内蒙古呼和浩特市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023·呼和浩特）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·呼和浩特）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·呼和浩特）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·呼和浩特）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·呼和浩特）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·呼和浩特）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·呼和浩特）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·呼和浩特）如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·呼和浩特）关于的二次函数的结论：
对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．
若图象过点，点，点，则当时，．
若，对应的的整数值有个，则或．
当且时，，则．
其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023·呼和浩特）分解因式 ．
12．（2023·呼和浩特）圆锥的高为，母线长为，沿一条母线将其侧面展开，展开图扇形的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 结果用含的式子表示．
13．（2023·呼和浩特）某乳业公司要出口一批规格为克罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近质检员从两厂的产品中各随机抽取罐进行检测，测得它们的平均质量均为克，质量的折线统计图如图所示，观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的罐奶粉质量的方差 填“”或“”或“”
14．（2023·呼和浩特）如图，内接于且，弦平分，连接，若，，则 ， ．
15．（2023·呼和浩特）甲、乙两船从相距的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行时与从地逆流航行的乙船相遇甲、乙两船在静水中的航速均为，则江水的流速为 ．
16．（2023·呼和浩特）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ， ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023·呼和浩特）
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．（2023·呼和浩特）如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，小明想知道，两地间的距离，测得，，，请帮小明求出两地间距离的长结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可
19．（2023·呼和浩特）月21日是国际森林日某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林地球之肺”相关知识的测试活动测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，，，，五个等级，并绘制了如图不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题：
等级 成绩分
（1）本次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生的成绩，频数分布直方图中 ▲ ；补全学生成绩频数分布直方图；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
（3）若成绩在分及分以上为合格，全校共有名学生，估计成绩合格的学生有多少名？
20．（2023·呼和浩特）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形且，，求四边形的面积．
21．（2023·呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
（1）判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集．
22．（2023·呼和浩特）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动到达农场后分组进行劳动，若每位老师带名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带名学生，则有一位老师少带名学生劳动实践结束后，学校在租车总费用元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有名老师现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量人辆
租金元辆
（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有名老师，则共需租车 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
23．（2023·呼和浩特）已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
当时，求的长；
求的最大值．
24．（2023·呼和浩特）探究函数的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， ▲ 根据如表数据，在图所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
（3）在图中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点点在点的左边，点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，不含端点于，两点当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|-2|=2.
故答案为：A.
【分析】负数的绝对值等于它的相反数.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图.
∵矩形纸片的对边平行， ，
∴，
∵，
∴，解得.
故答案为：C.
【分析】在图中标出∠3，依据平行线的性质和平角的意义求解.
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；二次根式的性质与化简；幂的乘方
【解析】【解答】解： A.错误，错在加法当作乘法计算；
B.，故错误；
C.，故错误；
D.，故正确.
故答案为：D.
【分析】(1)加法运算不能化简；
（2）利用幂的乘方法则计算；
（3）按计算；
（4）按单项式乘单项式法则计算.
4．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：通过观察发现，这个几何体有上、下两个部分组成，其中下面部分为一个长方体，所以可排除A；上面部分是一个圆柱，所以可以排除D，圆柱的直径与长方体的宽一致，所以可以排除B.
故答案为：C.
【分析】根据三视图，想像出几何体，利用用排除法求解.
5．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使 有意义，只需，解得
故答案为：B.
【分析】（1）二次根式内为非负数；（2）分母不能为0.
6．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【解析】【解答】解： ∵一次函数y=-kx+k=-k（x-1），
∴直线经过点（1，0），∴可以排除A、C；
∵一次函数的一次项系数为-k，反比例函数的比例系数k，
∴y=-kx与，所以的象限相反，∴可以排除B.
故答案为：D.
【分析】先一次函数适当变形，排除两个选项；再注意到y=-kx与比例系数相反，可知它们所在的象限相反，再排除一个选项，得出结果.
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连结BM，
∵BM垂直平分BD，
∴BM=MD，BO=DO，∠BON=∠DOM=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90°.
∴∠DMO=∠BNO，
∴△BNO≌△DMO（AAS）.
∴MD=BN=2.
∴BM=DM=2，AD=AM+MD=3.
又AM=1，
∴AB=
∴BD=
故答案为：A.
【分析】先根据垂直平分线的性质说明BM=MD，再通过证明△BNO≌△DMO，得出MD的长，然后利用勾股定理求出AB，最后利用勾股定理求出BD.
8．【答案】B
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：记由第1张图片剪得的两张图片分别记为甲，乙；由第2张图片剪得的两张图片分别记为丙，丁，画树状图如图：
共12种情况，其中4种符合要求.
所以P（ 这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率 ）=
故答案为：B.
【分析】分别标记得到的4张图片，通过画树状图得出所有可能情况和符合条件的情况数，再用概率公式求解.
9．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连结BP，如图.
∵在中，，点为边上的中点，，
∴BP=PC=AC=.
∴.
∴.
∵
∴.
∴.
∴△BPM≌△PCN(AAS).
∴CN=BM=1，PM=PN.
∴BN=BC+CN=4+1=5.
∴MN=.
∴PM=PN=.
∴的面积为
故答案为：D.
【分析】先利用AAS证明△BPM≌△PCN，可求得BN的长，利用勾股定理求得MN，再根据等腰直角三角形求得PM、PN，利用三角形面积公式求得 的面积 .
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 当 时， ，
当 时，，
所以 对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等，故正确；
，当 时 ，
取y=0时，，解得，，
所以
，，
所以
故错误；
③∵y=mx2-6mx-5=m（x-3）2-5-9m，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
当x=3时，y=-5-9m，
当x=6时，y=-5，
∵若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，
∴若m＞0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大，
∴-9＜-5-9m≤-8，
解得．
若m＜0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，
∴-2≤-5-9m＜-1，
解得，
∴或．
故正确；
④当m＞0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小，
∵-14≤y≤n2+1，
∴-5-9m=-14，
解得：m=1，
∴n2-6n-5=n2+1，
解得：n=-1，
∴④不符合题意；
综上所述，正确结论有①③，共2个．
故答案为：B.
【分析】分别求出当 ，时对应函数值，比较大小；
分别取，时，表示出函数值，代入 化简后，取y=0时，，的和，代入即可；
将解析式配方后，利用增减性求解；
根据 得出当m＞0且n≤x≤3时，函数的增减性，再由，得出关于m的方程和n的方程，分别求解即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先提取公因式2b，再利用公式法分解因式.
12．【答案】120；3π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解： ∵圆锥的高为，母线长为3，
∴圆锥底面圆的半径为.
设展开图（扇形）的圆心角是n°，可得：.
解得：n=120°， 所以圆锥的侧面积为.
故答案为：120，3π .
【分析】依据圆锥的高、母线长、圆锥底面圆的半径构成的直角三角形求得半径；再利用展开图的扇形的弧长求出展开图扇形的圆心角；然后利用扇形面积公式求出圆锥的侧面积.
13．【答案】＜
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解： 它们的平均质量均为克，从折线统计图可看出乙的波动比甲大，所以乙的方差比甲大，所以填<.
故答案为：<.
【分析】根据方差的意义，直接从图象的波动大小来判断方差的大小.
14．【答案】；
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图
∵△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°，
∴AD=BD，
∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=BD，AB=5，
，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
∴，
∴如图把△ACD绕D逆时针旋转90°得到△DBM，
∴∠DAC=∠DBM ，AC=BM，
∴∠DBC+∠DBM=180°，
∴C、B、M在同一直线上，
∴△DCM为等腰直角三角形，
∴CM=AC+BC=7，
∴CD=DM=．
故答案为：，.
【分析】说明△ADB是直角三角形，利用勾股定理求得BD；说明△ACD绕D逆时针旋转90°得到△DBM，可得△DCM为等腰直角三角形，利用勾股定理可求CD的长.
15．【答案】6
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设江水的流速为 x km/h，可列方程，解得x=6，经检验x=6是方程的解，所以江水流速为6km/h.
故答案为：6.
【分析】设江水的流速为 x km/h，根据“ 甲船从地顺流航行时与从地逆流航行的乙船相遇 ”和“ 甲、乙两船从相距的，两地同时匀速沿江出发相向而行”，可知甲船顺流航行90km的时间与乙船逆流航行（150-90）km的时间相同，可列出方程求解.
16．【答案】；
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD为正方形，且边长为 ，
∴AB=BC=CD=DA=，∠BAD=∠D=90°，AB∥CD，
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE=，
在Rt△ADE中，AD=，DE=，
由勾股定理得：，
∵∠BAD=90°，BF⊥AE，
∴∠BAH+∠DAE=90°，∠ABF+∠BAH=90°，
∴∠DAE=∠ABF，
在△DAE和△ABF中，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE=AF=，
，AE=BF=5，
∵BF⊥AE，∠D=90°，
∴∠AHF=∠D=90°，
又∠HAF=∠DAE，
∴△AFH∽△ADE，
∴AH：AD=AF：AE，
即：AH：=：5.
∴AH=2．
过点M作MN⊥AE于点N，如图：
在△ADE和△BCE中，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE=5，
∴EH=AE-AH=5-2=3，
在Rt△AHB中，
由勾股定理得：
∵AB∥CD，
∴△MEC∽△MBA，
∴ME：MB=CE：AB，
∴
∴ME：MB=1：2，
∴ME：EB=1：3，
∵BF⊥AE，MN⊥AE，
∴MN∥BH，
∴△MNE∽△BHE，
∴MN：BH=EN：EH=ME：EB
∴MN：4=EN：3=1：3，
∴，EN=1，
∴HN=EH-EN=3-1=2，
在Rt△MHN中，∵，HN=2，
由勾股定理得：．
故答案为：2，.
【分析】先求出AE=5，证△DAE和△ABF全等得DE，再证△AFH∽△ADE，利用相似三角形的性质可得AH；过点M作MN⊥AE于点N，先求出AE，证△MEC∽△MBA得ME：MB=CE：AB=1：2，进而得ME：EB=1：3，再证△MNE∽△BHE，利用相似三角形的性质得MN，EN=1，进而得HN=2，最后在Rt△MHN中，利用勾股定理求得MH．
17．【答案】（1）原式
；
（2）解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
所以不等式组的解集为：．
【知识点】实数的运算；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先判断绝对值内的符号去掉绝对值，求出负数指数幂，化简二次根式和代入特殊三角函数，再计算加减.
（2）分别求出两个不等式的解，再求出公共部分求得不等式组的解.
18．【答案】解：过作于，如图：
在中，，，
，，
在中，，，
，
；
两地间距离的长为．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过作于，在中，利用特殊角的三角函数求得AH与CH，在中，利用正切函数求得BH与，再利用线段的和求得AB.
19．【答案】（1）40；7.
由频数分布直方图得：等级有人，
由扇形统计图得：等级占，
．
本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，
由扇形统计图得：等级占，等级占，
等级得人数人，等级的人数为：人，
补全学生成绩频数分布直方图如图所示；
（2）B
（3）抽取的名学生的成绩中，分及分以上的人数为：人，
人．
答：估计成绩合格的学生有人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数
【解析】解：（2） ∵等级A是11人，等级B是13人，等级C是6人，等级D是7人，等级E是3人，
∴所抽取学生成绩的中位数落在B等级.
故答案为：B．
【分析】 （1）根据统计图等级C人数与所占的百分比，求得本次调查一共随机抽取的学生人数；根据统计图等级D所占比例，求出等级D的人数m的值，再根据等级B所占百分比，求得等级B的人数，然后补全频数分布直方图；
（2）根据等级A是11人，等级B是13人，等级C是6人，等级D是7人，等级E是3人可得出所抽取学生成绩的中位数所在的等级．
（3）根据抽取的40名学生的成绩中，60分及60分以上的人数为37人可得出成绩合格的学生数．
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
．
（2）解：由知≌，
，
四边形是菱形，
，，，
四边形的菱形，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
四边形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用ASA证明≌，可证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解；
（2）证明四边形的菱形，利用菱形的性质说明是等边三角形，利用等边三角形的性质求得BD，再利用三角函数求得OE，根据EF=2OE求得EF，最后利用三角形面积公式求解.
21．【答案】（1）点在该反比例函数的图象上．理由如下：
如图，连接，，
正六边形的边长，点是正六边形的对称中心，
，，
，，
，，均为等边三角形，
，，
，，
，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
该反比例函数的解析式为，
当时，，
点在该反比例函数的图象上；
（2）将，分别代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
观察图象可得：在第一象限内，当直线：位于双曲线上方时，，
不等式的解集为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）连接PA，PF，根据正六边形的性质求得P与E的坐标，再利用待定系数法可得反比例函数的解析式，然后将点E的坐标代入反比例函数解析式检验；
（2）根据两函数图象的位置关系求出不等式的解集．
22．【答案】（1）设老师有名，学生有名，根据题意，列方程组为：
，解得，
答：老师有名，学生有名．
（2）6
（3）设租用甲客车辆，则租车费用元是的函数，即：
，
整理得：，
学校在租车总费用元的限额内，租用汽车送师生返校，
，
，即．
要保证人有车坐，不能小于，所以有两种租车方案：
方案一：租辆甲种客车，辆乙种客车；
方案二：租辆甲种客车，辆乙种客车；
随的增大而增大，
当时，最小，．
答：学校共有两套租车方案，最少费用为元.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用
【解析】解：（2） ∵每辆车上至少有1名老师，
∴汽车总数不能大于6辆，
∵要保证240名师生有车坐，汽车总数不能少于（取整数6）辆，
综合可知汽车总数为6辆．
故答案为：6．
【分析】 （1）设老师有x名，学生有y名，根据题意，列方程组解答出来即可；
（2）根据题上条件既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，车辆数只能是6；
（3）根据题上条件设租用甲客车x辆，则租车费用y（元）是x的函数，得到y=120x+1680，列出120x+1680≤2300，取整数解后出方案，再计算最少费用即可．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，，
是的直径，
，
，
点为边的中点，
，
，
，
，
，即，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
（2）当点在线段上时，如图，过点作于点，
在中，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，即，
；
当点在的延长线上时，如图，过点作于点，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，舍去，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，舍去，
；
综上所述，的长为或；
设，则，
如图，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为．
【知识点】切线的判定；圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，CD，由AC是⊙O的直径，可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质说明MC=MD，根据等腰三角形性质可得∠MDC=∠MCD，进而可得∠ODM=90°，再利用切线的判定定理证明；
（2）①分点P在线段BC上和点P在CB的延长线上两种情况讨论；②设CP=n，含n的式子表示AP，利用面积法可得CQ AP=AC CP，求得CQ，再运用乘法公式和不等式性质可得64+n2≥16n，即可得出答案．
24．【答案】（1）2；
当时，，
，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于轴对称；当或时，随的增大而增大；当或时，随的增大而减小；
（2）当时，，
当时，，
，，
，
，
，
，
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或或或或或或；
（3）与的和是定值；
如图，连接直线，
抛物线交轴于，两点，
，，
，
抛物线的顶点为，
点是点关于抛物线顶点的对称点，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
联立和并整理得：，
直线与抛物线只有一个公共点，
故，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得，
同理可得，，
射线、关于直线：对称，则，设，
则，
为定值．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】 （1）把x=-1代入函数表达式中求得m的值，利用描点法画出y=-2|x|2+4|x|（x＜0）部分的图象，依据图象写出一条性质；
（2）当x＜0时，y=-2x2-4x，当x≥0时，y=-2x2+4x，根据S△FAB=3，可求得点F的纵坐标，代入解析式解方程即可；
（3）利用待定系数法可得直线OP的表达式与直线AP的表达式，由直线l与抛物线只有一个公共点，可得直线的表达式，将三条直线的函数表达式联立方程组可求得：xM，xN，再利用解直角三角形求解．
1 / 1内蒙古呼和浩特市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023·呼和浩特）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|-2|=2.
故答案为：A.
【分析】负数的绝对值等于它的相反数.
2．（2023·呼和浩特）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图.
∵矩形纸片的对边平行， ，
∴，
∵，
∴，解得.
故答案为：C.
【分析】在图中标出∠3，依据平行线的性质和平角的意义求解.
3．（2023·呼和浩特）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；二次根式的性质与化简；幂的乘方
【解析】【解答】解： A.错误，错在加法当作乘法计算；
B.，故错误；
C.，故错误；
D.，故正确.
故答案为：D.
【分析】(1)加法运算不能化简；
（2）利用幂的乘方法则计算；
（3）按计算；
（4）按单项式乘单项式法则计算.
4．（2023·呼和浩特）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：通过观察发现，这个几何体有上、下两个部分组成，其中下面部分为一个长方体，所以可排除A；上面部分是一个圆柱，所以可以排除D，圆柱的直径与长方体的宽一致，所以可以排除B.
故答案为：C.
【分析】根据三视图，想像出几何体，利用用排除法求解.
5．（2023·呼和浩特）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使 有意义，只需，解得
故答案为：B.
【分析】（1）二次根式内为非负数；（2）分母不能为0.
6．（2023·呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【解析】【解答】解： ∵一次函数y=-kx+k=-k（x-1），
∴直线经过点（1，0），∴可以排除A、C；
∵一次函数的一次项系数为-k，反比例函数的比例系数k，
∴y=-kx与，所以的象限相反，∴可以排除B.
故答案为：D.
【分析】先一次函数适当变形，排除两个选项；再注意到y=-kx与比例系数相反，可知它们所在的象限相反，再排除一个选项，得出结果.
7．（2023·呼和浩特）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连结BM，
∵BM垂直平分BD，
∴BM=MD，BO=DO，∠BON=∠DOM=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90°.
∴∠DMO=∠BNO，
∴△BNO≌△DMO（AAS）.
∴MD=BN=2.
∴BM=DM=2，AD=AM+MD=3.
又AM=1，
∴AB=
∴BD=
故答案为：A.
【分析】先根据垂直平分线的性质说明BM=MD，再通过证明△BNO≌△DMO，得出MD的长，然后利用勾股定理求出AB，最后利用勾股定理求出BD.
8．（2023·呼和浩特）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：记由第1张图片剪得的两张图片分别记为甲，乙；由第2张图片剪得的两张图片分别记为丙，丁，画树状图如图：
共12种情况，其中4种符合要求.
所以P（ 这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率 ）=
故答案为：B.
【分析】分别标记得到的4张图片，通过画树状图得出所有可能情况和符合条件的情况数，再用概率公式求解.
9．（2023·呼和浩特）如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连结BP，如图.
∵在中，，点为边上的中点，，
∴BP=PC=AC=.
∴.
∴.
∵
∴.
∴.
∴△BPM≌△PCN(AAS).
∴CN=BM=1，PM=PN.
∴BN=BC+CN=4+1=5.
∴MN=.
∴PM=PN=.
∴的面积为
故答案为：D.
【分析】先利用AAS证明△BPM≌△PCN，可求得BN的长，利用勾股定理求得MN，再根据等腰直角三角形求得PM、PN，利用三角形面积公式求得 的面积 .
10．（2023·呼和浩特）关于的二次函数的结论：
对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．
若图象过点，点，点，则当时，．
若，对应的的整数值有个，则或．
当且时，，则．
其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 当 时， ，
当 时，，
所以 对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等，故正确；
，当 时 ，
取y=0时，，解得，，
所以
，，
所以
故错误；
③∵y=mx2-6mx-5=m（x-3）2-5-9m，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
当x=3时，y=-5-9m，
当x=6时，y=-5，
∵若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，
∴若m＞0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大，
∴-9＜-5-9m≤-8，
解得．
若m＜0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，
∴-2≤-5-9m＜-1，
解得，
∴或．
故正确；
④当m＞0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小，
∵-14≤y≤n2+1，
∴-5-9m=-14，
解得：m=1，
∴n2-6n-5=n2+1，
解得：n=-1，
∴④不符合题意；
综上所述，正确结论有①③，共2个．
故答案为：B.
【分析】分别求出当 ，时对应函数值，比较大小；
分别取，时，表示出函数值，代入 化简后，取y=0时，，的和，代入即可；
将解析式配方后，利用增减性求解；
根据 得出当m＞0且n≤x≤3时，函数的增减性，再由，得出关于m的方程和n的方程，分别求解即可.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023·呼和浩特）分解因式 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先提取公因式2b，再利用公式法分解因式.
12．（2023·呼和浩特）圆锥的高为，母线长为，沿一条母线将其侧面展开，展开图扇形的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 结果用含的式子表示．
【答案】120；3π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解： ∵圆锥的高为，母线长为3，
∴圆锥底面圆的半径为.
设展开图（扇形）的圆心角是n°，可得：.
解得：n=120°， 所以圆锥的侧面积为.
故答案为：120，3π .
【分析】依据圆锥的高、母线长、圆锥底面圆的半径构成的直角三角形求得半径；再利用展开图的扇形的弧长求出展开图扇形的圆心角；然后利用扇形面积公式求出圆锥的侧面积.
13．（2023·呼和浩特）某乳业公司要出口一批规格为克罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近质检员从两厂的产品中各随机抽取罐进行检测，测得它们的平均质量均为克，质量的折线统计图如图所示，观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的罐奶粉质量的方差 填“”或“”或“”
【答案】＜
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解： 它们的平均质量均为克，从折线统计图可看出乙的波动比甲大，所以乙的方差比甲大，所以填<.
故答案为：<.
【分析】根据方差的意义，直接从图象的波动大小来判断方差的大小.
14．（2023·呼和浩特）如图，内接于且，弦平分，连接，若，，则 ， ．
【答案】；
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图
∵△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°，
∴AD=BD，
∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=BD，AB=5，
，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
∴，
∴如图把△ACD绕D逆时针旋转90°得到△DBM，
∴∠DAC=∠DBM ，AC=BM，
∴∠DBC+∠DBM=180°，
∴C、B、M在同一直线上，
∴△DCM为等腰直角三角形，
∴CM=AC+BC=7，
∴CD=DM=．
故答案为：，.
【分析】说明△ADB是直角三角形，利用勾股定理求得BD；说明△ACD绕D逆时针旋转90°得到△DBM，可得△DCM为等腰直角三角形，利用勾股定理可求CD的长.
15．（2023·呼和浩特）甲、乙两船从相距的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行时与从地逆流航行的乙船相遇甲、乙两船在静水中的航速均为，则江水的流速为 ．
【答案】6
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设江水的流速为 x km/h，可列方程，解得x=6，经检验x=6是方程的解，所以江水流速为6km/h.
故答案为：6.
【分析】设江水的流速为 x km/h，根据“ 甲船从地顺流航行时与从地逆流航行的乙船相遇 ”和“ 甲、乙两船从相距的，两地同时匀速沿江出发相向而行”，可知甲船顺流航行90km的时间与乙船逆流航行（150-90）km的时间相同，可列出方程求解.
16．（2023·呼和浩特）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ， ．
【答案】；
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD为正方形，且边长为 ，
∴AB=BC=CD=DA=，∠BAD=∠D=90°，AB∥CD，
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE=，
在Rt△ADE中，AD=，DE=，
由勾股定理得：，
∵∠BAD=90°，BF⊥AE，
∴∠BAH+∠DAE=90°，∠ABF+∠BAH=90°，
∴∠DAE=∠ABF，
在△DAE和△ABF中，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴DE=AF=，
，AE=BF=5，
∵BF⊥AE，∠D=90°，
∴∠AHF=∠D=90°，
又∠HAF=∠DAE，
∴△AFH∽△ADE，
∴AH：AD=AF：AE，
即：AH：=：5.
∴AH=2．
过点M作MN⊥AE于点N，如图：
在△ADE和△BCE中，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE=5，
∴EH=AE-AH=5-2=3，
在Rt△AHB中，
由勾股定理得：
∵AB∥CD，
∴△MEC∽△MBA，
∴ME：MB=CE：AB，
∴
∴ME：MB=1：2，
∴ME：EB=1：3，
∵BF⊥AE，MN⊥AE，
∴MN∥BH，
∴△MNE∽△BHE，
∴MN：BH=EN：EH=ME：EB
∴MN：4=EN：3=1：3，
∴，EN=1，
∴HN=EH-EN=3-1=2，
在Rt△MHN中，∵，HN=2，
由勾股定理得：．
故答案为：2，.
【分析】先求出AE=5，证△DAE和△ABF全等得DE，再证△AFH∽△ADE，利用相似三角形的性质可得AH；过点M作MN⊥AE于点N，先求出AE，证△MEC∽△MBA得ME：MB=CE：AB=1：2，进而得ME：EB=1：3，再证△MNE∽△BHE，利用相似三角形的性质得MN，EN=1，进而得HN=2，最后在Rt△MHN中，利用勾股定理求得MH．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023·呼和浩特）
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）原式
；
（2）解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
所以不等式组的解集为：．
【知识点】实数的运算；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先判断绝对值内的符号去掉绝对值，求出负数指数幂，化简二次根式和代入特殊三角函数，再计算加减.
（2）分别求出两个不等式的解，再求出公共部分求得不等式组的解.
18．（2023·呼和浩特）如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，小明想知道，两地间的距离，测得，，，请帮小明求出两地间距离的长结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可
【答案】解：过作于，如图：
在中，，，
，，
在中，，，
，
；
两地间距离的长为．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过作于，在中，利用特殊角的三角函数求得AH与CH，在中，利用正切函数求得BH与，再利用线段的和求得AB.
19．（2023·呼和浩特）月21日是国际森林日某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林地球之肺”相关知识的测试活动测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，，，，五个等级，并绘制了如图不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题：
等级 成绩分
（1）本次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生的成绩，频数分布直方图中 ▲ ；补全学生成绩频数分布直方图；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
（3）若成绩在分及分以上为合格，全校共有名学生，估计成绩合格的学生有多少名？
【答案】（1）40；7.
由频数分布直方图得：等级有人，
由扇形统计图得：等级占，
．
本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，
由扇形统计图得：等级占，等级占，
等级得人数人，等级的人数为：人，
补全学生成绩频数分布直方图如图所示；
（2）B
（3）抽取的名学生的成绩中，分及分以上的人数为：人，
人．
答：估计成绩合格的学生有人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数
【解析】解：（2） ∵等级A是11人，等级B是13人，等级C是6人，等级D是7人，等级E是3人，
∴所抽取学生成绩的中位数落在B等级.
故答案为：B．
【分析】 （1）根据统计图等级C人数与所占的百分比，求得本次调查一共随机抽取的学生人数；根据统计图等级D所占比例，求出等级D的人数m的值，再根据等级B所占百分比，求得等级B的人数，然后补全频数分布直方图；
（2）根据等级A是11人，等级B是13人，等级C是6人，等级D是7人，等级E是3人可得出所抽取学生成绩的中位数所在的等级．
（3）根据抽取的40名学生的成绩中，60分及60分以上的人数为37人可得出成绩合格的学生数．
20．（2023·呼和浩特）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形且，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
．
（2）解：由知≌，
，
四边形是菱形，
，，，
四边形的菱形，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
四边形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用ASA证明≌，可证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解；
（2）证明四边形的菱形，利用菱形的性质说明是等边三角形，利用等边三角形的性质求得BD，再利用三角函数求得OE，根据EF=2OE求得EF，最后利用三角形面积公式求解.
21．（2023·呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
（1）判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集．
【答案】（1）点在该反比例函数的图象上．理由如下：
如图，连接，，
正六边形的边长，点是正六边形的对称中心，
，，
，，
，，均为等边三角形，
，，
，，
，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
该反比例函数的解析式为，
当时，，
点在该反比例函数的图象上；
（2）将，分别代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
观察图象可得：在第一象限内，当直线：位于双曲线上方时，，
不等式的解集为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）连接PA，PF，根据正六边形的性质求得P与E的坐标，再利用待定系数法可得反比例函数的解析式，然后将点E的坐标代入反比例函数解析式检验；
（2）根据两函数图象的位置关系求出不等式的解集．
22．（2023·呼和浩特）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动到达农场后分组进行劳动，若每位老师带名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带名学生，则有一位老师少带名学生劳动实践结束后，学校在租车总费用元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有名老师现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量人辆
租金元辆
（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有名老师，则共需租车 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】（1）设老师有名，学生有名，根据题意，列方程组为：
，解得，
答：老师有名，学生有名．
（2）6
（3）设租用甲客车辆，则租车费用元是的函数，即：
，
整理得：，
学校在租车总费用元的限额内，租用汽车送师生返校，
，
，即．
要保证人有车坐，不能小于，所以有两种租车方案：
方案一：租辆甲种客车，辆乙种客车；
方案二：租辆甲种客车，辆乙种客车；
随的增大而增大，
当时，最小，．
答：学校共有两套租车方案，最少费用为元.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用
【解析】解：（2） ∵每辆车上至少有1名老师，
∴汽车总数不能大于6辆，
∵要保证240名师生有车坐，汽车总数不能少于（取整数6）辆，
综合可知汽车总数为6辆．
故答案为：6．
【分析】 （1）设老师有x名，学生有y名，根据题意，列方程组解答出来即可；
（2）根据题上条件既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，车辆数只能是6；
（3）根据题上条件设租用甲客车x辆，则租车费用y（元）是x的函数，得到y=120x+1680，列出120x+1680≤2300，取整数解后出方案，再计算最少费用即可．
23．（2023·呼和浩特）已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
当时，求的长；
求的最大值．
【答案】（1）证明：如图，连接，，
是的直径，
，
，
点为边的中点，
，
，
，
，
，即，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
（2）当点在线段上时，如图，过点作于点，
在中，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，即，
；
当点在的延长线上时，如图，过点作于点，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，舍去，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，舍去，
；
综上所述，的长为或；
设，则，
如图，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为．
【知识点】切线的判定；圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，CD，由AC是⊙O的直径，可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质说明MC=MD，根据等腰三角形性质可得∠MDC=∠MCD，进而可得∠ODM=90°，再利用切线的判定定理证明；
（2）①分点P在线段BC上和点P在CB的延长线上两种情况讨论；②设CP=n，含n的式子表示AP，利用面积法可得CQ AP=AC CP，求得CQ，再运用乘法公式和不等式性质可得64+n2≥16n，即可得出答案．
24．（2023·呼和浩特）探究函数的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， ▲ 根据如表数据，在图所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
（3）在图中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点点在点的左边，点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，不含端点于，两点当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）2；
当时，，
，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于轴对称；当或时，随的增大而增大；当或时，随的增大而减小；
（2）当时，，
当时，，
，，
，
，
，
，
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或或或或或或；
（3）与的和是定值；
如图，连接直线，
抛物线交轴于，两点，
，，
，
抛物线的顶点为，
点是点关于抛物线顶点的对称点，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
联立和并整理得：，
直线与抛物线只有一个公共点，
故，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得，
同理可得，，
射线、关于直线：对称，则，设，
则，
为定值．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】 （1）把x=-1代入函数表达式中求得m的值，利用描点法画出y=-2|x|2+4|x|（x＜0）部分的图象，依据图象写出一条性质；
（2）当x＜0时，y=-2x2-4x，当x≥0时，y=-2x2+4x，根据S△FAB=3，可求得点F的纵坐标，代入解析式解方程即可；
（3）利用待定系数法可得直线OP的表达式与直线AP的表达式，由直线l与抛物线只有一个公共点，可得直线的表达式，将三条直线的函数表达式联立方程组可求得：xM，xN，再利用解直角三角形求解．
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