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第三章 章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是( )
A．a<0或a>2 B．0
C．a＝0或a＝2 D．0≤a≤2
2．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为，则a＋b等于( )
A．－18 B．8 C．－13 D．1
3．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2
4．不等式<的解集是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(0,2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋2y的最大值为( )
A．12 B．10
C．8 D．2
6．已知a、b、c满足cA．ab>ac B．c(b－a)>0
C．ab2>cb2 D．ac(a－c)<0
7．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为( )
A．{x|－4≤x<－2或3B．{x|－4C．{x|x≤－2或x>3}
D．{x|x<－2或x≥3}
8．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则( )21教育网
A．－1C．－9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝cos x＋ (0C．y＝
D．y＝ex＋－2
10．若x，y满足约束条件，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )www.21-cn-jy.com
A．(－1,2) B．(－4,2)
C．(－4,0] D．(－2,4)
11．若x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
12．若实数x，y满足则的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．[1，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为________．
14．不等式>0的解集是__________________________________________．
15．如果a>b，给出下列不等式：
①<；②a3>b3；③>；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
16．一批货物随17列货车从A市以v千米/小 ( http: / / www.21cnjy.com )时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
18．(12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
19．(12分)证明不等式：a，b，c∈R，a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．
20．(12分)某投资人打算投 ( http: / / www.21cnjy.com )资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？21·cn·jy·com
21．(12分)设a∈R，关于x的一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且022．(12分)某商店预备在一个 ( http: / / www.21cnjy.com )月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；
(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
第三章 不等式(A)
答案
1．B
2．C [∵－2和－是ax2＋bx－2＝0的两根．
∴，∴.
∴a＋b＝－13.]
3．B [∵a2＋a<0，∴a(a＋1)<0，∴－1可知－a>a2>－a2>a.]
4．D [0?x<0或x>2.]
5．B
[画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋，
作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距最大．
解方程组得A(2,1)，∴zmax＝10.]
6．C [∵c0，c<0.而b与0的大小不确定，在选项C中，若b＝0，则ab2>cb2不成立．]2·1·c·n·j·y
7．A [∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或38．C [(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)<1?－x2＋x＋(a2－a－1)<0恒成立
?Δ＝1＋4(a2－a－1)<0?－9．D [选项A中，x>0时，y≥2，x<0时，y≤－2；
选项B中，cos x≠1，故最小值不等于2；
选项C中，＝＝＋，当x＝0时，ymin＝.]
10. B [作出可行域如图所示，
直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，
由图像可知－1<－<2，即－411．D [由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x，
∵x>0，y>0，∴x－8>0，得到y＝，
则μ＝x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10
＝18，
当且仅当x－8＝，即x＝12，y＝6时取“＝”．]
12．B
[可行域如图阴影，的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得>1或<－1.]
13．A14．{x|－56}
15．②⑥
解析 ①若a>0，b<0，则>，故①不成立；
②∵y＝x3在x∈R上单调递增，且a>b.∴a3>b3，故②成立；
③取a＝0，b＝－1，知③不成立；
④当c＝0时，ac2＝bc2＝0,2ac2＝2bc2，故④不成立；
⑤取a＝1，b＝－1，知⑤不成立；
⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b)＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]>0，
∴a2＋b2＋1>ab＋a＋b，故⑥成立．
16．8
解析 这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝＝＋≥2 ＝8(小时)，
当且仅当＝，即v＝100时等号成立，此时t＝8小时．
17．解 (1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴，解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
18．解 原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，即<0.
①当－<，即a>0时，－②当－＝，即a＝0时，原不等式解集为?；
③当－>，即a<0时，综上知，当a>0时，原不等式的解集为
；
当a＝0时，原不等式的解集为?；
当a<0时，原不等式的解集为.
19．证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，
c2a2＋a2b2≥2a2bc.
∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，
即a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
∴a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．
20．解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．21世纪教育网版权所有
解方程组
得x＝4，y＝6，此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∵7>0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．21·世纪*教育网
21．解 设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2.
因为x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，且0所以????－2所以a的取值范围是{a|－222．解 (1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分批，每批价值20x.
由题意f(x)＝·4＋k·20x，
由x＝4时，y＝52，得k＝＝.
∴f(x)＝＋4x (0(2)由(1)知f(x)＝＋4x (0∴f(x)≥2＝48(元)．
当且仅当＝4x，即x＝6时，上式等号成立．
故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．
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2.2 一元二次不等式的应用
课时目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．21世纪教育网版权所有
1． 一元二次不等式的解集：
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0x1ax2＋bx＋c>0(a>0)
ax2＋bx＋c<0(a>0)
2.解分式不等式的同解变形法则：
(1)>0 ________；
(2)≤0 __________；
(3)≥a ≥0.
3．处理不等式恒成立问题的常用方法：
(1)一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立 __________；
ax2＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立 __________.
(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：
a>f(x)，x∈D恒成立 ____________；
a4．简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式f(x)>0用穿针引线法(或数轴穿根法)求解，其步骤是：
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积或商的形式；
(3)将每个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；21cnjy.com
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．
一、选择题
1．不等式>0的解集是( )
A．(－3,2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
2．不等式(x－1)≥0的解集是( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}
3．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C． D．{x|x<－2或x>2}
4．不等式≥2的解是( )
A．[－3，] B．[－，3]
C．[，1)∪(1,3] D．[－，1)∪(1,3]
5．不等式＞0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
6．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )21教育网
A．13
C．12
二、填空题
7．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.
8．若不等式－x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________．
9．若全集I＝R，f(x)、g(x)均 ( http: / / www.21cnjy.com )为x的二次函数，P＝{x|f(x)<0}，Q＝{x|g(x)≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为________．21·cn·jy·com
10．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
11．某省每年损失耕地20万亩，每 ( http: / / www.21cnjy.com )亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t%应在什么范围内变动？
12．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
能力提升
13．已知x1、x2是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则x＋x的最大值为( )www.21-cn-jy.com
A．18 B．19 C. D．不存在
14．已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，注意分母不为零．2·1·c·n·j·y
2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行 ( http: / / www.21cnjy.com )之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立 a>f(x)max；(2)a2．2 一元二次不等式的应用
答案
知识梳理
1．{x|xx2} {x ( http: / / www.21cnjy.com )|x∈R且x≠－} R {x|x10 (2) 3.(1) (2)a>f(x)max a作业设计
1．C [解不等式>0得，x>2或x<－3.]
2．C [当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．]
3．A [原不等式 x2－2x－2<2x2＋2x＋2 x2＋4x＋4>0 (x＋2)2>0，∴x≠－2.
∴不等式的解集为{x|x≠－2}．]
4．D [≥2 ∴x∈[－，1)∪(1,3]．]
5．C [
∵＞0，
∴＞0，
∴(x－3)(x＋2)(x－1)＞0，如图，由穿根法可得不等式的解集为.]
6．B [设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1] x<1或x>3.]21·世纪*教育网
7．4
解析 >0 (x＋1)(x－a)>0 (x＋1)(x－4)>0∴a＝4.
8．a≥1
解析 ∵Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.
9．P∩ IQ
解析 ∵g(x)≥0的解集为Q，
所以g(x)<0的解集为 IQ，
因此的解集为P∩ IQ.
10．0≤a≤4
解析 a＝0时，A＝ ；当a≠0时，A＝ ax2－ax＋1≥0恒成立 0综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤4.
11．解 由题意可列不等式如下：·24 000·t%≥9 000 3≤t≤5.
所以t%应控制在3%到5%范围内．
12．解 由x2－x－2>0，可得x<－1或x>2.
∵的整数解的集合为{－2}，
方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k与－，
①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；
②若－<－k，则应有－2<－k≤3，
∴－3≤k<2.
综上，所求的k的取值范围为－3≤k<2.
13．A [由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k－2)2－4(k2＋3k＋5)≥0.
解得－4≤k≤－，又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－(k＋5)2＋19，
∴当k＝－4时，x＋x有最大值，最大值为18.]
14．解 (1)不等式化为(x－1)p＋x2－2x＋1>0，令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图像是一条直线．又∵|p|≤2，
∴－2≤p≤2，于是得：
即
即 ∴x>3或x<－1.
故x的取值范围是x>3或x<－1.
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>＝1－x.
由于不等式当2≤x≤4时恒成立，
∴p>(1－x)max.而2≤x≤4，
∴(1－x)max＝－1，于是p>－1.
故p的取值范围是p>－1.
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4.3 简单线性规划的应用
课时目标 1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.2.掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．
1．用图解法解线性规划问题的步骤：
(1)分析并将已知数据列出表格；
(2)确定线性约束条件；
(3)确定线性目标函数；
(4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．
2．在线性规划的实际问题中，主要掌 ( http: / / www.21cnjy.com )握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
一、选择题
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和 ( http: / / www.21cnjy.com )原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用的原料A、B各c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为( )21cnjy.com
A. B.
C. D.
2.如图所示的坐标平面的可行域内( ( http: / / www.21cnjy.com )阴影部分且包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )21·cn·jy·com
A. B.
C．4 D.
3．某公司有60万元资金 ( http: / / www.21cnjy.com )，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )2·1·c·n·j·y
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
4．某加工厂用某原料由甲车 ( http: / / www.21cnjy.com )间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
5．如图所示，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OABC，仅点B(3,2)是目标函数的最优解，则k的取值范围为( )21·世纪*教育网
A. B.
C. D.
二、填空题
6．(2009·山东)某公司租赁 ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
7．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是________．www.21-cn-jy.com
8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划 ( http: / / www.21cnjy.com )每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．
三、解答题
9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病 ( http: / / www.21cnjy.com )人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能
既满足营养，又使费用最省？
10．某家具厂有方木料90 m3， ( http: / / www.21cnjy.com )五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
能力提升
11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( ) 21*cnjy*com
A．－3 B．3 C．－1 D．1
12．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：【来源：21cnj*y.co*m】
规模类型钢板类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？【来源：21·世纪·教育·网】
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2-1-c-n-j-y
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需 ( http: / / www.21cnjy.com )要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．
4．3 简单线性规划的应用
答案
作业设计
1．C [比较选项可知C正确．]
2．B [由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴a＝.]
3．B [设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，
可获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y.
由图像知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．]
4．B
[设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知
甲、乙两车间每天总获利为z＝28 ( http: / / www.21cnjy.com )0x＋200y.画出可行域如图所示．点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图像知在点M(15,55)处z取得最大值．]
5．C [y＝kx－z.若k>0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0，4)，不符合题意．
∴k<0，
∵只有点(3,2)是目标函数的最优解．
∴kAB6．2 300
解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则
目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域，
易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．
7．90
解析 该不等式组表示平面 ( http: / / www.21cnjy.com )区域如图阴影所示，由于x，y∈N＋，计算区域内与点最近的整点为(5,4)，当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.www-2-1-cnjy-com
8．20 24
解析
设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，
依题意约束条件为：
目标函数为S＝7x＋12y.
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．
解方程组
得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，
Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)．
9．解 将已知数据列成下表：
原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位
甲 5 10
乙 7 4
费用 3 2
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么
目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一组平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A(，3)，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28(g)，
乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．
10．解 由题意可画表格如下：
方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元)
书桌(个) 0.1 2 80
书橱(个) 0.2 1 120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，
则 x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，
则 y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则
z＝80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．
作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．
由解得点M的坐标为(100,400)．
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．
11．A [当a＝0时，z＝x.仅在直线x＝z过点A(1,1)时，
z有最小值1，与题意不符．
当a>0时，y＝－x＋.
斜率k＝－<0，
仅在直线z＝x＋ay过点A(1,1)时，
直线在y轴的截距最小，此时z也最小，
与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾．
当a<0时，y＝－x＋，斜率k＝－>0，
为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个，
当且仅当斜率－＝kAC.即－＝，∴a＝－3.]
12．解 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
.
作出可行域(如图)：(阴影部分)
目标函数为z＝x＋y.
作出一组平行直线x＋y＝t，其中经过可行 ( http: / / www.21cnjy.com )域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A，直线方程为x＋y＝.由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点不是最优解．21世纪教育网版权所有
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和
C(4,8)，它们都是最优解．
答 要截得所需三种规格的钢板，且 ( http: / / www.21cnjy.com )使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．21教育网
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第三章 不等式
1.1 不等关系
1.2 不等关系与不等式
课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．21教育网
1．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a____b；
如果a－b等于____，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a____b，反之也成立．
(2)符号表示
a－b>0 a____b；
a－b＝0 a____b；
a－b<0 a____b.
2．常用的不等式的基本性质
(1)a>b b____a(对称性)；
(2)a>b，b>c a____c(传递性)；
(3)a>b a＋c____b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0 ac____bc；a>b，c<0 ac____bc；
(5)a>b，c>d a＋c____b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0 ac____bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥2 an____bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2 ____.
一、选择题
1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>> B.>>a
C.>a> D.>>a
3．已知a、b为非零实数，且aA．a2C.< D.<
4．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则( )
A．aC．b5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0 D．b＋a>0
6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c221世纪教育网版权所有
二、填空题
7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为___________________________．
8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
9．若x∈R，则与的大小关系为________．
10．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
三、解答题
11．设a>b>0，试比较与的大小．
12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
能力提升
13．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.
14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．
1．1 不等关系
1．2 不等关系与不等式
答案
知识梳理
1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)>
作业设计
1．C [对A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2对C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴>恒成立，∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]
2．D [取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，∴>>a.]
3．C [对于A，当a<0，b<0时，a2对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于C，∵a0，∴<；
对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1.]
4．C [∵令t＝ln x，则－1∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－1∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b.]
5．D [由a>|b|得－a0，且a－b>0.∴b－a<0，A错，D对．a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a－)2＋b2]∴a3＋b3>0，B错．而a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，∴C错．]21cnjy.com
6．A [由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c，∴ab>ac.]
7．[－1,6]
解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.
8．f(x)>g(x)
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．
9.≤
解析 ∵－＝＝≤0，∴≤.
10．A>B
解析 A＝，B＝.
∵＋<＋，并且都为正数，
∴A>B.
11．解 方法一 作差法
－＝＝＝
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.∴>0，∴>.
方法二 作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.
∴>.
12．解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或
即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，
即f(x)＝g(x)；
③当或
即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)．
13．A [特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.]
14．解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
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3.2 基本不等式与最大(小)值
课时目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．设x，y为正实数
(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当______时，积xy有最____值，且这个值为________．
(2)若xy＝p(积p为定值)，则当______时，和x＋y有最____值，且这个值为______．
2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：
(1)x，y必须是______；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为______；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为______．21cnjy.com
(3)等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
一、选择题
1．函数y＝log2 (x>1)的最小值为( )
A．－3 B．3 C．4 D．－4
2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4
C．16 D．不存在
3．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
4．函数y＝的最小值为( )
A．2 B.
C．1 D．不存在
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C. D.
6．若xy是正数，则2＋2的最小值是( )
A．3 B. C．4 D.
二、填空题
7．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
8．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．
9．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方 ( http: / / www.21cnjy.com )体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
10．函数y＝loga(x＋3)－1 (a> ( http: / / www.21cnjy.com )0，a≠1)的图像恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．21教育网
三、解答题
11．已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
12．某种生产设备购买时费用 ( http: / / www.21cnjy.com )为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少) 21·cn·jy·com
能力提升
13．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
A．2∈M,0∈M B．2 M,0 M
C．2∈M,0 M D．2 M,0∈M
14．设正数x，y满足＋≤a·恒成立，则a的最小值是______.
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．www.21-cn-jy.com
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑结合函数图象求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄 ( http: / / www.21cnjy.com )清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．
3．2 基本不等式与最大(小)值
答案
知识梳理
1．(1)x＝y 大 (2)x＝y 小 2
2．(1)正数 (2)定值 定值
作业设计
1．B
2．B [∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4(x＝，y＝时取等号)．]2·1·c·n·j·y
3．D [f(x)＝＝＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．]
4．B [y＝＝＋
∵≥2，而≤，所以不能用基本不等式求 ( http: / / www.21cnjy.com )最小值，用函数的单调性求最值，函数y＝x＋在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．∴当＝2即x＝0时，ymin＝.]【来源：21·世纪·教育·网】
5．B [∵2xy＝x·(2y)≤()2.∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.当x＝2，y＝1时取等号．]
6．C [2＋2
＝x2＋y2＋＋＋
＝＋＋≥1＋1＋2
＝4.当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．]
7．9
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.
8．9
解析 ∵a＋b－ab＋3＝0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.令＝t，则t2≥2t＋3.
解得t≥3(t≤－1舍)．即≥3.∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．
9．1 760
解析 设水池的造价为y元，长方形底的一 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么y＝120·4＋2·80·＝480＋320≥480＋320·2＝1 760(元)．当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
10．8
解析 ∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．故＋的最小值为8.
11．解 方法一 ∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
∵x>0，y>0，
∴＋≥2 ＝6.
当且仅当＝，
即y＝3x时，取等号．
又＋＝1，∴x＝4，y＝12.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法二 由＋＝1，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>9.
x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10.
∵y>9，∴y－9>0，
∴y－9＋＋10≥2 ＋10＝16，
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．又＋＝1，则x＝4，
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
12．解 设使用x年的年平均费用为y万元．
由已知，得y＝，
即y＝1＋＋(x∈N＋)．
由基本不等式知y≥1＋2 ＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．21世纪教育网版权所有
13．A [∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤.
∵＝＝(1＋k2)＋－2≥2－2.
∴x≤2－2，M＝{x|x≤2－2}，∴2∈M,0∈M.]
14.
解析 ∵≤ 成立，
∴＋≤·，∴a≥.
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4.2 简单线性规划
课时目标 1.了解线性规划的意义.2.会求一些简单的线性规划问题．
线性规划中的基本概念
名称 意义
约束条件 由变量x，y组成的不等式或方程
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
可行解 满足____________的解(x，y)
可行域 所有________组成的集合
最优解 使目标函数取得____________的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A．9 B. C．1 D.
2．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为( )
A. B．8 C．16 D．10
3．在坐标平面上有两个区域 ( http: / / www.21cnjy.com )M和N，其中区域M＝，区域N＝{(x，y)|t≤x≤t＋1，0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为( )21·cn·jy·com
A．－t2＋t＋ B．－2t2＋2t
C．1－t2 D.(t－2)22·1·c·n·j·y
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
5．设不等式组，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则|AB|的最小值为( )
A. B．4 C. D．2
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．
7．已知－18．已知实数x，y满足则的最大值为________．
三、解答题
9．线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值．
10．已知，求x2＋y2的最小值和最大值．
能力提升
11．已知实数x，y满足，求x2＋y2－2的取值范围．
12．已知实数x、y满足，试求z＝的最大值和最小值．
1．作不等式组表示的可行域时，注意标 ( http: / / www.21cnjy.com )出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．21教育网
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．
4．2 简单线性规划
答案
知识梳理
线性约束条件 可行解 最大值或最小值
作业设计
1．A [画出可行域如图：
当直线y＝－x＋z过点A时，z最大．
由得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.]
2. D [画出不等式组对应的可行域如下图所示：
易得A(1,1)，|OA|＝，B(2,2)，|OB|＝2，C(1,3)，|OC|＝.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.]
3．A [作出不等式组所表示的平面区域．
由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得
f(t)＝S△OEF－S△AOD－S△BFC＝1－t2－(1－t)2＝－t2＋t＋.]
4．A [作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．www.21-cn-jy.com
∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.]
5．B [如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)．
要求|AB|min，可通过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求．
经分析，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2最小，∴|AB|min＝4.]
6．7
解析 作出可行域如图所示．
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.
7．(3,8)
解析 由得平面区域如图阴影部分所示．
由得
由得
∴2×3－3×18．2
解析 画出不等式组对应的平面区域Ω，＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．
A(1,2)，B(3,0)，∴0≤≤2.
9．解 如图作出线性约束条件
下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，
x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，
x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，
作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z，
即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，
当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；
当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
∴zmax＝17，zmin＝－7.
10．解 作出不等式组
的可行域如图所示，
由，
得A(1,3)，
由，得B(3,4)，
由，得C(2,1)，
设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到 ( http: / / www.21cnjy.com )原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．故zmax＝|OB|2＝25，zmin＝|OC|2＝5.21cnjy.com
11．解 作出可行域如图，
由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，
可以看作区域内的点与原点的距离的平方，
最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，
即|OP|2，最大值为|OA|2，
其中A(4,10)，|OP|＝＝＝3，|OA|＝＝，
∴(x2＋y2－2)min＝(3)2－2＝18－2＝16，
(x2＋y2－2)max＝()2－2＝116－2＝114，
∴16≤x2＋y2－2≤114.
即x2＋y2－2的取值范围为16≤x2＋y2－2≤114.
12．解 由于z＝＝，
所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即
zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2；zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.
∴z的最大值为3，最小值为.
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第三章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
2．已知x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比数列，则xy( )
A．有最大值e B．有最大值
C．有最小值e D．有最小值
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M>N B．M≥N
C．M4．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为( )
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a)
C．(－3,4) D．(2a,6a)
5．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2>b2 B．()a<()b
C．lg(a－b)>0 D.>1
6．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
7．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)≥x2的解集是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
8．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.> B.＋≤1
C.≥2 D.≤
9．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
11．设M＝，且a＋b＋c＝1 (其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是( )
A. B.
C．[1,8) D．[8，＋∞)
12．函数f(x)＝x2－2x＋，x∈(0,3)，则( )
A．f(x)有最大值 B．f(x)有最小值－1
C．f(x)有最大值1 D．f(x)有最小值1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知t>0，则函数y＝的最小值为________________________________．
14．对任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是________．www.21-cn-jy.com
15．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
16．某公司一年购买某种货物400 ( http: / / www.21cnjy.com )吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．
18．(12分)已知a，b，c∈(0，＋∞)．
求证：()·()·()≤.
19．(12分)若a<1，解关于x的不等式>1.
20．(12分)求函数y＝的最大值．
21．(12分)如图所示，将一矩形花坛 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：2·1·c·n·j·y
甲产品(每吨) 乙产品(每吨) 资源限额(每天)
煤(t) 9 4 360
电力(kw· h) 4 5 200
劳动力(个) 3 10 300
利润(万元) 6 12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？
第三章 不等式(B)
答案
1．D [∵a<0，－10，ab2<0.
∴ab>a，ab>ab2.
∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，
∴a2．C
3．A [∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3
＝(a－1)2＋2>0.∴M>N.]
4．B [∵x2－ax－12a2<0(a<0)?(x－4a)(x＋3a)<0?4a5．B [取a＝0，b＝－1，否定A、C、D选项．故选B.]
6．D [∵x>1，∴x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3.∴a≤3.]
7．A [f(x)≥x2?或
?或
?或
?－1≤x≤0或0?－1≤x≤1.]
8．D [取a＝1，b＝3，可验证A、B、C均不正确，故选D.]
9．C [可行域如阴影，当直线u ( http: / / www.21cnjy.com )＝x＋3y过A(－2，－2)时，u有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B(，)时，u有最大值＋3×＝.21世纪教育网版权所有
∴u＝x＋3y∈[－8，]．∴z＝|u|＝|x＋3y|∈[0,8]．故选C.]
10．B [设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝＋＝＋＝s×，ta＋tb＝s?2t＝，21教育网
∴T－2t＝－＝s×＝>0，故选B.]
11．D [M＝＝
＝··≥2·2·2＝8.
∴M≥8，当a＝b＝c＝时取“＝”．]
12．D [∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，
∴(x－1)2∈[0,4)，
∴f(x)＝(x－1)2＋－1≥2－1＝2－1＝1.
当且仅当(x－1)2＝，且x∈(0,3)，
即x＝2时取等号，∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1.]
13．－2
解析 ∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2.
14．－2解析 当a＝2时，－4<0恒成立，∴a＝2符合．
当a－2≠0时，则a应满足：
解得－2综上所述，－215．5≤a<7
解析 先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．
由图知：5≤a<7.
16．20
解析 该公司一年购买某种货物400吨 ( http: / / www.21cnjy.com )，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为(·4＋4x)万元，·4＋4x≥160，当＝4x即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．21cnjy.com
17．解 ∵(＋)－(a＋b)＝－b＋－a＝＋＝(a2－b2)(－)
＝(a2－b2)＝
又∵a>0，b>0，a≠b，
∴(a－b)2>0，a－b>0，ab>0，
∴(＋)－(a＋b)>0，
∴＋>a＋b.
18．证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，
c＋a≥2>0，
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc>0.
∴≤
即()·()·()≤.
当且仅当a＝b＝c时，取到“＝”．
19．解 不等式>1可化为>0.
∵a<1，∴a－1<0，
故原不等式可化为<0.
故当0当a<0时，原不等式的解集为{x|当a＝0时，原不等式的解集为?．
20．解 设t＝，从而x＝t2－2(t≥0)，则y＝.
当t＝0时，y＝0；
当t>0时，y＝≤＝.
当且仅当2t＝，即t＝时等号成立．
即当x＝－时，ymax＝.
21．解 (1)设DN的长为x(x>0)米，则AN＝(x＋2)米
∵＝，∴AM＝，
∴SAMPN＝AN·AM＝，
由SAMPN>32，得>32.
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得：06，
即DN长的取值范围是(0，)∪(6，＋∞)．
(2)矩形花坛AMPN的面积为
y＝＝＝3x＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当3x＝，即x＝2时，
矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．
22．解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元．
依题意可得约束条件：
作出可行域如图.
利润目标函数z＝6x＋12y，
由几何意义知，当直线l：z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值．解方程组，21·cn·jy·com
得x＝20，y＝24，即M(20,24)．
答 生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．
资源
量
耗
消
品
产
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4.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课时目标 1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
1．二元一次不等式(组)的概念
含有________未知数，并且未知数的次数是____的不等式叫做二元一次不等式．
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为________________．
2．二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )Ax＋By＋C>0表示直线__________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成______以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成______．
3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都______．21·cn·jy·com
(2)在直线Ax＋By＋ ( http: / / www.21cnjy.com )C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由____________的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
一、选择题
1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A. B.
C. D.
2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－1,6)
B．(－6,1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
3．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )
4．不等式组表示的平面区域内整点的个数是( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
5．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( )
A．3＋2 B．－3＋2
C．－5 D．1
6．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7．△ABC的三个顶点坐标为A(3 ( http: / / www.21cnjy.com )，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．2-1-c-n-j-y
8．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________． 21*cnjy*com
9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．【来源：21cnj*y.co*m】
10．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．21教育名师原创作品
三、解答题
11．利用平面区域求不等式组的整数解．
12．若直线y＝kx＋1与圆x2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是多少？
能力提升
13．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )21教育网
A．(1,3] B．[2,3]21cnjy.com
C．(1,2] D．[3，＋∞)
14．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是______________．
1．二元一次不等式(组)的解集对应 ( http: / / www.21cnjy.com )着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路，不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数．
§4 简单线性规划
4．1 二元一次不等式(组)与平面区域
答案
知识梳理
1．两个 1 二元一次不等式组 2.Ax＋By＋C＝0 虚线 实线 3.(1)相同 (2)Ax0＋By0＋C2·1·c·n·j·y
作业设计
1．C [可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．]21·世纪*教育网
2．A [由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，即(a＋1)(a－6)<0，∴－13．B [不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组
(Ⅰ)或不等式组(Ⅱ)分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.]www.21-cn-jy.com
4．C [画出可行域后，可 ( http: / / www.21cnjy.com )按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．]【版权所有：21教育】
5．D
[区域如图，易求得A(－2,2 ( http: / / www.21cnjy.com ))，B(a，a＋4)，C(a，－a)．S△ABC＝|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得a＝1.]【出处：21教育名师】
6．A [不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋过定点.
因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．
因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M.
当y＝kx＋过点时，＝＋，所以k＝.]
7.
解析
如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
∴同理可得△ABC区域(含边界)为.
8．－1解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．
则.无解．
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，
则，∴－19．－1解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．
则.无解．
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，
则，∴－110.
解析
如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部 ( http: / / www.21cnjy.com )及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．又D(0,1)，B(0,2)，
E，C(－2,0)．
S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
11．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．
把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤，又∵y≥2，
∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有：(4,2)(4,3)．
把x＝5代入6x＋7y≤50，
得y≤，∴整点有：(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．
∴整数解共有7个为
(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．
12.解 P、Q关于直线x＋y＝0对称，故PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即是直线y＝kx＋1，故k＝1；21世纪教育网版权所有
又线段PQ为圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线x＋y＝0，【来源：21·世纪·教育·网】
又圆心为(－，－)，
∴m＝－k＝－1，
∴不等式组为，它表示的区域如图所示，故面积为.
13．A [作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示．
由得交点A(2,9)．
对y＝ax的图像，当01，y＝ax恰好经过A点时，由a2＝9，得a＝3.要满足题意，需满足a2≤9，解得114．0解析 不等式表示的平面区域如图所示，
当x＋y＝a过A时表示的区域是△AOB，此时a＝；
当a>时，表示区域是△AOB；
当x＋y＝a过B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时a＝1；
当0当a<0时不表示任何区域，当1故当021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.1 一元二次不等式的解法
课时目标 1.会解简单的一元二次不等式.2.了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．21cnjy.com
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b (a≠0)的形式．
(1)若a>0，解集为________________；
(2)若a<0，解集为________________．
2．一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：
(1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)．
3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
一、选择题
1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A.
B.
C.
D.
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )21世纪教育网版权所有
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－13．函数y＝lg(x2－4)＋的定义域是( )
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
5．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,2]
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)
6．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
二、填空题
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应点如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是______________．
8．不等式－19．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．
10．不等式(x2－x＋1)(x2－x－1)>0的解集是________________．
三、解答题
11．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
12．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
能力提升
13．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
14．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
1．解一元二次不等式可按照“一看，二算 ( http: / / www.21cnjy.com )，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．21·cn·jy·com
2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．
3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．www.21-cn-jy.com
2 一元二次不等式
2．1 一元二次不等式的解法
答案
知识梳理
1．(1) (2) 3.(－∞，x1)∪(x2，＋∞) {x|x∈R且x≠－} {x|x1
作业设计
1．B [∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－.]
2．D [由题意知，－＝1，＝－2，∴b＝－a，c＝－2a，又∵a<0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.]2·1·c·n·j·y
3．B [∵∴x≤－6或x>2.]
4．B [∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，∴x2＋x－2<0.∴－25．B [∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.
当m＝2时，4>0，x∈R；
当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2综上所述，－26．A [f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)．]
7．{x|x<－2或x>3}
8．{x|－3≤x<－2或0解析 ∵∴－3≤x<－2或09．k≤2或k≥4
解析 x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
10．{x|x<或x>}
解析 ∵x2－x＋1＝2＋>0，
∴(x2－x－1)(x2－x＋1)>0可转化为
解不等式x2－x－1>0，由求根公式知，
x1＝，x2＝.
∴x2－x－1>0的解集是.
∴原不等式的解集为
.
11．解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为
，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，
∴，∴b＝－a，c＝－a.
所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为x2－x＋a<0，
即2ax2－5ax－3a>0.又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，
所以所求不等式的解集为.
12．解 将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.
∵a2－a＝a(a－1)．∴当a<0或a>1时，aa2}．
当0a}．
当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．
综上知，当a<0或a>1时，不等式的解集为{x|xa2}；
当0不等式的解集为{x|xa}；
当a＝0或1时，
不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．
13．B [由(1－aix)2<1，得1－2aix＋(aix)2<1，即ai·x(aix－2)<0.
又a1>a2>a3>0.∴0即x<，x<且x<.
∵>>>0
∴014．解 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
当a＝0时，x≤－1；
当a>0时，x≥或x≤－1；
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当a>0时，解集为；
当a＝0时，解集为；
当－2当a＝－2时，解集为；
当a<－2时，解集为.
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复习课 不等式
课时目标 1.熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题.2.掌握简单的线性规划问题的解法.3.能用基本不等式进行证明或求函数最值．
—
一、选择题
1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0<<1
C.< D．ab>a＋b
2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解是[－，－]，则不等式x2－bx－a<0的解是( )
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．(，)
D．(－∞，)∪(，＋∞)
3．若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．90 B．80 C．70 D．40
4．不等式≥2的解为( )
A．[－1,0)
B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
5．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值＋1
D．ab有最小值2(＋1)
6．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为( )www.21-cn-jy.com
A. B. C. D．4
二、填空题
7．已知x∈R，且|x|≠1，则x6＋1与x4＋x2的大小关系是________．
8．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
9．若x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为____．
10．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a b/万吨 c/百万元
A 50% 1 3
B 70% 0.5 6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．21世纪教育网版权所有
三、解答题
11．已知关于x的不等式<0的解集为M.
(1)若3∈M，且5 M，求实数a的取值范围．
(2)当a＝4时，求集合M.
12．当x>3时，求函数y＝的值域．
能力提升
13．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
14．若关于x的不等式(2x－1)21．不等式是高中数学的重要内容，其中蕴含着许多重要的思想方法，是高考考查的重点．
2．本章内容主要有以下四个方面：
①不等式的性质；
②一元二次不等式的解法；
③简单的线性规划问题；
④基本不等式及应用．
复习课 不等式
答案
作业设计
1．C
2．A [由题意知，a<0，＝－，－＝，∴a＝－6，b＝5.∴x2－5x＋6<0的解是(2,3)．]
3．C [作出可行域如图所示．
由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜 ( http: / / www.21cnjy.com )率分别为－2、－，而3x＋2y＝0的斜率为－，故线性目标函数的倾斜角大于2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大值为70.]21·cn·jy·com
4．A [≥2 －2≥0 ≥0 ≤0 －1≤x<0.]
5．A [∵ab－(a＋b)＝1，ab≤()2，∴()2－(a＋b)≥1，
它是关于a＋b的一元二次不等式，解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(舍去)．
∴a＋b有最小值2(＋1)．
又∵ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2，
∴ab－2≥1，
它是关于的一元二次不等式，
解得≥＋1，或≤1－(舍去)，
∴ab≥3＋2，即ab有最小值3＋2.]
6．A [不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直
线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得
最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝(＋)·＝＋(＋)≥＋2＝(a＝b＝时取等号)．]2·1·c·n·j·y
7．x6＋1>x4＋x2
解析 x6＋1－(x4＋x2)
＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)
＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)
∵|x|≠1，∴x2－1>0，∴x6＋1>x4＋x2.
8．[－1,0]
解析 由f(x)＝的定义域为R.
可知2x2－2ax－a≥1恒成立，即x2－2ax－a≥0恒成立，则Δ＝4a2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.【来源：21·世纪·教育·网】
9．3
解析 由x－2y＋3z＝0，得y＝，将其代入，
得≥＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”，∴的最小值为3.
10．15
解析 设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z＝3x＋6y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z＝3x＋6y在点A(1,2)处取得最小值，
zmin＝3×1＋6×2＝15.
11．解 (1)∵3∈M，∴<0，解得a<或a>9；
若5∈M，则<0，
解得a<1或a>25.
则由5 M，知1≤a≤25，
因此所求a的范围是1≤a<或9(2)当a＝4时，<0.
方法一 <0 或. 或
∴M＝{x|x<－2或方法二 <0 (x－)(x＋2)(x－2)<0
由数轴穿根法
知：x<－2或∴M＝{x|x<－2或12．解 ∵x>3，∴x－3>0.
∴y＝＝＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，上式等号成立，
∴函数y＝的值域为[24，＋∞)．
13．D [a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4.
当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝时取等号．]
14．(，]
解析 由(2x－1)20，整理不等式可得(4－a)x2－4x＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a>0，即a<4，故0即解得21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3.1 基本不等式
课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．
1．如果a，b∈R，那么a2＋b2____2ab(当且仅当______时取“＝”号)．
2．若a，b都为____数，那么____(当且仅当a____b时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中________称为a，b的算术平均数，______称为a，b的几何平均数．21教育网
3．基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤ (a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋≥____；当x<0时，x＋≤______.
(3)当ab>0时，＋≥____；当ab<0时，＋≤____.
(4)a2＋b2＋c2____ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
一、选择题
1．已知a>0，b>0，则，， ，中最小的是( )
A. B.
C. D.
2．已知m＝a＋ (a>2)，n＝x2－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是( )
A．m>n B．m3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.4．已知正数0A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
5．设0A. B．b
C．2ab D．a2＋b2
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－ D．－3
二、填空题
7．若a<1，则a＋有最______值，为________．
8．若lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为________．
9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
10．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．
三、解答题
11．设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
12．a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值．
能力提升
13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
1．设a，b是两个正实数，用min( ( http: / / www.21cnjy.com )a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤≤≤ ≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．21·cn·jy·com
2．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．www.21-cn-jy.com
一方面：当a＝b时，＝；
另一方面：当＝时，也有a＝b.
§3 基本不等式
3．1 基本不等式
答案
知识梳理
1．≥ a＝b 2.正 ≥ ＝ 基本 3．(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥
作业设计
1．D [方法一 特殊值法．
令a＝4，b＝2，则＝3，＝， ＝，＝.∴最小．
方法二 ＝，由≤≤≤ ，可知最小．]
2．A [∵m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，n＝22－x2<22＝4.∴m>n.]
3．B [∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，又∵>>0，
∴>1，∴ab<1<.]
4．D [因为a、b∈(0,1)，a≠ ( http: / / www.21cnjy.com )b，所以a＋b>2，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又05．B [∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，∴ >，
∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．]
6．B [x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立 ax≥－x2－1 a≥max.
∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.]
7．大 －1
解析 ∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
8．2
解析 ∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，
∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)．
9．3
解析 ∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．
10.
解析 ∵x>0，∴>0，易知a>0.
∴≥，
∴≤x＋＋3.
∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1时取等号)，
∴≤5.∴a≥.
11．证明 ∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
12．解 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.
∵＋≥，
∴n≤＋.
∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，
∴n≤＋，
∴n≤＋＋2.
∵＋≥2
＝2(2b＝a＋c时取等号)．
∴n≤4.∴n的最大值是4.
13．C [只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可， 又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2 ＋1≥9，21世纪教育网版权所有
即()2＋2 －8≥0求得≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.]
14．证明 ∵＋≥2 ＝2，
＋≥2 ＝2，
＋≥2 ＝2，
∴2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋.
∵a，b，c为不等正实数，
∴＋＋<＋＋.
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