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1．2 直线的方程(二)
【课时目标】 掌握直线方程的两点式、截距式及一般式，并能应用它们解决相关问题．
1．关于x，y的二元一次方程____________(其中A，B______________)叫做直线的一般式方程．2·1·c·n·j·y
2．比较直线方程的五种形式(填空)
形式 方程 局限 各常数的几何意义
点斜式 不能表示k不存在的直线 (x0，y0)是直线上一定点，k是斜率
斜截式 不能表示k不存在的直线 k是斜率，b是y轴上的截距
两点式 x1≠x2，y1≠y2 (x1，y1)、(x2，y2)是直线上两个定点
截距式 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距
一般式 无 当B≠0时，－是斜率，－是y轴上的截距
一、选择题
1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
2．下列说法正确的是( )
A．方程＝k表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b
D．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式
3．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )
A．只可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．只可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
4．直线－＝1在y轴上的截距是( )
A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b
5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )21cnjy.com
6．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )www.21-cn-jy.com
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
二、填空题
7．直线x＋2y＋6＝0化为斜截式为____________，化为截距式为____________．
8．已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示直线，则m的取值范围是
________．
9．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是
________________．
三、解答题
10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5,3)；
(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．
11．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．21世纪教育网版权所有
能力提升
12．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P(x0，y0)且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．(3)两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．21教育网
2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．
3．强调两个问题：
(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为 ( http: / / www.21cnjy.com )零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y＝1没有横截距，x＝2没有纵截距．21·cn·jy·com
(2)方程y－y1＝(x－x1)( ( http: / / www.21cnjy.com )x1≠x2)与＝(x1≠x2，y1≠y2)以及(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．【来源：21·世纪·教育·网】
1．2 直线的方程(二) 答案
知识梳理
1．Ax＋By＋C＝0 不同时为0
2．
形式 方程 局限 各常数的几何意义
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示k不存在的直线 (x0，y0)是直线上一定点，k是斜率
斜截式 y＝kx＋b 不能表示k不存在的直线 k是斜率，b是y轴上的截距
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 (x1，y1)、(x2，y2)是直线上两个定点
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 a是x轴上的非零截距，b是y轴上的非零截距
一般式 Ax＋By＋C＝0 无 当B≠0时，－是斜率，－是y轴上的截距
作业设计
1．D 2．A 3．B
4．B [令x＝0得，y＝－b2．]
5．C [将l1与l2的方程化为斜截式得：
y＝ax＋b，y＝bx＋a，
根据斜率和截距的符号可得C．]
6．D [当y轴上截距b＝0时，方程设为y＝kx，
将(5,2)代入得，y＝x，即2x－5y＝0；
当b≠0时，方程设为＋＝1，求得b＝，
∴选D．]
7．y＝－x－3 ＋＝1．
8．m∈R且m≠1
解析 由题意知，2m2＋m－3与m2－m不能同时为0，由2m2＋m－3≠0得m≠1
且m≠－；由m2－m≠0，得m≠0且m≠1，故m≠1．
9．＋＝1或＋y＝1
解析 设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋＝1或＋＝1，即＋＝1或＋y＝1．21·世纪*教育网
10．解 (1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
即x－y＋3－5＝0．
(2)x＝－3，即x＋3＝0．
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0．
(4)y＝3，即y－3＝0．
(5)由两点式方程得＝，
即2x＋y－3＝0．
(6)由截距式方程得＋＝1，
即x＋3y＋3＝0．
11．解 (1)2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．
(2)当l的方程不是2x＋y－8＝0时，
设l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0，
即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0．
据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．
令x＝0，得y＝－；
令y＝0，得x＝－．
∴－＝2·
解之得λ＝，此时y＝x．
∴所求直线方程为2x＋y－8＝0或y＝x．
12．
解 (1)将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，
∴l的斜率为a，
且过定点A(，)．
而点A(，)在第一象限，故l过第一象限．
∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3．
∵l不经过第二象限，∴a≥3．
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第二章 解析几何初步（A）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列叙述中不正确的是( )
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．每一条直线都有唯一对应的倾斜角
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为( )
A．－3 B．－6 C．－ D．
3．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是( )
4．若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于( )
A．2 B．3 C．9 D．－9
5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．4x－3y＝0
C．4x＋3y＝0
D．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
6．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B． C． D．
7．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为( )21cnjy.com
A．－4 B．20 C．0 D．24
8．圆(x＋2)2＋y2＝5关于y轴对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
9．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
10．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是( )
A．3x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
11．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于( )www.21-cn-jy.com
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )2·1·c·n·j·y
A．5 B．10 C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在空间直角坐标系Oxyz中，点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正射影，则|OB|＝______．www-2-1-cnjy-com
14．如果A(1,3)关于直线l的对称点为B(－5,1)，则直线l的方程是________________．
15．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．2-1-c-n-j-y
16．若x∈R，有意义且满足x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x＋y＋1＝0及3x－4＝0，其对角线的交点是D(3,3)，求另两边所在的直线的方程．【来源：21cnj*y.co*m】
18．(12分)已知△ABC的两条高线所在直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)．【出处：21教育名师】
求(1)BC边所在的直线方程；
(2)△ABC的面积．
19．(12分)已知一个圆和直线l：x＋2y－3＝0相切于点P(1,1)，且半径为5，求这个圆的方程．【来源：21·世纪·教育·网】
20．(12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．21教育网
21．(12分) 如图所示，某县 ( http: / / www.21cnjy.com )相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？并说明理由．21世纪教育网版权所有
22．(12分)已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5．
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．
第二章 解析几何初步(A) 答案
1．D [α＝90°时，斜率不存在．∴选D．]
2．B [当两直线平行时有关系＝≠，可求得a＝－6．]
3．C
4．D [由kAB＝kAC得b＝－9．]
5．D [当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)
代入得k＝－；当截距不为0时，设方程为＋＝1，将(3，－4)代入得a＝－1．]
6．D
7．A [垂足(1，c)是两直线的交点， ( http: / / www.21cnjy.com )且l1⊥l2，故－×＝－1，∴a＝10．l：10x＋4y－2＝0．将(1，c)代入，得c＝－2；将(1，－2)代入l2：得b＝－12．则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．]21·cn·jy·com
8．A [(x，y)关于y轴的对称点坐标(－x，y)，则得(－x＋2)2＋y2＝5．]
9．C [圆心为(2，－3)，半径为2，故方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4．]
10．D [化成标准方程(x－2)2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )y2＝9，过点P(1,2)的最短弦所在直线l应与PC垂直，故有kl·kPC＝－1，由kPC＝－2得kl＝，进而得直线l的方程为x－2y＋3＝0．]
11．A [将两方程联立消去y后得(k2＋1)x2＋2kx－9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k＝0．] 21*cnjy*com
12．D [因为点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，令x＝0得y＝．【版权所有：21教育】
令y＝0得x＝5，故S△＝××5＝．]
13．
解析 易知点B坐标为(0,2,3)，故OB＝．
14．3x＋y＋4＝0
15．－
解析 设P(x,1)则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0．
∴x＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝－．
16．
解析 x2＋y2－4x＋1＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0(y≥0)表示的图形是位于x轴上方的半圆，而的最大值是半圆上的点和原点连线斜率的最大值，结合图形易求得最大值为．21·世纪*教育网
17．解 由题意得解得
即平行四边形给定两邻边的顶点为．
又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为．
∵另两边所在直线分别与直线x＋y＋1＝0及3x－y＋4＝0平行，∴它们的斜率分别为－1及3，
即它们的方程为y－＝－
及y－＝3，
∴另外两边所在直线方程分别为x＋y－13＝0和3x－y－16＝0．
18．解 (1)∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设kAB＝－，kAC＝1．
∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，
x－y＋1＝0．
由得B(7，－7)．
由得C(－2，－1)．
∴BC边所在的直线方程2x＋3y＋7＝0．
(2)∵|BC|＝，
A点到BC边的距离d＝，
∴S△ABC＝×d×|BC|
＝××＝．
19．解 设圆心坐标为C(a，b)，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25．
∵点P(1,1)在圆上，
∴(1－a)2＋(1－b)2＝25．
又∵CP⊥l，∴＝2，
即b－1＝2(a－1)．
解方程组
得或
故所求圆的方程是
(x－1－)2＋(y－1－2)2＝25或(x－1＋)2＋(y－1＋2)2＝25．
20．解 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∵圆上的点A(2,3)关于x＋2y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上，
即a＋2b＝0． ①
圆被直线x－y＋1＝0截得的弦长为2，
∴2＋()2＝r2． ②
由点A(2,3)在圆上得(2－a)2＋(3－b)2＝r2． ③
由①②③解得或
∴圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244．
21．解
如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，若P′(异于P)在直线上，
则|AP′|＋|BP′|
＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|．
因此，供水站只有在P点处，才能取得最小值，设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，
即
解得
即A′(3,6)．所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，
解方程组得
所以P点的坐标为．
故供水站应建在点P处．
22．解 (1)由题意，得＝5．
＝5，
化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0．
即(x－1)2＋(y－1)2＝25．
∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，
轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，
此时所截得的线段的长为2＝8，
∴l：x＝－2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为
y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
圆心到l的距离d＝，
由题意，得2＋42＝52，
解得k＝．
∴直线l的方程为x－y＋＝0．
即5x－12y＋46＝0．
综上，直线l的方程为
x＝－2，或5x－12y＋46＝0．
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2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(二)
【课时目标】 1．掌握圆与圆的位 ( http: / / www.21cnjy.com )置关系及判定方法．2．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断．3．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题．
圆与圆位置关系的判定有两种方法：
1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d＝r1＋r2 |r1－r2|
2．代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
一、选择题
1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4和(x－3)2＋(y＋6)2＝64的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )21世纪教育网版权所有
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
4．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
6．集合M＝{(x，y)|x2＋y2 ( http: / / www.21cnjy.com )≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )21教育网
A．(0，－1) B．(0,1]
C．(0,2－] D．(0,2]
二、填空题
7．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．
8．两圆交于A(1,3)及B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋n＝0上，则m＋n的值为________．21cnjy.com
9．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为____________．
三、解答题
10．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
11．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．www.21-cn-jy.com
能力提升
12．若⊙O：x2＋y2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．2·1·c·n·j·y
13．已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9．
(1)求出以PQ为直径，Q′为圆心的圆的方程；
(2)设以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点为A、B，则直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？21·世纪*教育网
(3)求直线AB的方程．
1．判定两圆位置关系时，结合图形易于判断分析，而从两圆方程出发往往比较繁琐且不准确，可充分利用两圆圆心距与两圆半径的和差的比较进行判断．
2．两圆的位置关系决定了两圆公切线的条数．
3．两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程作差，但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所在直线方程．21·cn·jy·com
2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系(二) 答案
知识梳理
1．
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|2．相交 内切或外切 外离或内含
作业设计
1．A [圆心距d＝r＋R，选A．]
2．C [∵两圆标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，
(x＋2)2＋(y－2)2＝9，
∴圆心距d＝＝5，
r1＝2，r2＝3，
∴d＝r1＋r2，∴两圆外切，∴公切线有3条．]
3．C [两圆圆心所在直线即为所求，将两圆圆心代入验证可得答案为C．]
4．C [外切时满足r1＋r2＝d，
即＝5，解得m＝2或－5．]
5．D [设动圆圆心为P，已知圆的圆心为A( ( http: / / www.21cnjy.com )5，－7)，则外切时|PA|＝5，内切时|PA|＝3，所以P的轨迹为以A为圆心，3或5为半径的圆，选D．]【来源：21·世纪·教育·网】
6．C [由已知M∩N＝N知N M，
∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，∴2－r≥，∴07．±2或0
解析 ∵圆心分别为(0,0)和(－4，a)，半径分别为1和5，两圆外切时有
＝1＋5，∴a＝±2，
两圆内切时有＝5－1，
∴a＝0．综上，a＝±2或a＝0．
8．3
解析 A、B两点关于直线x－y＋n＝0对称，
即AB中点(，1)在直线x－y＋n＝0上，
则有－1＋n＝0， ①
且AB斜率＝－1 ②
由①②解得：m＝5，n＝－2，m＋n＝3．
9．
解析 由
②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，
∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为
d＝＝，
设公共弦长为l，∴l＝2＝．
10．解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
由①②③得．∴(x－3)2＋(y－3)2＝18．
11．
解 把圆的方程都化成标准形式，
得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，
(x＋1)2＋(y＋2)2＝4．
如图，C1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－2)，半径长是2．所以，
|C1C2|＝＝．
因此，|MN|的最大值是＋5．
12．4
解析 如图所示，
在Rt△OO1A中，OA＝，O1A＝2，∴OO1＝5，
∴AC＝＝2，
∴AB＝4．
13．解 (1)∵已知圆的方程为
(x－4)2＋(y－2)2＝32，
∴Q(4,2)．
PQ中点为Q′，
半径为r＝＝，
故以Q′为圆心的圆的方程为
(x－1)2＋2＝．
(2)∵PQ是圆Q′的直径，
∴PA⊥AQ(如图所示)
∴PA是⊙Q的切线，同理PB也是⊙Q的切线．
(3)将⊙Q与⊙Q′方程相减，得6x＋5y－25＝0．
此即为直线AB的方程．
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3．3 空间两点间的距离公式
【课时目标】 1．掌握空间两点间的距离公式．2．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．3．能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．2·1·c·n·j·y
1．在空间直角坐标系中，给定两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
则|P1P2|＝_______________________________________________________________．
特别地：设点A(x，y，z)，则A点到原点的距离为：|OA|＝________________．
2．若点P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)，则|P1P2|＝________________________．
3．若点P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)，则|P1P2|＝____________．
一、选择题
1．若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为( )
A． B．25 C．5 D．
2．在长方体ABCD－A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )21世纪教育网版权所有
A．9 B． C．5 D．2
3．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足( )
A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0
C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝4
4．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则下列说法中正确的是( )
A．A、B、C三点可以构成直角三角形
B．A、B、C三点可以构成锐角三角形
C．A、B、C三点可以构成钝角三角形
D．A、B、C三点不能构成任何三角形
5．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( )
A．19 B．－ C． D．
6．点P(x，y，z)满足＝2，则点P在( )
A．以点(1,1，－1)为球心，以为半径的球面上
B．以点(1,1，－1)为中心，以为棱长的正方体内
C．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上
D．无法确定
二、填空题
7．在空间直角坐标系中，正方 ( http: / / www.21cnjy.com )体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．21·cn·jy·com
8．已知P到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________．www-2-1-cnjy-com
9．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________． 21*cnjy*com
三、解答题
10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
11．如图所示，BC＝4，原点O是BC的中 ( http: / / www.21cnjy.com )点，点A的坐标为(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．21cnjy.com
能力提升
12．已知正方形ABCD、ABEF的边长都 ( http: / / www.21cnjy.com )是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜ )．www.21-cn-jy.com
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
13．在长方体ABCD—A1B1C1D1 ( http: / / www.21cnjy.com )中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．【来源：21·世纪·教育·网】
空间中两点的距离公式，是数轴 ( http: / / www.21cnjy.com )上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则d(P1，P2)＝，当P1，P2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．21·世纪*教育网
3．3 空间两点间的距离公式 答案
知识梳理
1．
2．
3．|x1－x2|
作业设计
1．C [|AB|＝＝5．]
2．B [由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝．]
3．B [|AC|＝|BC| (x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2．即x＋y＋z＝0．]2-1-c-n-j-y
4．A [|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝1，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2．故构成直角三角形．]
5．C [|AB|＝
＝，
∴当x＝－＝时，|AB|最小．]
6．C
7．
8．0或－4
解析 利用中点坐标公式，
则AB中点C，|PC|＝3，
即＝3，
解得z＝0或z＝－4．
9．(0，－1,0)
解析 设M的坐标为(0， ( http: / / www.21cnjy.com )y,0)，由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，21教育网
∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．
10．解 ∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上，
∴可设M(x,1－x,0)．
∴|MN|＝
＝≥，
当且仅当x＝1时取等号，
∴当点M坐标为(1,0,0)时，|MN|min＝．
11．解 由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，
设D(0，y，z)，则在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，
∴BD＝2，CD＝2，z＝，y＝－1．
∴D(0，－1，)．又∵A(，，0)，
∴|AD|＝＝．
12．解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴AB、BC、BE两两垂直．
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB．
∵CM＝BN＝a，
∴CH＝MH＝BG＝GN＝a，
∴以B为原点，以AB、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则【来源：21cnj*y.co*m】
M，
N．
(1)|MN|
＝
＝
＝，
(2)由(1)得，当a＝时，|MN|最短，最短为，这时M、N恰好为AC、BF的中点．
13．解 如图分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，
D(0,3,0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，
∵N为CD1的中点，
∴N．
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得
|MN|＝＝．
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1．2 直线的方程(一)
【课时目标】 1．掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素．2．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．3．了解斜截式与一次函数的关系．21教育网
直线的点斜式方程和斜截式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
点斜式 点P(x0，y0)和斜率k 斜率存在
斜截式 斜率k和在y轴上的截距b 斜率存在
一、选择题
1．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(－1,2)，斜率为1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1
3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
4．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一坐标系中的图形可能是( )
5．集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A、B间的关系是( )
A．A＝B B．B?A
C．A?B D．以上都不对
6．直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
二、填空题
7．经过点(1,2)且斜率为3的直线在y轴上的截距为________．
8．已知一条直线经过点P(1,2)且斜率为2，则该直线的斜截式方程是________．
9．下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；
④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．
正确的为________(填序号)．
三、解答题
10．写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点A(2,5)，且斜率为2；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．
11．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成三角形的面积为3，求l的方程．
能力提升
12．某地长途汽车客运公司规定旅客可 ( http: / / www.21cnjy.com )随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(千克)的关系用直线AB的方程表示(如图所示)．试求：21世纪教育网版权所有
(1)直线AB的方程；
(2)旅客最多可免费携带多少行李？
13．等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为，点B(－3，2)，求直线AC、BC及角A的平分线所在直线方程．21·cn·jy·com
1．已知直线l经过的一个点和直线斜率就 ( http: / / www.21cnjy.com )可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点P(x0，y0)，斜率不存在的直线方程为x＝x0．直线的斜截式方程y＝kx＋b是点斜式的特例．www.21-cn-jy.com
2．求直线方程时常常使用待定系 ( http: / / www.21cnjy.com )数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．21cnjy.com
1．2 直线的方程(一) 答案
知识梳理
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
点斜式 点P(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在
斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 斜率存在
作业设计
1．C [易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．]
2．C 3．B 4．D
5．B [一次函数y＝kx＋b(k≠0)；
直线的斜截式方程y＝kx＋b中k可以是0，
所以B?A．]
6．C [直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，
由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．]
7．－1
8．y＝2x
9．②③
10．解 (1)直线点斜式方程为y－5＝2(x－2)．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，
即y＝－1．
11．解 设直线l的方程为y＝x＋b，
则x＝0时，y＝b；
y＝0时，x＝－6b．
由已知可得·|b|·|6b|＝3，
即6|b|2＝6，
∴b＝±1．
故所求直线方程为
y＝x＋1或y＝x－1．
12．解 (1)由题图知，A(60,6)，B(80,10)，
设直线AB的方程为y＝kx＋b，
将A、B两点代入得，，
解得
∴y＝x－6．
(2)依题意，令y＝0，得x＝30．
即旅客最多可免费带30千克行李．
13．解 AC：y＝x＋2＋．
∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，
∴BC倾斜角为30°或120°．
当α＝30°时，BC方程为y＝x＋2＋，
角A平分线倾斜角为120°，
∴所在直线方程为y＝－x＋2－．
当α＝120°时，BC方程为y＝－x＋2－3，角A平分线倾斜角为30°，
∴所在直线方程为y＝x＋2＋．
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1．3 两条直线的位置关系
【课时目标】 1．熟练应用两直线平行与垂直的判断方法．2．理解当直线的斜率不存在时，两直线可能平行或垂直．www-2-1-cnjy-com
1．设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则__________，反之，若k1＝k2，则________．2-1-c-n-j-y
特别当两条直线的斜率都不存在时两条直线______．
2．(1)两条直线l1与l2中的一条平行于x轴，另一条垂直于x轴，则两条直线________．
(2)如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且其中一个不为零，那么l1⊥l2 __________．
一、选择题
1．下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
③若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( )
A．0 B．－8 C．2 D．10
3．△ABC的顶点A(3,6)、B(－1,5)、C(1,1)，则BC边的高所在的直线方程为( )
A．x－2y＋9＝0 B．x＋2y－15＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－9＝0
4．已知直线l1：(m＋3)x＋(m－1)y－5＝0与直线l2：(m－1)x＋(3m＋9)y－1＝0互相垂直，则实数m的值为( )21世纪教育网版权所有
A．－3，－1 B．－3,1
C．3,1 D．－1,3
5．在平面直角坐标系中，对a∈R，直线l1：x－2ay＋1＝0和l2：2ax＋y－1＝0( )
A．互相平行 B．互相垂直
C．关于原点对称 D．关于直线y＝－x对称
6．两条直线－＝1与－＝1的图象是下图中的( )
二、填空题
7．与直线3x－2y＋1＝0垂直，且过点(1,2)的直线l的方程是__________．
8．经过点P(－2，－1)、Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝________．
9．经过A(－1，m)，B(2m,1)两点的直线，当m＝______时，该直线平行于x轴；当m＝________时，该直线平行于y轴．21cnjy.com
三、解答题
10．已知直线l1上的点满足ax＋2y＋6＝0，直线l2上的点满足x＋(a－1)y＋a2－1＝0 (a≠1)，试求a为何值时，www.21-cn-jy.com
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2．
11．已知斜边在x轴上的Rt△ABC的直角顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点A(0,1)，其中一条直角边所在直线的方程为2ax＋by＋a＝0 (b≠0)，求另一条直角边所在直线的方程．21·cn·jy·com
能力提升
12．过点(4，－5)且与原点距离最远的直线方程是____________．
13．已知正方形的一个顶点为A(－1,0)，一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求以A为端点的两边所在直线的方程． 21*cnjy*com
在判定两条不重合的直线的位置关系时，应先考虑 ( http: / / www.21cnjy.com )两条直线的斜率是否存在．若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行；如果一条直线斜率存在，另一条直线的斜率不存在，画图很容易判断它们的位置关系；如果两条直线的斜率都存在，我们可根据l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1判断即可．2·1·c·n·j·y
1．3 两条直线的位置关系 答案
知识梳理
1．k1＝k2 l1∥l2 平行
2．(1)垂直 (2)k1k2＝－1
作业设计
1．B 2．B 3．A 4．B 5．B 6．B
7．2x＋3y－8＝0 8．4
9．1 －
10．解 (1)若l1∥l2，∵a≠1，
∴l1的斜率是k1＝－，
l2的斜率是k2＝－，
由k1＝k2，得－＝－，即a2－a－2＝0，
解得a＝－1或a＝2．
当a＝－1时，l1：x－2y－6＝0，l2：x－2y＝0符合题意；
当a＝2时，l1：x＋y＋3＝0，l2：x＋y＋3＝0，l1与l2重合，不合题意，故a＝－1为所求．21教育网
(2)l1⊥l2时，由(1)及两直线垂直的条件k1·k2＝－1，
得·＝－1，解得a＝．
综上可知，a＝－1时，l1∥l2；a＝时，l1⊥l2．
11．解 由题意知点A(0,1)满足方程
2ax＋by＋a＝0 (b≠0)．
∴b＝－a，∴该直线的斜率k＝－＝2．
∵两直角边所在的直线互相垂直．
∴另一直角边所在的直线的斜率为－，
∴y－1＝－(x－0)．
即所求直线的方程为x＋2y－2＝0．
12．4x－5y－41＝0
解析 此直线必过点(4，－5)，且与(0,0)，(4，－5)的连线垂直，而(0,0)，(4，－5)连线的斜率为．【来源：21·世纪·教育·网】
∴所求直线的斜率为，
∴所求直线的方程为y＋5＝(x－4)，
即4x－5y－41＝0．
13．解 易知点A不在直线x ( http: / / www.21cnjy.com )＋3y－5＝0上．和已知边平行的一边所在直线的斜率为－，和已知边垂直的两边所在直线的斜率为3．因此，以A为端点的两边所在直线方程分别为y＝－(x＋1)和y＝3(x＋1)，即x＋3y＋1＝0和3x－y＋3＝0．21·世纪*教育网
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习题课(三)
【课时目标】 熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式，能灵活应用它们解决有关的综合问题．
1．
三个距离公式
2．三种常见的对称问题
(1)点关于点的对称
点P(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为P′______________________________．
(2)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2) ( http: / / www.21cnjy.com )关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组 可得点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．21cnjy.com
(3)线关于点、线的对称
线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P ( http: / / www.21cnjy.com )(x，y)的坐标x，y满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．
一、选择题
1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0的对称点为( )
A．(－13,1) B．(－2，－6)
C．(－1，－3) D．(17，－9)
2．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
3．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( )
A．(5，－3) B．(9,0)
C．(－3,5) D．(－5,3)
4．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
5．若点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0与3x－4y＋5＝0之间，则整数b的值为( )
A．5 B．－5 C．4 D．－4
6．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，
则的最小值是( )
A． B． C．13 D．不存在
二、填空题
7．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为________________．
8．如图所示，已知△ABC的顶点是A(－ ( http: / / www.21cnjy.com )1，－1)，B(3,1)，C(1,6)，直线l平行于AB，且分别交AC、BC于E、F，△CEF的面积是△CAB面积的，则直线l的方程为________．
9．设点A(－3,5)和B(2,15)，在直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|为最小，则这个最小值为________．www.21-cn-jy.com
三、解答题
10．一条直线被直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．2·1·c·n·j·y
11．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．
(1)l′与l平行且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；
(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线．
能力提升
12．直线2x－y－4＝0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3,4)的距离之差的最大值．
13．已知M(1,0)、N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，求|PM|2＋|PN|2的最小值及取最小值时点P的坐标．21·cn·jy·com
1．在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．21教育网
2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这 ( http: / / www.21cnjy.com )个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．【来源：21·世纪·教育·网】
3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况．
习题课(三) 答案
知识梳理
1．(1) (2)
(3)
2．(1)(2a－x0,2b－y0) (2)＝
作业设计
1．C [设对称点为(x0，y0)，
则由得]
2．B [直线3x－4y＋5＝0与x轴交点为，由对称直线的特征知，所求直线斜率为k＝－．
∴y＝－，即3x＋4y＋5＝0．]
3．A [当PQ与已知直线垂直时，垂足Q即为所求．]
4．B [当直线斜率不存在 ( http: / / www.21cnjy.com )时，直线方程为x＝1，原点到直线距离为1，满足题意．当直线斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x－1)即kx－y＋3－k＝0．由已知＝1，解得k＝，满足题意．故共存在2条直线．]21·世纪*教育网
5．C [把x＝5代入6x－8y＋1＝0得y＝，
把x＝5代入3x－4y＋5＝0得y＝5，∴又∵b为整数，∴b＝4．]
6．A [
＝，
它表示点(x，y)与(1,2)之间的距离，
两点距离的最小值即为点(1,2)到直线5x＋12y＝60的距离，∴d＝＝．]
7．3x－y＋3＝0
8．x－2y＋5＝0
解析 由已知，直线AB的斜率k＝，
∵EF∥AB，∴直线EF的斜率为k＝．
∵△CEF的面积是△CAB面积的，
∴E是CA的中点，∴点E的坐标，
直线EF的方程是y－＝x，即x－2y＋5＝0．
9．5
解析 设点A关于直线l的对称点A′的坐标为(a，b)，则由AA′⊥l且AA′被l平分，
得
解之得a＝3，b＝－3．∴点A′的坐标为(3，－3)，
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|
＝＝5．
10．解 设所求直线与直线l1交于A(x0，y0)，它关于原点的对称点为B(－x0，－y0)，且B在直线l2上，由21世纪教育网版权所有
解得
∴所求直线方程为y＝x＝－x，
即x＋6y＝0．
11．解 (1)直线l：3x＋4y－12＝0，kl＝－，
又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－．
∴直线l′：y＝－(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0．
(2)∵l′⊥l，∴kl′＝．
设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为－b，
由题意可知，S＝|b|·＝4，
∴b＝±．
∴直线l′：y＝(x＋)或y＝(x－)．
(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，
∴l′与l关于原点对称．
任取点(x0，y0)在l上，则在l′上对称点为(x，y)．
x＝－x0，y＝－y0，则－3x－4y－12＝0．
∴l′为3x＋4y＋12＝0．
12．解 找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点．设A′(a，b)，
则．
解得，
所以|A′B|＝＝3．
13．解 ∵P为直线2x－y－1＝0上的点，∴可设P的坐标为(m,2m－1)，由两点的距离公式得
|PM|2＋|PN|2＝(m－1)2＋(2m－1)2＋(m＋1)2＋(2m－1)2＝10m2－8m＋4．(m∈R)
令f(m)＝10m2－8m＋4
＝102＋≥，
∴当m＝时，|PM|2＋|PN|2取最小值，此时P．
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第二章 解析几何初步（B）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．如图直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则有( )
A．α1<α2<α3 B．α1<α3<α2
C．α3<α2<α1 D．α2<α1<α3
2．直线x＋2y－5＝0与2x＋4y＋a＝0之间的距离为，则a等于( )
A．0 B．－20
C．0或－20 D．0或－10
3．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值是( )
A．－3 B．2 C．－3或2 D．3或－2
4．下列说法正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示【来源：21·世纪·教育·网】
5．过点M(2,1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，且|MP|＝|MQ|，则l的方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－4＝0
6．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是( )
A．(－3,4，－10) B．(－3,2，－4)
C． D．(6，－5,11)
7．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是( )21·cn·jy·com
A．k>2 B．－3C．k<－3或k>2 D．以上都不对
8．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是( ) 21*cnjy*com
10．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为( )【出处：21教育名师】
A．－3或7 B．－2或8
C．0或10 D．1或11
11．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0
12．直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个公共点，则b的取值范围是( )
A．|b|＝ B．－1C．－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．点M(1,2，－3)关于原点的对称点是________．
14．原点O在直线l上的射影为点H(－2,1)，则直线l的方程为________．
15．经过点(－5,2)且横、纵截距相等的直线方程是__________________．
16．两圆x2＋y2＋4y＝0，x2＋y2＋2(a－1)x＋2y＋a2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a的值为________．21·世纪*教育网
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．2-1-c-n-j-y
18．(12分)在三棱柱ABO－ ( http: / / www.21cnjy.com )A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
19．(12分) 如图， ( http: / / www.21cnjy.com )已知△ABC中A(－8,2)，AB边上中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．
(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．
(2)求直线l被圆C所截得的弦长的最小值．
21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．21世纪教育网版权所有
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．
22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．www-2-1-cnjy-com
第二章 解析几何初步(B) 答案
1．B 2．C 3．A
4．D [斜率有可能不存在，截距也有可能不存在．]
5．D [由题意可知M为线段PQ的中点，Q(0,2)，P(4，0)，可求得直线l的方程x＋2y－4＝0．]【来源：21cnj*y.co*m】
6．A [设点A关于点(0,1，－3)的对称点为A′(x，y，z)，则(0,1，－3)为线段AA′的中点，【版权所有：21教育】
即＝0，＝1，＝－3，
∴x＝－3，y＝4，z＝－10．
∴A′(－3,4，－10)．]
7．C [由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2．]
8．C [将原直线方程化为斜截式为y＝－x－，由AC<0且BC<0，可知AB>0，直线斜率为负，截距为正，故不过第三象限．]21教育名师原创作品
9．B [由直线的斜率a与在y轴上的截距b的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，所以只有B符合．]
10．A [直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位得2x－y＋λ＋2＝0，
圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为C(－1,2)，
r＝，d＝＝，λ＝－3，或λ＝7．]
11．D [l为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2，2)的中点为(－1,1)，kl＝1，∴y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0．]2·1·c·n·j·y
12．D [如图，由数形结合知，选D．]
13．(－1，－2,3)
14．2x－y＋5＝0
解析 所求直线应过点(－2,1)且斜率为2，故可求直线为2x－y＋5＝0．
15．y＝－x或x＋y＋3＝0
解析 不能忽略直线过原点的情况．
(1)直线过原点时，设方程为y＝kx，
从而求得k＝－．
(2)直线不过原点时，设方程为＋＝1，
求得a＝－3．
16．－2
解析 两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a＝－2．
17．解
l2平行于x轴，l1与l3互相垂直．三交点A，B，C构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．21*cnjy*com
解方程组
得
所以点A的坐标是(－2，－1)．
解方程组得
所以点B的坐标是(1，－1)．
线段AB的中点坐标是，
又|AB|＝＝3．
所求圆的标准方程是2＋(y＋1)2＝．
18．解
如图所示，
以三棱原点，以OA、OB、OO′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz．
由OA＝OB＝OO′＝2，
得A(2,0,0)、B(0,2,0)、O(0,0,0)，A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、
O′(0,0,2)．由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，设E点坐标为(0,2，z)，
∴|EC|＝
＝．
故当z＝1时，|EC|取得最小值为．
此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．
19．解 设B(x0，y0)，
则AB中点E的坐标为，
由条件可得：，
得，解得，即B(6,4)，同理可求得C点的坐标为(5,0)．故所求直线BC的方程为＝，即4x－y－20＝0．21教育网
20．(1)证明 方法一 设圆心C(3,4)到动直线l的距离为d，
则d＝
＝≤．
∴当m＝－时，dmax＝<3(半径)．
故动直线l总与圆C相交．
方法二 直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0．
令解得
如图所示，故动直线l恒过定点A(2,3)．
而|AC|＝＝<3(半径)．
∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交．
(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小．
∴最小值为2＝2．
21．解 (1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，
∴直线AD的斜率为－3．
又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0．
(2)由得
∴点A的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，
又|AM|＝＝2，
∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．
22．解 (1)将圆C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，
设切线方程为y＝kx，
∴圆心到切线的距离为＝，
即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．
∴y＝(2±)x；
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，
∴圆心到切线的距离为＝，
即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．
∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．综上所述，所求切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．21cnjy.com
(2)∵|PO|＝|PM|，
∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．www.21-cn-jy.com
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，
此时直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，
解得方程组得
∴P点坐标为．
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1．4 两条直线的交点
【课时目标】 1．掌握求 ( http: / / www.21cnjy.com )两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．
1．两条直线的交点
已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l1：A2x＋B2y＋C2＝0．
若两直线方程组成的方程组有唯一解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x0,y＝y0))，则两直线______，交点坐标为____________________________________________________________________．
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系
方程组的解 交点 两直线位置关系 方程系数特征
无解 两直线____交点 平行 A1B2＝A2B1B1C2≠B2C1
有唯一解 两条直线______交点 相交 A1B2≠A2B1
有无数个解 两条直线有____个交点 重合 A1B2＝A2B1B2C1＝B1C2
一、选择题
1．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合
2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
3．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为( )
A．－24 B．6
C．±6 D．以上答案均不对
5．已知直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，l1∥l2，则m的值是( )
A．m＝3 B．m＝0
C．m＝0或m＝3 D．m＝0或m＝－1
6．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )21·cn·jy·com
A．[30°，60°) B．(30°，90°)
C．(60°，90°) D．[30°，90°]
二、填空题
7．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}?{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．
8．已知直线l过直线l1：3x－ ( http: / / www.21cnjy.com )5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．21世纪教育网版权所有
9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．www.21-cn-jy.com
三、解答题
10．已知△ABC的三边BC，CA ( http: / / www.21cnjy.com )，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．2·1·c·n·j·y
能力提升
11．在△ABC中，BC边 ( http: / / www.21cnjy.com )上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，角A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
1．过定点(x0，y0)的直线系方程
y－y0＝k(x－x0)是过定 ( http: / / www.21cnjy.com )点(x0，y0)的直线系方程，但不含直线x＝x0；A(x－x0)＋B(y－y0)＝0是过定点(x0，y0)的一切直线方程．21教育网
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．21cnjy.com
3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l ( http: / / www.21cnjy.com )1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程．【来源：21·世纪·教育·网】
1．4 两条直线的交点 答案
知识梳理
1．相交 (x0，y0)
2．
方程组的解 交点 两直线位置关系 方程系数特征
无解 两直线无交点 平行 A1B2＝A2B1B1C2≠B2C1
有唯一解 两条直线有1个交点 相交 A1B2≠A2B1
有无数个解 两条直线有无数个交点 重合 A1B2＝A2B1B2C1＝B1C2
作业设计
1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]
2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0．]www-2-1-cnjy-com
3．B [首先联立，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0得a＝－1．]
4．C [2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为，直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为，由＝
得m＝±6．]
5．D [l1∥l2，则1·3m＝(m－2)·m2，
解得m＝0或m＝－1或m＝3．
又当m＝3时，l1与l2重合，
故m＝0或m＝－1．]
6．B [
由数形结合知，当k>kAB，即k>时，交点在第一象限，此时倾斜角范围为(30°，90°)．]
7．2
解析 首先解得方程组的解为
，代入直线y＝3x＋b得b＝2．
8．8x＋16y＋21＝0
9．(－1，－2)
解析 直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)．2-1-c-n-j-y
10．解
如图，过D，E，F分别作EF，FD，DE的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC的三个顶点A，B，C．21·世纪*教育网
由已知得，直线DE的斜率
kDE＝＝，所以kAB＝．
因为直线AB过点F，所以直线AB的方程为
y－2＝(x＋1)，即4x－5y＋14＝0． ①
由于直线AC经过点E(3,1)，且平行于DF，
同理可得直线AC的方程
5x－y－14＝0． ②
联立①，②，解得点A的坐标是(4,6)．
同样，可以求得点B，C的坐标分别是
(－6，－2)，(2，－4)．
因此，△ABC的三个顶点是A(4,6)，B(－6，－2)，C(2，－4)．
11．解
如图所示，由已知，A应是BC边上的高线所在直线与角A的角平分线所在直线的交点．
由，得，
故A(－1,0)．
又角A的角平分线为x轴，
故kAC＝－kAB＝－1．
∴AC方程为y＝－(x＋1)，又kBC＝－2，
∴BC的方程为y－2＝－2(x－1)，
由，得，
故C点坐标为(5，－6)．
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§2 圆与圆的方程
2．1 圆的标准方程
【课时目标】 1．用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．掌握求圆的标准方程的不同求法．www.21-cn-jy.com
1．设圆的圆心是A(a，b)，半径 ( http: / / www.21cnjy.com )长为r，则圆的标准方程是________________，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是______________．
2．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，点P在圆外 ________；点P在圆上 ________；点P在圆内 ________．2·1·c·n·j·y
一、选择题
1．点(sin θ，cos θ)与圆x2＋y2＝的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆内
C．在圆外 D．不能确定
2．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
3．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程是( )
A．(x＋3)2＋(y＋4)2＝1
B．(x＋4)2＋(y－3)2＝1
C．(x－4)2＋(y－3)2＝1
D．(x－3)2＋(y－4)2＝1
5．方程y＝表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
二、填空题
7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________．
8．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
9．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．21·世纪*教育网
三、解答题
10．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．2-1-c-n-j-y
11．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．
能力提升
12．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．【来源：21·世纪·教育·网】
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．21世纪教育网版权所有
1．点与圆的位置关系的判定：(1) ( http: / / www.21cnjy.com )利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．21cnjy.com
2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．21·cn·jy·com
3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解．www-2-1-cnjy-com
§2 圆与圆的方程
2．1 圆的标准方程
答案
知识梳理
1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
2．d>r d＝r d作业设计
1．C [将点的坐标代入圆方程，得sin2θ＋cos 2θ＝1>，所以点在圆外．]
2．B [点M(5，－7)到圆心A(2，－3)的距离为5，恰好等于半径长，故点在圆上．]
3．D [(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解．] 21*cnjy*com
4．B [两个半径相等的圆关于直线对称 ( http: / / www.21cnjy.com )，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y＝x的对称点为(－4,3)即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1．]【来源：21cnj*y.co*m】
5．D [由y＝知，y≥0，两边平方移项，
得x2＋y2＝9．∴选D．]
6．A [设直径的两个端点为M(a,0)，N(0，b)，
则＝2 a＝4，＝－3 b＝－6．
所以M(4,0)，N(0，－6)．
因为圆心为(2，－3)，
故r＝＝．
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13．]
7．(x－4)2＋(y－1)2＝26
解析 圆心即为两相对顶点连线的中点，半径为两相对顶点距离的一半．
8．5＋
解析 点(2,3)与圆心连线的延 ( http: / / www.21cnjy.com )长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5＋．【出处：21教育名师】
9．[0,2]
解析 由题意知l过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k≤2．
10．解 因为A(1,1)和B(2，－2)，
所以线段AB的中点D的坐标为，
直线AB的斜率kAB＝＝－3，
因此线段AB的垂直平分线l′的方程为
y＋＝，
即x－3y－3＝0．
圆心C的坐标是方程组的解．
解此方程组，得
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆心为C的圆的半径长
r＝|AC|＝＝5．
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
11．解 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)．
由题意得．
解得a＝3，b＝1，r＝3或a＝111，b＝37，r＝111．
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112．
12．解 由题意得圆心坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标为(，1)，半径为2，则圆心到直线l的距离为d＝＝3－，则圆C上的点到直线l距离的最大值为3－＋2，最小值为3－－2．
13．解 设P点坐标(x，y)，则x2＋y2＝4．
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x ( http: / / www.21cnjy.com )＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y．21教育网
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88．
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72．
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§3 空间直角坐标系
3．1 空间直角坐标系的建立
3．2 空间直角坐标系中点的坐标
【课时目标】 1．了解空间直角坐标系的建系方式．2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标．
1．如图所示，为了确定空 ( http: / / www.21cnjy.com )间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA、OC、OD′的方向为正方向，以线段OA、OC、OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个______________________，其中点O叫作______________，x轴、y轴、z轴叫作__________，通过每两个坐标轴的平面叫作____________，分别称为__________________________，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即__________指向x轴的正方向，__________指向y轴的正方向，________指向z轴的正方向．21教育网
2．空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y， ( http: / / www.21cnjy.com )z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的____________，y叫做点M的____________，z叫做点M的__________．21·cn·jy·com
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x轴的对称点为( )
A．(1，－2，－3) B．(1，－2,3)
C．(1,2,3) D．(－1,2，－3)
2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为( )
A．垂直于xOz平面的一条直线
B．平行于xOz平面的一条直线
C．垂直于y轴的一个平面
D．平行于y轴的一个平面
3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食 ( http: / / www.21cnjy.com )盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)．其中实圆 代表钠原子，空间圆?代表氯原子．建立空间直角坐标系Oxyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )www.21-cn-jy.com
A． B．(0,0,1)
C． D．
4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面的对称点的坐标为( )
A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)
C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)
5．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
6．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )
A． B．|a| C．|b| D．|c|
二、填空题
7．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确说法的序号是________．
8．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(1，，)，过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是______．21cnjy.com
9．连接平面上两点P1(x ( http: / / www.21cnjy.com )1，y1)、P2(x2，y2)的线段P1P2的中点M的坐标为，那么，已知空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点M的坐标为________________．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
10．已知正方体ABCD－ ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点，且正方体棱长为1．请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标．
11．如图所示，已知长方体ABCD－A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
能力提升
12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2．试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．21世纪教育网版权所有
13．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8．BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标．www-2-1-cnjy-com
1．点坐标的确定实质是过此点作三条坐标轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )垂面，一个垂面与x轴交点的横坐标为该点的横坐标，一个垂面与y轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，另一个垂面与z轴交点的竖坐标为该点的竖坐标．2·1·c·n·j·y
2．明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“关于谁对称，谁不变，其余均相反；关于原点对称，均相反”．21·世纪*教育网
①点(x，y，z)关于xOy面，yO ( http: / / www.21cnjy.com )z面，xOz面，x轴，y轴，z轴，原点的对称点依次为(x，y，－z)，(－x，y，z)，(x，－y，z)，(x，－y，－z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，z)，(－x，－y，－z)．2-1-c-n-j-y
②点(x，y，z)在xOy面，yOz ( http: / / www.21cnjy.com )面，xOz面，x轴，y轴，z轴上的投影点坐标依次为(x，y,0)，(0，y，z)，(x,0，z)，(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)． 21*cnjy*com
§3 空间直角坐标系
3．1 空间直角坐标系的建立
3．2 空间直角坐标系中点的坐标
答案
知识梳理
1．空间直角坐标系Oxyz 坐标原点 坐标轴
坐标平面 xOy平面、yOz平面、zOx平面 右手拇指 食指 中指
2．横坐标 纵坐标 竖坐标
作业设计
1．B [两点关于x轴对称，坐标关系：横坐标相同，纵竖坐标相反．]
2．A 3．A
4．A [两点关于平面yOz对称，坐标关系：横坐标相反，纵竖坐标相同．]
5．C [三坐标均相反时，两点关于原点对称．]
6．D
7．②③④ 8．(0，，)
9．
10．解
如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，
B(1,1,0)，C(0, ( http: / / www.21cnjy.com )1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E，F，G．【来源：21cnj*y.co*m】
11．解 由于已经建立了空间直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )，由图可直接求出各点的坐标：B(－2,3，－1)，C(2,3，－1)，D(2，－3，－1)，A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，【出处：21教育名师】
C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．
12．解 如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直
线为z轴，过点A与xAz平面垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是
A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(，，0)，D(，，0)，P(0,0,2)，E(1，，0)．
13．
解 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直．
又因为AB＝AC＝6，BC是圆O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形且AF⊥BC，
BC＝6．
以O为原点，OB、OF、OE所在直线分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O及A、B、C、D、E、F各个点的坐标分别为O(0,0,0)、A(0，－3，0)、B(3，0,0)、C(－3，0,0)、D(0，－3，8)、E(0,0,8)、F(0,3，0)．
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第二章 章末总结
一、数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象 ( http: / / www.21cnjy.com )的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．21·世纪*教育网
本章直线的方程和直线与圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果．
例1 设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上．
求的最小值．
例2 讨论直线y＝x＋b与曲线y＝的交点的个数．
二、分类讨论思想的应用
分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一， ( http: / / www.21cnjy.com )是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．(在用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．www-2-1-cnjy-com
例3 过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程．2-1-c-n-j-y
例4 求过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程．
三、对称问题
在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称．
1．中心对称
(1)两点关于点对称：设P1(x1， ( http: / / www.21cnjy.com )y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点P2(2a－x1,2b－y1)，也即P为线段P1P2的中点，特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．21世纪教育网版权所有
(2)两直线关于点对称：设直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1、l2的距离相等．21cnjy.com
2．轴对称
(1)两点关于直线对称：设P1，P2关于直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程．www.21-cn-jy.com
(2)两直线关于直线对称：设l1，l2关于直线l对称．
①当三条直线l1、l2、l共点时，l上任意点到l1、l2的距离相等，并且l1、l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；2·1·c·n·j·y
②当l1∥l2∥l时，l1到l的距离等于l2到l的距离．
例5 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
例6 自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q．求光线l所在的直线方程．
第二章 章末总结 答案
例1 解
式子的几何意义是点P(x，y)与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l1时，斜率最小．设＝k，21教育网
即kx－y＋k－2＝0，由直线与圆相切，
得＝1，
解得k＝．故的最小值是．
例2
解 如图所示，在坐标系内作出曲线y＝的图像(半圆)．
直线l1：y＝x－2，
直线l2：y＝x＋2．
当直线l：y＝x＋b夹在l1与l2之间(包括l1、l2)时，l与曲线y＝有公共点；
进一步观察交点的个数可有如下结论：
①当b<－2或b>2时，直线y＝x＋b与曲线y＝无公共点；
②当－2≤b<2或b＝2时，直线y＝x＋b与曲线y＝仅有一个公共点．
③当2≤b<2时，直线y＝x＋b与曲线y＝有两个公共点．
例3 解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；21·cn·jy·com
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx．
令y＝0，得x＝－1与x＝－．
由题意得|－1＋|＝1，即k＝1．
∴直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，
即为x－y＋1＝0，x－y＋2＝0．
综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0．
例4 解 当所求直线斜率存在时，设其为k，
则直线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0．
∵直线与圆相切，
∴d＝＝1，解得k＝0．
当所求直线斜率不存在时，x＝3也符合条件．
综上所述，所求直线的方程是y＝1和x＝3．
例5 解 (1)设点P关于直线l的对称点为
P′(x′，y′)，
则点P，P′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即，
解得，
∴P′坐标为(－2,7)．
(2)设直线l1：y＝x－2关于直线l对称 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于l的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立．【来源：21·世纪·教育·网】
，
解得，
把(x1，y1)代入y＝x－2，
整理得7x2＋y2＋22＝0，
∴l2方程为7x＋y＋22＝0．
(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，
由于l∥l′，可设l′为y′＝3x′＋b (b≠3)．
由点到直线的距离公式得
＝，
即|b＋7|＝10，解得b＝－17或b＝3(舍去)，
∴直线l′的方程为y′＝3x′－17，
即对称直线的方程为3x－y－17＝0．
例6
解 如图，作圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，
由几何光学原理知，直线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切，
又∵l的斜率必存在，故可设直线l：
y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0．
由d＝＝＝2，
得k＝－或k＝－，
故光线l所在的直线方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0．
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1．5 平面直角坐标系中的距离公式(二)
【课时目标】 1．会应用点到直线的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长
图示
公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__________ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝________
一、选择题
1．点(2,3)到直线y＝1的距离为( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
2．原点到直线3x＋4y－26＝0的距离是( )
A． B． C． D．
3．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是( )
A． B．2 C． D．2
4．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A． B． C．3 D．6
5．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是( )
A．y＝1
B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0
D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
6．两平行直线l1，l2分别过点P ( http: / / www.21cnjy.com )(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )21世纪教育网版权所有
A．(0，＋∞) B．[0,5]
C．(0,5] D．[0，]
二、填空题
7．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．
8．若直线3x＋4y＋12＝0和6x＋8y－11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．21教育网
9．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．
三、解答题
10．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
11．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2,3)．
(1)求BC边的高所在直线方程；
(2)求△ABC的面积S．
能力提升
12．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．21cnjy.com
13．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边的方程．21·cn·jy·com
1．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下两点：
(1)若方程不是一般式，需先化为一般式．
(2)当点P在直线上时，公式仍成立，点P到直线的距离为0．
2．在使用两平行线间的距离公式时，要先把直线方程化为一般式，且两直线方程中x，y的系数要化为分别相等的数．www.21-cn-jy.com
3．注意数形结合思想的运用，将抽象的代数问题几何化，要能见“数”想“形”，以“形”助“数”．
1．5 平面直角坐标系中的距离公式(二) 答案
知识梳理
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长
图示
公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝
作业设计
1．D [画图可得；也可用点到直线的距离公式．]
2．B
3．B [|OP|最小值即为O到直线x＋y－4＝0的距离，∴d＝＝2．]
4．C [|PQ|的最小值即为两平行线间的距离，
d＝＝3．]
5．C [①所求直线平行于AB，
∵kAB＝－2，∴其方程为y＝－2x＋1，
即2x＋y－1＝0．
②所求直线过线段AB的中点M(4,1)，
∴所求直线方程为y＝1．]
6．C [当这两条直线l1，l2与直线PQ垂直时，d达到最大值，此时
d＝＝5．
∴07．2x＋y－5＝0
解析
如图所示，只有当直线l与OA垂直时，原点到l的距离最大，
此时kOA＝，∴kl＝－2，
∴方程为y－1＝－2(x－2)，
即2x＋y－5＝0．
8．π
9．
解析 直线3x＋2y－3＝0变为6x＋4y－6＝0，
∴m＝4．由两条平行线间的距离公式得
d＝＝．
10．解 (1)由点斜式方程得，
y－5＝－(x＋2)，
∴3x＋4y－14＝0．
(2)设m的方程为3x＋4y＋c＝0，
则由平行线间的距离公式得，
＝3，c＝1或－29．
∴3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0．
11．解 (1)设BC边的高所在直线为l，
由题知kBC＝＝1，
则kl＝＝－1，
又点A(－1,4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，
即x＋y－3＝0．
(2)BC所在直线方程为：
y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1,4)到BC的距离
d＝＝2，
又|BC|＝＝4
则S△ABC＝·|BC|·d
＝×4×2＝8．
12．解 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b．
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，由梯形面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3．
但b>1，∴b＝3．
从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0．
13．解 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0．
由得正方形的中心坐标P(－1,0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，
则＝，
得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0．
又∵正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边方程为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0．
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或－3，
∴另两条边所在的直线方程为
3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0．
∴另三边所在的直线方程分别为
3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0．
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习题课(四)
【课时目标】 1．巩固圆的方程的两种形式，并熟练应用圆的方程解决有关问题．2．熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用．www.21-cn-jy.com
1．
圆的方程
2．直线与圆的位置关系的判定(d表示圆心到直线的距离，r表示圆半径)
3．圆与圆的位置关系(d表示两圆圆心距，R、r表示两圆半径且R≥r)
一、选择题
1．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(1，－2)，5 B．(1，－2)，
C．(－1,2)，5 D．(－1,2)，
2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8
D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
3．直线x－y＝0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心
C．相切 D．相离
4．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．直线l与直线3x＋4y－15＝0垂直，与圆x2＋y2－18x＋45＝0相切，则直线l的方程是( )21·世纪*教育网
A．4x－3y－6＝0
B．4x－3y－66＝0
C．4x－3y－6＝0或4x－3y－66＝0
D．4x－3y－15＝0
6．方程＝k(x－2)＋3有两个不等实根，则k的取值范围为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
7．过点M(0,4)，且被圆(x－1)2＋y2＝4截得的线段长为2的直线方程为______________．2-1-c-n-j-y
8．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程为________．【来源：21cnj*y.co*m】
9．集合A＝{(x，y)| ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．【出处：21教育名师】
三、解答题
10．有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的标准方程．【版权所有：21教育】
11．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．
能力提升
12．已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点 ( http: / / www.21cnjy.com )A(－1,0)及点B(2，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C拦住，则a的取值范围是( )21教育名师原创作品
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
13．已知P是直线3x＋4y＋8＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．21世纪教育网版权所有
初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆有关问题时收到意想不到的效果．
圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又 ( http: / / www.21cnjy.com )是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：
(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．
(2)直线与圆相交的弦的有关性 ( http: / / www.21cnjy.com )质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．
(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．
习题课(四) 答案
知识梳理
1．①(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (a，b)
②x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F
2．d>r d＝r
作业设计
1．D
2．B [线段AB两端点为(0,2)、(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径r＝，∴选B．]
3．C [直线旋转后为y＝x，圆心(2,0)到该直线距离d＝r．∴选C．]
4．D [圆的标准方程为(x－a)2＋2＝a2＋b2．圆心为．∴a<0，b>0．
∴y＝－x－不过第四象限．]
5．C [设直线方程为4x－3y＋m＝0，由直线与圆相切得m＝－6或－66．]
6．A [
在同一平面直角坐标系中分别画 ( http: / / www.21cnjy.com )出y＝(就是x2＋y2＝4，y≥0)和y＝k(x－2)＋3的图象．如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，2·1·c·n·j·y
需kPA对于k(x－2)－y＋3＝0，因为直线与圆相切，所以d＝r，即＝2，
解得kPA＝．所以k的取值范围为．]
7．x＝0或15x＋8y－32＝0
解析 设直线方程为x＝0或kx－y＋4＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )．当直线方程为x＝0时，弦长为2符合题意；当直线方程为kx－y＋4＝0时，d＝＝＝1，解得k＝－，因此直线方程为15x＋8y－32＝0．21*cnjy*com
8．4
解析 点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，转化为求A′(－1，－1)到圆上的点的距离的最小值问题，其最小值为－1＝4．www-2-1-cnjy-com
9．3或7
解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系．
∵A∩B中有且仅有一个元素，
∴两圆x2＋y2＝4与(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切，
O(0,0)，C(3,4)，|OC|＝5，r1＝2，r2＝r，
故2＋r＝5，或r－2＝5，∴r＝3或7．
10．解 设所求圆的圆心为O，则OA⊥l ( http: / / www.21cnjy.com )，又设直线OA与圆的另一交点为P．所以直线OA的斜率为－．故直线OA的方程为y－6＝－(x－3)，即3x＋4y－33＝0．又因为
kAB＝＝－2，从而由平面几何知识可知kPB＝，
则直线PB的方程为x－2y－1＝0．
解方程组得
即点P的坐标为(7,3)．
因为圆心为AP的中点，
半径为OA＝，
故所求圆的标准方程为(x－5)2＋2＝．
11．(1)证明 把直线l的方程改写成
(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，
由方程组，解得，
所以直线l总过定点(3,1)．
圆C的方程可写成(x－1)2＋(y－2)2＝25，所以圆C的圆心为(1,2)，半径为5．
定点(3,1)到圆心(1,2) ( http: / / www.21cnjy.com )的距离为＝<5，即点(3,1)在圆内．所以过点(3,1)的直线总与圆相交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总相交．
(2)解 设直线与圆交于A、B两点．当直线l过定点M(3,1)且垂直于过点M的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短．21cnjy.com
因为|AB|＝2
＝2＝2＝4，此时kAB＝－＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0．21教育网
故直线l被圆C截得的弦长最小值为4，此时直线l的方程为2x－y－5＝0．
12．B [
视线即切线，切线与直线x＝2交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分，圆的切线方程为
y＝±(x＋1)．
当x＝2时，y＝±，所以a∈(－∞，－)∪(，＋∞)，故选B．]
13．
解 方法一 从运动的观点看问题，当动点P沿 ( http: / / www.21cnjy.com )直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，21·cn·jy·com
从而|PA|＝＝2．
∴(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|
＝2．
方法二 利用等价转化的思想，设点P坐标为(x，y)，则|PC|＝，
由勾股定理及|AC|＝1，得
|PA|＝
＝，
从而S四边形PACB＝2S△PAC
＝2·|PA|·|AC|
＝|PA|＝，
从而欲求S四边形PACB的 ( http: / / www.21cnjy.com )最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2＝(x－1)2＋(y－1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方， 21*cnjy*com
这个最小值d2＝()2＝9，
∴(S四边形PACB)min＝＝2．
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习题课(五)
【课时目标】 1．正确理解直线与圆的概念 ( http: / / www.21cnjy.com )并能解决简单的实际问题．2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．3．体会用代数方法处理几何问题的思想．
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：
一、选择题
1．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．都有可能
3．如果实数满足(x＋2)2＋y2＝3，则的最大值为( )
A． B．－
C． D．－
4．一辆卡车宽2．7米，要经过一个半径为4．5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )21世纪教育网版权所有
A．1．4米 B．3．0米
C．3．6米 D．4．5米
5．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )21·cn·jy·com
A．3－ B．3＋
C．3－ D．
6．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠ ，则实数b的取值范围是( )www.21-cn-jy.com
A．[－3，3] B．[－3,3]
C．(－3,3] D．[－3，3)
二、填空题
7．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
8．在平面直角坐标系xOy中 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．2·1·c·n·j·y
9．如图所示，A，B是直线l上的两点，且 ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是________________________________________________________________________．
三、解答题
10．如图所示，圆O1和圆O2的半径都等 ( http: / / www.21cnjy.com )于1，O1O2＝4．过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|＝|PN|．试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．21教育网
11．自点A(－3,3)发出的光线l ( http: / / www.21cnjy.com )射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．【来源：21·世纪·教育·网】
能力提升
12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0，是否存在斜率为1的直线l，使得l被C截得的弦AB为直径的圆经过原点．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
13．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气 ( http: / / www.21cnjy.com )象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？21·世纪*教育网
1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何 ( http: / / www.21cnjy.com )中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化归结为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．www-2-1-cnjy-com
2．利用直线与圆的方程解决最值 ( http: / / www.21cnjy.com )问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．
习题课(五) 答案
作业设计
1．C [令t＝x2＋y2，则t表示直线上的点到原点距离的平方，当过原点的直线与
l：x＋y－4＝0垂直时，可得最小距离为2，则tmin＝8．]
2．B [由题意<1 a2＋b2>1，故P在圆外．]
3．A [
令t＝，则t表示圆(x＋2)2＋y2＝3上的点与原点连线的斜率，如图所示，此时
k＝＝＝，相切时斜率最大．]
4．C [
可画示意图，如图所示，通过勾股定理解得：
OD＝＝3．6(米)．]
5．A [lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离
d＝＝，∴AB边上的高的最小值为－1．
∴Smin＝×(2)×＝3－．]
6．C [M∩N≠ ，说明直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)相交，画图探索可知
－30)的图形是半圆．]
7．
解析 设P(x0，y0)为直线y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )x＋1上一点，圆心C(3,0)到P点的距离为d，切线长为l，则l＝，当d最小时l最小，当PC垂直直线y＝x＋1时，d最小，此时d＝2，
∴lmin＝＝．
8．(－13,13)
解析 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1．
∵d＝＝，∴0≤|c|<13，
即c∈(－13,13)．
9．
解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值，
此时ABO2O1为矩形，
且Smax＝2×1－··12×2＝2－．
10．解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，
则O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知|PM|＝|PN|，
∴|PM|2＝2|PN|2．
又∵两圆的半径均为1，
所以|PO1|2－1
＝2(|PO2|2－1)，设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即(x－6)2＋y2＝33．
∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33．
11．解
如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－ ( http: / / www.21cnjy.com )4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．21cnjy.com
设l的方程为y－3＝k(x＋3)，
则＝1，即12k2＋25k＋12＝0．
∴k1＝－，k2＝－．
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0．
12．解 假设存在，设直线方程为y＝x＋b，
则
2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0．
∴－3－3而x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝，
由y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)
＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝，
∵AB为直径，·＝－1，即y1y2＋x1x2＝0，
∴＋＝0即b2＋3b－4＝0，
∴b＝1或b＝－4．
即存在符合题意的直线l，且直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－4．
13．
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取
10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
则轮船航线所在直线l的方程为
＋＝1，即4x＋7y－28＝0．
圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离
d＝＝，而半径r＝3，∵d>r，
∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
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2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系(一)
【课时目标】 1．能根据给定直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系．2．能根据直线与圆的位置关系解决有关问题．www.21-cn-jy.com
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
判定方法 公共点个数 ____个 ____个 ____个
几何法：设圆心到直线的距离d＝ d__r d__r d__r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0
一、选择题
1．直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )
A．相交并且过圆心 B．相交不过圆心
C．相切 D．相离
2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴切于原点，那么( )
A．D＝0，E＝0，F≠0 B．D＝0，E≠0，F＝0
C．D≠0，E＝0，F＝0 D．D≠0，E≠0，F＝0
3．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于( )
A． B． C．1 D．5
4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是( )21教育网
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
6．与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题
7．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为________．
8．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
9．P(3,0)为圆C：x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是________．2·1·c·n·j·y
三、解答题
10．求过点P(－1,5)的圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的切线方程．
11．直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为4，求l的方程．
能力提升
12．已知点M(a，b)( ( http: / / www.21cnjy.com )ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则( )21cnjy.com
A．l∥g且与圆相离 B．l⊥g且与圆相切
C．l∥g且与圆相交 D．l⊥g且与圆相离
13．已知直线x＋2y－3＝0与圆x2＋y2＋x－2cy＋c＝0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值．21·cn·jy·com
1．判断直线和圆的位置关系的两种方法 ( http: / / www.21cnjy.com )中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．
2．一般地，在解决圆和直线相 ( http: / / www.21cnjy.com )交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝·＝|x1－x2|．
3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否 ( http: / / www.21cnjy.com )存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．
2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系(一) 答案
知识梳理
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ dr
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
作业设计
1．D [圆心到直线距离d>r．]
2．C [与y轴切于原点，则圆心，得E＝0，圆过原点得F＝0，故选C．]
3．A [分别求出半径r及弦心距d(圆心到直线距离)再由弦长为2，求得．]
4．C [通过画图可知有三个点到直线x＋y＋1＝0距离为．]
5．B [由题意＝1 |c|＝ c2＝a2＋b2，故为直角三角形．]
6．C [需画图探索，注意直线经过原点的情形．设y＝kx或＋＝1，由d＝r求得k＝±1，a＝4．]21世纪教育网版权所有
7．{(1,1)}
解析 解方程组得x＝y＝1．
8．x－y＋2＝0
解析 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为，则过(1，)切线方程为
x－y＋2＝0．
9．x＋y－3＝0
解析 过P点最短的弦，应为与PC垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为
x＋y－3＝0．
10．解 ①当斜率k存在时，
设切线方程为y－5＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋5＝0．
由圆心到切线的距离等于半径得
＝2，
解得k＝－，∴切线方程为5x＋12y－55＝0．
②当斜率k不存在时，切线方程为x＝－1，此时与圆正好相切．
综上，所求圆的切线方程为x＝－1或5x＋12y－55＝0．
11．解 圆心到l的距离d＝＝，显然l存在斜率．
设l：y－5＝k(x－5)，
即kx－y＋5－5k＝0，d＝．
∴＝，∴k＝或2．
∴l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．
12．A [∵M在圆内，∴a ( http: / / www.21cnjy.com )2＋b2r即直线l与圆相离，又直线g的方程为y－b＝－(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，∴l∥g．]
13．解 设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．由OA⊥OB，知kOA·kOB＝－1，
即·＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0①
由，
得5y2－(2c＋14)y＋c＋12＝0，
则y1＋y2＝(2c＋14)，y1y2＝(c＋12)②
又x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2，代入①得9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0③
由②、③得，c＝3．
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第二章 解析几何初步
§1 直线与直线的方程
1．1 直线的倾斜角和斜率
【课时目标】 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．【来源：21·世纪·教育·网】
1．倾斜角的概念和范围
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的 ( http: / / www.21cnjy.com )直线l，把x轴(正方向)按____________方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．直线倾斜角α的范围是0°≤α<180°．www-2-1-cnjy-com
2．斜率的概念及斜率公式
定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan α
取值范围 当α＝0°时，______；当0°<α<90°时，______；且α越大，k越大；当90°<α<180°时，______；且α越大，k越大；当α＝90°时，斜率________．
过两点的直线的斜率公式 直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝__________ (x1≠x2)．
一、选择题
1．对于下列命题
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为( )
A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3
3．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )21世纪教育网版权所有
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A．[0°，90°] B．[90°，180°)
C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]
5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( )
A．k1C．k36．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是( )
A．mn>0 B．mn<0
C．m>0，n<0 D．m<0，n<0
二、填空题
7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．21cnjy.com
8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边 ( http: / / www.21cnjy.com )BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为____________________________________________________________________．
9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是______________．
三、解答题
10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．2-1-c-n-j-y
11．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．
能力提升
12．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，求的最大值和最小值．
13．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，a>b>c>0，则，，的大小关系是
________________．
1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．www.21-cn-jy.com
2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C ( http: / / www.21cnjy.com )，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线．
3．斜率公式的几何意义：在 ( http: / / www.21cnjy.com )解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．21·世纪*教育网
第二章 解析几何初步
§1 直线与直线的方程
1．1 直线的倾斜角和斜率
答案
知识梳理
1．逆时针
2．
定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan α
取值范围 当α＝0°时，k＝0；当0°<α<90°时，k>0；且α越大，k越大；当90°<α<180°时，k<0；且α越大，k越大；当α＝90°时，斜率不存在．
过两点的直线的斜率公式 直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝ (x1≠x2)．
作业设计
1．C [①②③正确．]
2．C [由题意，得即
解得a＝4，b＝－3．]
3．D [因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：21教育网
当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°
＝α－135°．]
4．C [倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．]
5．D [由图可知，k1<0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的倾斜角大．
∴k16．C [由题意知，直线与x轴不垂直，故n≠0．直线方程化为y＝－x＋，则－>0，且<0，即m>0，n<0．]21·cn·jy·com
7．30°或150° 或－
8．0
9．20°≤α<200°
解析 因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)，
所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°．
10．解 αAD＝αBC＝60°，αAB＝αDC＝0°，αAC＝30°，
αBD＝120°．
kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，
kAC＝，kBD＝－．
11．解 设P(x,0)，
则kPA＝＝－，
kPB＝＝，
依题意，
由光的反射定律得kPA＝－kPB，
即＝，
解得x＝2，即P(2,0)．
12．解
＝其意义表示点(x，y)与原点连线的直线的斜率．
点(x，y)满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则点(x，y)在线段AB上，并且A、B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，如图所示．2·1·c·n·j·y
则kOA＝2，kOB＝．
所以得的最大值为2，最小值为．
13．>>
解析 画出函数的草图如图，可视为过原点直线的斜率．
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1．5 平面直角坐标系中的距离公式(一)
【课时目标】 1．掌握平面上两点间的距离公式．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．21·cn·jy·com
1．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为www.21-cn-jy.com
|P1P2|＝______________．
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝__________．
2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：
第一步：_________________________________________________________________．
第二步：_________________________________________________________________．
第三步：_________________________________________________________________．
一、选择题
1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于( )
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
2．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．无法确定
3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4
C．2 D．2
4．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
5．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )2·1·c·n·j·y
A．(－1,0) B．(1,0)
C． D．
6．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
二、填空题
7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．21·世纪*教育网
8．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
9．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
10．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．2-1-c-n-j-y
11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
能力提升
12．求函数y＝＋的最小值．
13．求证：＋＋＋≥2．
1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中 ( http: / / www.21cnjy.com )的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．21世纪教育网版权所有
2．平面几何中与线段长有关的定 ( http: / / www.21cnjy.com )理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．
1．5 平面直角坐标系中的距离公式(一) 答案
知识梳理
1．
2．建立坐标系，用坐标表示有关的量
进行有关代数运算
把代数运算结果“翻译”成几何关系
作业设计
1．A [由＝5，解得b＝0或8．]
2．B
3．C [设A(a,0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，
解得a＝4，b＝－2，∴|AB|＝2．]
4．B [设到A、B距离相等的点P(x，y)，
则由|PA|＝|PB|得，4x－2y＝5．]
5．B
[(如图)
A关于x轴对称点为
A′(－3，－8)，
则A′B与x轴的交点即为M，
求得M坐标为(1,0)．]
6．A [由已知得A(－1,0)，P(2,3)，由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0．]21教育网
7．
解析 由题意知解得
∴d＝＝．
8．(2,10)或(－10,10)
解析 设M(x，y)，
则|y|＝＝10．
解得或．
9．2
解析 |BD|＝|BC|＝2，
|AD|＝＝2．
在Rt△ADB中，
由勾股定理得腰长|AB|＝＝2．
10．解 由于B在l上，可设B点坐标为(x0，－2x0＋6)．
由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，
化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5．
当x0＝1时，AB方程为x＝1，
当x0＝5时，AB方程为3x＋4y＋1＝0．
综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0．
11．证明
如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，
则|AB|＝c，
又由中点坐标公式，
可得D，E，
所以|DE|＝－＝，
所以|DE|＝|AB|．
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
12．解
原式可化为
y＝
＋．
考虑两点间的距离公式，如图所示，
令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，
则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，
使得|PA|＋|PB|最小．
作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，
由图可直观得出
|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
故|PA|＋|PB|的最小值为A′B的长度．
由两点间的距离公式可得
|A′B|＝＝5，
所以函数y＝＋的最小值为5．
13．
证明 如图所示，设点O(0,0)，A(x，y)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则原不等式左边
＝|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|，
∵|OA|＋|AC|≥|OC|＝，
|AB|＋|AD|≥|BD|＝，
∴|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|≥2(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．21cnjy.com
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2．2 圆的一般方程
【课时目标】 1．正确理解圆的一般方程及其特点．2．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．2·1·c·n·j·y
1．圆的一般方程的定义
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为______________，半径为________________．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点______________．
(3)当________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．，则其位置关系如下表：www-2-1-cnjy-com
位置关系 代数关系
点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F____0
点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F____0
点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F____0
一、选择题
1．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为( )
A．和 B．(3,2)和
C．和 D．和
2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是( )
A．1
C．m< D．m<1
3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2 B． C．1 D．
5．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0则原点O在( )
A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．圆上或圆外
6．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x2＋y2＝0 D．x2－y2＝0
二、填空题
7．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．
8．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．21·cn·jy·com
9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．2-1-c-n-j-y
三、解答题
10．平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一个圆上？21·世纪*教育网
11．如果方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求该圆半径r的取值范围．
能力提升
12．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
13．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx ( http: / / www.21cnjy.com )＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．21世纪教育网版权所有
2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．
3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．21教育网
2．2 圆的一般方程 答案
知识梳理
1．(1)
(2) (3)D2＋E2－4F<0
2．
位置关系 代数关系
点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
作业设计
1．C [由一般方程圆心，半径r＝两公式易得答案．]
2．D [表示圆应满足D2＋E2－4F>0．]
3．B [过M最长的弦应为过M点的直径所在直线．]
4．D [先求出圆心坐标(1，－2)，再由点到直线距离公式求之．]
5．B [先化成标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，将O(0，0)代入可得a2＋1>2a(06．D [圆心应满足y＝x或y＝－x，等价于x2－y2＝0．]
7．(0，－1)
解析 r＝＝．
当k＝0时，r最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
8．－2
解析 由题意知圆心应在直线l：x－y＋2＝0上，即－1＋＋2＝0，解得
a＝－2．
9．20
解析 点(3,5)在圆内，最长弦|AC|即为该圆直径，
∴|AC|＝10，最短弦BD⊥AC，∴|BD|＝4，S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝20．
10．解 设过A、B、C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则，解得．
所以过A、B、C三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0．
将点D(－2，－1)代入上述方程等式不成立．
故A、B、C、D四点不能在同一个圆上．
11．解 (1)方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆必须有：
D2＋E2－4F＝4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，
即：7t2－6t－1<0，
∴－(2)该圆的半径r满足：
r2＝
＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－(16t4＋9)
＝－7t2＋6t＋1
＝－72＋，
∴r2∈，∴r∈．
12．解 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2． ①
又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0， ②
1＋9－D＋3E＋F＝0， ③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．
13．解 设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，所以x＝，y＝www.21-cn-jy.com
于是有x0＝2x－3，y0＝2y．
因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，
则(2x－3)2＋4y2＝1，
整理得2＋y2＝．
所以点M的轨迹方程为2＋y2＝．
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