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第二章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在△ABC中，a＝2，b＝，c＝1，则最小角为( )
A. B.
C. D.
2．△ABC的三内角A、B、C所对边 ( http: / / www.21cnjy.com )的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
3.在△ABC中，已知||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·等于( )
A．－2 B．2
C．±4 D．±2
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )21教育网
A. B．2 C. D.
5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
A. B. C. D.
6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是( )
A．1
C．17．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
A．－ B.
C．－ D.
8．下列判断中正确的是( )
A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解
9．在△ABC中，B＝30°，AB＝，AC＝1，则△ABC的面积是( )
A. B .
C.或 D.或
10．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为，则tan C为( )
A. B．1 C. D.
11．在△ABC中，如果sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B＋cos Acos B＝2，则△ABC是( )2-1-c-n-j-y
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是( )
A．60° B．45°或135°
C．120° D．30°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC中，若＝，则B＝________.
14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．
15．一船自西向东匀速航行，上 ( http: / / www.21cnjy.com )午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．21·cn·jy·com
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cos A＝acos C，则cos A＝________.www-2-1-cnjy-com
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图，H、G ( http: / / www.21cnjy.com )、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.
18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsin A.
(1)求B的大小．
(2)若a＝3，c＝5，求b.
19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是 ( http: / / www.21cnjy.com )1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．21cnjy.com
(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
20．(12分)为了测量两山顶M、N间的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．www.21-cn-jy.com
21．(12分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b.
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
22．(12分)如图所示，扇形AOB，圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．【来源：21·世纪·教育·网】
第二章 解三角形(B)
答案
1．B [∵a>b>c，∴C最小．∵cos C＝＝＝，
又∵02．B [∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0.
∴c2＝a2＋b2－ab，∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴cos C＝，又∵03.D [S△ABC =·||·||·sin A＝×4×1×sin A＝.∴sin A＝.又∵0°∴A＝60°或120°.·＝||·||cos A＝4×1×cos A＝±2.]
4．D [由正弦定理得＝，
∴sin C＝＝＝，
∵c∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°.∴a＝c＝.]
5．D [由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°，
∴AC＝3.由正弦定理得＝＝.]
6．D [由题意，x应满足条件解得：27．D [由正弦定理得＝.
∴sin B＝＝.
∵a>b，A＝60°，∴B<60°.
∴cos B＝＝＝.]
8．B [A：a＝bsin A，有一解；
B：A>90°，a>b，有一解；
C：aD：c>b>csin B，有两解．]
9．D [由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
∴12＝()2＋BC2－2××BC×.
整理得：BC2－3BC＋2＝0.
∴BC＝1或2.
当BC＝1时，S△ABC＝AB·BCsin B＝××1×＝.
当BC＝2时，S△ABC＝AB·BCsin B＝××2×＝.]
10．C [由S△ABC＝BC·BAsin B＝得BA＝1，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
∴AC＝，∴△ABC为直角三角形，
其中A为直角，∴tan C＝＝.]
11．C [由已知，得cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，
又|cos(A－B)|≤1，|sin(A＋B)|≤1，
故cos(A－B)＝1且sin(A＋B)＝1，
即A＝B且A＋B＝90°，故选C.]
12．B [由a4＋b4＋c4＝2c2a2＋2b2c2，得cos2C＝＝＝?cos C＝±.∴角C为45°或135°.]
13．45°
解析 由正弦定理，＝.
∴＝.∴sin B＝cos B.
∴B＝45°.
14．10
解析 设AC＝x，则由余弦定理得：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，
∴49＝25＋x2－5x，∴x2－5x－24＝0.
∴x＝8或x＝－3(舍去)．
∴S△ABC＝×5×8×sin 60°＝10.
15．8
解析 如图所示，
在△PMN中，＝，
∴MN＝＝32，
∴v＝＝8(海里/小时)．
16.
解析 由(b－c)cos A＝acos C，得(b－c)·＝a·，即＝，由余弦定理得cos A＝.2·1·c·n·j·y
17．解 在△ACD中，∠DAC＝α－β，
由正弦定理，得＝，
∴AC＝
∴AB＝AE＋EB＝ACsin α＋h＝＋h.
18．解 (1)∵a＝2bsin A，∴sin A＝2sin B·sin A
∴sin B＝.∵0(2)∵a＝3，c＝5，B＝30°.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝(3)2＋52－2×3×5×cos 30°＝7.
∴b＝.
19．解 (1)在△POC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos θ＝5－4cos θ，
所以y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sin θ＋×(5－4cos θ)＝2sin＋.
(2)当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.
答 四边形OPDC面积的最大值为2＋.
20．解 ①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．21·世纪*教育网
②第一步：计算AM，由正弦定理AM＝；
第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；
第三步：计算MN，由余弦定理
MN＝.
21．解 (1)由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于，
所以absin C＝，由此得ab＝4.
联立方程组解得
(2)由正弦定理及已知条件得b＝2a.
联立方程组解得
所以△ABC的面积S＝absin C＝.
22．解 ∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°.
在△POC中，由正弦定理得＝，
∴＝，∴CP＝sin θ.
又＝，∴OC＝sin(60°－θ)．
因此△POC的面积为
S(θ)＝CP·OCsin 120°
＝·sin θ·sin(60°－θ)×
＝sin θsin(60°－θ)
＝sin θ
＝2sin θ·cos θ－sin2θ
＝sin 2θ＋cos 2θ－
＝sin－
∴θ＝时，S(θ)取得最大值为.
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第一章 章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 011，则序号n等于( )
A．667 B．668
C．669 D．671
2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
3．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( )
A．81 B．120
C．168 D．192
4．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( )
A．160 B．180
C．200 D．220
5．数列{an}中，an＝3n－ ( http: / / www.21cnjy.com )7 (n∈N＋)，数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn(n≥2且n∈N＋)，若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值( )21教育网
A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3
C．存在且不唯一 D．不一定存在
6．等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( )
A．8 B．－8
C．±8 D．以上都不对
7．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于( )
A．1或2 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
9．已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于( )
A. B.
C. D.
10．已知{an}为等差数 ( http: / / www.21cnjy.com )列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )21世纪教育网版权所有
A．21 B．20 C．19 D．18
11．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )21cnjy.com
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
12．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的( )
A．第48项 B．第49项
C．第50项 D．第51项
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.－1与＋1的等比中项是________．
14．已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．
15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学 ( http: / / www.21cnjy.com )计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．
16．等比数列{an}的公比 ( http: / / www.21cnjy.com )为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0.给出下列结论：①01成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．
18．(12分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
19．(12分)已知数列{log2(an－1)} (n∈N＋)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<1.
20．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和．
21．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当bn＝log(3an＋1)时，求证：数列{}的前n项和Tn＝.
22．(12分)已知数列{an}的各项均为 ( http: / / www.21cnjy.com )正数，对任意n∈N＋，它的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)(an＋2)，并且a2，a4，a9成等比数列．21·cn·jy·com
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n＋1anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.
第一章 数 列(A)
答案
1．D [由2 011＝1＋3(n－1)解得n＝671.]
2．A [在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.]
3．B [由a5＝a2q3得q＝3.∴a1＝＝3，S4＝＝＝120.]
4．B [∵(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)
＝3(a1＋a20)＝－24＋78＝54，∴a1＋a20＝18.∴S20＝＝180.]
5．B [依题意，bn＝b1·n－1＝·3n－3＝3n－2，
∴an＋logkbn＝3n－7＋logk3n－2＝3n－7＋(3n－2)logk＝n－7－2logk，
∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk＝0，即logk3＝1，∴k＝3.]
6．A [∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，∵a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0，∴a4＝8.]
7．C [依题意有2a4＝a ( http: / / www.21cnjy.com )6－a5，即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，∴q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0.∴q＝－1或q＝2.]www.21-cn-jy.com
8．A [显然等比数列{an}的公比q≠1，则由＝＝1＋q5＝?q5＝－，
故＝＝＝＝.]
9．C [因为a＝a1·a9，所以(a1＋2d)2＝a1·(a1＋8d)．所以a1＝d.
所以＝＝.]
10．B [∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，
∴99－105＝3d.∴d＝－2.
又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.
∴当n＝20时，Sn有最大值．]
11．D [由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.
又∵{an}是等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，
即X，Y－X，Z－Y为等比数列，
∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，
即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，
∴Y2－XY＝ZX－X2，
即Y(Y－X)＝X(Z－X)．]
12．C [将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n组n个，
即，，，…，，
则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3
＋…＋9)＋5＝50.]
13．±1
14．－4
解析 由，解得－≤d<－，∵d∈Z，∴d＝－4.
15．15
解析 设每一秒钟通过的路程依次 ( http: / / www.21cnjy.com )为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式得na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.2·1·c·n·j·y
16．①②④
解析 ①中，??q＝∈(0,1)，∴①正确．
②中，?a99a101<1，∴②正确．
③中，?T100④中，T198＝a1a2…a198＝(a1a198)(a2a197)…(a99a100)＝(a99a100)99>1，
T199＝a1a2…a198a199＝(a1a199)…(a99a101)a100＝<1，∴④正确．
17．解 (1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a3＝－6，a6＝0，所以
解得a1＝－10，d＝2.
所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，q＝3.
所以数列{bn}的前n项和公式为
Sn＝＝4(1－3n)．
18．解 设{an}的公差为d，则
即解得或
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
19．(1)解 设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.由a1＝3，a3＝9，
得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.
所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，
即an＝2n＋1.
(2)证明 因为＝＝，
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝1－<1.
20．(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1
两边乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
21．(1)解 由已知(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)．
∴数列{an}是以a2为首项，
以为公比的等比数列．
又a2＝S1＝a1＝，
∴an＝a2×()n－2(n≥2)．
∴an＝
(2)证明 bn＝log(3an＋1)＝log[×()n－1]＝n.
∴＝＝－.
∴Tn＝＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
22．解 (1)∵对任意n∈N＋，有Sn＝(an＋1)(an＋2)，①
∴当n＝1时，有S1＝a1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或2.
当n≥2时，有Sn－1＝(an－1＋1)(an－1＋2)．②
①－②并整理得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.
而数列{an}的各项均为正数，∴an－an－1＝3.
当a1＝1时，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，
此时a＝a2a9成立；
当a1＝2时，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，
此时a＝a2a9不成立，舍去．
∴an＝3n－2，n∈N＋.
(2)T2n＝b1＋b2＋…＋b2n
＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－6a2－6a4－…－6a2n
＝－6(a2＋a4＋…＋a2n)
＝－6×＝－18n2－6n.
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§3 解三角形的实际应用举例(一)
课时目标 1.了解数学建模的思想；2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．
1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线______，测量的精确度越高．21cnjy.com
2．方位角：指从正北方向线按________方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.www.21-cn-jy.com
3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．
一、选择题
1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的( )
A．南偏西45°10′ B．南偏西44°50′
C．南偏东45°10′ D．南偏东44°50′
2．已知两灯塔A和B与海 ( http: / / www.21cnjy.com )洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
3．海上有A、B两个小岛相距10 ( http: / / www.21cnjy.com )n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )2·1·c·n·j·y
A．10 n mile B. n mile【来源：21·世纪·教育·网】
C．5 n mile D．5 n milewww-2-1-cnjy-com
4．如图所示，设A、B两点在河的 ( http: / / www.21cnjy.com )两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
5．如图，一货轮航行到M处，测得灯 ( http: / / www.21cnjy.com )塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )【出处：21教育名师】
A．20(＋) 海里/小时
B．20(－) 海里/小时
C．20(＋) 海里/小时
D．20(－) 海里/小时
6．甲船在岛B的正南A处， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )21·cn·jy·com
A. 分钟 B. 小时
C．21.5 分钟 D．2.15 分钟
二、填空题
7．如图，A、B两点间的距离为________．
8．如图，A、N两点之间的距离为________．
9．如图所示，为了测定河的宽度 ( http: / / www.21cnjy.com )，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______．
10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的 ( http: / / www.21cnjy.com )公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.21·世纪*教育网
三、解答题
11．如图，某货轮在A处看灯塔B在货 ( http: / / www.21cnjy.com )轮的北偏东75°，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向上，求：2-1-c-n-j-y
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
12．如图，为测量河对岸 ( http: / / www.21cnjy.com )A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．
能力提升
13．台风中心从A地以每 ( http: / / www.21cnjy.com )小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( ) 21*cnjy*com
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
14．如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？21教育网
1．解三角形应用问题的基本思路是：
实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解．
2．测量距离问题：这类问题的情境一般属 ( http: / / www.21cnjy.com )于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．
§3 解三角形的实际应用举例(一)
答案
知识梳理
1．越长 2.顺时针
作业设计
1．C
2．B [∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，∴由余弦定理得AB＝a.]
3．D [在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：＝
∴＝解得BC＝5.]
4．A [由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，∴AB＝＝＝50 (m)．]
5．B [由题意，∠SMN＝45°，∠S ( http: / / www.21cnjy.com )NM＝105°，∠NSM＝30°.由正弦定理得＝.∴MN＝＝＝10(－)．则v货＝20(－) 海里/小时．]
6．A [设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，
则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos 120°
＝28x2－20x＋100
＝28(x2－x)＋100＝282－＋100
∴当x＝(小时)＝(分钟)时，y2有最小值．∴y最小．]
7．3
8．40
9．60 m
解析 在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.
∴AC＝AB＝120 m.
作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．
由正弦定理得＝，
∴＝，
∴CD＝60(m)
∴河的宽度为60 m.
10.
解析
如图，∠CAB＝15°，
∠CBA＝180°－75°＝105°，
∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km.
由正弦定理得
＝
∴BC＝·sin 15°＝ (km)．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·sin 75°＝·＝ (km)．
11．解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝＝＝24(n mile)．21世纪教育网版权所有
(2)在△ADC中，由余弦定理得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 30°，
解得CD＝8≈14(n mile)．
即A处与D处的距离为24 n mile，
灯塔C与D处的距离约为14 n mile.
12．解 在△BDC中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理得＝，
则BC＝＝(km)．
在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
∴△ACD为正三角形．
∴AC＝CD＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝＋－2×××＝，
∴AB＝(km)．
答 河对岸A、B两点间距离为km.
13．B [设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得：
(20t)2＋402－2×20t×40·cos 45°＝302.
化简得：4t2－8t＋7＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
从而|t1－t2|＝＝1.]
14．解 如图所示，连结A1B2，
由已知A2B2＝10，
A1A2＝30×＝10，
∴A1A2＝A2B2，
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2＝A1A2＝10.
由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理，
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.
∴B1B2＝10.
因此，乙船速度的大小为×60＝30(海里/小时)．
答 乙船每小时航行30海里．
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第二章 解三角形
1.1 正弦定理(一)
课时目标 1.熟记正弦定理的内容；2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．
1．在△ABC中，A＋B＋C＝______，＋＋＝.
2．在Rt△ABC中，C＝，则＝______，＝______.
3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．21世纪教育网版权所有
4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_________，这个比值是________________．21cnjy.com
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于( )www.21-cn-jy.com
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4
C．3∶4∶5 D．1∶∶2
2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A.＋1 B．2＋1
C．2 D．2＋2
3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
4．在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为( )
A．A>B
B．AC．A≥B
D．A，B的大小关系不能确定
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于( )
A．45°或135° B．60°
C．45° D．135°
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于( )21·cn·jy·com
A．120° B．105° C．90° D．75°
二、填空题
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝__________________________.
8．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
9．(2010·北京)在△ABC中，b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.2·1·c·n·j·y
三、解答题
11．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
12．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
能力提升
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．www-2-1-cnjy-com
14．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围．
1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和 ( http: / / www.21cnjy.com )其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况．【来源：21·世纪·教育·网】
A为锐角 a无解 一解(直角) 两解(一锐角，一钝角) 一解(锐角)
A为直角或钝角 a≤b a≤b
无解 一解(锐角)
§1 正弦定理与余弦定理
1．1 正弦定理(一)
答案
知识梳理
1．π 2.sin A sin B 4.＝＝ 三角形外接圆的直径2R
作业设计
1．D
2．C [由正弦定理＝，得＝，∴b＝2.]
3．A [sin2A＝sin2B＋sin2 ( http: / / www.21cnjy.com )C (2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．]21教育网
4．A [由sin A>sin B 2Rsin A>2Rsin B a>b A>B.]
5．C [由＝得sin B＝＝＝.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.]
6．A [∵c＝a，∴sin C＝sin A＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，21·世纪*教育网
即sin C＝－cos C.∴tan C＝－.又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.]
7．75°
解析 由正弦定理得＝，∴sin A＝.
∵BC＝2∴C＝75°.
8.
解析 ∵tan A＝，A∈(0°，180°)，
∴sin A＝.
由正弦定理知＝，
∴AB＝＝＝.
9．1
解析 由正弦定理，得
＝，
∴sin B＝.∵C为钝角，
∴B必为锐角，∴B＝，
∴A＝.
∴a＝b＝1.
10．30°
解析 ∵b＝2a∴sin B＝2sin A，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sin A
即sin Acos 60°＋cos Asin 60°＝2sin A，
化简得：sin A＝cos A，∴tan A＝，∴A＝30°.
11．解 ∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝＝＝＝2＋2.
12．解 a＝2，b＝6，a又因为bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
所以本题有两解，由正弦定理得：
sin B＝＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
13.
解析 ∵sin B＋cos B＝sin(＋B)＝.∴sin(＋B)＝1.
又0又a14．解 在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，
即∴30°由正弦定理知：
＝＝＝2cos B∈(，)，
故的取值范围是(，)．
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§3 解三角形的实际应用举例(二)
课时目标 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题.2.利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．2-1-c-n-j-y
1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线____方时叫仰角，目标视线在水平线____方时叫俯角．(如图所示)
2．已知△ABC的两边a、b及其夹角C，则△ABC的面积为____________．
一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为( )
A．α>β B．α＝β
C．α<β D．α＋β＝90°
2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．20 m， m
B．10 m,20 m
C．10(－) m,20 m
D. m， m
3．如图，为测一树的高度，在地面上 ( http: / / www.21cnjy.com )选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
A．30＋30 m B．30＋15m
C．15＋30m D．15＋3m
4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )21·cn·jy·com
A．2h米 B.h米
C.h米 D．2h米
5．在某个位置测得某山峰仰角为θ， ( http: / / www.21cnjy.com )对着山峰在平行地面上前进600 m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )【出处：21教育名师】
A．200 m B．300 m
C．400 m D．100 m
6．如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(β<α)．则A点离地面的高AB等于( )【版权所有：21教育】
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.如图所示，测量河对岸的塔 ( http: / / www.21cnjy.com )高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为________．21教育名师原创作品
8．甲船在A处观察乙船，乙船在它 ( http: / / www.21cnjy.com )的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．【来源：21·世纪·教育·网】
9. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已
知AB＝50 m，BC＝120 m， ( http: / / www.21cnjy.com )于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，则∠DEF的余弦值是________．21*cnjy*com
10．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏 ( http: / / www.21cnjy.com )东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．www.21-cn-jy.com
三、解答题
11．如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.
12．在海岸A处，发现北偏东45° ( http: / / www.21cnjy.com )的方向，距离A (－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？2·1·c·n·j·y
能力提升
13．江岸边有一炮台高30 m，江中 ( http: / / www.21cnjy.com )有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．www-2-1-cnjy-com
14．如图，A，B是海面上位于东西 ( http: / / www.21cnjy.com )方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？21·世纪*教育网
1．测量底部不可到达的建 ( http: / / www.21cnjy.com )筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题． 21*cnjy*com
2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．
§3 解三角形的实际应用举例(二)
答案
知识梳理
1．上 下 2.absin C
作业设计
1．B
2．A [h甲＝20tan 60°＝20(m)．h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)．]
3．A [在△PAB中，由正弦定理可得
＝，PB＝＝，h＝PBsin 45°＝(30＋30)m.]
4. A [如图所示，
BC＝h，AC＝h，∴AB＝＝2h.]
5．B [如图所示，600·sin 2θ＝200·sin 4θ，
∴cos 2θ＝，∴θ＝15°，
∴h＝200·sin 4θ＝300 (m)．]
6．A [设AB＝h，则AD＝，
∵∠CAD＝α－β，
∴＝.
∴＝，∴h＝.]
7.
解析 在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.
由正弦定理，得＝.
∴BC＝＝.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.
8．北偏东30° a
解析
如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，
则BC＝tv，AC＝tv，B＝120°，
由正弦定理知＝，
∴＝，
∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB＝a，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°＝a2＋a2－2a2·＝3a2，∴AC＝a.
9.
解析 作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M.
DF＝＝＝10(m)，
DE＝＝＝130(m)
EF＝
＝＝150(m)
在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得
cos∠DEF＝＝＝.
10.
解析 设舰艇和渔船在B处相 ( http: / / www.21cnjy.com )遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos 120°，解得t＝或t＝－(舍)．21世纪教育网版权所有
11．解 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
根据正弦定理得：＝，即＝，
∴AC＝＝.
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝.即山高CD为.
12．解
如图所示，设缉私船用t h在D处追上走私船，
则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos 120°＝6，∴BC＝，21教育网
且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝×＝.
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
13．解 如图所示：
∠CBD＝30°，
∠ADB＝30°，
∠ACB＝45°
∵AB＝30，
∴BC＝30，
BD＝＝30.
在△BCD中，
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，
∴CD＝30，即两船相距30 m.
14．解 由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.21cnjy.com
在△DAB中，由正弦定理，
得＝，
∴DB＝＝＝＝
＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，
得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(海里)，
∴需要的时间t＝＝1(小时)．
故救援船到达D点需要1小时．
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1.2 余弦定理(二)
课时目标 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理；2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题．
1．正弦定理及其变形
(1)＝＝＝________.
(2)a＝__________，b＝__________，c＝_____________.
(3)sin A＝__________，sin B＝__________，sin C＝____________.
(4)sin A∶sin B∶sin C＝__________.
2．余弦定理及其推论
(1)a2＝____________________.
(2)cos A＝______________.
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2 C ( http: / / www.21cnjy.com )为________；c2>a2＋b2 C为________；c23．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：
(1)A＋B＋C＝______，＝________________.
(2)sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，tan(A＋B)＝________.
(3)sin ＝__________，cos ＝____________________________________.
一、选择题
1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．60° B．90° C．120° D．150°
2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
3.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则( )
A．a>b
B．aC．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
二、填空题
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.
8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．
9．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．
10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cos B＝，且·＝－21.
(1)求△ABC的面积；
(2)若a＝7，求角C.
能力提升
13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )
A．0C.14．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos B＝.
(1)求＋的值；
(2)设·＝，求a＋c的值．
1．解斜三角形的常见类型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：
已知条件 应用定理 一般解法
一边和两角(如a，B，C) 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解.
两边和夹角(如a，b，C) 余弦定理正弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解.
三边(a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解.
两边和其中一边的对角如(a，b，A) 正弦定理余弦定理 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
1．2 余弦定理(二)
答案
知识梳理
1．(1)2R (2)2Rsin ( http: / / www.21cnjy.com )A 2Rsin B 2Rsin C (3) (4)a∶b∶c 2.(1)b2＋c2－2bccos A(2) (3)直角 钝角 锐角 3.(1)π － (2)sin C －cos C －tan C (3)cos sin 21世纪教育网版权所有
作业设计
1．C [∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，即＝－，∴cos C＝－，∴∠C＝120°.]21·cn·jy·com
2．C [∵2cos Bsin A＝ ( http: / / www.21cnjy.com )sin C＝sin(A＋B)，∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]21cnjy.com
3.B [∵a∶b∶c＝sin A∶s ( http: / / www.21cnjy.com )in B∶sin C＝3∶5∶7，不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，则cos C＝＝－.∴C＝120°.∴最小外角为60°.]
4．D [∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.
∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.]
5．A [在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab.
∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.]
6．A [设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，
则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，www.21-cn-jy.com
∴c＋x所对的最大角变为锐角．]
7.
解析 由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝.
8．2解析 ∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1.
∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2化简得：02a＋1，
∴a>2，∴29．12
解析 S△ABC＝AB·AC·sin A＝AB·AC·sin 60°＝2，
∴AB·AC＝8，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC，
∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB·AC＝49，
∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12.
10.
解析 S△ABC＝bcsin A＝c＝，∴c＝4，
由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，
∴a＝.
∴2R＝＝＝，
∴R＝.∴S外接圆＝πR2＝.
11．证明 右边＝＝·cos B－·cos A
＝·－·＝－＝＝左边．所以＝.
12．解 (1)∵·＝－21，∴·＝21.
∴·＝||·||·cos B＝accos B＝21.
∴ac＝35，∵cos B＝，∴sin B＝.
∴S△ABC＝acsin B＝×35×＝14.
(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
∴b＝4.由正弦定理：＝.
∴sin C＝sin B＝×＝.
∵c∴C＝45°.
13．A [方法一 (应用正弦定理)
∵＝，∴＝
∴sin C＝sin A，∵0∴0∵AB∴0方法二 (应用数形结合)
如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，
则圆上除了直线BC上的点外， ( http: / / www.21cnjy.com )都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝，∴014．解 (1)由cos B＝，得sin B＝＝.
由b2＝ac及正弦定理得sin2 B＝sin Asin C.
于是＋＝＋＝＝＝＝＝.
(2)由·＝得ca·cos B＝，
由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2.
由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5，
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.
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第一章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在等差数列{an}中，a3＝2，则{an}的前5项和为( )
A．6 B．10
C．16 D．32
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则( )
A．a1＝1 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
5．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝24－n B．an＝2n－4
C．an＝2n－3 D．an＝23－n
6．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于( )21世纪教育网版权所有
A．8 B．12
C．16 D．24
7．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a10－a12的值为( )
A．10 B．11
C．12 D．13
8．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于( )21·cn·jy·com
A．35 B．33
C．31 D．29
9．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和．若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为( )www.21-cn-jy.com
A．8 B．9
C．10 D．16
10．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m－n|等于( )21cnjy.com
A．1 B.
C. D.
11．将正偶数集合{2,4,6，…} ( http: / / www.21cnjy.com )从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，….则2 010位于第( )组．【来源：21·世纪·教育·网】
A．30 B．31
C．32 D．33
12．a1，a2，a3，a ( http: / / www.21cnjy.com )4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )21·世纪*教育网
A．－4或1 B．1
C．4 D．4或－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．2-1-c-n-j-y
已知数列{an}是等和数列，且a1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 011项和S2 011＝________. 21*cnjy*com
14．等差数列{an}中，a10<0，且a11>|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn>0的n的最小值为__________．【出处：21教育名师】
15．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤 ( http: / / www.21cnjy.com )可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(lg 2≈0.301 0)
16．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则它的通项公式是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)数列{an}中，a1＝，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝()n＋1(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．
18．(12分)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.【版权所有：21教育】
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
19．(12分)设Sn是等差数列{an ( http: / / www.21cnjy.com )}的前n项和，已知S3，S4的等比中项为S5；S3，S4的等差中项为1，求数列{an}的通项公式．2·1·c·n·j·y
20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列{}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<.
21．(12分)设等差数列{an}的前n项 ( http: / / www.21cnjy.com )和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝8，T3－S3＝15.www-2-1-cnjy-com
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足a1cn＋a2cn－ ( http: / / www.21cnjy.com )1＋…＋an－1c2＋anc1＝2n＋1－n－2对任意n∈N＋都成立，求证：数列{cn}是等比数列．【来源：21cnj*y.co*m】
22．(12分)甲、乙两大超市同时开业 ( http: / / www.21cnjy.com )，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多an－1万元．21教育网
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
(2)若其中某一超市的年 ( http: / / www.21cnjy.com )销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
第一章 数 列(B)
答案
1．B [S5＝＝5a3＝10.]
2．B [∵3S3＝a4－2,3S2＝a3－2.
∴3(S3－S2)＝a4－a3，∴3a3＝a4－a3.
∴a4＝4a3.∴q＝4.]
3．C [当项数n为偶数时，由S偶－S奇＝d知30－15＝5d，∴d＝3.]
4．B [T5＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a53＝1.∴a3＝1.]
5．A [q3＝＝，∴q＝.
∵a1＋a3＝a1(1＋q2)＝a1＝10，∴a1＝8.∴an＝a1·qn－1＝8·()n－1＝24－n.]
6．C [∵S10＝6，S5＝2，S10＝3S5.∴q≠1.
∴∴＝1＋q5＝3.q5＝2.
∴a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)q15＝S5·q15＝2×23＝16.]
7．C [a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，a8＝24.
∴a10－a12＝(2a10－a12)＝[2(a1＋9d)－(a1＋11d)]＝(a1＋7d)＝a8＝12.]
8．C [设公比为q(q≠0)，则由a2a3＝2a1知a1q3＝2，∴a4＝2.
又a4＋2a7＝，∴a7＝.∴a1＝16，q＝.∴S5＝＝＝31.]
9．A [∵S16＝＝8(a8＋a9)>0，
∴a8＋a9>0.
∵S17＝＝17a9<0.
∴a9<0，∴a8>0.故当n＝8时，Sn最大．]
10．B [易知这四个根依次为：，1,2,4.不妨设，4为x2－mx＋2＝0的根，
1,2为x2－nx＋2＝0的根．∴m＝＋4＝，n＝1＋2＝3，∴|m－n|＝|－3|＝.]
11．C [∵前n组偶数总的个数为：
2＋4＋6＋…＋2n＝＝n2＋n.
∴第n组的最后一个偶数为2＋[(n2＋n)－1]×2＝2n(n＋1)．
令n＝30，则2n(n＋1)＝1 860；
令n＝31，则2n(n＋1)＝1 984；
令n＝32，则2n(n＋1)＝2 112.
∴2 010位于第32组．]
12．A [若删去a1，则a2a4＝a，
即(a1＋d)(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，化简，得d＝0，不合题意；
若删去a2，则a1a4＝a，
即a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，化简，得＝－4；
若删去a3，则a1a4＝a，
即a1(a1＋3d)＝(a1＋d)2，化简，得＝1；
若删去a4，则a1a3＝a，
即a1(a1＋2d)＝(a1＋d)2，化简，得d＝0，不合题意．故选A.]
13．1 004
解析 a1＝－1，a2＝2，a3＝－1，a4＝2，…，
∴a2 011＝－1，∴S2 011＝ ( http: / / www.21cnjy.com )(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010)＋a2 011＝1 005×1＋(－1)
＝1 004.
14．20
解析 ∵S19＝＝19a10<0；
S20＝＝10(a10＋a11)>0.
∴当n≤19时，Sn<0；当n≥20时，Sn>0.
故使Sn>0的n的最小值是20.
15．14
解析 设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a1＝1，公比q＝1－20%，
∴an＋1＝(1－20%)n，由题意可知：
(1－20%)n<5%，即0.8n<0.05.
两边取对数得nlg 0.8∵lg 0.8<0，∴n>，
即n>＝＝≈≈13.41，取n＝14.
16．an＝
解析 当n＝1时，
a1＝S1＝3－2＋1＝2.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5.
则当n＝1时，6×1－5＝1≠a1，
∴an＝.
17．解 (1)由Sn＋1－Sn＝()n＋1得an＋1＝()n＋1(n∈N＋)，
又a1＝，故an＝()n(n∈N＋)．
从而Sn＝＝[1－()n](n∈N＋)．
(2)由(1)可得S1＝，S2＝，S3＝.
从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列得＋3×(＋)＝2×(＋)t，解得t＝2.
18．解 (1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
对n＝1时也适合，
∴an＝2n－1.
(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，
所以anbn＝n·2n－1.
Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①
2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②
由①－②得：
－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，
所以Tn＝(n－1)2n＋1.
19．解 设等差数列{an}的首项a1＝a，公差为d，则Sn＝na＋d，依题意，有
整理得
∴a＝1，d＝0或a＝4，d＝－.
∴an＝1或an＝－n，
经检验，an＝1和an＝－n均合题意．
∴所求等差数列的通项公式为an＝1或an＝－n.
20．(1)解 由Sn＝nan－2n(n－1)得
an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n，
即an＋1－an＝4.
∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝4n－3.
(2)证明 Tn＝＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝(1－＋－＋－＋…＋－)
＝(1－)<.
又易知Tn单调递增，故Tn≥T1＝，得≤Tn<.
21．(1)解 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q>0)．
由题意得
解得∴an＝n.bn＝3×2n－1.
(2)证明 由cn＋2cn－1＋…＋(n－1)c2＋nc1＝2n＋1－n－2，
知cn－1＋2cn－2＋…＋(n－2)c2＋(n－1)c1＝2n－(n－1)－2(n≥2)．
两式相减：cn＋cn－1＋…＋c2＋c1＝2n－1(n≥2)，
∴cn－1＋cn－2＋…＋c2＋c1＝2n－1－1(n≥3)，
∴cn＝2n－1(n≥3)．
当n＝1,2时，c1＝1，c2＝2，适合上式．
∴cn＝2n－1(n∈N＋)，即{cn}是等比数列．
22．解 (1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn.则有：a1＝a，n≥2时：
an＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]＝(n－1)a.
∴an＝
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝a＋a＋a2＋…＋an－1
＝a，(n∈N＋)．
(2)易知bn<3a，所以乙超市将被甲超市收购，
由bn∴n＋4n－1>7，∴n≥7.
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
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1.2 余弦定理(一)
课时目标 1.熟记余弦定理及其推论；2.能够初步运用余弦定理解斜三角形．
1．余弦定理
三角形任何一边的________等于其他两边________的和减去这两边与它们的________的余弦的积的________．即a2＝________________，b2＝________________，c2＝____.
2．余弦定理的推论
cos A＝________________；cos B＝______________；cos C＝________________.
3．在△ABC中：
(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；
(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；
(3)若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝________.
一、选择题
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A. B．3
C. D．5
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A. B.
C. D.
3．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于( )
A．1 B. C．2 D．4
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )
A. B. C. D.
5．在△ABC中，sin2＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )21世纪教育网版权所有
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
6．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为( )
A．135° B．45° C．60° D．120°
二、填空题
7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.
8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
9．三角形三边长为a，b， (a>0，b>0)，则最大角为________．
10．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tan C＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.21教育网
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
能力提升
13．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．21cnjy.com
14．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
1．2 余弦定理(一)
答案
知识梳理
1．平方 平方 夹角 两倍 b2＋c2 ( http: / / www.21cnjy.com )－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 2. 3.(1)90° (2)60° (3)135°
作业设计
1．A
2．B [∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理cos C＝＝＝.
∴C＝.]
3．C [bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.]
4．B [∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cos B＝＝＝.]
5．B [∵sin2＝＝，∴cos A＝＝ a2＋b2＝c2，符合勾股定理．
故△ABC为直角三角形．]
6．B [∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin C，
∴a2＋b2－c2＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，∴sin C＝cos C，∴C＝45° .]
7．120°
8．30°
解析 c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12
∴c＝2.
由正弦定理：＝得sin A＝.
∵a9．120°
解析 易知：>a，>b，设最大角为θ，
则cos θ＝＝－，
∴θ＝120°.
10．－2
解析 S△ABC＝acsin B＝，∴c＝4.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
∴cos C＝＝－，sin C＝，
∴tan C＝－＝－2.
11．解 由条件知：cos A＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝2＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49 x＝7.所以，所求中线长为7.21·cn·jy·com
12．解 (1)cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，
又∵C∈(0°，180°)，
∴C＝120°.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
(3)S△ABC＝absin C＝.
13.
解析 ∵cos C＝＝，
∴sin C＝.∴AD＝AC·sin C＝.
14．解 由余弦定理知
cos A＝，cos B＝，cos C＝，
代入已知条件得
a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
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1.1 正弦定理(二)
课时目标 1.熟记正弦定理的有关变形公式；2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．
1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝____________；
(2)＝＝＝＝__________；
(3)a＝__________，b＝__________，c＝__________；
(4)sin A＝________，sin B＝________，sin C＝__________.21教育网
2．三角形面积公式：S＝__________＝____________＝______________.
一、选择题
1．在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A. B．(10，＋∞)
C．(0,10) D.
4．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )21cnjy.com
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3
C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1 B．2
C. D．4
二、填空题
7．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.21·cn·jy·com
9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
10．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.www.21-cn-jy.com
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
12．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
能力提升
13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S.2·1·c·n·j·y
1．在△ABC中，有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π；
(2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；
(3)＋＝；
(4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝.
2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．
1．1 正弦定理(二)
答案
知识梳理
1．(1)a∶b∶c (2)2R (3 ( http: / / www.21cnjy.com ))2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C (4) 2.absin C bcsin A casin B21世纪教育网版权所有
作业设计
1．D
2．B [由正弦定理知：＝＝，∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.]
3．D [∵＝＝，∴c＝sin C.∴04．A [由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.]
5．B [∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝.
令＝＝＝k (k>0)，
则，解得.
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.]
6．A [设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1.]
7．2
解析 ∵cos C＝，∴sin C＝，
∴absin C＝4，∴b＝2.
8．2
解析 由正弦定理＝，得＝，
∴sin B＝，故B＝30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
9．7
解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
10．12 6
解析 ＝＝＝12.
∵S△ABC＝absin C＝×6×12sin C＝18，
∴sin C＝，∴＝＝12，∴c＝6.
11．证明 因为在△ABC中，＝＝＝2R，
所以左边＝＝＝＝
＝右边．所以等式成立，即＝.
12．解 设三角形外接圆半径为R，
则a2tan B＝b2tan A ( http: / / www.21cnjy.com )＝ ＝ sin Acos A＝sin Bcos B sin 2A＝sin 2B 2A＝2B或2A＋2B＝π A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
13．C [设C为最大角，
则A为最小角，则A＋C＝120°，
∴＝＝＝＋＝＝＋，
∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°.]
14．解 cos B＝2cos2 －1＝，故B为锐角，sin B＝.
所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，以S△ABC＝acsin B＝×2××＝.
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§2 三角形中的几何计算
课时目标 1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明．21教育网
1．正弦定理和余弦定理
(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)；
(2)余弦定理：a2＝____________________或cos A＝______________(其余形式略)
2．在△ABC中，有以下常用结论：
(1)a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b；
(2)a>b ______ ____________；
(3)A＋B＋C＝π，＝－；
(4)sin(A＋B)＝__________，cos(A＋B)＝____________________________________，
sin ＝______________，cos ＝___________________________________.
3．三角形常用面积公式
(1)S＝____________(ha表示a边上的高)；
(2)S＝absin C＝____________＝______________；
(3)S＝(可由正弦定理推得)；
(4)S＝2R2sin A·sin B·sin C(R是三角形外接圆半径)；
(5)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
一、选择题
1．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为( )
A. B. C. D．9
2．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )
A. B. C. D.
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )21·cn·jy·com
A. B．1＋ C. D．2＋
4．平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形面积是( )
A．16 B．17 C．18 D．18.53
5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为( )
A. B. C. D．6
6．在△ABC中，已知cos A＝，sin B＝，则cos C的值为( )
A. B.
C.和 D．－
二、填空题
7.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB ＝45°，则圆O的面积等于________．
8．若平行四边形两邻边的长分别是4和4，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________．21世纪教育网版权所有
9．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．
10．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
三、解答题
11．在△ABC中，AC边上的角平分线BD交AC边于点D.求证：＝.
12．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．2·1·c·n·j·y
能力提升
13．一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与B之间，P是此直线外一点，设∠APC＝α，∠BPC＝β.求证：＝＋.21cnjy.com
14．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．
(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；
(2)求S的最大值及此时θ的取值．
解三角形广泛应用于解各种平面图形，如平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形、梯形、扇形及一些简单的不规则图形．处理时，可添加适当的辅助线构造三角形，将问题纳入到某个三角形中，再选择正、余弦定理加以解决．www.21-cn-jy.com
第二章 解三角形
§2 三角形中的几何计算
答案
知识梳理
1．(2)b2＋c2－2bccos ( http: / / www.21cnjy.com ) A 2.A>B sin A>sin B (4)sin C －cos C cos sin 3.(1)aha (2)acsin B bcsin A【来源：21·世纪·教育·网】
作业设计
1．B [设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×，
∴x2＝9，∴x＝3.设cos θ＝，则sin θ＝.∴2R＝＝＝.]
2．B [设BC＝a，则BM＝MC＝.
在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcos∠AMB，
即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB.①
在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC
即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB.②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋a2，∴a＝.]
3．B [∵2b＝a＋c，S＝acsin B＝，∴ac＝6.
∴b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2accos B－2ac.
∴b2＝4b2－6－12，
∴b2＝2＋4，b＝1＋.]
4．A [设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，
则a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17，
a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.
解得：a＝5，b＝4，cos α＝或a＝4，b＝5，cos α＝，∴S ABCD＝ab sin α＝16.]
5．A [由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.
∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，
即6＝4c2＋c2－4c2·.∴c＝2，从而b＝4.
∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4× ＝.]
6．A [∵cos A＝，0∴sin A＝.∵sin A>sin B，
从而a>b，故A>B，∴cos B＝，
∴cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝.]
7．8π
解析 ∵2R＝＝＝4，∴R＝2.∴S＝πR2＝8π.
8．4
解析 较长的对角线长为：
＝4.
9．20
解析 设AB＝8k，AC＝5k，k>0，
则S＝AB·AC·sin A＝10k2＝10.
∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝82＋52－2×8×5×＝49.
∴BC＝7，∴周长为AB＋BC＋CA＝20.
10.
解析 不妨设a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：
cos A＝＝＝，
∴sin A＝ ＝.
由(a＋b＋c)·r＝bcsin A得r＝.
∴S内切圆＝πr2＝.
11．证明 如图所示，在△ABD中，利用正弦定理，
＝.①
在△CBD中，利用正弦定理，＝②
∵BD是角B的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠ADB＋∠CDB＝180°，∴sin∠ADB＝sin∠CDB，
所以①＝②，得＝.即＝成立.
12．解
连接BD，则四边形面积
S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sin A＋BC·CD·sin C.
∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.
∴S＝(AB·AD＋BC·CD)·sin A＝16sin A.
由余弦定理：在△ABD中，
BD2＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A，
在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cos C＝52－48cos C，
∴20－16cos A＝52－48cos C.
又cos C＝－cos A，∴cos A＝－.∴A＝120°.
∴四边形ABCD的面积S＝16sin A＝8.
13．证明
∵S△ABP＝S△APC＋S△BPC，
∴PA·PBsin(α＋β)＝PA·PCsin α＋PB·PCsin β
两边同除以PA·PB·PC，得＝＋.
14．解 (1)△ABD的面积
S1＝×1×1×sin θ＝sin θ，
由于△BDC是正三角形，
则△BDC的面积S2＝BD2.
而在△ABD中，由余弦定理可知：
BD2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ.
于是四边形ABCD的面积
S＝sin θ＋(2－2cos θ)，
∴S＝＋sin，0<θ<π.
(2)由S＝＋sin及0<θ<π，
则－<θ－<.
当θ－＝，即θ＝时，S取得最大值1＋.
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第二章 章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在△ABC中，c＝，则bcos A＋acos B等于( )
A．1 B. C．2 D．4
2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则·等于( )
A．－ B．－ C. D.
3．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A．2 B.
C．2或 D．以上都不对
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为( )
A. B.
C. D．9
6．在△ABC中，cos2 ＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( )21世纪教育网版权所有
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b等于( )21cnjy.com
A．2 B.－
C．4－2 D．4＋2
8．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积( )21·cn·jy·com
A．6 cm2 B. cm2
C．3 cm2 D．12 cm2
9．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( )
A. m B. m
C. m D. m
10．若＝＝，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为( )www.21-cn-jy.com
A. B.
C.或 D.或
12．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为( )
A．4sin＋3 B．4sin＋3
C．6sin＋3 D．6sin＋3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC中，－－＝________.
14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为________．2·1·c·n·j·y
15．已知a，b，c分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝______________.【来源：21·世纪·教育·网】
16．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．www-2-1-cnjy-com
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)我艇在A处发现一走私船 ( http: / / www.21cnjy.com )在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．【来源：21cnj*y.co*m】
18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cos A＝.
(1)求sin2 ＋cos 2A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.
19．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.2-1-c-n-j-y
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
21．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.21·世纪*教育网
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
22．(12分)已知△ABC的角A、B、C ( http: / / www.21cnjy.com )所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)． 21*cnjy*com
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
第二章 解三角形(A)
答案
1．B
2．A [由余弦定理得cos A＝＝＝.
·＝||·||·cos A＝3×2×＝. ·＝－·＝－.]
3．C [∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴5＝15＋c2－2×c×.
化简得：c2－3c＋10＝0，
即(c－2)(c－)＝0，
∴c＝2或c＝.]
4．D [A中，因＝，所以sin B＝ ( http: / / www.21cnjy.com )＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，sin C＝＝，且c>b，∴C>B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，即有解，故A、B、C都不正确．]
5．C [设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×，
∴x2＝9，∴x＝3.设cos θ＝，则sin θ＝.
∴2R＝＝＝，R＝.]
6．A [由cos2＝?cos A＝，又cos A＝，∴b2＋c2－a2＝2b2?a2＋b2＝c2，故选A.]21教育网
7．A [sin A＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝，
由a＝c知，C＝75°，B＝30°.sin B＝.
由正弦定理：＝＝＝4.∴b＝4sin B＝2.]
8．A [由5x2－7x－6＝0，解得x1＝－，x2＝2.∵x2＝2>1，不合题意．
∴设夹角为θ，则cos θ＝－，得sin θ＝，∴S＝×3×5×＝6 (cm2)．]
9．A
[作出示意图如图，
由已知：在Rt△OAC中，
OA＝200，∠OAC＝30°，
则OC＝OA·tan∠OAC＝200tan 30°＝.
在Rt△ABD中，AD＝，∠BAD＝30°，
则BD＝AD·tan∠BAD＝·tan 30°＝，
∴BC＝CD－BD＝200－＝(m)．]
10．C [∵＝，∴acos B＝bsin A，
∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0.
∴cos B＝sin B，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.]
11．D [∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
∴·tan B＝，
即cos B·tan B＝sin B＝.
∵012．D [A＝，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知＝＝＝2R，
由合分比定理知＝，即＝.
∴2＝x，
即x＝3＋2
＝3＋2
＝3＋2
＝3＋2
＝3＋6
＝3＋6sin.]
13．0
14.
解析 ∵a2＋c2－b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，∴B＝.
15．1
解析 在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B.∴B＝.
由正弦定理知，sin A＝＝.又a∴A＝，C＝.∴sin C＝1.
16.≤a<3
解析 由.解得≤a<3.
17．解 设我艇追上走私船所需时间为t小时，则
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知：
(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos 120°，
∴t＝2.
答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．
18．解 (1)sin2 ＋cos 2A＝＋cos 2A＝＋2cos2 A－1＝.
(2)∵cos A＝，∴sin A＝.
由S△ABC＝bcsin A，得3＝×2c×，
解得c＝5.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得
a2＝4＋25－2×2×5×＝13，∴a＝.
19．解 (1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°.∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝.
(2)在△ABE中，AB＝2，由正弦定理得＝，
即＝，故AE＝＝＝－.
20．解 (1)∵cos B＝>0，且0∴sin B＝＝.
由正弦定理得＝，
sin A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin B＝4，∴×2×c×＝4，
∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
21．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，A＝120°.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝，
∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.
∴sin2B＋(1－sin B)2＋sin B(1－sin B)＝，
即sin2B－sin B＋＝0.
解得sin B＝.故sin C＝.
∴B＝C＝30°.
所以，△ABC是等腰的钝角三角形．
22．(1)证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
即a·＝b·，
其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解 由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S△ABC＝absin C＝×4×sin＝.
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复习课 解三角形
课时目标 1.掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．21cnjy.com
一、选择题
1．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
2．在△ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
4.如图所示，已知两座灯塔A ( http: / / www.21cnjy.com )和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km21·cn·jy·com
C.a km D．2a kmwww.21-cn-jy.com
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为220，那么BC的长度为( )
A．25 B．51 C．49 D．49
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于( )2·1·c·n·j·y
A．30° B．60°
C．120° D．150°
二、填空题
7．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.【来源：21·世纪·教育·网】
8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝______________.
9．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是______________．21·世纪*教育网
10．一艘船以20 km ( http: / / www.21cnjy.com )/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1 h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等______km.www-2-1-cnjy-com
三、解答题
11．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状．2-1-c-n-j-y
12．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．
(1)求最大角的余弦值；
(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
能力提升
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
14．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．21教育网
1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程．
2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．21世纪教育网版权所有
复习课 解三角形
答案
作业设计
1．C [sin B＝b·＝，且b2．C [cos Acos B>sin Asin B cos(A＋B)>0，∴A＋B<90°，∴C>90°，C为钝角．]
3．D [由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，
∵ 即，∴k>.]
4．B [利用余弦定理解△ABC.易知∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.]
5．D [S△ABC＝AC·AB·s ( http: / / www.21cnjy.com )in 60°＝×16×AB×＝220，∴AB＝55.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝552＋162－2×16×55×＝2 401.∴BC＝49.]
6．A [由sin C＝2sin B，根据正弦定理，得
c＝2b，把它代入a2－b2＝bc得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理，得cos A＝＝＝＝.又∵0°7．6
解析 由5x2－7x－6＝0，解得x1＝－，x2＝2.
∵x2＝2>1，不合题意．
∴设夹角为θ，则cos θ＝－，得sin θ＝，∴S＝×3×5×＝6 (cm2)．
8..
解析 由S＝bcsin A＝×1×c×＝，
∴c＝4.
∴a＝＝＝.
∴＝＝.
9．2解析 因为三角形有两解，所以asin B10．20
解析 如图所示，
＝
∴BC＝×sin 45°＝×＝20 (km)．
11．解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，
即a2＝b2＋c2－bc，
∴cos A＝＝＝，
∴A＝.
又sin A＝2sin Bcos C．∴a＝2b·＝，
∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．
12．解 (1)设这三个数为n，n＋1，n＋2，最大角为θ，
则cos θ＝<0，
化简得：n2－2n－3<0 －1∵n∈N＋且n＋(n＋1)>n＋2，∴n＝2.
∴cos θ＝＝－.
(2)设此平行四边形的一边长为a，则夹θ角的另一边长为4－a，
平行四边形的面积为：
S＝a(4－a)·sin θ＝(4a－a2)＝[－(a－2)2＋4]≤.
当且仅当a＝2时，Smax＝.
13．解 (1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－，0(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理＝，得c＝4.
由cos 2C＝2cos2C－1＝－及0得cos C＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得b2±b－12＝0(b>0)，
解得b＝或2，
∴或
14．解 设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
即142＝x2＋102－20xcos 60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6舍去)，即BD＝16.
在△BCD中，由正弦定理＝，
∴BC＝＝8.
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