝＝．]
7．2
解析 ＝
＝＝2．
8．2
解析 f(x)＝cos x－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋
＝－cos2x＋cos x＋
＝－2＋2．
∴当cos x＝时，f(x)max＝2．
9．3
解析 ＝
＝＝tan ＝3．
10．
解析 ∵sin22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0．
∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0．
∵α∈(0，)．∴2cos2α>0．
∴2sin2α＋sin α－1＝0．
∴sin α＝(sin α＝－1舍)．
∴α＝．
11．证明 ∵左边＝
＝2＝2＝(tan2 A)2
＝tan4 A＝右边．
∴＝tan4 A．
12．解 ＝
＝
＝sin 2x＝sin 2xtan
＝costan
＝tan，
∵∴－<－x<－π．
又∵cos＝－，
∴sin＝，tan＝－．
∴原式＝×＝－．
13．解 原式＝
＝
＝
＝＝．
14．解 原式＝·cos 10°
＝·cos 10°·
＝·cos 10°·2
＝＝＝－1．
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2．2 两角和与差的正弦、余弦函数
课时目标 1．在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式．2．灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．21cnjy.com
1．两角和与差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝_______________________________________________________．
C(α＋β)：cos(α＋β)＝__ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________________________________________________．
2．两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝___ ( http: / / www.21cnjy.com )____________________________________________________．
S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________________________________．
3．两角互余或互补
(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与__________互余，＋α与__________互余．www.21-cn-jy.com
(2)若α＋β＝______，其α， ( http: / / www.21cnjy.com )β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与__________互补，__________与π－α互补．【来源：21·世纪·教育·网】
一、选择题
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )
A． B． C． D．
2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )
A．－ B．－ C． D．
3．若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是( )
A． B． C． D．
4．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．±1
5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为( )
A．1 B．2
C．1＋ D．2＋
6．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC一定是( )2·1·c·n·j·y
A．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
7．化简sin＋cos的结果是________．
8．函数f(x)＝sin x－cos x的最大值为________．
9．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是__________．
10．式子的值是________．
三、解答题
11．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
12．证明：－2cos(α＋β)＝．
能力提升
13．已知sin α＋cos＝，则sin的值是________．
14．求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值．
1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推 ( http: / / www.21cnjy.com )广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sin cos α－cos sin α＝－cos α．21教育网
2．使用和差公式时不仅要会正 ( http: / / www.21cnjy.com )用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α．21·cn·jy·com
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．21·世纪*教育网
2．2 两角和与差的正弦、余弦函数 答案
知识梳理
1．cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β
2．sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
3．(1) ＋α －α (2)π π－α α＋
作业设计
1．A
2．B [原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°
＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－．]
3．C [∵cos α＝，cos(α＋β)＝，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝．
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝．]
4．D [cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0．
∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1．]
5．B [f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x
＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，
∴≤x＋<．
∴f(x)max＝2．]
6．C [∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝2cos Asin B
∴sin Acos B－cos Asin B＝0．
即sin(A－B)＝0，∴A＝B．]
7．cos α
解析 原式＝sin cos α＋cos sin α＋cos cos α－sin sin α＝cos α．
8．
解析 f(x)＝sin x－cos x＝
＝
＝sin．
9．
解析
∴，
∴＝＝．
10．
解析 原式＝
＝
＝＝tan 60°＝．
11．解 因为<β<α<，
所以0<α－β<，
π<α＋β<．
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝
＝，
cos(α＋β)＝－＝－
＝－．
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－．
12．证明 －2cos(α＋β)
＝
＝
＝
＝＝．
13．－
解析 sin α＋cos
＝sin α＋cos αcos ＋sin αsin
＝sin α＋cos α
＝
＝
＝sin＝．
∴sin＝．
∴sin＝－sin＝－．
14．解 设sin x＋cos x＝t，
则t＝sin x＋cos x＝
＝sin，
∴t∈[－，]，
∴sin x·cos x＝＝．
∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x
即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．
当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1．
此时，由sin＝－，
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z．
当t＝，即sin x＋cos x＝时，f(x)max＝＋．
此时，由sin＝，sin＝1．
解得x＝2kπ＋，k∈Z．
综上，当x＝2kπ－π或x ( http: / / www.21cnjy.com )＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取最小值且f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋．21世纪教育网版权所有
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§3 二倍角的三角函数(二)
课时目标 1．了解半角公式及推导过程．2．能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换．3．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．
1．半角公式
(1)S：sin ＝___________________________________________________________；
(2)C：cos ＝___________________________________________________________；
(3)T：tan ＝____________________________________________________(无理形式)
＝__________________＝__________________________________________(有理形式)．
2．辅助角公式
使asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)成立时，cos φ＝______________________，sin φ＝______________，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．
一、选择题
1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A．－ B．
C．－ D．
2．函数y＝sin＋sin的最大值是( )
A．2 B．1 C． D．
3．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
4．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A． B． C． D．
5．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
6．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于( )
A．－ B． C．2 D．－2
二、填空题
7．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．
8．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是________．
9．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________．
10．2002年在北京召开的国际数学家大 ( http: / / www.21cnjy.com )会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．21cnjy.com
三、解答题
11．已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
12．已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．www.21-cn-jy.com
能力提升
13．当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是( )
A． B．－ C． D．4
14．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记 ( http: / / www.21cnjy.com )硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝(或sin φ＝，cos φ＝)．21世纪教育网版权所有
3．研究形如f(x)＝asin ( http: / / www.21cnjy.com ) x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cos x＝sin；sin x±cos x＝2sin等．21·cn·jy·com
§3 二倍角的三角函数(二) 答案
知识梳理
1．(1)± (2)± (3)± 2． 点(a，b)
作业设计
1．C
2．B [y＝2sin xcos ＝sin x．]
3．D [f(x)＝sin，x∈．
∵－≤x－≤，
∴f(x)min＝sin＝－1．]
4．D [f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin．
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x．]
5．D [f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
令k＝0得增区间为．]
6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－．
∴＝＝
＝·
＝＝＝－．]
7．π
解析 f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，
∴T＝＝π．
8．
解析 设α为该等腰三角形的一底角，
则cos α＝，顶角为180°－2α．
∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α
＝2·＝．
9．3
解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝，
底角大小为(180°－α)．
∴tan＝tan＝
＝＝＝3．
10．
解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈．
∴cos θ－sin θ＝．
由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2．
∴cos θ＋sin θ＝．
∴cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ
＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝．
11．解 (1)∵f(x)＝sin2＋1－
cos2
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π．
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
12．解 m＋n＝(cos θ－sin θ＋，cos θ＋sin θ)，
|m＋n|＝
＝＝
＝2．
由已知|m＋n|＝，得cos＝．
又cos＝2cos2－1，
所以cos2＝．
∵π<θ<2π，
∴<＋<．
∴cos<0．
∴cos＝－．
13．B [y＝2cos x－3sin x
＝
＝(sin φcos x－cos φsin x)
＝sin(φ－x)，
当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋时，y取到最大值．
∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z)
∴sin φ＝cos x，cos φ＝－sin x，
∴cos x＝sin φ＝，sin x＝－cos φ＝－．
∴tan x＝－．]
14．解 3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)
＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60°21教育网
＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)
＝sin(x＋20°＋φ)
＝7sin
其中cos φ＝，sin φ＝．所以f(x)max＝7．
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