本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§2 角的概念的推广
课时目标 1．了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角．2．理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限．
1．角
(1)角的概念：角可以看成平面内__________绕着______从一个位置______到另一个位置所成的图形．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型 定义 图示
正角 按______________形成的角
负角 按______________形成的角
零角 一条射线______________，称它形成了一个零角
2．象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的 ( http: / / www.21cnjy.com )始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是____________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．21·cn·jy·com
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， ( http: / / www.21cnjy.com )可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．
一、选择题
1．与405°角终边相同的角是( )
A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
2．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在( )
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
3．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ| ( http: / / www.21cnjy.com )θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )21教育网
A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D
4．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5．集合M＝，P＝，则M、P之间的关系为( )
A．M＝P B．M?P
C．M?P D．M∩P＝
6．已知α为第三象限角，则所在的象限是( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
二、填空题
7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在
________________________________________________________________________．
8．经过10分钟，分针转了________度．
9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是
______________________________．
10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________．
三、解答题
11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′．
12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
能力提升
13．如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
14．设α是第二象限角，问是第几象限角？
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看 ( http: / / www.21cnjy.com )，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．21世纪教育网版权所有
2．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同 ( http: / / www.21cnjy.com )角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角．
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．21cnjy.com
(4)k∈Z这一条件不能少．
§2 角的概念的推广 答案
知识梳理
1．(1)一条射线 端点 旋转 (2) ( http: / / www.21cnjy.com )逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转 2．第几象限角 3．α＋k·360°，k∈Z 整数个周角www.21-cn-jy.com
作业设计
1．C 2．A
3．D [锐角θ满足0°<θ<90°；而 ( http: / / www.21cnjy.com )B中θ<90°，可以为负角；C中θ满足k·360°<θ
4．C [特殊值法，给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，
故180°－α在第三象限．]
5．B [对集合M来说，x＝(2k±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)45°，即45°的倍数．]【来源：21·世纪·教育·网】
6．D [由k·360°＋180°<α得·360°＋90°<<·360°＋135°，k∈Z．
当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．]
7．x轴的正半轴
8．－60
9．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
10．－110°或250°
解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z．∵－360°<θ<360°，
∴k＝－1或0．
∴θ＝－110°或250°．
11．解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．21·世纪*教育网
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．www-2-1-cnjy-com
(3)因为－950°15′＝－3× ( http: / / www.21cnjy.com )360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角． 21*cnjy*com
12．解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}2-1-c-n-j-y
＝{α|k·180°＋30°≤α13．解 终边落在y＝x (x≥0 ( http: / / www.21cnjy.com ))上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝x (x≤0) 上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
14．解 当α为第二象限角时，
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋·360°<<60°＋·360°，k∈Z．
当k＝3n时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，
此时为第一象限角；
当k＝3n＋1时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，
此时为第二象限角；
当k＝3n＋2时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，此时为第四象限角．综上可知是第一、二、四象限角．【出处：21教育名师】
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§5 正弦函数的性质与图像
5．1 从单位圆看正弦函数的性质
5．2 正弦函数的图像
课时目标 1．掌握正弦函数的图像，会用“五点法”画出正弦函数的图像．2．能借助正弦函数的图像解决有关问题．21世纪教育网版权所有
1．正弦线
设任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，我们称______为角α的正弦线，P叫正弦线的______．21cnjy.com
2．正弦曲线
由函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像沿x轴向两方无限延展，就得到正弦曲线．如下图所示：
3．正弦曲线的画法“五点法”
函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上起关键作用的点有以下五个：
__________，__________，__________，__________，__________．
一、选择题
1．下列函数图像相同的是( )
A．y＝sin x与y＝sin(x＋π)
B．y＝sin(x－)与y＝sin(－x)
C．y＝sin x与y＝sin(－x)
D．y＝sin(2π＋x)与y＝sin x
2．函数y＝1＋sin x(x∈[0,2π])的大致图像是( )
3．函数y＝sin x (x∈R)图像的一条对称轴是( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．直线x＝
4．不等式sin x<－，x∈[0,2π]的解集为( )
A．(，) B．[，]
C．(，) D．(，)
5．已知函数y＝2sin x的图像与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积( )21教育网
A．4 B．8 C．4π D．2π
6．方程sin x＝lg x的实根的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．无数个
二、填空题
7．在[0,2π]上，满足sin x≥的x的取值范围为________．
8．如果直线y＝a与函数y＝sin x，x∈的图像有且只有一个交点，则a的取值范围是________．21·cn·jy·com
9．方程 x＝sin x，x∈R的解集是________．
10．函数f(x)＝lg sin x＋的定义域为
________________________________________________________________________．
三、解答题
11．求函数y＝的定义域．
12．研究方程10sin x＝x(x∈R)根的个数．
能力提升
13．若0A．2x>3sin x B．2x<3sin x
C．2x＝3sin x D．与x的取值有关
14．如果函数f(x)＝2|sin x|＋sin x(0≤x≤2π)的图像与直线y＝k有相异的两个公共点，试求实数k的取值范围．www.21-cn-jy.com
1．正弦曲线在研究正弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．
2．五点法是画三角函数图像的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．
§5 正弦函数的性质与图像
5．1 从单位圆看正弦函数的性质
5．2 正弦函数的图像
答案
知识梳理
1．MP 终点 3．(0,0) (π，0) (2π，0)
作业设计
1．D 2．A 3．D 4．A
5．C [数形结合，如图所示．
y＝2sin x，x∈的图像与直线y＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x＝，
x＝π，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π．]
6．C [数形结合．画出y＝sin x和y＝lg x的图像，
如图所示．
由图像可知方程sin x＝lg x的解有3个．]
7．[，π]
8．[－1,0)∪{1}
9．
解析 在同一坐标系内画出直线y＝x，y＝sin x的图像，易知直线y＝x与y＝sin x有三个交点、(0,0)、．所以方程解集为．
10．[－4，－π)∪(0，π)
解析 由题意，x满足不等式组，
即，
作出y＝sin x的图像，如图所示．
结合图像可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．
11．解 为使函数有意义，需满足，
即，
由正弦函数的图像，得x∈∪．
∴函数的定义域为
∪ (k∈Z)．
12．解 如图所示，
当x≥4π时，≥>1≥sin x；
当x＝π时，sin x＝sinπ＝1，＝，1>，
从而x>0时，有3个交点，
由对称性知x<0时，有3个交点，加上x＝0时的交点为原点，共有7个交点．
即方程有7个根．
13．D
[令x＝0，
有2x＝3sin x；
令x＝，有2x<3sin x；
令x＝，有2x>3sin x；作一简图，答案可知，选D．]
14．解 ∵f(x)＝
∴其图像如下图所示，
由图知，k的取值范围是(1,3)．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第一章 章末复习课
课时目标 1．通过复习加深对任意角、弧度制、诱导公式等基本概念、基本公式的理解和应用．2．复习巩固正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质．
知识结构
一、选择题
1．cos 330°等于( )
A． B．－ C． D．－
2．已知集合M＝，N＝{x|x＝＋，k∈Z}．则( )
A．M＝N B．M?N
C．N?M D．M∩N＝
3．若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )
A．∪ B．∪
C．∪ D．∪
4．为得到函数y＝cos的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．设a＝sin π，b＝cos，c＝tan π，则a，b，c从大到小的顺序排列是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>a>c D．b>c>a
6．如图所示，一个大风车的半径为8 ( http: / / www.21cnjy.com ) m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是( )21教育网
A．h＝8cos t＋10
B．h＝－8cos t＋10
C．h＝－8sin t＋10
D．h＝－8cos t＋10
二、填空题
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________．
8．把函数y＝cos(x＋)的图像向左平移m(m>0)个单位长度，所得的函数为偶函数，则m的最小值是________．www.21-cn-jy.com
9．已知函数f(x)＝sin(x＋)，其中k≠0，如果当自变量x在任何两个整数之间变化时，都至少含有一个周期，那么正整数k的最小值是________．21·世纪*教育网
10．函数f(x)＝3sin的图像为C，
①图像C关于直线x＝π对称；
②函数f(x)在区间内是增函数；
③由y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C．
以上三个论断中，正确论断的序号是________．
三、解答题
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ ( http: / / www.21cnjy.com ))(A>0，ω>0，|φ|<)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．2-1-c-n-j-y
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)的图像上所 ( http: / / www.21cnjy.com )有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，然后再将所得图像沿x轴正方向平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像．写出函数y＝g(x)的解析式，并用列表作图的方法画出y＝g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像．21世纪教育网版权所有
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)设0能力提升
13．若0A．2x>πsin x B．2x<πsin x
C．2x＝πsin x D．与x的取值有关
14．对于函数f(x)＝给出下列四个命题：
①该函数的图像关于x＝2kπ＋ (k∈Z)对称；
②当且仅当x＝kπ＋ (k∈Z)时，该函数取得最大值1；
③该函数是以π为最小正周期的周期函数；
④当且仅当2kπ＋π其中正确的是________．
三角函数的性质是本板块复习的 ( http: / / www.21cnjy.com )重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．21cnjy.com
第一章 章末复习课 答案
作业设计
1．C
2．B [M＝，
N＝．
比较两集合中分式的分子，知前者为奇数π，后者是整数π．再根据整数分类关系，得M?N．选B．]
3．B [sin α－cos α>0且tan α>0，
∴α∈或α∈．]
4．A [∵y＝cos＝sin
＝sin＝sin．
由题意知要得到y＝sin的图像只需将
y＝sin 2x向左平移个单位长度．]
5．B [∵a＝sin π，b＝cos π，
c＝tan π且π∈．
∴cos πa>b．]
6．D
解析 据题意可设y＝10－8cos ωt(t≥0)．
由已知周期为12 min，可知t＝6时到达最高点，即函数取最大值，知18＝10－8cos 6ω，即cos 6ω＝－1．21·cn·jy·com
∴6ω＝π，得ω＝．∴y＝10－8cos t(t≥0)．
7．
解析 由图像可知三角函数的周期为T＝4×＝，∴ω＝．
8．
解析 向左平移m个单位长度后，所得图像对应的解析式为f(x)＝cos(x＋m＋)，由题意，知f(0)＝±1，2·1·c·n·j·y
即cos(m＋π)＝±1，m＋π＝kπ，m＝kπ－π(k∈Z)，
∵m>0，∴m的最小值为π．
9．32
解析 由k>0，T＝，解得k>10π，
∴k的最小值为32．
10．①②
解析 ①f＝3sin＝3sinπ＝－3，
∴x＝π为对称轴；
②由－③∵f(x)＝3sin2，
∴由y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度得到函数f(x)＝3sin2的图像，得不到图像C．www-2-1-cnjy-com
11．解 (1)由题意知A＝2，＝3π，所以T＝6π，ω＝＝，所以y＝2sin(x＋φ)，代入x＝0，y＝1得φ＝． 21*cnjy*com
所以f(x)的解析式为y＝2sin(x＋)．
(2)压缩后的函数式为y＝2sin(x＋)，再平移，
得g(x)＝2sin(x－＋)＝2sin(x－)
列表、作图如下：
x－ 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
12．解 (1)显然A＝2，又图像过(0,1)点，∴f(0)＝1，
∴sin φ＝，∵|φ|<，∴φ＝；
由图像结合“五点法”可知，对应函数y＝sin x图像的点(2π，0)，
∴ω·＋＝2π，得ω＝2．
所以所求的函数解析式为：
f(x)＝2sin．
(2)
如图所示，在同一坐标系中画出y＝2sin和y＝m (m∈R)的图像，由图可知，当
－2∴m的取值范围为：－2当－2当113．B [
在同一坐标平面内作出函数y＝2x与函数y＝πsin x的图像，如图所示．
观察图像易知：
当x＝0时，2x＝πsin x＝0；
当x＝时，2x＝πsin x＝π；
当x∈时，函数y＝2x是直线段，而曲线y＝πsin x是上凸的．所以2x<πsin x．故选B．]【来源：21cnj*y.co*m】
14．①
解析
f(x)＝max{sin x，cos x} ( http: / / www.21cnjy.com )，在同一坐标系中画出y＝sin x与y＝cos x的图像易知f(x)的图像为实线所表示的曲线．由曲线关于x＝2kπ＋ (k∈Z)对称，故①对；当x＝2kπ (k∈Z)或x＝2kπ＋ (k∈Z)时，f(x)max＝1，故②错；该函数以2π为最小正周期，故③错；观察曲线易知，当2kπ＋π21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§3 弧度制
课时目标 1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．21教育网
(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．
(3)角的弧度数求法：如果半径为r ( http: / / www.21cnjy.com )的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____．
2．角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝______ rad 2π rad＝________
180°＝____ rad π rad＝______
1°＝________rad≈0．017 45 rad 1 rad＝____________≈57．30°＝57°18′
3．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝________ l＝____
扇形的面积 S＝____ S＝____＝______
一、选择题
1．集合A＝与集合B＝的关系是( )
A．A＝B B．A B
C．B A D．以上都不对
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2 C． D．2sin 1
3．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其中心角的弧度数是( )
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )
A．
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A． B．－ C．π D．－π
6．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9
二、填空题
7．将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．
8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．
9．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝______．
10．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝
________________．
三、解答题
11．把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°；(2)π；(3)－4．
12．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？21cnjy.com
能力提升
13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．
14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的 ( http: / / www.21cnjy.com )集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．21世纪教育网版权所有
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．21·cn·jy·com
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
§3 弧度制 答案
知识梳理
1．(1) (2)半径长 1 rad ( http: / / www.21cnjy.com ) (3)|α|＝ 终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° ° 3． αR αR2 lRwww.21-cn-jy.com
作业设计
1．A
2．C [r＝，∴l＝|α|r＝．]
3．A [设扇形半径为r，圆心角为α，
则，解得或．]
4．C [集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．]
5．D [∵－π＝－2π＋，
∴θ＝－π．]
6．B [设扇形内切圆半径为r，
则r＋＝r＋2r＝a．∴a＝3r，∴S内切＝πr2．
S扇形＝αr2＝××a2＝××9r2＝πr2．
∴S内切∶S扇形＝2∶3．]
7．－10π＋π
解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
∴－1 485°可以表示为－10π＋π．
8．25
解析 216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25．
9．π或π
解析 －π＋π＝π＝π，
－π＋π＝π＝π．
10．－，－，，
解析 由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，
－2π＝－π，－4π＝－π．
11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋，
∴－1 500°与π终边相同，是第四象限角．
(2)π＝2π＋π，
∴π与π终边相同，是第四象限角．
(3)－4＝－2π＋(2π－4)，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r．
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100．
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝＝2 rad．
∴当半径为10 cm，圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm2．
13．4
解析 设圆半径为r，则内接正方形的边长为r，圆弧长为4r．
∴圆弧所对圆心角|θ|＝＝4．
14．解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝ (cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin 60°
＝50 (cm2)．
(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，
∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R
＝－R2＋cR＝－(R－)2＋．
当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4．1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2 单位圆与周期性
课时目标 1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦)的定义．2．熟记正弦、余弦的函数值在各象限的符号．3．理解正、余弦函数的周期性及这一性质的应用．
1．单位圆的定义
在直角坐标系中，以________为圆心，以__________为半径的圆，称为单位圆．
2．一般地，在直角坐标系中，给定单 ( http: / / www.21cnjy.com )位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的____________，记作v＝sin α；点P的横坐标u叫作角α的__________，记作______________．
通常，我们用x表示自变量， ( http: / / www.21cnjy.com )即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y＝sin x和y＝cos x．它们的定义域为全体实数，值域为________．
3．正、余弦函数的符号
象限三角 函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin α
cos α
4．正、余弦函数的周期性
sin(α＋k·2π)＝________，k∈Z；
cos(α＋k·2π)＝________，k∈Z．
由此我们可以得到如下结论：
终边相同的角的________________相等．
5．周期函数的有关概念
对于函数f(x)，如果存在__ ( http: / / www.21cnjy.com )____实数T，任取定义域内的任意一个x值，都有________＝f(x)，那么函数f(x)就称为周期函数，T称为这个函数的________．
一、选择题
1．sin 390°等于( )
A． B．－ C．－ D．
2．若sin α<0且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0 C．2 D．－2
4．点A(x，y)是－300°角终边与单位圆的交点，则的值为( )
A． B．－ C． D．－
5．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为( )
A．3 B．－3 C．±3 D．5
6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，求a的取值范围为( )
A．－2C．－2≤a<3 D．－3≤a<2
二、填空题
7．若角α的终边过点P(5，－12)，则sin α＋cos α＝________．
8．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在第________象限．
9．5sin 90°＋10 cos 180°－3 sin 270°＋4 cos 420°＝
________________________________________________________________________．
10．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________．21教育网
三、解答题
11．已知α是第三象限角，试判定sin(cos α)·cos(sin α)的符号．
12．已知角α终边上一点P(－，y)，且sin α＝y，求cos α和tan α的值．
能力提升
13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )
A．sin B．cos
C．sin cos D．cos 2θ
14．已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0)，求α的正弦和余弦．
1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．21cnjy.com
2．符号sin α、cos α是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )整体，离开“α”，“sin”、“cos”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．21·cn·jy·com
3．正、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等．
作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．
§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4．1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2 单位圆与周期性
答案
知识梳理
1．原点 单位长 2．正 ( http: / / www.21cnjy.com )弦函数 余弦函数 u＝cos α [－1,1] 3．＋ ＋ － － ＋ － － ＋ 4．sin α cos α 同一三角函数的值 5．非零 f(x＋T) 周期
作业设计
1．D
2．C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0，
∴α是一、三象限角，故α是第三象限角．]
3．C [∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0．
∴－＝－＝2．]
4．A [x＝cos(－300°)＝cos(－360°＋60°)
＝cos 60°＝，
y＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)
＝sin 60°＝．
∴＝．]
5．A [r＝，cos α＝＝＝－，
解得b＝±3，由题意知b>0，
∴b＝3．]
6．B [∵sin α>0，cos α≤0．
∴α位于第二象限或y轴正半轴上．
∴3a－9≤0，a＋2>0．
∴－27．－
解析 r＝＝13，∴sin α＝＝，
cos α＝＝，∴sin α＋cos α＝－．
8．四
解析 α为第二象限角，sin α>0，cos α<0，∴P在第四象限．
9．0
解析 原式＝5×1＋10×(－1)－3×(－1)＋4×cos 60°
＝5－10＋3＋2＝0
10．2
解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m．21世纪教育网版权所有
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝．
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2．
11．解 α是第三象限角，则有：
①cos α<0且－1②sin α<0且－1①cos α是第四象限角，所以sin(cos α)<0，
②sin α是第四象限角，所以cos(sin α)>0，
所以sin(cos α)·cos(sin α)<0．
12．解 sin α＝＝y．
当y＝0时，sin α＝0，cos α＝－1；
当y≠0时，由＝，解得y＝±．
当y＝时，P，r＝．
∴cos α＝－；
当y＝－时，cos α＝－．
13．C [∵θ为第一象限角，
∴2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z．
∴kπ<当k＝2n (n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋ (n∈Z)．
∴为第一象限角，
∴sin >0，cos >0，sin cos >0．
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，
2nπ＋π<<2nπ＋π (n∈Z)．
∴为第三象限角，
∴sin <0，cos <0，sin cos >0，
而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，
cos 2θ有可能取负值．]
14．解 ∵x＝－15a，y＝8a，
∴r＝＝17|a| (a≠0)．
(1)若a>0，则r＝17a，于是
sin α＝，cos α＝－．
(2)若a<0，则r＝－17a，于是
sin α＝－，cos α＝．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(二)
课时目标 1．会用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像．2．明确函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)中常数A、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念．3．了解函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图像的对称性(如对称轴，对称中心)．
1．简谐振动
简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中 ( http: / / www.21cnjy.com )，____叫做振幅，周期T＝________，频率f＝________，相位是________，初相是____．www-2-1-cnjy-com
2．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：
定义域 R
值域
周期性 T＝__________
奇偶性 φ＝________________时是奇函数；φ＝______________时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是__________函数
单调性 单调增区间可由____________________________________得到，单调减区间可由____________________________________得到
一、选择题
1．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)为偶函数的条件是( )
A．φ＝＋2kπ (k∈Z) B．φ＝＋kπ (k∈Z)
C．φ＝2kπ (k∈Z) D．φ＝kπ(k∈Z)
2．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|<)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )21·cn·jy·com
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
3．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
5．函数y＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
6．设函数f(x)＝2sin，若对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )21世纪教育网版权所有
A．4 B．2 C．1 D．
二、填空题
7．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是__________．
8．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图像如下图所示，则φ＝________．
9．函数y＝sin 2x的图像向右平移φ个单位(φ>0)得到的图像恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．21教育网
10．关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图像关于对称；
④y＝f(x)图像关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．
三、解答题
11．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．www.21-cn-jy.com
能力提升
13．右图是函数y＝Asin(ω ( http: / / www.21cnjy.com )x＋φ)(x∈R)在区间[－，]上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点( )21cnjy.com
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
14．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图像关于直线x＝－对称，那么a等于( )
A． B．－ C．1 D．－1
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|．
(2)因为T＝，所以往往通过求周期 ( http: / / www.21cnjy.com )T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T．21·世纪*教育网
(3)从寻找“五点法”中的 ( http: / / www.21cnjy.com )第一零点(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2-1-c-n-j-y
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ( http: / / www.21cnjy.com )ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(二) 答案
知识梳理
1．A ωx＋φ φ 2．[－A，A] kπ (k∈Z)
＋kπ (k∈Z) 非奇非偶 2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)
2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)
作业设计
1．B
2．A [T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝．
∵－<φ<，∴φ＝．]
3．D [由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2．
又x＝时，y＝1．]
4．D [由图像知＝－＝，∴T＝π，ω＝2．
且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝－．]
5．C [由，解得．]
6．B [对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立．
∴f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2．
∴|x1－x2|min＝＝×＝2．]
7．x＝－
解析 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－．
8．
解析 由图像知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝．
∵当x＝π时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－ (k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝．
9．
解析 y＝sin 2x向右平移φ个单位得
f(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．
由f＝sin＝±1，
∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝π，
∴φ＝π或作出y＝sin 2x的图像观察易知
φ＝－＝π．
10．②③
解析 对于①，由f(x)＝0，
可得2x＋＝kπ (k∈Z)．
∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用公式得：
f(x)＝4cos＝4cos．
∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，
∴x＝π－，
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，
∴x＝＋．∴④错．
11．解 (1)由题意知A＝，T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝．
∴y＝sin
(2)列出x、y的对应值表：
x － π π π
2x＋ 0 π π 2π
y 0 0 － 0
描点，连线，如图所示：
12．解 ∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，
又0≤φ≤π，∴φ＝．
由图像关于M对称可知，
sin＝0，解得ω＝k－，k∈Z．
又f(x)在上单调函数，所以T≥π，即≥π，
∴ω≤2，又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2．
13．A [由图像可知A＝1，T＝－(－)＝π，
∴ω＝＝2．
∵图像过点(，0)，
∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z．
∴y＝sin(2x＋＋2kπ)＝sin(2x＋)．
故将函数y＝sin x先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得原函数的图像．]2·1·c·n·j·y
14．D [方法一 ∵函数y＝sin 2x＋acos 2x的图像关于x＝－对称，
设f(x)＝sin 2x＋acos 2x，则f＝f(0)
∴sin＋acos＝sin 0＋acos 0．
∴a＝－1．
方法二 由题意得f＝f，
令x＝，有f＝f(0)，即－1＝a．]
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第一章 三角函数
§1 周期现象
课时目标 1．理解周期现象的定义．2．把握周期现象的规律特征并能应用周期规律解释实际问题．
从周期现象到周期概念：
(1)观察钟表，分针指向12的位置表明是 ( http: / / www.21cnjy.com )整点时间，经过一个小时，分针回到了原来的位置，我们说，分针的运动是周期现象，以________为一个周期；时针的运动周期当然是________．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的周期函数，周期是地球绕太阳旋转____圈的时间，即________．21·世纪*教育网
在日常生活、生产实践中，许多事物或现象每间隔一段时间就会重复出现，这种现象称为周期现象．这个相同的时间间隔就是________．www-2-1-cnjy-com
一、选择题
1．下列现象是周期现象的是( )
①日出日落 ②潮汐 ③海啸 ④地震
A．①② B．①②③
C．①②④ D．③④
2．如图所示是一个简谐振动的图像，下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0．7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0．1 s和0．5 s时的振动速度最大
D．该质点在0．3 s和0．7 s时的速度为零
3．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在________处．( )www.21-cn-jy.com
A．8点 B．10点 C．11点 D．12点
4．今天是星期一，再过167天是( )
A．星期天 B．星期一
C．星期二 D．星期三
5．设钟摆每经过1．8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分后，钟摆的大致位置是( )2-1-c-n-j-y
A．点A处 B．点B处
C．O、A之间 D．O、B之间
6．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
二、填空题
7．月球围绕地球转，月球到地球的距离随着时间的变化而变化，这种现象是周期现象，那么周期是________． 21*cnjy*com
8．游乐场中的摩天轮有8个座舱，每个座舱最多乘4人，每20 min转一圈，估算一下8 h内最多有____人乘坐过摩天轮．【来源：21cnj*y.co*m】
9．已知f(x)是周期为3的偶函数，且f(1)＝2，则f(－10)＝________．
10．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，甲点和乙点的位置将分别移到________点和________点．【出处：21教育名师】
三、解答题
11．一个质点在平衡位置O点附近振动．如果 ( http: / / www.21cnjy.com )不计阻力，可将这个振动看作周期运动．它离开O点向左运动，4秒后第1次经过M点，再过2秒第2次经过M点．该质点再过多少时间第4次经过M点？【版权所有：21教育】
12．2012年5月1日是星期二，问2012年10月1日是星期几？
能力提升
13．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 012的值为( )21cnjy.com
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
A．1 B．2 C．4 D．5
14．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________________________________________________________________________．
第一章 三角函数
§1 周期现象
答案
知识梳理
(1)1小时 12小时 (2)一 一年 周期
作业设计
1．A 2．B 3．B
4．A [∵167＝24×7－1，∴再过167天是星期一的前一天，即星期天．]
5．D [经过0．45秒，钟摆到达O点，经过0．9秒钟摆到达B点，而1分＝59．4秒＋0．6秒＝33×1．8秒＋0．6秒，21教育网
∵0．6秒介于0．45秒和0．9秒之间，
∴钟摆的位置介于O、B之间．]
6．A [∵函数f(x)的周期为5，
∴f(x＋5)＝f(x)，
∴f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)．
又∵f(x)为奇函数，
∴f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
同理f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(3)－f(4)＝－2－(－1)＝－1．]
7．一月
8．768
解析 4×8×24＝768．
9．2
解析 f(－10)＝f(－7)＝f(－4)＝f(－1)＝f(1)＝2．
10．丁 戊
11．解 设由O到A所需时 ( http: / / www.21cnjy.com )间为x，则第一次经过M点的时间2x＋(x－1)＝4，得x＝，要使质点第4次经过M点，经过的路程正好为一个周期，所以再过T＝秒第4次经过M点．21世纪教育网版权所有
12．解 按照公历记法，2012年5、7、8这几个月份都是31天，6、9月份各30天，从5月1日到10月1日过153天．21·cn·jy·com
从2012年5月1日到2012年10月 ( http: / / www.21cnjy.com )1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2012年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期二，这一天是公历2012年10月2日，故2012年10月1日是星期一．2·1·c·n·j·y
13．D [x0＝5，x1＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，
x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，
∴{xn}为周期数列，且T＝4，x2 012＝x0＝5．]
14．
解析 ∵f(1)＝，令y＝1得
f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，
即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， ①
∴f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)， ②
由①②得f(x＋2)＝－f(x－1)，
即f(x＋3)＝－f(x)，则f(x＋6)＝f(x)．
∴该函数周期为6．
∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0)．
令x＝1，y＝0得4f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)，
∴f(0)＝．
∴f(2 010)＝．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§7 正切函数
课时目标 1．了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质．2．能利用正切函数的图像及性质解决有关问题．21cnjy.com
1．函数y＝tan x的性质与图像见下表：
y＝tan x
图像
定义域
值域
周期 最小正周期为____
奇偶性
单调性 在开区间______________________内递增
2．正切函数的诱导公式．
(1)tan(2π＋α)＝__________；
(2)tan(－α)＝__________；
(3)tan(2π－α)＝__________；
(4)tan(π－α)＝__________；
(5)tan(π＋α)＝__________；
一、选择题
1．函数y＝3tan(2x＋)的定义域是( )
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
B．{x|x≠π－，k∈Z}
C．{x|x≠π＋，k∈Z}
D．{x|x≠π，k∈Z}
2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为( )
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
3．函数y＝tan在一个周期内的图像是( )
4．下列函数中，在上单调递增，且以π为周期的偶函数是( )
A．y＝tan|x| B．y＝|tan x|
C．y＝|sin 2x| D．y＝cos 2x
5．下列各式中正确的是( )
A．tan 735°>tan 800° B．tan 1>－tan 2
C．tan6．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )21教育网
A．0 B．1 C．－1 D．
二、填空题
7．函数y＝的定义域是____________．
8．函数y＝3tan(ωx＋)的最小正周期是，则ω＝____________________________．
9．已知a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c按从小到大的排列是________________．
10．函数y＝3tan的对称中心的坐标是_________________________________．
三、解答题
11．判断函数f(x)＝lg 的奇偶性．
12．求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心．
能力提升
13．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是( )
14．已知函数y＝tan ωx在(－，)内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
1．正切函数y＝tan ( http: / / www.21cnjy.com )x在每段区间 (k∈Z)上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间 (k∈Z)．21世纪教育网版权所有
2．正切函数是奇函数，图像关于原点对称， ( http: / / www.21cnjy.com )且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(，0) (k∈Z)．正切函数的图像无对称轴，但图像以直线x＝kπ＋ (k∈Z)为渐近线．
§7 正切函数 答案
知识梳理
1．{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z} R π 奇函数 (k∈Z) 2．(1)tan α (2)－tan α (3)－tan α (4)－tan α (5)tan α21·cn·jy·com
作业设计
1．C 2．C 3．A 4．B 5．D
6．A [由题意，T＝＝，∴ω＝4．
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0．]
7．[kπ＋，kπ＋)，k∈Z．
8．±2
解析 T＝＝，∴ω＝±2．
9．b解析 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 210． (k∈Z)
解析 由x＋＝ (k∈Z)，
得x＝－ (k∈Z)．
∴对称中心坐标为 (k∈Z)．
11．解 由>0，得tan x>1或tan x<－1．
∴函数定义域为
∪(k∈Z)
关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg
＝lg＝lg 1＝0．
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
12．解 ①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋π，k∈Z．
∴函数的定义域为
．
②T＝＝2π，∴函数的周期为2π．
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的单调增区间为，k∈Z．
④由－＝，k∈Z，
得x＝kπ＋π，k∈Z．
∴函数的对称中心是，k∈Z．
13．D [当当x＝π时，y＝0；当πtan x>sin x，y＝2sin x．故选D．]
14．B [∵y＝tan ωx在(－，)内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π．
∴|ω|≤1，即－1≤ω<0．]
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
5．3 正弦函数的性质
课时目标 1．通过正弦函数的图像，理解正弦函数的性质．2．能借助正弦函数的图像处理有关问题，培养数形结合的能力．21教育网
1．正弦函数的性质
函数 y＝sin x
定义域
值域
奇偶性
周期性 ______为最小正周期
单调性 当x∈______________________时，递增；当x∈_____________________________时，递减．
最大值与最小值 当x＝____________________________时，最大值为____；当x＝______________________________时，最小值为____．
2．正弦函数y＝sin x的图像关于点______________________中心对称，关于直线x＝
____________________________轴对称．
一、选择题
1．函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
2．下列函数中，不是周期函数的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝cos|x|
C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
3．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )
A． B．
C． D．
4．下列函数中，周期为2π的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝ D．y＝|sin 2x|
5．设函数f(x)＝(x∈R)，则( )
A．在区间上是增函数
B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数
6．sin 1，sin 2，sin 3，sin 4按从小到大的顺序排列为( )
A．sin 1B．sin 4C．sin 4D．sin 4二、填空题
7．函数y＝sin (ω>0)的最小正周期是，则ω＝________．
8．已知ω>0，函数f(x)＝2sin ωx在上递增，求ω的范围为__________．
9．函数y＝|sin x|的单调增区间是___________________________________________．
10．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是______________．
三、解答题
11．判断函数f(x)＝ln(sin x＋)的奇偶性．
12．若函数y＝a－bsin x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin bx的最大值与最小值及周期．21cnjy.com
能力提升
13．已知sin α>sin β，α∈，β∈，则( )
A．α＋β>π B．α＋β<π
C．α－β≥－π D．α－β≤－π
14．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A． B． C．2 D．3
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)的 ( http: / / www.21cnjy.com )单调区间时，若ω>0，直接把ωx＋φ代入函数y＝sin x相应的单调区间求解即可；若ω<0，利用诱导公式把x的系数化为正数后再代入相反的单调区间求解，有时还要注意函数定义域的影响．21·cn·jy·com
2．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．
5．3 正弦函数的性质 答案
知识梳理
1．R [－1,1] 奇函数 2π ( http: / / www.21cnjy.com ) [2kπ－，2kπ＋](k∈Z) [2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ＋(k∈Z) 1 2kπ－(k∈Z) －1 2．(kπ，0)(k∈Z) kπ＋(k∈Z)
作业设计
1．D
2．D [画出y＝sin|x|的图像，易知．]
3．C [y＝sin2x＋sin x－1＝(sin x＋)2－
当sin x＝－时，ymin＝－；
当sin x＝1时，ymax＝1．]
4．C 5．A
6．C [∵0<1<<2<3<π<4<
∴sin 4<0，sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)
而0<π－3<1<π－2<，正弦函数y＝sin x在上为增函数．
∴sin(π－3)即sin 2>sin 1>sin 3>sin 4．]
7．3
解析 ＝，∴ω＝3．
8．
解析 －≤ωx≤ (ω>0)，∴－≤x≤．
由题意：
∴，∴0<ω≤．
9．[kπ＋kπ＋]，k∈Z
解析 由y＝|sin x|图像易得函数单调递增区间，k∈Z．
10．f(x)＝sin|x|
解析 当x<0时，－x>0，f(－x)＝sin(－x)
＝－sin x，
∵f(－x)＝f(x)，
∴x<0时，f(x)＝－sin x．
∴x∈R，f(x)＝sin|x|．
11．解 ∵sin x＋≥sin x＋1≥0，
若两处等号同时取到，
则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sin x＋>0．
∵f(－x)＝ln(－sin x＋)
＝ln(－sin x)
＝ln(＋sin x)－1
＝－ln(sin x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
12．解 ∵－1≤sin x≤1，当b>0时，－b≤bsin x≤b．
∴a－b≤a－bsin x≤a＋b，
∴，解得，
∴所求函数为y＝－2sin x．
当b<0时，b≤bsin x≤－b，
∴a＋b≤a－bsin x≤a－b．
∴，解得，
∴所求函数为y＝－2sin(－x)＝2sin x．
∴y＝±2sin x的最大值是2，最小值是－2，周期是2π．
13．A [∵β∈，
∴π－β∈，且sin(π－β)＝sin β．
∵y＝sin x在x∈上单调递增，
∴sin α>sin β sin α>sin(π－β)
α>π－β α＋β>π．]
14．B [要使函数f(x)＝2si ( http: / / www.21cnjy.com )n ωx (ω>0)在区间[－，]上的最小值是－2，则应有≤或T≤，即≤或≤π，解得ω≥或ω≥6．21世纪教育网版权所有
∴ω的最小值为，故选B．]
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
4．3 单位圆与诱导公式
课时目标 1．借助单位圆及三角函数定义理解四组公式的推导过程．2．运用所学诱导公式进行求值、化简与证明．21·cn·jy·com
诱导公式
(1)角α与－α，2π－α的正弦函数、余弦函数关系：
sin(－α)＝________，sin(2π－α)＝________．
cos(－α)＝________，cos(2π－α)＝________．
(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系：
sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝__________．
sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝－cos α．
(3)角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系：
sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________．
(4)角α与＋α的正弦函数、余弦函数关系：
sin＝________，cos＝________．
(5)角α与－α的正弦函数、余弦函数关系：
sin＝________，cos＝________．
(6)角α与2kπ＋α的正弦函数、余弦函数关系：
sin(2kπ＋α)＝________，cos(2kπ＋α)＝________．
一、选择题
1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
A．－ B． C．－ D．
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos 等于( )
A．－ B． C． D．－
3．已知sin＝，则cos的值等于( )
A．－ B． C． D．
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－ B． C．－ D．
5．α和β的终边关于y轴对称，下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．cos α＝cos β
C．cos(π－α)＝cos β D．sin(π－α)＝－sin β
6．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A． B． C．－ D．－
二、填空题
7．sin(－300°)＋sin 240°的值等于________．
8．下列三角函数：
①sin
②cos
③sin
④cos
⑤sin，(以上各式n∈Z)其中函数值与sin的值相同的是________．(填所有相同代数式的序号)www.21-cn-jy.com
9．若sin＝，则cos＝________．
10．设f(x)＝asin(πx＋α) ( http: / / www.21cnjy.com )＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 011)＝1，则f(2 012)＝________．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
11．(1)求值：sin 1 200°·cos 1 290°＋
cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；
(2)已知cos＝，求sin的值．
12．已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：
(1)cos(2A＋B＋C)＝cos(B＋C)；
(2)sin＝cos．
能力提升
13．化简：
(其中k∈Z)．
14．设f(n)＝cos(π＋)(n∈N*)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 011)的值．
1．正弦函数、余弦函数的诱导公式概括如下：
2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π±α ( http: / / www.21cnjy.com )的正(余)弦函数值，等于α的同名函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．21世纪教育网版权所有
±α的正(余)弦函数值，等于α的相应余(正)弦函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．21cnjy.com
±α的正(余)弦函数值，等于α的相应余(正)弦函数值前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号．2·1·c·n·j·y
2．可以利用诱导公式，将任意角的正弦函数、余弦函数问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数的问题．
4．3 单位圆与诱导公式 答案
知识梳理
(1)－sin α －sin ( http: / / www.21cnjy.com )α cos α cos α (2)－sin α －cos α (3)sin α －cos α (4)cos α －sin α (5)cos α sin α (6)sin α cos α21·世纪*教育网
作业设计
1．A [f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－．]
2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝．
∴cos＝cos＝－cos
＝－sin α＝－．]
3．A [cos＝sin
＝sin
＝－sin＝－．]
4．C [∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α
＝－m，
∴sin α＝．cos＋2sin(2π－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m．]
5．A [∵α和β的终边关于y轴对称，
∴β与π－α终边相同，
∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z
∴sin β＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α．]
6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－．]
7．0
8．②③⑤
9．－
解析 cos＝cos
＝－sin＝－．
10．3
解析 f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋2
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝2－(asin α＋bcos β)＝1．
∴asin α＋bcos β＝1．
f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋2
＝asin α＋bcos β＋2＝3．
11．解 (1)原式＝sin(3× ( http: / / www.21cnjy.com )360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(－3×360°＋30°)21教育网
＝sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30°
＝－sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝－×＋×
＝－．
(2)∵π－α＝＋
∴sin＝sin
＝cos＝．
12．证明 (1)∵左式＝cos(2A＋B＋C)＝cos[A＋(A＋B＋C)]
＝cos(π＋A)＝－cos A，
右式＝cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，
左式＝右式，∴cos(2A＋B＋C)＝cos(B＋C)．
(2)右式＝cos＝cos
＝cos＝cos
＝sin
＝左式．
∴sin＝cos．
13．解 当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝
＝
＝
＝－1．
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝＝－1．
∴上式的值为－1．
14．解 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝cos(＋)＋cos(π＋)＋cos(＋)＋cos(2π＋)
＝－sin－cos＋sin＋cos＝0．
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)
＝502[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0．
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝f(2 009)＋f(2 010)＋f(2011)
＝cos＋cos＋cos
＝cos＋cos＋cos(1 005π＋π)
＝－sin －cos －cos π
＝－－＋＝－．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§6 余弦函数的图像与性质
6．1余弦函数的图像
6．2 余弦函数的性质
课时目标 1．能用描点法作出余弦函数的图像，了解余弦函数的图像与正弦函数的图像之间的联系．2．能借助余弦函数图像理解和记忆余弦函数的性质．
1．余弦函数y＝cos x(x∈R ( http: / / www.21cnjy.com ))的图像叫作__________．y＝cos x，x∈[0,2π]的图像上起关键作用的五个点为________，________________，__________，______________，________．
2．余弦函数的性质
函数 y＝cos x
定义域 R
值域 [－1,1]
奇偶性 偶函数
周期性 以________为周期(k∈Z，k≠0)，________为最小正周期
单调性 当x∈________________时，递增；当x∈________________时，递减．
最大值与最小值 当x＝______________时，最大值为____；当x＝________________时，最小值为____．
3．余弦函数的对称中心是余弦曲线与x轴的交点，这些交点的坐标为
________________________________________________________________________，
余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，对称轴的方程为______________，此时余弦值取得最大值或最小值．21cnjy.com
一、选择题
1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．函数y＝2－cos x的单调递增区间是( )
A．[2kπ＋π，2kπ＋2π] (k∈Z)
B．[kπ＋π，kπ＋2π] (k∈Z)
C． (k∈Z)
D．[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)
3．下列不等式正确的是( )
A．cosπB．cos 515°C．cosD．cos(－120°)>cos 330°
4．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A． B．∪
C． D．
5．下列函数中，最小正周期为2π的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝cos|x|
C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
6．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( )
A．y＝sin(2x＋) B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
二、填空题
7．函数y＝的定义域是________________．
8．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．
9．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．
三、解答题
10．求函数f(x)＝＋lg(8x－x2)的定义域．
11．(1)求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域；
(2)已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．
能力提升
12．已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则( )
A．f(cos α)>f(cos β) B．f(sin α)>f(sin β)21·cn·jy·com
C．f(sin α)>f(cos β) D．f(sin α)13．已知y＝lg cos 2x．
(1)求它的定义域、值域；
(2)讨论它的奇偶性；
(3)讨论它的周期性；
(4)讨论它的单调性．
1．求函数y＝cos(ωx＋φ) (ω>0)单调区间的方法是：
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－ ( http: / / www.21cnjy.com )π≤ωx＋φ≤2kπ(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ≤ωx＋φ≤2kπ＋π (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．2·1·c·n·j·y
3．求三角函数值域或最值的常用求法
将y表示成以sin x或cos x为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y的范围．【来源：21·世纪·教育·网】
§6 余弦函数的图像与性质
6．1余弦函数的图像
6．2 余弦函数的性质
答案
知识梳理
1．余弦曲线 (0,1) (，0) (π，－1) (π，0) (2π，1)
2．2kπ 2π [2kπ－π，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
2kπ(k∈Z) 1 2kπ＋π(k∈Z) －1 3．(kπ＋，0)(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
作业设计
1．C
2．D [令u＝－cos x，则y＝2u，
∵y＝2u在u∈(－∞，＋∞)上是增函数．
∴y＝2－cos x的增区间，即u＝－cos x的增区间，
即u＝cos x的减区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)．]
3．C [y＝cos x在[π，2π]上单调递增，故cosπ>cosπ；y＝cos 在[360°，540°]上单调递减，21·世纪*教育网
故cos 515°>cos 530°； ( http: / / www.21cnjy.com )又cos(－120°)<0，cos 330°>0，故cos(－120°)由y＝cos x在[－5π，－4π]上单调递增，故cos4．A [
∵sin x>|cos x|，
∴sin x>0，∴x∈(0，π ( http: / / www.21cnjy.com ))，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得21世纪教育网版权所有
x∈．]
5．B [画出y＝sin|x|的图像，易知．D不是周期函数，A、C周期为π，B中y＝cos|x|＝cos x．T＝2π．]2-1-c-n-j-y
6．A [因为函数的周期为π，所以排除C、D．又因为
y＝cos(2x＋)＝－sin 2x在[，]上为增函数，故B不符．只有函数y＝sin(2x＋)的周期为π，且在[，]上为减函数．故选A．] 21*cnjy*com
7．，k∈Z
解析 2cos x＋1≥0，cos x≥－，
结合图像知x∈，k∈Z．
8．2
解析 作函数y＝cos x与y＝x2的图像，如图所示，
由图像，可知原方程有两个实数解．
9．
解析 由题意知sin x－cos x≥0 ( http: / / www.21cnjy.com )，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，如图所示：21教育网
观察图像知x∈[，π]．
10．解 由，得．
画出y＝cos x，x∈[0,3π]的图像，如图所示．
结合图像可得：x∈∪．
11．解 (1)y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－．
∵x∈，∴cos x∈．
从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos x＝，即x＝时，ymin＝－．
∴函数值域为．
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
∴－1≤cos≤．
当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3，
∴a＋3＝4，∴a＝2．
当a<0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1．
综上可知，实数a的值为2或－1．
12．D [∵α＋β>，∴>α>－β>0，
∴sin α>sin，即sin α>cos β
∴－1<－sin α<－cos β<0，
∵f(x)在[－1,0]上单调递减，
∴f(－sin α)>f(－cos β)
∴－f(sin α)>－f(cos β)，∴f(sin α)13．解 (1)要使函数f(x)＝lg cos 2x有意义，则cos 2x>0，
即－＋2kπ<2x<＋2kπ，k∈Z，
－＋kπ∴函数的定义域为
．
由于在定义域内0∴lg cos 2x≤0，∴函数的值域为(－∞，0]．
(2)∵f(－x)＝lg cos[2·(－x)]＝lg cos 2x
＝f(x)，
∴函数是偶函数．
(3)∵cos 2x的周期为π，
即cos 2(x＋π)＝cos 2x．
∴f(x＋π)＝lg cos 2(x＋π)＝lg cos 2x＝f(x)．
∴函数的周期为π．
(4)y＝lg u是增函数．
当x∈ (k∈Z)时，u＝cos 2x是增函数；
当x∈ (k∈Z)时，u＝cos 2x是减函数．
因此，函数y＝lg cos 2x在 (k∈Z)上是增函数；在 (k∈Z)上是减函数．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§9 三角函数的简单应用
课时目标 1．会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题．2．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝____________；
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________________________________________；
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________________________________________．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝A＋k，ymin＝－A＋k．
(2)A＝，k＝．
(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图像获得．
(4)由ωx1＋φ＝____，ωx2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )φ＝__________，ωx3＋φ＝______，ωx4＋φ＝____________，ωx5＋φ＝______中的一个确定φ的值．21世纪教育网版权所有
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中______现象的 ( http: / / www.21cnjy.com )一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．21·cn·jy·com
一、选择题
1．如图所示，单摆从某点开 ( http: / / www.21cnjy.com )始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A． s B． s C．50 s D．100 s
2．据市场调查，某种商品一 ( http: / / www.21cnjy.com )年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )www.21-cn-jy.com
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
4．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点 ( http: / / www.21cnjy.com )P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )
5．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米) ( http: / / www.21cnjy.com )关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：【来源：21·世纪·教育·网】
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15．1 12．1 9．1 11．9 14．9 11．9 8．9 12．1
经长期观察，函数y＝f(t)的图像可以近似 ( http: / / www.21cnjy.com )地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图像．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )21·世纪*教育网
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
二、填空题
6．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
7．设某人的血压满足函数式p(t)＝115 ( http: / / www.21cnjy.com )＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．www-2-1-cnjy-com
8．一根长l cm的线，一端固定，另 ( http: / / www.21cnjy.com )一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于________．2-1-c-n-j-y
三、解答题
9．如图，一个水轮的半径为4 m，水 ( http: / / www.21cnjy.com )轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间． 21*cnjy*com
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
10．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10．0 13．0 9．9 7．0 10．0 13．0 10．1 7．0 10．0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asin ωt＋B的图像．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行 ( http: / / www.21cnjy.com )时船底与海底的距离不小于4．5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
能力提升
11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆 ( http: / / www.21cnjy.com )时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为( )
12．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60]．21cnjy.com
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2·1·c·n·j·y
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
§9 三角函数的简单应用 答案
知识梳理
1． 2．(3)ω＝ (4)0 π π 2π
3．周期
作业设计
1．A 2．A
3．D [因为f＝f，
所以直线x＝是函数f(x)图像的对称轴．
所以f＝3sin＝3sin＝±3．
因此选D．]
4．C [d＝f(l)＝2sin ．]
5．A [在给定的四个选项A、B、C、D中，我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A．]21教育网
6．26,27,28
解析 ∵T＝，又∵<<，
∴8π7．80
解析 T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
8．
解析 T＝＝1．∴ ＝2π．∴l＝．
9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为
＝．
由OP在时间t(s)内所转过的角为t＝t．
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2．
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－．
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2．
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s．
10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，
因此ω＝＝．
又ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10．
∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4．5＋7，
即y＝3sint＋10≥11．5，t∈[0,24]，
∴sint≥，t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
11．C [∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝．
按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin(t－)，
∴d＝2|sin(t－)|．
当t＝0时，d＝，排除A、D；
当t＝时，d＝0，排除B．]
12．10sin
解析 将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，
得φ＝0；当t＝30时，d＝10，
可得ω＝，所以d＝10sin ．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(一)
课时目标 1．了解φ、ω、A对函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响．2．掌握y＝sin x与f(x)＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系．21cnjy.com
用“图像变换法”作y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图像
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响
y＝sin(x＋φ) (φ≠ ( http: / / www.21cnjy.com )0)的图像可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点______(当φ>0时)或______(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到．21·cn·jy·com
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以 ( http: / / www.21cnjy.com )看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标______(当ω>1时)或______(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，可以看 ( http: / / www.21cnjy.com )作是把y＝sin(ωx＋φ)图像上所有点的纵坐标______(当A>1时)或______(当04．函数y＝sin x的图像到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的变换过程．
y＝sin x的图像______________的图像
__________的图像______________的图像．
一、选择题
1．要得到y＝sin的图像，只要将y＝sin x的图像( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．为得到函数y＝cos(x＋)的图像，只需将函数y＝sin x的图像( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．把函数y＝sin的图像向右平移个单位，所得图像对应的函数是( )
A．非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数 D．偶函数
4．将函数y＝sin 2x的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( )www.21-cn-jy.com
A．y＝cos 2x B．y＝1＋cos 2x
C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝cos 2x－1
5．为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝sin的图像( )
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
6．把函数y＝sin x ( http: / / www.21cnjy.com )(x∈R)的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )
A．y＝sin，x∈R
B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R
D．y＝sin，x-Ray
二、填空题
7．函数y＝sin 2x图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像的函数解析式为f(x)＝____________．2·1·c·n·j·y
8．将函数y＝sin的图像向左平移个单位，所得函数的解析式为____________．
9．为得到函数y＝cos x的图像，可以把y＝sin x的图像向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是____．21·世纪*教育网
10．某同学给出了以下论断：
①将y＝cos x的图像向右平移个单位，得到y＝sin x的图像；
②将y＝sin x的图像向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图像；
③将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图像；
④函数y＝sin的图像是由y＝sin 2x的图像向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．
三、解答题
11．怎样由函数y＝sin x的图像变换得到y＝sin的图像，试叙述这一过程．
12．已知函数f(x)＝sin (x∈R)．
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图像变换使f(x)的图像关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
能力提升
13．要得到y＝cos的图像，只要将y＝sin 2x的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
14．使函数y＝f(x)图像上每一点的纵坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )保持不变，横坐标缩小到原来的倍，然后再将其图像沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y＝sin 2x的图像相同，则f(x)的表达式为( )21世纪教育网版权所有
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
1．由y＝sin x的图像，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同， ( http: / / www.21cnjy.com )其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．【来源：21·世纪·教育·网】
2．类似地y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图像也可由y＝cos x的图像变换得到．
§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(一) 答案
知识梳理
1．向左 向右 |φ| 2．缩短 伸长 ( http: / / www.21cnjy.com ) 不变 3．伸长 缩短 A倍 [－A，A] A －A 4．y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ)www-2-1-cnjy-com
y＝Asin(ωx＋φ)
作业设计
1．B 2．C 3．D
4．B [将函数y＝sin 2x ( http: / / www.21cnjy.com )的图像向左平移个单位，得到函数y＝sin2(x＋)，即y＝sin(2x＋)＝cos 2x的图像，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为y＝1＋cos 2x．]
5．B [y＝sin(2x＋) y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)．]
6．C [把函数y＝sin x的图像上所有的点向左平行移动个单位长度后得到函数
y＝sin的图像，再把所得图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数
y＝sin的图像．]
7．sin x
8．y＝cos 2x
9．π
解析 y＝sin x＝cos＝cos向右平移φ个单位后得y＝cos，
∴φ＋＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z．
∴φ的最小正值是π．
10．①③
11．解 由y＝sin x的图像通过变换得到函数y＝sin的图像有两种变化途径：
①y＝sin xy＝sin
y＝sin
②y＝sin xy＝sin 2x
y＝sin．
12．解 (1)由已知函数化为y＝－sin．欲求函数的单调递减区间，只需求
y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π (k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为 (k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos2．
∵y＝cos 2x是偶函数，图像关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图像向右平移个单位即可．
13．A [y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos
y＝cos[2(x－＋)－]＝cos(2x－)．]
14．D [方法一 正向变换
y＝f(x)y＝f(2x)
y＝f，即y＝f，
所以f＝sin 2x．
令2x＋＝t，则2x＝t－，
∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin．
方法二 逆向变换
据题意，y＝sin 2xy＝sin2
＝siny＝sin．]
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网