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5．1 平行关系的判定(二)
【课时目标】 1．理解平面与平面平行的判定定理的含义．2．能运用平面与平面平行的判定定理，证明一些空间面面平行的简单问题．www.21-cn-jy.com
1．平面α与平面β平行是指两平面______公共点．若α∥β，直线a?α，则a与β的位置关系为________．【来源：21·世纪·教育·网】
2．定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
一、选择题
1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A．α内有无数条直线平行于β
B．α内不共线三点到β的距离相等
C．l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β
D．l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
3．给出下列结论，正确的有( )
①平行于同一条直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα，则( )
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
5．两个平面平行的条件是( )
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D．两个平面都平行于同一条直线
6．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
二、填空题
7．已知直线a、b，平面α、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为________．21世纪教育网版权所有
8．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________(填序号)．21教育网
9．如图所示，在正方体ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．21·cn·jy·com
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．21cnjy.com
11．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC．
能力提升
12．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D．
13．如图所示，在正方体ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
判定或证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
5．1 平行关系的判定(二) 答案
知识梳理
1．无 a∥β
作业设计
1．C 2．D 3．B 4．B
5．C 6．A
7．b∥β或b?β
8．③
解析 ①不正确，当两平面相 ( http: / / www.21cnjy.com )交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．2·1·c·n·j·y
9．M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N连接，
有MN∥平面B1BDD1．
10．证明 如图所示，连接SB，SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD．
又∵SD?平面BDD1B1，
FG平面BDD1B1，
∴直线FG∥平面BDD1B1．
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，
EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
11．(1)证明 (1)连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有＝＝＝2，
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
连接PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF?平面ACD，MN平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)解 由(1)可知＝＝，
∴MG＝PH．
又PH＝AD，
∴MG＝AD．
同理NG＝AC，MN＝CD．
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．
12．
证明 连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连接ED，
∵A1B∥平面AC1D，
ED?平面AC1D，
∴A1B与ED没有交点，
又∵ED?平面A1BC，A1B?平面A1BC，
∴ED∥A1B．
∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．
又A1D1∩BD1＝D1，
∴平面A1BD1∥平面AC1D．
13．解 当Q为CC1的中点时，
平面D1BQ∥平面PAO．
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴QB∥PA．
∵P、O为DD1、DB的中点，
∴D1B∥PO．
∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO．
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第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
【课时目标】 1．能根据圆柱、圆锥、圆台 ( http: / / www.21cnjy.com )和球的定义及结构特征，掌握它们的相关概念和表示方法．2．能根据棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们的相关概念、分类和表示方法． 21*cnjy*com
1．以____________所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球．【版权所有：21教育】
2．分别以________________、___________、_____________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．
3．棱柱的结构特征：两个面____________，其余各面都是____________，并且每相邻两个四边形的公共边都____________，由这些面围成的几何体叫作棱柱．侧棱垂直于底面的棱柱叫作__________，底面是正多边形的直棱柱叫作__________．21·世纪*教育网
4．棱锥的结构特征：有一个 ( http: / / www.21cnjy.com )面是__________，其余各面是_______________________，这些面围成的几何体叫棱锥．如果棱锥的底面是____________，且各侧面________，就称作正棱锥．21*cnjy*com
5．棱台的结构特征：用一个__________棱锥底面的平面去截棱锥，____________之间的部分叫作棱台．
一、选择题
1．棱台不具备的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
2．下列命题中正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台
3．下列说法正确的是( )
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
4．下列说法正确的是( )
A．直线绕定直线旋转形成柱面
B．半圆绕定直线旋转形成球体
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
6．纸制的正方体的六个面根据其方位分别 ( http: / / www.21cnjy.com )标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( )21cnjy.com
A． 南 B．北 C．西 D．下
二、填空题
7．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．
8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．
9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是________．
三、解答题
10．如图所示为长方体ABCD—A ( http: / / www.21cnjy.com )′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．www.21-cn-jy.com
11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．2·1·c·n·j·y
能力提升
12．下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个正方体的图形的是( )【来源：21·世纪·教育·网】
13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？www-2-1-cnjy-com
1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．21教育网
2．棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化，即把三维图形化归为二维图形求解．21·cn·jy·com
在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其 ( http: / / www.21cnjy.com )重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．2-1-c-n-j-y
3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连接两点的线段长求解．【来源：21cnj*y.co*m】
第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
答案
知识梳理
1．半圆的直径
2．矩形的一边 直角三角形的一条直角边 直角梯形垂直于底边的腰
3．互相平行 四边形 互相平行 直棱柱 正棱柱
4．多边形 有一个公共顶点的三角形 正多边形 全等
5．平行于 底面与截面
作业设计
1．C [用棱台的定义去判断．]
2．C [A、B的反例图形如图所示，D显然不正确．]
3．C [圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的 ( http: / / www.21cnjy.com )，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．]21世纪教育网版权所有
4．D [两直线平行时，直 ( http: / / www.21cnjy.com )线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B不正确，C不符合棱台的定义，所以应选D．]
5．C 6．B
7．4 8．圆锥 9．①②
10．解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．
它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是侧棱，
截面BCFE左侧部分也是棱柱．
它是四棱柱ABEA′—DCFD′．
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．
A′D′，EF，BC，AD为侧棱．
11．解
圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA1交OO1的延长线于点S．【出处：21教育名师】
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°．
∴SO＝AO＝3x cm ( http: / / www.21cnjy.com )，OO1＝2x cm．∴(6x＋2x)·2x＝392，解得x＝7，∴圆台的高OO1＝14 cm，母线长l＝OO1＝14 cm，底面半径分别为7 cm和21 cm．
12．C
13．解 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．21教育名师原创作品
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，
∴AB′＝
＝＝2，
即蚂蚁爬行的最短距离为2．
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7．3 球的表面积和体积
【课时目标】 1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．21·cn·jy·com
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的______倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝__________．
一、选择题
1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A． B． C． D．
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )
A．2倍 B．2倍 C．倍 D．倍
3．正方体的内切球和外接球的体积之比为( )
A．1∶ B．1∶3 C．1∶3 D．1∶9
4．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( )
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．1∶4∶7
5．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积( )www.21-cn-jy.com
A．25π B．50π
C．125π D．以上都不对
6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为( )
A．4∶9 B．9∶4 C．4∶27 D．27∶4
二、填空题
7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．www-2-1-cnjy-com
8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________．2-1-c-n-j-y
9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；
(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．
三、解答题
10．如图所示，一个圆锥形的空 ( http: / / www.21cnjy.com )杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？ 21*cnjy*com
11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
能力提升
12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则( )21世纪教育网版权所有
A．以上四个图形都是正确的
B．只有(2)(4)是正确的
C．只有(4)是错误的
D．只有(1)(2)是正确的
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．21教育网
1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．2·1·c·n·j·y
7．3 球的表面积和体积 答案
知识梳理
1．4πR2 4 2．πR3
作业设计
1．A [先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a＝r，再由体积公式求得体积比为．]
2．B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍，则体积扩大到原来的2倍．]
3．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于a．]
4．C [由表面积之比得到半径之比为r1∶r2∶r3＝1∶∶，从而得体积之比为V1∶V2∶V3＝1∶2∶3．]【来源：21·世纪·教育·网】
5．B [外接球的直径2R＝长方体的体对角线
＝(a、b、c分别是长、宽、高)．]
6．A [设球半径为r，圆锥的高为h，
则π(3r)2h＝πr3，可得h∶r＝4∶9．]
7．4
解析 地球和火星的体积比可 ( http: / / www.21cnjy.com )知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2πR地球＝8，故R地球＝(万里)，所以火星的半径为万里，其大圆的周长为4万里．21·世纪*教育网
8．3 cm
解析 设球的半径为r，则36π＝πr3，
可得r＝3 cm．
9．(1)球 (2)球
解析 设正方体的棱长为a，球的半径为r．
(1)当6a2＝4πr2时，
V球＝πr3＝a3>a3＝V正方体；
(2)当a3＝πr3时，
S球＝4πr2＝6a2<6a2＝S正方体．
10．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须
V圆锥≥V半球，V半球＝×πr3＝×π×43，
V圆锥＝Sh＝πr2h＝π×42×h．
依题意：π×42×h≥×π×43，
解得h≥8．
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝πr，
当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，
所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料．
11．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水 ( http: / / www.21cnjy.com )深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V′＝π·(h)2·h＝πh3，
由V＝V′，得h＝r．
即容器中水的深度为r．
12．C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．]
13．解 设正方体的棱长为a．如图所示．
①正方体的内切球球心是正方体的 ( http: / / www.21cnjy.com )中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2．21cnjy.com
②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，
2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2．
③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝a，
r3＝a，
所以S3＝4πr＝3πa2．
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．
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4．2 空间图形的公理(二)
【课时目标】 1．理解异面直线所成角的定义；2．能用公理4及定理解决一些简单的相关问题．
1．公理4：平行于同一条直线的两条直线________．
2．定理：空间中，如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________．21教育网
3．异面直线所成的角：直 ( http: / / www.21cnjy.com )线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角．
如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是____________．21·cn·jy·com
一、选择题
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )21cnjy.com
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN≥(AC＋BD)
B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD)
D．MN<(AC＋BD)
二、填空题
6．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．
7．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上结论中正确结论的序号为________．
三、解答题
9．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1．
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．21世纪教育网版权所有
能力提升
11．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．www.21-cn-jy.com
12．如图所示，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．60° B．45° C．30° D．90°
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条 ( http: / / www.21cnjy.com )异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．21·世纪*教育网
作异面直线所成的角，可通过多种方 ( http: / / www.21cnjy.com )法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．www-2-1-cnjy-com
4．2 空间图形的公理(二) 答案
知识梳理
1．平行
2．平行 相等 互补
3．锐角(或直角) 直角 (0°，90°]
作业设计
1．D [异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]
2．D
3．D [等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．]2-1-c-n-j-y
4．B [①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；
当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．]
5．D
[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，
则ME＝AC，
NE＝BD，
所以ME＋NE＝(AC＋BD)．
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
所以MN<(AC＋BD)．]
6．60°或120°
7．(1)60° (2)45°
解析
连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．
8．①③
解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．2·1·c·n·j·y
9．
证明 (1)如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M、N分别是CD、AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN＝AC．
由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，
又因为ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1．
10．解 取AC的中点G，
连接EG、FG，
则EG∥AB，GF∥CD，
且由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°．
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．
故EF与AB所成的角为15°或75°．
11．②④
解析 ①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．
12．B [
连接B1D1，则E为B1D1中点，
连接AB1，EF∥AB1，
又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．]
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习题课(一)
【课时目标】 1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进一步体会化归思想在证明中的应用．21世纪教育网版权所有
a、b、c表示直线，α、β、γ表示平面．
位置关系 判定定理(符号语言) 性质定理(符号语言)
直线与平面平行 a∥b且__________ a∥α a∥α，____________ a∥b
平面与平面平行 a∥α，b∥α，且________________ α∥β α∥β，________________ a∥b
直线与平面垂直 l⊥a，l⊥b，________________ l⊥α a⊥α，b⊥α ______
平面与平面垂直 a⊥α，________ α⊥β α⊥β，α∩β＝a，__________ b⊥β
一、选择题
1．不同直线m、n和不同平面α、β．给出下列推论：
① m∥β； ② n∥β；
③ m，n异面； ④ m⊥β．
其中错误的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列说法中：(1)平行于同一直线的两个平 ( http: / / www.21cnjy.com )面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的个数有( )21cnjy.com
A．4个 B．1个 C．2个 D．3个
3．若a、b表示直线，α表示平面，下列推论中正确的个数为( )
①a⊥α，b∥α a⊥b；②a⊥α，a⊥b b∥α；
③a∥α，a⊥b b⊥α．
A．1 B．2 C．3 D．0
4．过平面外一点P：①存在无数条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中正确的个数是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )21·世纪*教育网
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段
D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段
6．三棱锥D－ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角A－BC－D的大小为( )2·1·c·n·j·y
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、填空题
7．下面四种说法中正确的是________(填序号)．
(1)如果平面M⊥平面N，且M∩N＝a，点A在平面M内，经A作直线b⊥a，则b⊥平面N；
(2)如果直线a∥平面M，直线a⊥平面N，则平面M⊥平面N；
(3)如果直线a∥平面M，平面M⊥平面N，则直线a⊥平面N；
(4)如果平面M垂直于三角形ABC的一边，则平面M垂直于△ABC所在平面．
8．如果一条直线与一个平面垂直，那么 ( http: / / www.21cnjy.com )，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．www.21-cn-jy.com
9．如图所示，在正方体ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正射影可能是________．(填序号) 21*cnjy*com
三、解答题
10．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：【来源：21cnj*y.co*m】
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA．
11．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．
(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求的值．
能力提升
12．四棱锥P—ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：
(1)根据图中的信息，在四棱锥P—ABCD的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种)：21·cn·jy·com
①一对互相垂直的异面直线____________；
②一对互相垂直的平面____________；
③一对互相垂直的直线和平面____________．
13．如图，在多面体AB ( http: / / www.21cnjy.com )CDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．2-1-c-n-j-y
(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB．
转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为
即利用线线平行(垂直)，证明线面平行(垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直)或证明面面平行(垂直)；反过来，又利用面面平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直)，甚至平行与垂直之间的转化．这样，来来往往，就如同运用“四渡赤水”的战略战术，达到了出奇制胜的目的．
习题课(一) 答案
知识梳理
位置关系 判定定理(符号语言) 性质定理(符号语言)
直线与平面平行 a∥b且aα，b?α a∥α a∥α，a?β，α∩β＝b a∥b
平面与平面平行 a∥α，b∥α，且a?β，b?β，a∩b＝P α∥β α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
直线与平面垂直 l⊥a，l⊥b，且a?α，b?α，a∩b＝P l⊥α a⊥α，b⊥α a∥b
平面与平面垂直 a⊥α，a?β α⊥β α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，b?α b⊥β
作业设计
1．D [推论①正确，面面平行的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )；推论②不正确，也可能n?β；推论③不正确，如果m、n有一条是α、β的交线，则m、n共面；推论④不正确，m与β的关系不确定．]
2．C [(2)和(4)对．]
3．A [①正确．]
4．B [①④正确．]
5．A [
连接AC，AB1，B1C，
∵BD⊥AC，AC⊥DD1，
BD∩DD1＝D，
∴AC⊥面BDD1，
∴AC⊥BD1，
同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥面AB1C．
∴P∈B1C时，始终AP⊥BD1，选A．]
6．A [
由题意画出图形，数据如图，取BC的中点E，
连接AE、DE，易知∠AED为二面角A—BC—D的平面角．
可求得AE＝DE＝，由此得AE2＋DE2＝AD2．
故∠AED＝90°．]
7．(2)(4)
解析 (1)错误．考查两个平面垂直的性质定理：若点A∈a，则推不出该结论．
(2)正确．由线面平行的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )定理，直线a平行于过a的平面与平面M的交线b，则b垂直于平面N，b垂直于平面M与N的交线，由面面垂直判定得知该说法正确．
(3)错误．若两个平面的交线与直线a不垂直，该说法就不成立．
(4)正确．因为△ABC所在的平面经过平面M的一条垂线，即三角形的某一边．由两个平面互相垂直的判定定理知该说法正确．21教育网
8．36
解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对 ( http: / / www.21cnjy.com )”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．www-2-1-cnjy-com
9．①④
10．证明 (1)如图所示，
取EC的中点F，连接DF，∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BC，又由已知得DF∥BC，
∴DF⊥EC．
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵EF＝EC＝BD，
FD＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA，
故ED＝DA．
(2)取CA的中点N，连接MN、BN，
则MN綊EC，
∴MN∥BD，∴N在平面BDM内，
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又CA⊥BN，
∴BN⊥平面ECA，BN?平面MNBD，
∴平面MNBD⊥平面ECA．
即平面BDM⊥平面ECA．
(3)∵BD綊EC，MN綊EC，∴BD綊MN，
∴MNBD为平行四边形，
∴DM∥BN，∵BN⊥平面ECA，
∴DM⊥平面ECA，又DM?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．
11．(1)证明 因为侧面BCC1B1是菱形，
所以B1C⊥BC1．
又B1C⊥A1B，
且A1B∩BC1＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1．
又B1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．
(2)解 设BC1交B1C于点E，连接DE，
则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，
即＝1．
12．①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥P ( http: / / www.21cnjy.com )D) ②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB) ③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)
13．证明
(1)如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H为BC的中点，
故GH綊AB．
又EF綊AB，∴EF綊GH．
∴四边形EFHG为平行四边形．
∴EG∥FH．
而EG?平面EDB，FH平面EDB，
∴FH∥平面EDB．
(2)由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC．
又EF∥AB，∴EF⊥BC．
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．
∴EF⊥FH．∴AB⊥FH．
又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．
∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．
又FH∥EG，∴AC⊥EG．
又AC⊥BD，EG∩BD＝G，
∴AC⊥平面EDB．
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第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
【课时目标】 1．能根据圆柱、圆锥、圆台和球 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义及结构特征，掌握它们的相关概念和表示方法．2．能根据棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们的相关概念、分类和表示方法．
1．以____________所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球．
2．分别以________________、___________、_____________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．
3．棱柱的结构特征：两个面____________，其余各面都是____________，并且每相邻两个四边形的公共边都____________，由这些面围成的几何体叫作棱柱．侧棱垂直于底面的棱柱叫作__________，底面是正多边形的直棱柱叫作__________．
4．棱锥的结构特征：有一个面是__________，其余各面是_______________________，这些面围成的几何体叫棱锥．如果棱锥的底面是____________，且各侧面________，就称作正棱锥．
5．棱台的结构特征：用一个__________棱锥底面的平面去截棱锥，____________之间的部分叫作棱台．
一、选择题
1．棱台不具备的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
2．下列命题中正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台
3．下列说法正确的是( )
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
4．下列说法正确的是( )
A．直线绕定直线旋转形成柱面
B．半圆绕定直线旋转形成球体
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
6．纸制的正方体的六个面 ( http: / / www.21cnjy.com )根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A． 南 B．北 C．西 D．下
二、填空题
7．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．
8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．
9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是________．
三、解答题
10．如图所示为长方体A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
能力提升
12．下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个正方体的图形的是( )
13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．
2．棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化，即把三维图形化归为二维图形求解．
在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作 ( http: / / www.21cnjy.com )用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．
3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连接两点的线段长求解．
第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
答案
知识梳理
1．半圆的直径
2．矩形的一边 直角三角形的一条直角边 直角梯形垂直于底边的腰
3．互相平行 四边形 互相平行 直棱柱 正棱柱
4．多边形 有一个公共顶点的三角形 正多边形 全等
5．平行于 底面与截面
作业设计
1．C [用棱台的定义去判断．]
2．C [A、B的反例图形如图所示，D显然不正确．]
3．C [圆锥是直角三角形绕直 ( http: / / www.21cnjy.com )角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．]
4．D [两直线平行时，直线绕定直线旋 ( http: / / www.21cnjy.com )转才形成柱面，故A错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B不正确，C不符合棱台的定义，所以应选D．]
5．C 6．B
7．4 8．圆锥 9．①②
10．解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．
它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是侧棱，
截面BCFE左侧部分也是棱柱．
它是四棱柱ABEA′—DCFD′．
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．
A′D′，EF，BC，AD为侧棱．
11．解
圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA1交OO1的延长线于点S．
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°．
∴SO＝AO＝3x cm ( http: / / www.21cnjy.com )，OO1＝2x cm．∴(6x＋2x)·2x＝392，解得x＝7，∴圆台的高OO1＝14 cm，母线长l＝OO1＝14 cm，底面半径分别为7 cm和21 cm．
12．C
13．解 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，
∴AB′＝
＝＝2，
即蚂蚁爬行的最短距离为2．
§2 直观图
【课时目标】 1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．
用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则：
(1)在已知图形中取互相垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
一、选择题
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有( )
A．①② B．①④ C．③④ D．①③④
2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( )
A．等腰梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A．8 cm B．6 cm
C．2(1＋) cm D．2(1＋) cm
4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )
6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )
A．＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
二、填空题
7．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是______________．
8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．
9．如图所示，为一个水平放置的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
三、解答题
10．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
11．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．
能力提升
12．在水平放置的平面α内有一个 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
直观图与原图形的关系
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁 ( http: / / www.21cnjy.com )，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系：(1)在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；(2)此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的倍．
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．
§2 直观图 答案
作业设计
1．B [由斜二测画法的规则判断．]
2．B
3．A [
根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，
OB＝2，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm．]
4．C [可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．]
5．C
6．D [如图1所示，等腰梯形A′B ( http: / / www.21cnjy.com )′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋，AD＝1，所以SABCD＝2＋．]
图1 图2
7．①②
解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．
8．2．5
解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．
9．
解析
画出直观图，则B′到x′轴的距离为
·OA＝OA＝．
10．解 (1)如图a所示， ( http: / / www.21cnjy.com )在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy．如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )，垂足为E．在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝≈2．598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm．
(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
11．解 先画出正三角形ABC，
然后再画出它的水平放置的直观图，
如图所示．由斜二测画法规则知
B′C′＝a，O′A′＝a．
过A′引A′M⊥x′轴，垂足为M，
则A′M＝O′A′·sin 45°＝a×＝a．
∴S△A′B′C′＝B′C′·A′M
＝a×a＝a2．
12．
解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2．
§3 三视图
【课时目标】 1．初步认识简单几何体的三视图．2．会画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空间几何体．
1．空间几何体的三视图是指__________、__________、__________．
2．三视图的排列规则是__________放在主视图的下方，长度与主视图一样，__________放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．
3．三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从________、__________、________观察同一个几何体，画出空间几何体的图形．
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关
B．任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关
C．有的几何体的三视图与其摆放的位置无关
D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形
2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图( )
3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
5．实物图如图所示．无论怎样摆放物体，如图所示中不可能为其主视图的是( )
6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )
二、填空题
7．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．
(1)对应________；(2)对应________；
(3)对应________；(4)对应________；
(5)对应________．
8．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．
9．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．
三、解答题
10．在下面图形中，图(b)是图(a)中 ( http: / / www.21cnjy.com )实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．
11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．
能力提升
12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．
13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？
在绘制三视图时，要注意以下三点：
1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．
2．一个物体的三视图的排列规则是： ( http: / / www.21cnjy.com )俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．
3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．
§3 三视图 答案
知识梳理
1．主视图 左视图 俯视图
2．俯视图 左视图
3．正前方 正上方 左侧
作业设计
1．C [球的三视图与其摆放位置无关．]
2．C
3．D [在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]
4．C
[由三视图中的正、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C．]
5．D [A图可看做该物体槽向前时的主视图，B图可看做槽向下时的主视图，C图可看做槽向后时的主视图．]
6．A
7．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B
8．2 4
解析 三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4．
9．7
10．解 图(a)是由两个长方体组合而成的 ( http: / / www.21cnjy.com )，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．
11．解 该图形的三视图如图所示．
12．解 该物体是由一个正六棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com )和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．
13．解 由于主视图中每列的 ( http: / / www.21cnjy.com )层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．
而搭建这样的几何体用方块数最 ( http: / / www.21cnjy.com )少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．
§4 空间图形的基本关系与公理
4．1 空间图形基本关系的认识
【课时目标】 学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念．
1．空间点与直线的位置关系有两种：______________________________．
2．空间点与平面的位置关系有两种：________________________________．
3．空间两条直线的位置关系有三种
(1)________直线——在同一平面内，没有公共点；
(2)________直线——在同一平面内，只有一个公共点；
(3)________直线——不同在任何一个平面内．
4．空间直线与平面的位置关系有三种
(1)直线在平面内——直线和平面有无数个公共点；
(2)直线和平面相交——直线和平面只有一个公共点；
(3)直线和平面平行——直线和平面没有公共点．
5．空间平面与平面的位置关系
(1)两个平面平行——两个平面没有公共点；
(2)两个平面相交——两平面不重合且有公共点．
一、选择题
1．已知直线a∥平面α，直线b?α，则a与b的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
2．若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b?α D．b∥α或b?α
3．若直线m不平行于平面α，且mα，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线与m异面
B．α内不存在与m平行的直线
C．α内存在唯一的直线与m平行
D．α内的直线与m都相交
4．三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或2条
5．平面α∥β，且a?α，下列四个结论：
①a和β内的所有直线平行；
②a和β内的无数条直线平行；
③a和β内的任何直线都不平行；
④a和β无公共点．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
二、填空题
7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有______个．
8．若a、b是两条异面直线，且a∥平行α，则b与α的位置关系是__________________．
9．三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________．
三、解答题
10．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．
(1)如图1，直线a在平面α内．
(2)如图2，直线a和平面α相交．
(3)如图3，直线a和平面α平行．
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，指出与AB平行的棱、相交的棱、异面的棱．
能力提升
12．如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF、GH在原正方体中相互异面的有______对．
13．如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．
正方体或长方体是一个特殊的图形， ( http: / / www.21cnjy.com )当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体或长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．www.21-cn-jy.com
§4 空间图形的基本关系与公理
4．1 空间图形基本关系的认识
答案
知识梳理
1．点在直线上和点在直线外
2．点在平面内和点在平面外
3．(1)平行 (2)相交 (3)异面
作业设计
1．D 2．D 3．B 4．D 5．C 6．B
7．3
8．b?α，b∥α或b与α相交
9．4,6,7,8
10．解 (1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：
(1)直线a在平面α内：
(2)直线a与平面α相交：
(3)直线a与平面α平行：
11．
解 如图所示．与AB平行的棱CD，A1B1，C1D1；与AB相交的棱A1A，B1B，AD，BC；
与AB异面的棱为棱A1D1，
B1C1，D1D，C1C．
12．3
解析 将正方体恢复后，由图观察即可得．
即为EF，GH；CD，AB；AB，GH．
13．解 由α∩γ＝a知a?α且a?γ，
由β∩γ＝b知b?β且b?γ，
∵α∥β，a?α，b?β，∴a、b无公共点．
又∵a?γ且b?γ，∴a∥b．
∵α∥β，∴α与β无公共点，
又a?α，∴a与β无公共点，∴a∥β．
4．2 空间图形的公理(一)
【课时目标】 掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．
1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
符号：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l?α．
2．公理2：经过________________________的三点，____________一个平面(即可以确定一个平面)．
3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________通过这个点的公共直线．
符号：P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l．
4．用符号语言表示下列语句：
(1)点A在平面α内但在平面β外：
________________________________________________________________________．
(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________．
(3)直线l在面α内也在面β内：____________．
(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：
________________________________________________________________________．
一、选择题
1．两平面重合的条件是( )
A．有两个公共点
B．有无数个公共点
C．有不共线的三个公共点
D．有一条公共直线
2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作( )
A．M∈b∈β B．M∈b?β
C．M?b?β D．M?b∈β
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线 α、β重合
5．空间中可以确定一个平面的条件是( )
A．两条直线 B．一点和一直线
C．一个三角形 D．三个点
6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有( )
A．2个或3个 B．4个或3个
C．1个或3个 D．1个或4个
二、填空题
7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)Aα，a?α________．
(2)α∩β＝a，Pα且Pβ________．
(3)aα，a∩α＝A________．
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．
8．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．
9．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
11．如图所示，四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
能力提升
12．若空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．
13．如图，在正方体AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．【来源：21cnj*y.co*m】
求证：(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面；
(3)CE、D1F、DA三线共点．
1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．
2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个 ( http: / / www.21cnjy.com )基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．
3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．
4．2 空间图形的公理(一) 答案
知识梳理
1．两点
2．不在同一条直线上 有且只有
3．一个 一条
4．(1)A∈α，A β (2)A∈α，B α且A∈l，B∈l (3)l?α且l?β (4)m?α，n?α且m∩n＝A
作业设计
1．C [根据公理2，不共线的三点确定一个平面，若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重合．]
2．B 3．D
4．C [∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．
故α∩β＝A的写法错误．]
5．C
6．D [四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]
7．(1)C (2)D (3)A (4)B
8．A∈m
解析 因为α∩β＝m，A∈a?α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．
9．③
10．解 由题意知，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
11．证明 因为AB∥CD， ( http: / / www.21cnjy.com )所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
12．证明
∵l1?β，l2?β，l1l2，
∴l1∩l2交于一点，记交点为P．
∵P∈l1?β，P∈l2?γ，
∴P∈β∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
13．证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，
∴EF∥A1B．
∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．
∴E、C、D1、F四点共面．
(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．
又∵EF＝A1B＝D1C．
∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．
则P∈D1F?平面ADD1A1，
P∈CE?平面ADCB．
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．
∴CE、D1F、DA三线共点．
4．2 空间图形的公理(二)
【课时目标】 1．理解异面直线所成角的定义；2．能用公理4及定理解决一些简单的相关问题．
1．公理4：平行于同一条直线的两条直线________．
2．定理：空间中，如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________．
3．异面直线所成的角：直 ( http: / / www.21cnjy.com )线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角．
如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是____________．
一、选择题
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN≥(AC＋BD)
B．MN≤(AC＋BD)
C．MN＝(AC＋BD)
D．MN<(AC＋BD)
二、填空题
6．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．
7．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上结论中正确结论的序号为________．
三、解答题
9．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1．
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
能力提升
11．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．
12．如图所示，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．90°
在研究异面直线所成角的大小时 ( http: / / www.21cnjy.com )，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．
作异面直线所成的角，可通过多种方法平 ( http: / / www.21cnjy.com )移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
4．2 空间图形的公理(二) 答案
知识梳理
1．平行
2．平行 相等 互补
3．锐角(或直角) 直角 (0°，90°]
作业设计
1．D [异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]
2．D
3．D [等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．]
4．B [①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；
当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．]
5．D
[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，
则ME＝AC，
NE＝BD，
所以ME＋NE＝(AC＋BD)．
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
所以MN<(AC＋BD)．]
6．60°或120°
7．(1)60° (2)45°
解析
连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．
8．①③
解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
9．
证明 (1)如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M、N分别是CD、AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN＝AC．
由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，
又因为ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1．
10．解 取AC的中点G，
连接EG、FG，
则EG∥AB，GF∥CD，
且由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°．
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．
故EF与AB所成的角为15°或75°．
11．②④
解析 ①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．
12．B [
连接B1D1，则E为B1D1中点，
连接AB1，EF∥AB1，
又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．]
§5 平行关系
5．1 平行关系的判定(一)
【课时目标】 1．理解直线与平面平行的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
1．直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点．
2．直线与平面平行的判定定理：
__________一条直线与______________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为________________________．
一、选择题
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)
①若a∥b，b?α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b?α，则a∥b．
其中正确说法的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b?α D．b∥α或b与α相交
3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AB?α
4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．在内 D．不能确定
5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A．不存在 B．只能作出一个
C．能作出无数个 D．以上都有可能
6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
二、填空题
7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．
8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
(1)与直线AB平行的平面是______________；
(2)与直线AA1平行的平面是______________；
(3)与直线AD平行的平面是______________．
9．在正方体ABCD－A ( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是_______________________________________________________________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．
求证：EF∥平面BDD1B1．
11．如图所示，P是 ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．
能力提升
12．下列四个正方体图形中，A、B ( http: / / www.21cnjy.com )为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)
13．正方形ABCD与正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)21教育名师原创作品
直线与平面平行的判定方法
(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．
(2)利用直线和平面平行的判定定理：aα，a∥b，b?α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．
§5 平行关系
5．1 平行关系的判定(一)
答案
知识梳理
2．平面外 此平面内 aα，b?α，且a∥b a∥α
作业设计
1．A [①a?α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a?α也可能成立；④a，b还有可能异面．]
2．D 3．C 4．A 5．D
6．D
[如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]
7．无数
8．(1)平面A1C1和平面DC1 (2)平面BC1和平面DC1 (3)平面B1C和平面A1C1
9．平行
解析 设BD的中点为F，则EF∥BD1．
10．证明 取D1B1的中点O，
连接OF，OB．
∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，
∴OF綊BE．
∴四边形OFEB是平行四边形，
∴EF∥BO．
∵EF平面BDD1B1，
BO?平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1．
11．证明 连接AF延长交BC于G，
连接PG．
在 ABCD中，
易证△BFG∽△DFA．
∴＝＝，
∴EF∥PG．
而EF平面PBC，
PG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
12．①③
13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN．
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，
∴AE＝BD．
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．
又∵PM∥AB∥QN，∴＝，＝．
∴PM綊QN．
∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．
又MN?平面BCE，PQ平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
方法二 如图(2)所示，连接AQ并延长交BC(或其延长线)于K，连接EK．
∵KB∥AD，∴＝．
∵AP＝DQ，AE＝BD，
∴BQ＝PE．
∴＝．∴＝．∴PQ∥EK．
又PQ面BCE，EK?面BCE，
∴PQ∥面BCE．
5．1 平行关系的判定(二)
【课时目标】 1．理解平面与平面平行的判定定理的含义．2．能运用平面与平面平行的判定定理，证明一些空间面面平行的简单问题．
1．平面α与平面β平行是指两平面______公共点．若α∥β，直线a?α，则a与β的位置关系为________．
2．定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
一、选择题
1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A．α内有无数条直线平行于β
B．α内不共线三点到β的距离相等
C．l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β
D．l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
3．给出下列结论，正确的有( )
①平行于同一条直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα，则( )
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
5．两个平面平行的条件是( )
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D．两个平面都平行于同一条直线
6．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
二、填空题
7．已知直线a、b，平面α、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为________．
8．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________(填序号)．
9．如图所示，在正方体ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．
三、解答题
10．如图所示，在正方体AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．
11．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC．
能力提升
12．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D．
13．如图所示，在正方体ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
判定或证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
5．1 平行关系的判定(二) 答案
知识梳理
1．无 a∥β
作业设计
1．C 2．D 3．B 4．B
5．C 6．A
7．b∥β或b?β
8．③
解析 ①不正确，当两平面相交时，在 ( http: / / www.21cnjy.com )一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．21教育网
9．M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N连接，
有MN∥平面B1BDD1．
10．证明 如图所示，连接SB，SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD．
又∵SD?平面BDD1B1，
FG平面BDD1B1，
∴直线FG∥平面BDD1B1．
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，
EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
11．(1)证明 (1)连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有＝＝＝2，
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
连接PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF?平面ACD，MN平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)解 由(1)可知＝＝，
∴MG＝PH．
又PH＝AD，
∴MG＝AD．
同理NG＝AC，MN＝CD．
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．
12．
证明 连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连接ED，
∵A1B∥平面AC1D，
ED?平面AC1D，
∴A1B与ED没有交点，
又∵ED?平面A1BC，A1B?平面A1BC，
∴ED∥A1B．
∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．
又A1D1∩BD1＝D1，
∴平面A1BD1∥平面AC1D．
13．解 当Q为CC1的中点时，
平面D1BQ∥平面PAO．
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴QB∥PA．
∵P、O为DD1、DB的中点，
∴D1B∥PO．
∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO．
5．2 平行关系的性质(一)
【课时目标】 1．能应用文字语言、符号语 ( http: / / www.21cnjy.com )言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．
直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，那么
________________________________________________________．
(1)符号语言描述：________________．
(2)性质定理的作用：
可以作为直线和直线平行的判定方法，也提供了一种作平行线的方法．
一、选择题
1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面( )
A．只有一个 B．至多有两个
C．不一定有 D．有无数个
2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均可能
3．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C ( http: / / www.21cnjy.com )1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是( )
A．l1平行于l3，且l2平行于l3
B．l1平行于l3，且l2不平行于l3
C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3
D．l1不平行于l3，但l2平行于l3
二、填空题
7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为 ( http: / / www.21cnjy.com )条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)
8．如图所示，ABCD—A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．
9．已知(如图)A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______________．
三、解答题
10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，【出处：21教育名师】
求证：AP∥GH．
11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．
求证：CD∥平面EFGH．
能力提升
12．如图所示，在空间四边形ABCD中，E ( http: / / www.21cnjy.com )、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．www-2-1-cnjy-com
13．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．21·世纪*教育网
(1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
直线与平面平行判定定理和直 ( http: / / www.21cnjy.com )线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：
．
5．2 平行关系的性质(一) 答案
知识梳理
过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 (1) a∥b
作业设计
1．C 2．D
3．C [∵截面PQMN为正方形，
∴PQ∥MN，PQ∥面DAC．
又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ?面ABC，
∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD．
故有选项A、B、D正确，C错误．]
4．A [∵E、F分别是AA1、BB1的中点，
∴EF∥AB．
又AB平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH．
又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
∴AB∥GH．]
5．B [设这n条直线的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b，则直线b过点P．又直线a∥平面α，则a∥b．很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．]
6．A [∵l1∥l2，l2?γ，l1γ，
∴l1∥γ．
又l1?β，β∩γ＝l3，
∴l1∥l3
∴l1∥l3∥l2．]
7．①② ③(或①③ ②)
解析 设过m的平面β与α交于l．
∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，
∵nα，l?α，∴n∥α．
8．a
解析 ∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝．
9．平行四边形
解析 平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，
得EF∥CD；
同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB．
∴GH∥EF，EG∥FH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
10．解 如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM．
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，
∴PA∥GH．
11．证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH．
又GH?平面BCD，EF平面BCD．
∴EF∥平面BCD．
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，
∴EF∥CD．
而EF?平面EFGH，CD平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH．
12．m∶n
解析 ∵AC∥平面EFGH，
∴EF∥AC，GH∥AC，
∴EF＝HG＝m·，同理EH＝FG＝n·．
∵EFGH是菱形，∴m·＝n·，
∴AE∶EB＝m∶n．
13．(1)证明 因为BC∥AD，AD?平面PAD，
BC平面PAD，所以BC∥平面PAD．
又平面PAD∩平面PBC＝l，BC?平面PBC，
所以BC∥l．
(2)解 MN∥平面PAD．
证明如下：
如图所示，取DC的中点Q．
连接MQ、NQ．
因为N为PC中点，
所以NQ∥PD．
因为PD?平面PAD，NQ平面PAD，
所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．
又NQ?平面MNQ，MQ?平面MNQ，
NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．
所以MN∥平面PAD．
5．2 平行关系的性质(二)
【课时目标】 1．会用图 ( http: / / www.21cnjy.com )形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理．2．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．
平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．
(1)符号表示为： a∥b．
(2)性质定理的作用：
利用性质定理可证线线平行，也可用来作空间中的平行线．
(3)面面平行的其他性质：
①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即 ______，可用来证明线面平行；
②夹在两个平行平面间的平行线段相等；
③平行于同一平面的两个平面平行．
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行
2．设平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在惟一一条与a平行的直线
3．如图所示，P是三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5
4．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )
① a∥b; ② a∥b；
③ α∥β； ④ α∥β；
⑤ α∥a; ⑥ a∥α．
A．④⑥ B．②③⑥
C．②③⑤⑥ D．②③
5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过 ( http: / / www.21cnjy.com )点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或 C．14 D．20
二、填空题
7．分别在两个平行平面的两个三角形，
(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；
(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．
8．过正方体ABCD－A1B1C1D ( http: / / www.21cnjy.com )1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F．已知AB＝6，＝，则AC＝________．
三、解答题
10．如图所示，已知正方体ABCD－ ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
求证：N为AC的中点．
能力提升
12．如图所示，在底面是平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
13．如图所示，在棱长为2 ( http: / / www.21cnjy.com )的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：
2．强调两个问题
(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．
(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面．
5．2 平行关系的性质(二) 答案
知识梳理
那么它们的交线平行 (3)①a∥β
作业设计
1．C [由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C．]
2．D [直线a与B可确定一个平面γ，
∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b．
由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．
因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，
所以b惟一．]
3．B [面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝()2＝()2＝．]
4．C [由公理4及平行平面的 ( http: / / www.21cnjy.com )传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．]
5．D [
如图所示，A′、B′分别是A、B两点在 ( http: / / www.21cnjy.com )α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E．连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′．
则CE∥AA′，∴CE∥α．
C′E∥BB′，∴C′E∥β．
又∵α∥β，∴C′E∥α．
∵C′E∩CE＝E．
∴平面CC′E∥平面α．
∴CC′∥α．所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．]
6．B [当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝．]
7．(1)相似 (2)全等
8．平行
解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．
9．15
解析 由题可知＝ AC＝·AB＝×6＝15．
10．证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN，
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，
∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，
∴EM＝FN．
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴EF∥MN．
又MN?平面ABCD，EF平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
方法二
过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，
∴＝，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴＝，
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
11．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN綊C1M＝A1C1＝AC，
∴N为AC的中点．
12．解
当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．
证明如下：
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE， ①
由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，
设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，
则BM∥OE， ②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，
又BF?平面BFM，
∴BF∥平面AEC．
13．解 能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，
PC1∥MC，PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝，MN＝2，
∴A1H＝．
∴S△A1MN＝×2×＝．
故S A1MCN＝2S△A1MN＝2．
§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定(一)
【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．
1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
2．判定定理
文字表述：如果一条直线和一个平面内的__________________都垂直，那么该直线与此平面垂直．
符号表述： l⊥α．
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a?β D．a?β或a∥β
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )【版权所有：21教育】
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．从平面外一点P向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果PA＝PB＝PC，有如下命题：
①△ABC是正三角形；
②垂足是△ABC的内心；
③垂足是△ABC的外心；
④垂足是△ABC的垂心．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．下列五个正方体图形中 ( http: / / www.21cnjy.com )，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是______________(写出所有符合要求的图形序号)．
8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ( http: / / www.21cnjy.com )BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
求证：CF⊥平面EAB．
11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD．
能力提升
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．
13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；
(2)PQ⊥SC．
1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直 线面垂直”．
2．直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．
§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定(一)
答案
知识梳理
2．两条相交直线 a?α b?α a∩b＝A
作业设计
1．B [只有④正确．]
2．D
3．C
[取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，
∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，
又BD、AC异面，∴选C．]
4．B [易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]
5．A [ BC⊥平面PAC BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]
6．A
[PO⊥面ABC．
则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，OA＝OB＝OC，
O为△ABC外心．
只有③正确．]
7．①④⑤
8．∠A1C1B1＝90° [
如图所示，连接B1C，
由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，
即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．
(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)]
9．90°
解析 ∵B1C1⊥面ABB1A1，
∴B1C1⊥MN．
又∵MN⊥B1M，∴MN⊥面C1B1M，
∴MN⊥C1M．
∴∠C1MN＝90°．
10．证明 在平面B1BCC1中，
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，
∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．
11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD．
(2)取PD的中点G，
连接AG，FG．
又∵G、F分别是PD，PC的中点，
∴GF綊CD，∴GF綊AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF．
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．
12．
证明 连接AB1，CB1，
设AB＝1．
∴AB1＝CB1＝，
∵AO＝CO，∴B1O⊥AC．
连接PB1．
∵OB＝OB2＋BB＝，
PB＝PD＋B1D＝，
OP2＝PD2＋DO2＝，
∴OB＋OP2＝PB．
∴B1O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，
∴B1O⊥平面PAC．
13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC．
又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB．
又∵AQ?平面SAB，
∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，
∴AQ⊥平面SBC．
(2)∵AQ⊥平面SBC，SC?平面SBC，
∴AQ⊥SC．
又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，
∴SC⊥平面APQ．
∵PQ?平面APQ，∴PQ⊥SC．
6．1 垂直关系的判定(二)
【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角 ( http: / / www.21cnjy.com )的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．
1．二面角：从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．__________________叫做二面角的面．21cnjy.com
2．平面与平面的垂直
①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．
②面面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的________，那么这两个平面互相垂直．
符号表示： α⊥β．
一、选择题
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
2．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是( )
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．有无数个
C．有且只有一个或无数个
D．可能不存在
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为( )2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC
二、填空题
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．
三、解答题
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BGD．
11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝．
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
能力提升
12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．21·cn·jy·com
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
1．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交 ( http: / / www.21cnjy.com )平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理证明面 ( http: / / www.21cnjy.com )面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．
3．证明两个平面垂直，通常 ( http: / / www.21cnjy.com )是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．21*cnjy*com
6．1 垂直关系的判定(二) 答案
知识梳理
1．两个半平面 这条直线 这两个半平面
2．①直二面角 ②垂线 a?α
作业设计
1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面不是最小角．故选B．]
2．C
3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]
4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]
5．B [
如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝，
∴∠BOD＝60°．]
6．C [
如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴D正确．]
7．45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．
8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，
面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④ ②(或②③④ ①)
10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，
则∠PBA＝60°．
故二面角A—BE—P的大小是60°．
12．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知
EF∥BC．
因为EF平面ABC．
BC?平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1．
又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC．
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，
BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC．
这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
6．2 垂直关系的性质(一)
【课时目标】 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．
直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言 ________
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行②作平行线
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直线垂直
C．若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行
D．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直
2．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
① n⊥α； ② m∥n；
③ m⊥n; ④ n⊥α．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF?α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是( )
A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE
C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG
4．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
5．下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；
②垂直于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两条直线平行；
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA、PB、PC两两垂直，则P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
二、填空题
7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；② ( http: / / www.21cnjy.com )a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
9．如图所示，平面ABC⊥平 ( http: / / www.21cnjy.com )面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
11．如图所示，设三角形A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
求证：GG′⊥α．
能力提升
12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，
求证：平面DMN∥平面ABC．
13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN⊥平面A1BC． 21*cnjy*com
1．直线和平面垂直的性质定理可以作 ( http: / / www.21cnjy.com )为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直 线面垂直 线线平行 线面平行．
2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“ ( http: / / www.21cnjy.com )垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题，一定要记住．
6．2 垂直关系的性质(一) 答案
知识梳理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行②作平行线
作业设计
1．B [由线面垂直的定义知B正确．]
2．C [①②③正确，④中n与面α可能有：n?α或n∥α或相交(包括n⊥α)．]
3．C [由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，
∴PG最短，PF
∴有PG4．C [PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；
又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，B、D均正确．
∴选C．]
5．B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，故选B．]
6．A [设P在面α的射影为O，则PA⊥面PBC，
∴PA⊥BC，又BC⊥PO，
∴BC⊥AO，同理AC⊥BO，
∴O为△ABC的垂心．]
7．4
解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．
8．①②③
解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．
9．6
解析 由题意知CO⊥AB，
∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，
∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．
10．证明 (1)∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D．
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1．
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC．
∴ON綊CD綊AB，
∴ON∥AM．
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．
∵ON＝AB，∴AM＝AB，
∴M是AB的中点．
11．证明
连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．
∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，
∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，
∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
∴＝，∴GG′∥AA′，
又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．
12．证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，
∴MN∥AC，
又∵AC?平面ABC，MN平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，
∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，
又∵DN平面ABC，BC?平面ABC，
∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，
∴平面DMN∥平面ABC．
13．证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．
连接AC1，则BC⊥AC1．
由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C＝C，
所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．
6．2 垂直关系的性质(二)
【课时目标】 1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．
1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l ________．
2．两个重要结论：
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
图形表示为：
符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β a?α．
(2)已知平面α⊥平面β，aα，a⊥β，那么a∥α(a与α的位置关系)．
一、选择题
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A．l∥γ B．l?γ
C．l与γ斜交 D．l⊥γ
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
4．若α⊥β，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
5．设x，y，z中有两条直线和一个平面，已知条件可推得x⊥z，则x，y，z中可能为平面的是( )
A．x或y B．x C．y D．z
6．在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )
A．平面ABD⊥平面BDC
B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC
D．平面ABC⊥平面BED
二、填空题
7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，Pl，则下列结论中正确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________．
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．
三、解答题
10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥AB．
11．如图所示，P是四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
能力提升
12．如图，在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°．
证明：AB⊥PC．
13．如图所示，已知直四棱柱ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．
(1)求证：直线MF∥平面ABCD；
(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．
1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．
2．判定线面垂直的方法主要有以下五种：
(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；
(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；
(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面， b⊥α；
(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面， a⊥β．
6．2 垂直关系的性质(二) 答案
知识梳理
1．垂直 交线 a⊥β
作业设计
1．D
2．D
[在γ面内取一点O，
作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，
同理OF⊥l，OE∩OF＝O，
所以l⊥γ．]
3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]
4．C 5．A 6．D
7．①③④
解析 由性质定理知②错误．
8．7 cm
解析 P到O的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．
9．直线AB上
解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．
10．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB．
11．证明
(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，
∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．
12．证明 因为△PAB是等边三角形，
所以PB＝PA．
因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AC＝BC．
如图，取AB的中点D，连结PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，
所以AB⊥平面PDC，
所以AB⊥PC．
13．证明
(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．
∵F是BB1的中点，
∴F为C1N的中点，B为CN的中点．
又∵M是线段AC1的中点，
∴MF∥AN．
又∵MF平面ABCD，AN?平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD．
(2)连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．
又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A?平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1．
在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，
∴四边形DANB为平行四边形，
∴NA∥BD，
∴NA⊥平面ACC1A1．
又∵NA?平面AFC1，
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1．
习题课(一)
【课时目标】 1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进一步体会化归思想在证明中的应用．
a、b、c表示直线，α、β、γ表示平面．
位置关系 判定定理(符号语言) 性质定理(符号语言)
直线与平面平行 a∥b且__________ a∥α a∥α，____________ a∥b
平面与平面平行 a∥α，b∥α，且________________ α∥β α∥β，________________ a∥b
直线与平面垂直 l⊥a，l⊥b，________________ l⊥α a⊥α，b⊥α ______
平面与平面垂直 a⊥α，________ α⊥β α⊥本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第一章 章末总结
( http: / / www.21cnjy.com )
一、直观图和三视图的画法
直观图和三视图是空间几何体 ( http: / / www.21cnjy.com )的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们更好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化，解决此类问题主要依据它们的概念和画法规则．
例1 一几何体的三视图如图所示．
(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；
(2)计算该几何体的体积与表面积．
二、共点、共线、共面问题
1．关于多点共线问题往往需要证明这些点在某两个平面的交线上．
2．多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点．
3．多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上．
4．多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确定的平面内．
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．求证：www.21-cn-jy.com
(1)E、F、G、H四点共面；
(2)GE与HF的交点在直线AC上．
三、平行问题
1．空间平行关系的判定方法：
(1)判定线线平行的方法．
①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法)；
②利用平行公理；
③利用线面平行性质定理；
④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)；
⑤利用面面平行性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b)．
(2)判断线面平行的方法：
①线面平行的定义(无公共点)；
②利用线面平行的判定定理(aα，b?α，a∥b a∥α)；
③面面平行的性质定理(α∥β，a?α a∥β)；
④面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a∥α a∥β)．
(3)面面平行的判定方法有：
①平面平行的定义(无公共点)；
②判定定理(若a∥β，b∥β，a、b?α，且a∩b＝A，则α∥β)；
③判定定理的推论(若a∥a′，b∥b′，a?α，b?α且a∩b＝A，a′?β，b′?β，且a′∩b′＝A′，则α∥β)；21世纪教育网版权所有
④线面垂直性质定理(若a⊥α，a⊥β，则α∥β)；
⑤平面平行的性质(传递性：α∥β，β∥γ α∥γ)．
2．平行关系的转化是：
例3 如图，S为矩形ABCD所在平面外一点，E、F分别是SD、BC上的点，且SE∶ED＝BF∶FC．求证：EF∥平面SAB．2-1-c-n-j-y
例4 如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．21cnjy.com
求证：AC∥平面BPQ．
四、垂直问题
1．空间垂直关系的判定方法：
(1)判定线线垂直的方法有：
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b)；
③面面垂直的定义：两平面相交形成的二面角的平面角为90°．
(2)判定线面垂直的方法有：
①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α a⊥α)；
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ)．
(3)面面垂直的判定方法有：
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α α⊥β)．
2．垂直关系的转化是：
例5 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：2·1·c·n·j·y
(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN．
第一章 章末总结 答案
重点解读
例1
解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示．
(2)由三视图中的尺寸知，组合体下部是底面直径为8 cm，高为20 cm的圆柱，上部为底面直径为8 cm，母线长为5 cm的圆锥．www-2-1-cnjy-com
易求得圆锥高h＝＝3(cm)，
∴体积V＝π·42·20＋π·42·3＝336π(cm3)，
表面积S＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5
＝196π(cm2)．
∴该几何体的体积为336π cm3，
表面积为196π cm2．
点评 三视图画法：它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“高平齐、长对正、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线．21·cn·jy·com
例2 证明 (1)∵BG∶GC＝DH∶HC，
∴GH∥BD，又EF∥BD，
∴EF∥GH，
∴E、F、G、H四点共面．
(2)∵G，H不是BC、CD的中点，
∴EF≠GH
又EF∥GH，
∴EG与FH不平行，则必相交，设交点为M．
M∈面ABC且M∈面ACD
M在面ABC与面ACD的交线上
M∈AC．
∴GE与HF的交点在直线AC上．
点评 证明线共点、点共线、线 ( http: / / www.21cnjy.com )共面问题，重要是应用平面的基本性质，先证部分元素共点、共线、共面，再利用基本性质1,2,3证明其他元素也具有这个性质，要熟练地掌握这三个基本性质．【来源：21·世纪·教育·网】
例3 证明 方法一 转化为证明面面平行．
过F作FG∥AB，交AD于G，连接EG．
∵FG∥AB，
∴AG∶GD＝BF∶FC，
∴AG∶GD＝SE∶ED，
故EG∥SA．
又∵FG∥AB，AB∩SA＝A，
∴平面SAB∥平面EFG．
又∵EF 平面SAB，
∴EF∥平面SAB．
方法二 转化为证明线线平行．
过E作EG∥AD交SA于G，连接BG，
∵BF∥AD，∴BF∥EG，
∴平面BFEG∩平面SAB＝BG．
∵SE∶ED＝BF∶FC，
∴SE∶SD＝BF∶BC．
又∵SE∶SD＝EG∶AD．
∴BF∶BC＝EG∶AD，
∵BC＝AD．
∴BF＝EG，故四边形BFEG为平行四边形．
∴EF∥BG，∴EF∥平面SAB．
点评 本题的证明体现了证明线面平 ( http: / / www.21cnjy.com )行的常用方法，解决此类问题关键是选择或添加适当的辅助线(或面)，使问题得以转化．证明线面平行常用的方法是利用线面平行的定义和线面平行的判定定理．21·世纪*教育网
例4 证明 连接CD1、AD1，
∵P、Q分别是CC1、C1D1的中点，
∴PQ∥CD1，且CD1平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ．
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，
∴四边形ABQD1是平行四边形，
∴AD1∥BQ，且AD1平面BPQ，
∴AD1∥平面BPQ．
又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ，
∵AC?平面ACD1，∴AC∥平面BPQ．
例5 证明 (1)因为AD∥BC，BC?平面PBC，
AD平面PBC，所以AD∥平面PBC，
又平面ADMN∩平面PBC＝MN，
所以AD∥MN，所以MN∥BC．
因为N为PB的中点，所以M为PC的中点，
所以MN∥BC，且MN＝BC．
又E为AD的中点，
所以四边形DENM为平行四边形．
所以EN∥DM．
又EN平面PDC，DM?平面PDC，
所以EN∥平面PDC．
(2)因为ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，
所以BE⊥AD．又因为PE⊥AD，PE∩BE＝E，
所以AD⊥平面PEB．
因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB．
(3)由(2)知AD⊥PB．
又因为PA＝AB且N为PB的中点，
所以AN⊥PB，又AD∩AN＝A，
所以PB⊥平面ADMN．
又PB?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ADMN．
点评 立体几何的证明，我们要牢 ( http: / / www.21cnjy.com )牢抓住“转化”这一思想，线与线，线与面，面与面之间的垂直与平行都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等．21教育网
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6．1 垂直关系的判定(二)
【课时目标】 1．掌握二面角 ( http: / / www.21cnjy.com )的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．
1．二面角：从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．__________________叫做二面角的面．
2．平面与平面的垂直
①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．
②面面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的________，那么这两个平面互相垂直．
符号表示： α⊥β．
一、选择题
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
2．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是( )
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．有无数个
C．有且只有一个或无数个
D．可能不存在
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为( )21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )21cnjy.com
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC
二、填空题
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．21·世纪*教育网
8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．2-1-c-n-j-y
求证：平面BEF⊥平面BGD．
11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝．www.21-cn-jy.com
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
能力提升
12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．21·cn·jy·com
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底 ( http: / / www.21cnjy.com )面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．2·1·c·n·j·y
(1)求证：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
1．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交 ( http: / / www.21cnjy.com )平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理证 ( http: / / www.21cnjy.com )明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．
3．证明两个平面垂直，通 ( http: / / www.21cnjy.com )常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．21教育网
6．1 垂直关系的判定(二) 答案
知识梳理
1．两个半平面 这条直线 这两个半平面
2．①直二面角 ②垂线 a?α
作业设计
1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面不是最小角．故选B．]
2．C
3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]
4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]【来源：21·世纪·教育·网】
5．B [
如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝，
∴∠BOD＝60°．]
6．C [
如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴D正确．]
7．45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．
8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，
面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④ ②(或②③④ ①)
10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，
则∠PBA＝60°．
故二面角A—BE—P的大小是60°．
12．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知
EF∥BC．
因为EF平面ABC．
BC?平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1．
又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC．
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，
BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC．
这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
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§5 平行关系
5．1 平行关系的判定(一)
【课时目标】 1．理解直 ( http: / / www.21cnjy.com )线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．21cnjy.com
1．直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点．
2．直线与平面平行的判定定理：
__________一条直线与______________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为________________________．www.21-cn-jy.com
一、选择题
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)
①若a∥b，b?α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b?α，则a∥b．
其中正确说法的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b?α D．b∥α或b与α相交
3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AB?α
4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )2·1·c·n·j·y
A．平行 B．相交 C．在内 D．不能确定
5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A．不存在 B．只能作出一个
C．能作出无数个 D．以上都有可能
6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
二、填空题
7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．
8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
(1)与直线AB平行的平面是______________；
(2)与直线AA1平行的平面是______________；
(3)与直线AD平行的平面是______________．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1 ( http: / / www.21cnjy.com )中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是_______________________________________________________________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．
求证：EF∥平面BDD1B1．
11．如图所示，P是 ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．
能力提升
12．下列四个正方体图形中，A、B为正 ( http: / / www.21cnjy.com )方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)
13．正方形ABCD与正方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )EF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)21世纪教育网版权所有
直线与平面平行的判定方法
(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．
(2)利用直线和平面平行的判定定理：aα，a∥b，b?α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．
§5 平行关系
5．1 平行关系的判定(一)
答案
知识梳理
2．平面外 此平面内 aα，b?α，且a∥b a∥α
作业设计
1．A [①a?α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a?α也可能成立；④a，b还有可能异面．]21教育网
2．D 3．C 4．A 5．D
6．D
[如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]21·cn·jy·com
7．无数
8．(1)平面A1C1和平面DC1 (2)平面BC1和平面DC1 (3)平面B1C和平面A1C1
9．平行
解析 设BD的中点为F，则EF∥BD1．
10．证明 取D1B1的中点O，
连接OF，OB．
∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，
∴OF綊BE．
∴四边形OFEB是平行四边形，
∴EF∥BO．
∵EF平面BDD1B1，
BO?平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1．
11．证明 连接AF延长交BC于G，
连接PG．
在 ABCD中，
易证△BFG∽△DFA．
∴＝＝，
∴EF∥PG．
而EF平面PBC，
PG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
12．①③
13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN．
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，
∴AE＝BD．
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．
又∵PM∥AB∥QN，∴＝，＝．
∴PM綊QN．
∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．
又MN?平面BCE，PQ平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
方法二 如图(2)所示，连接AQ并延长交BC(或其延长线)于K，连接EK．
∵KB∥AD，∴＝．
∵AP＝DQ，AE＝BD，
∴BQ＝PE．
∴＝．∴＝．∴PQ∥EK．
又PQ面BCE，EK?面BCE，
∴PQ∥面BCE．
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5．2 平行关系的性质(二)
【课时目标】 1．会用图形语言、文字语言、符 ( http: / / www.21cnjy.com )号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理．2．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．
平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．
(1)符号表示为： a∥b．
(2)性质定理的作用：
利用性质定理可证线线平行，也可用来作空间中的平行线．
(3)面面平行的其他性质：
①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即 ______，可用来证明线面平行；
②夹在两个平行平面间的平行线段相等；
③平行于同一平面的两个平面平行．
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行
2．设平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在惟一一条与a平行的直线
3．如图所示，P是三角形ABC所在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5
4．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )
① a∥b; ② a∥b；
③ α∥β； ④ α∥β；
⑤ α∥a; ⑥ a∥α．
A．④⑥ B．②③⑥
C．②③⑤⑥ D．②③
5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )21cnjy.com
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过 ( http: / / www.21cnjy.com )点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或 C．14 D．20
二、填空题
7．分别在两个平行平面的两个三角形，
(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；
(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．
8．过正方体ABCD－A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．21教育网
9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F．已知AB＝6，＝，则AC＝________．2·1·c·n·j·y
三、解答题
10．如图所示，已知正方体 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．【来源：21·世纪·教育·网】
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．21·世纪*教育网
求证：N为AC的中点．
能力提升
12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P ( http: / / www.21cnjy.com )－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：
2．强调两个问题
(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．21世纪教育网版权所有
(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面．www.21-cn-jy.com
5．2 平行关系的性质(二) 答案
知识梳理
那么它们的交线平行 (3)①a∥β
作业设计
1．C [由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C．]
2．D [直线a与B可确定一个平面γ，
∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b．
由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．
因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，
所以b惟一．]
3．B [面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝()2＝()2＝．]
4．C [由公理4及平行平面的传递性知①④ ( http: / / www.21cnjy.com )正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．]
5．D [
如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、 ( http: / / www.21cnjy.com )β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E．连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′．
则CE∥AA′，∴CE∥α．
C′E∥BB′，∴C′E∥β．
又∵α∥β，∴C′E∥α．
∵C′E∩CE＝E．
∴平面CC′E∥平面α．
∴CC′∥α．所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．]
6．B [当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝．]21·cn·jy·com
7．(1)相似 (2)全等
8．平行
解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．
9．15
解析 由题可知＝ AC＝·AB＝×6＝15．
10．证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN，
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，
∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，
∴EM＝FN．
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴EF∥MN．
又MN?平面ABCD，EF平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
方法二
过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，
∴＝，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴＝，
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
11．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN綊C1M＝A1C1＝AC，
∴N为AC的中点．
12．解
当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．
证明如下：
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE， ①
由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，
设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，
则BM∥OE， ②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，
又BF?平面BFM，
∴BF∥平面AEC．
13．解 能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，
PC1∥MC，PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝，MN＝2，
∴A1H＝．
∴S△A1MN＝×2×＝．
故S A1MCN＝2S△A1MN＝2．
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5．2 平行关系的性质(一)
【课时目标】 1．能应用文字语言、符号语言 ( http: / / www.21cnjy.com )、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．21教育网
直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，那么
________________________________________________________．
(1)符号语言描述：________________．
(2)性质定理的作用：
可以作为直线和直线平行的判定方法，也提供了一种作平行线的方法．
一、选择题
1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面( )
A．只有一个 B．至多有两个
C．不一定有 D．有无数个
2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均可能
3．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
4．如图所示，长方体ABCD－A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是( )
A．l1平行于l3，且l2平行于l3
B．l1平行于l3，且l2不平行于l3
C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3
D．l1不平行于l3，但l2平行于l3
二、填空题
7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的 ( http: / / www.21cnjy.com )两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)21世纪教育网版权所有
8．如图所示，ABCD—A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．21cnjy.com
9．已知(如图)A、B、C、D四点不 ( http: / / www.21cnjy.com )共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______________．
三、解答题
10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，【来源：21·世纪·教育·网】
求证：AP∥GH．
11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．
求证：CD∥平面EFGH．
能力提升
12．如图所示，在空间四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．www.21-cn-jy.com
13．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．2·1·c·n·j·y
(1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定 ( http: / / www.21cnjy.com )理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：21·世纪*教育网
．
5．2 平行关系的性质(一) 答案
知识梳理
过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 (1) a∥b
作业设计
1．C 2．D
3．C [∵截面PQMN为正方形，
∴PQ∥MN，PQ∥面DAC．
又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ?面ABC，
∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD．
故有选项A、B、D正确，C错误．]
4．A [∵E、F分别是AA1、BB1的中点，
∴EF∥AB．
又AB平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH．
又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
∴AB∥GH．]
5．B [设这n条直线的交点为P，则点 ( http: / / www.21cnjy.com )P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b，则直线b过点P．又直线a∥平面α，则a∥b．很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．]21·cn·jy·com
6．A [∵l1∥l2，l2?γ，l1γ，
∴l1∥γ．
又l1?β，β∩γ＝l3，
∴l1∥l3
∴l1∥l3∥l2．]
7．①② ③(或①③ ②)
解析 设过m的平面β与α交于l．
∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，
∵nα，l?α，∴n∥α．
8．a
解析 ∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝．
9．平行四边形
解析 平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，
得EF∥CD；
同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB．
∴GH∥EF，EG∥FH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
10．解 如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM．
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，
∴PA∥GH．
11．证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH．
又GH?平面BCD，EF平面BCD．
∴EF∥平面BCD．
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，
∴EF∥CD．
而EF?平面EFGH，CD平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH．
12．m∶n
解析 ∵AC∥平面EFGH，
∴EF∥AC，GH∥AC，
∴EF＝HG＝m·，同理EH＝FG＝n·．
∵EFGH是菱形，∴m·＝n·，
∴AE∶EB＝m∶n．
13．(1)证明 因为BC∥AD，AD?平面PAD，
BC平面PAD，所以BC∥平面PAD．
又平面PAD∩平面PBC＝l，BC?平面PBC，
所以BC∥l．
(2)解 MN∥平面PAD．
证明如下：
如图所示，取DC的中点Q．
连接MQ、NQ．
因为N为PC中点，
所以NQ∥PD．
因为PD?平面PAD，NQ平面PAD，
所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．
又NQ?平面MNQ，MQ?平面MNQ，
NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．
所以MN∥平面PAD．
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6．2 垂直关系的性质(一)
【课时目标】 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．21教育网
直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言 ________
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行②作平行线
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直线垂直
C．若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行
D．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直
2．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
① n⊥α； ② m∥n；
③ m⊥n; ④ n⊥α．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF?α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是( )www.21-cn-jy.com
A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE
C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG
4．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
5．下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；
②垂直于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两条直线平行；
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA、PB、PC两两垂直，则P在α内的射影是△ABC的( )2·1·c·n·j·y
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
二、填空题
7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．【来源：21·世纪·教育·网】
8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)21·世纪*教育网
①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正 ( http: / / www.21cnjy.com )方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
9．如图所示，平面ABC⊥平面AB ( http: / / www.21cnjy.com )D，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．2-1-c-n-j-y
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
求证：GG′⊥α．
能力提升
12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点， 21*cnjy*com
求证：平面DMN∥平面ABC．
13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C ( http: / / www.21cnjy.com )1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN⊥平面A1BC．21·cn·jy·com
1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直 线面垂直 线线平行 线面平行．
2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“ ( http: / / www.21cnjy.com )垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题，一定要记住．21cnjy.com
6．2 垂直关系的性质(一) 答案
知识梳理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行②作平行线
作业设计
1．B [由线面垂直的定义知B正确．]
2．C [①②③正确，④中n与面α可能有：n?α或n∥α或相交(包括n⊥α)．]
3．C [由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，
∴PG最短，PF∴有PG4．C [PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；
又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，B、D均正确．
∴选C．]
5．B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，故选B．]
6．A [设P在面α的射影为O，则PA⊥面PBC，
∴PA⊥BC，又BC⊥PO，
∴BC⊥AO，同理AC⊥BO，
∴O为△ABC的垂心．]
7．4
解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．
8．①②③
解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．
9．6
解析 由题意知CO⊥AB，
∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，
∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．
10．证明 (1)∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D．
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1．
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC．
∴ON綊CD綊AB，
∴ON∥AM．
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．
∵ON＝AB，∴AM＝AB，
∴M是AB的中点．
11．证明
连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．21世纪教育网版权所有
∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，
∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，
∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
∴＝，∴GG′∥AA′，
又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．
12．证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，
∴MN∥AC，
又∵AC?平面ABC，MN平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，
∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，
又∵DN平面ABC，BC?平面ABC，
∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，
∴平面DMN∥平面ABC．
13．证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．
连接AC1，则BC⊥AC1．
由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C＝C，
所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．
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4．2 空间图形的公理(一)
【课时目标】 掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．www.21-cn-jy.com
1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．2·1·c·n·j·y
符号：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l?α．
2．公理2：经过________________________的三点，____________一个平面(即可以确定一个平面)．【来源：21·世纪·教育·网】
3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________通过这个点的公共直线．www-2-1-cnjy-com
符号：P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l．
4．用符号语言表示下列语句：
(1)点A在平面α内但在平面β外：
________________________________________________________________________．
(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________．
(3)直线l在面α内也在面β内：____________．
(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：
________________________________________________________________________．
一、选择题
1．两平面重合的条件是( )
A．有两个公共点
B．有无数个公共点
C．有不共线的三个公共点
D．有一条公共直线
2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作( )
A．M∈b∈β B．M∈b?β
C．M?b?β D．M?b∈β
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线 α、β重合
5．空间中可以确定一个平面的条件是( )
A．两条直线 B．一点和一直线
C．一个三角形 D．三个点
6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有( )
A．2个或3个 B．4个或3个
C．1个或3个 D．1个或4个
二、填空题
7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)Aα，a?α________．
(2)α∩β＝a，Pα且Pβ________．
(3)aα，a∩α＝A________．
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．
8．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．21·世纪*教育网
9．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．2-1-c-n-j-y
11．如图所示，四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
能力提升
12．若空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．
13．如图，在正方体ABCD－A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点． 21*cnjy*com
求证：(1)C1、O、M三点共线；
(2)E、C、D1、F四点共面；
(3)CE、D1F、DA三线共点．
1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．【来源：21cnj*y.co*m】
2．证明点线共面的方法：先由 ( http: / / www.21cnjy.com )有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．
3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．【出处：21教育名师】
4．2 空间图形的公理(一) 答案
知识梳理
1．两点
2．不在同一条直线上 有且只有
3．一个 一条
4．(1)A∈α，A β (2)A∈α，B α且A∈l，B∈l (3)l?α且l?β (4)m?α，n?α且m∩n＝A21世纪教育网版权所有
作业设计
1．C [根据公理2，不共线的三点确定一个平面，若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重合．]
2．B 3．D
4．C [∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．
故α∩β＝A的写法错误．]
5．C
6．D [四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]
7．(1)C (2)D (3)A (4)B
8．A∈m
解析 因为α∩β＝m，A∈a?α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．
9．③
10．解 由题意知，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．21教育网
∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
11．证明 因为AB∥CD，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．21cnjy.com
12．证明
∵l1?β，l2?β，l1l2，
∴l1∩l2交于一点，记交点为P．
∵P∈l1?β，P∈l2?γ，
∴P∈β∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
13．证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，21·cn·jy·com
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，
∴EF∥A1B．
∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．
∴E、C、D1、F四点共面．
(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．
又∵EF＝A1B＝D1C．
∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．
则P∈D1F?平面ADD1A1，
P∈CE?平面ADCB．
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．
∴CE、D1F、DA三线共点．
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§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定(一)
【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．21教育网
1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
2．判定定理
文字表述：如果一条直线和一个平面内的__________________都垂直，那么该直线与此平面垂直．2·1·c·n·j·y
符号表述： l⊥α．
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a?β D．a?β或a∥β
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．从平面外一点P向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果PA＝PB＝PC，有如下命题：21·cn·jy·com
①△ABC是正三角形；
②垂足是△ABC的内心；
③垂足是△ABC的外心；
④垂足是△ABC的垂心．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．下列五个正方体图形中，l是正方体的一 ( http: / / www.21cnjy.com )条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是______________(写出所有符合要求的图形序号)．www-2-1-cnjy-com
8．在直三棱柱ABC—A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．2-1-c-n-j-y
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
求证：CF⊥平面EAB．
11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．21cnjy.com
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD．
能力提升
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．www.21-cn-jy.com
13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；21·世纪*教育网
(2)PQ⊥SC．
1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直 线面垂直”．21世纪教育网版权所有
2．直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．
§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定(一)
答案
知识梳理
2．两条相交直线 a?α b?α a∩b＝A
作业设计
1．B [只有④正确．]
2．D
3．C
[取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，
∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，
又BD、AC异面，∴选C．]
4．B [易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]
5．A [ BC⊥平面PAC BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]
6．A
[PO⊥面ABC．
则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，OA＝OB＝OC，
O为△ABC外心．
只有③正确．]
7．①④⑤
8．∠A1C1B1＝90° [
如图所示，连接B1C，
由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，
即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．
(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)]
9．90°
解析 ∵B1C1⊥面ABB1A1，
∴B1C1⊥MN．
又∵MN⊥B1M，∴MN⊥面C1B1M，
∴MN⊥C1M．
∴∠C1MN＝90°．
10．证明 在平面B1BCC1中，
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，
∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．
11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD．
(2)取PD的中点G，
连接AG，FG．
又∵G、F分别是PD，PC的中点，
∴GF綊CD，∴GF綊AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF．
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．
12．
证明 连接AB1，CB1，
设AB＝1．
∴AB1＝CB1＝，
∵AO＝CO，∴B1O⊥AC．
连接PB1．
∵OB＝OB2＋BB＝，
PB＝PD＋B1D＝，
OP2＝PD2＋DO2＝，
∴OB＋OP2＝PB．
∴B1O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，
∴B1O⊥平面PAC．
13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC．
又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB．
又∵AQ?平面SAB，
∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，
∴AQ⊥平面SBC．
(2)∵AQ⊥平面SBC，SC?平面SBC，
∴AQ⊥SC．
又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，
∴SC⊥平面APQ．
∵PQ?平面APQ，∴PQ⊥SC．
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§2 直观图
【课时目标】 1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．21世纪教育网版权所有
用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴 ( http: / / www.21cnjy.com )，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．【版权所有：21教育】
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
一、选择题
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有( )
A．①② B．①④ C．③④ D．①③④
2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( )
A．等腰梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．8 cm B．6 cm
C．2(1＋) cm D．2(1＋) cm
4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )
6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )www.21-cn-jy.com
A．＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
二、填空题
7．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是______________．
8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．21cnjy.com
9．如图所示，为一个水平放置的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
三、解答题
10．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．【来源：21·世纪·教育·网】
11．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．
能力提升
12．在水平放置的平面α内有一个边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．21教育网
直观图与原图形的关系
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥 ( http: / / www.21cnjy.com )梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系：(1)在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；(2)此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的倍．2·1·c·n·j·y
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．21·世纪*教育网
§2 直观图 答案
作业设计
1．B [由斜二测画法的规则判断．]
2．B
3．A [
根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，
OB＝2，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm．]
4．C [可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．]
5．C
6．D [如图1所示，等腰梯 ( http: / / www.21cnjy.com )形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋，AD＝1，所以SABCD＝2＋．]21·cn·jy·com
图1 图2
7．①②
解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．www-2-1-cnjy-com
8．2．5
解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．2-1-c-n-j-y
9．
解析
画出直观图，则B′到x′轴的距离为
·OA＝OA＝．
10．解 (1)如图a所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy．如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为 ( http: / / www.21cnjy.com )E．在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝≈2．598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm． 21*cnjy*com
(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．【出处：21教育名师】
11．解 先画出正三角形ABC，
然后再画出它的水平放置的直观图，
如图所示．由斜二测画法规则知
B′C′＝a，O′A′＝a．
过A′引A′M⊥x′轴，垂足为M，
则A′M＝O′A′·sin 45°＝a×＝a．
∴S△A′B′C′＝B′C′·A′M
＝a×a＝a2．
12．
解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2．
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§3 三视图
【课时目标】 1．初步认识简单几何体的三视图．2．会画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空间几何体．www-2-1-cnjy-com
1．空间几何体的三视图是指__________、__________、__________．
2．三视图的排列规则是_ ( http: / / www.21cnjy.com )_________放在主视图的下方，长度与主视图一样，__________放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．
3．三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从________、__________、________观察同一个几何体，画出空间几何体的图形．2·1·c·n·j·y
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关
B．任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关
C．有的几何体的三视图与其摆放的位置无关
D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形
2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图( )
3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )【来源：21cnj*y.co*m】
5．实物图如图所示．无论怎样摆放物体，如图所示中不可能为其主视图的是( )
6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )
二、填空题
7．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．
(1)对应________；(2)对应________；
(3)对应________；(4)对应________；
(5)对应________．
8．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．2-1-c-n-j-y
9．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个． 21*cnjy*com
三、解答题
10．在下面图形中，图(b)是图( ( http: / / www.21cnjy.com )a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．
11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．
能力提升
12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．
13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？21世纪教育网版权所有
在绘制三视图时，要注意以下三点：
1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．21教育网
2．一个物体的三视图的排列规则是 ( http: / / www.21cnjy.com )：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．21cnjy.com
3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．
§3 三视图 答案
知识梳理
1．主视图 左视图 俯视图
2．俯视图 左视图
3．正前方 正上方 左侧
作业设计
1．C [球的三视图与其摆放位置无关．]
2．C
3．D [在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]21·cn·jy·com
4．C
[由三视图中的正、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C．]
5．D [A图可看做该物体槽向前时的主视图，B图可看做槽向下时的主视图，C图可看做槽向后时的主视图．]www.21-cn-jy.com
6．A
7．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B
8．2 4
解析 三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4．
9．7
10．解 图(a)是由两个长方体组 ( http: / / www.21cnjy.com )合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．【来源：21·世纪·教育·网】
11．解 该图形的三视图如图所示．
12．解 该物体是由一个正 ( http: / / www.21cnjy.com )六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．21·世纪*教育网
13．解 由于主视图中每列的层 ( http: / / www.21cnjy.com )数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．
而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只 ( http: / / www.21cnjy.com )要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．
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§7 简单几何体的面积和体积
7．1 简单几何体的侧面积
7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
【课时目标】 1．了解柱体、锥体、台体的侧面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的侧面积与体积公式解决一些简单的实际问题．www.21-cn-jy.com
1．旋转体的侧面积
名称 图形 侧面积公式
圆柱 侧面积：S侧＝______
圆锥 侧面积：S侧＝______
圆台 侧面积：S侧＝________
2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧＝______(c为底面周长，h为高)
S正棱锥侧＝______(c为底面周长，h′为斜高)
S正棱台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高)
3．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h．
一、选择题
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
A．8 B． C． D．
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )
A． B．
C． D．
3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于( )
A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8
4．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )2·1·c·n·j·y
A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2 D．b2∶a2
5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )
A．24π cm2,12π cm3 B．15π cm2,12π cm3
C．24π cm2,36π cm3 D．以上都不正确
6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )
A．7＋ B．＋
C．7＋ D．
二、填空题
7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．www-2-1-cnjy-com
8．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm3．【来源：21cnj*y.co*m】
9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．【出处：21教育名师】
三、解答题
10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和 ( http: / / www.21cnjy.com )20 cm．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)21教育网
11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．【版权所有：21教育】
能力提升
12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
13．有一塔形几何体由3个正方体构 ( http: / / www.21cnjy.com )成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．【来源：21·世纪·教育·网】
1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．21cnjy.com
2．有关旋转体的表面积和体积的 ( http: / / www.21cnjy.com )计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V柱体＝ShV台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh．
4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量关系．
§7 简单几何体的面积和体积
7．1 简单几何体的侧面积
7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
答案
知识梳理
1．
名称 图形 侧面积公式
圆柱 侧面积：S侧＝2πrl
圆锥 侧面积：S侧＝πrl
圆台 侧面积：S侧＝π(r1＋r2)l
2．ch ch′ 3．(1)Sh (2)Sh
作业设计
1．B [易知2πr＝4，则2r＝，
所以轴截面面积＝×2＝．]
2．A [设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，全面积为＝2πr2＋4π2r2，其比为：．]
3．A [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则2πr＝πl，则l＝r，所以
A＝πr2＋πr2＝πr2，B＝πr2，
得A∶B＝11∶8．]
4．B [以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝πb2a，以长为b的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝πa2b．]21·世纪*教育网
5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm2，12π cm3．]2-1-c-n-j-y
6．A [图中的几何体可看成 ( http: / / www.21cnjy.com )是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，，表面积S表面＝2S底＋S侧面＝(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋)×1＝7＋．] 21*cnjy*com
7．3
解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，即2πr×3＝2πr2，所以r＝3．
8．或
解析 (1)12为底面圆周长，则2πr＝12，所以r＝，
所以V＝π·2·8＝(cm3)．
(2)8为底面圆周长，则2πr＝8，所以r＝，
所以V＝π·2·12＝ (cm3)．
9． cm3
解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S＝400，高h＝20，
V＝Sh＝ (cm3)．
10．解
如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
∴S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2．
h＝＝＝10，
V＝πh(r＋r1r2＋r)
＝π×10×(102＋10×20＋202)
＝π (cm3)．
即圆台的表面积为1 100π cm2，
体积为π cm3．
11．
解 如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12．21世纪教育网版权所有
连接OE、O1E1，则OE＝AB
＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3．
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，
HE＝OE－O1E1＝6－3＝3．
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32
＝32×42＋32＝32×17，
所以E1E＝3．
所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E
＝2×(12＋6)×3＝108．
12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组 ( http: / / www.21cnjy.com )成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋．]21·cn·jy·com
13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1．
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．
∴S表＝2S下＋S侧
＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36．
∴该几何体的表面积为36．
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习题课(二)
【课时目标】 熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体积与表面积计算．
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式．
2．空间几何体的表面积和体积公式．
名称几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝____
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝______
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝______
球 S＝________ V＝πR3
一、选择题
1．圆柱的轴截面是正方形，面积是S，则它的侧面积是( )
A．S B．πS C．2πS D．4πS
2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A． B． C．1 D．2
3．如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )21教育网
4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )
A．280 B．292 C．360 D．372
5．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )
A． B． C． D．
6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是( )www-2-1-cnjy-com
A．96 B．16
C．24 D．48
二、填空题
7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．
8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3．
9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水 ( http: / / www.21cnjy.com )，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm．
三、解答题
10．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．2-1-c-n-j-y
(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
11．如图所示，为了制作一个 ( http: / / www.21cnjy.com )圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．21·cn·jy·com
能力提升
12．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m3．
13．如图所示，在直三棱柱ABC ( http: / / www.21cnjy.com )－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝ ，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________．
1．空间几何体是高考必考的知识点之一，重点 ( http: / / www.21cnjy.com )考查空间几何体的三视图和体积、表面积的计算，尤其是给定三视图求空间几何体的体积或表面积，更是近几年高考的热点．
其中组合体的体积和表面积有加强的趋势，但难度也不会太大，解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力，由三视图得到正确立体图，进行准确计算．
2．“展”是化折为直，化曲为平，把立体几何问题转化为平面几何问题，多用于研究线面关系，求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等．21世纪教育网版权所有
习题课(二) 答案
知识梳理
2．
名称几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
作业设计
1．B [设圆柱底面半径为r，则S＝4r2，
S侧＝2πr·2r＝4πr2＝πS．]
2．C [由三视图可知，该空间几 ( http: / / www.21cnjy.com )何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和，三棱柱的高为，所以该几何体的体积V＝×1××＝1．]21cnjy.com
3．C [当俯视图为A中正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的，且体积为．]www.21-cn-jy.com
4．C [由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．
∵下面长方体的表面积为8×10× ( http: / / www.21cnjy.com )2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，
∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360．]
5．C [连接正方体各面中心构成的八面 ( http: / / www.21cnjy.com )体由两个棱长为a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为，则八面体的体积为V＝2××(a)2·＝．]2·1·c·n·j·y
6．D [由πR3＝，得R＝2．
∴正三棱柱的高h＝4．
设其底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4．
∴V＝(4)2·4＝48．]
7．
解析 该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥，下面是底面边长为1、高为2的正四棱柱的组合体，其体积为V＝1×1×2＋×22×1＝．【来源：21·世纪·教育·网】
8．144
解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V正四棱台＝(82＋42＋)×3＝112，V正四棱柱＝4×4×2＝32，21·世纪*教育网
故V＝112＋32＝144 (cm3)．
9．4
解析 设球的半径为r cm，
则πr2×8＋πr3×3＝πr2×6r．
解得r＝4 (cm3)．
10．解 (1)如图所示．
(2)所求多面体体积
V＝V长方体－V正三棱锥
＝4×4×6－××2＝ (cm3)．
11．解 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1．2－2r，
∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1．2－2r)
＝πr2＋2．4πr－4πr2＝－3πr2＋2．4πr
＝－3π(r2－0．8r)
＝－3π(r－0．4)2＋0．48π．
∴当r＝0．4时，S有最大值0．48π，约为1．51平方米．
(2)若灯笼底面半径为0．3米，则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图如图．
12．4
解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥， ( http: / / www.21cnjy.com )且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V＝××3×4×2＝4 (m3)．
13．5
解析
将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图．
连接A1C即为CP＋PA1的最小值，过点C作CD⊥C1D于D点，△BCC1为等腰直角三角形，
∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7．
∴A1C＝＝＝5 ．
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第一章 立体几何初步(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．lα，A∈l A α
D．A∈l，l?α A∈α
2．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
3．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为( )
A． B． C． D．
4．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )21教育网
A．EH∥FG
B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台
5．某人用如图所示的纸片，沿折 ( http: / / www.21cnjy.com )痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上( )www.21-cn-jy.com
A．快、新、乐 B．乐、新、快
C．新、乐、快 D．乐、快、新
6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π C．24π D．32π
7．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A．120° B．150° C．180° D．240°
8．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊥α，n⊥α，则n⊥m
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
D．若α⊥β，m?α，则m⊥β
9．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( )
A．R B．2R C．3R D．4R
10．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为( )
A．48＋12 B．48＋24
C．36＋12 D．36＋24
11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为( )【来源：21·世纪·教育·网】
12．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为________．
14．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．【版权所有：21教育】
15．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
16．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．21教育名师原创作品
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
18．(12分)如图是一个空间几何体的三视图，其中主视图和左视图都是边长为2的正三角形，左视图是一个正方形．21cnjy.com
(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；
(2)求这个几何体的体积．
19．(12分) 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足＝＝，＝＝2．2·1·c·n·j·y
(1)求证：四边形EFGH是梯形；
(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位线的长．
20．(12分) 如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，并证明你的结论．21世纪教育网版权所有
21．(12分) 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．21·cn·jy·com
求证：(1)EF∥面ACD；
(2)面EFC⊥面BCD．
22．(12分) 如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．21·世纪*教育网
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．
第一章 立体几何初步(A) 答案
1．C [若直线l∩α＝A，显然有lα，A∈l，但A∈α．]
2．D [当两个平面相交时，一个平面内的 ( http: / / www.21cnjy.com )两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．]www-2-1-cnjy-com
3．D [原图与其直观图的面积比为4∶，
所以＝，所以S原＝．]
4．D [∵EH∥A1D1，∴EH∥B1C1，
∴EH∥平面BB1C1C．由线面平行性质，EH∥FG．
同理EF∥GH．且B1C1⊥面EB1F．
由直棱柱定义知几何体B1EF－C1HG为直三棱柱，∴四边形EFGH为矩形，Ω为五棱柱．故选D．]
5．A
6．C [
如图所示，由V＝Sh得，
S＝4，即正四棱柱底面边长为2．
∴A1O1＝，A1O＝R＝．
∴S球＝4πR2＝24π．]
7．C [S底＋S侧＝3S底，
2S底＝S侧，即：2πr2＝πrl，得2r＝l．
设侧面展开图的圆心角为θ，
则＝2πr，∴θ＝180°．]
8．C [A中还有可能n?α；B ( http: / / www.21cnjy.com )中n∥m；D中还有可能m∥β或m?β或相交不垂直；C中，由于m∥β，设过m的平面γ与β交于b，则m∥b，又m⊥α，则b⊥α，又b?β，则α⊥β，所以C正确．]2-1-c-n-j-y
9．D
10．A [
棱锥的直观图如图，则有PO＝ ( http: / / www.21cnjy.com )4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝6，全面积为×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故选A．] 21*cnjy*com
11．A
12．B [证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．]
13．πa3
解析
如图，正三角形ABC中，AB＝a，高AD＝a，
∴V＝πAD2·CB＝π·2·a＝πa3．
14．2
解析 由主视图和左视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1－ABCD)，还原在正方体中，如图所示．【出处：21教育名师】
多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，
由正方体棱长AB＝2知最长棱的长为2．
15．27π
解析 若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径d等于正方体的体对角线的长．
∵棱长为3，∴d＝ ＝3 R＝．
∴S＝4πR2＝27π．
16．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
解析 由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，
只要B1D1⊥平面A1CC1，
所以只要B1D1⊥A1C1，
还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．
17．解 由三视图可知：
该几何体的下半部分是棱长为2 m的正方体，上半部分是半径为1 m的半球．
(1)几何体的表面积为
S＝×4π×12＋6×22－π×12＝(24＋π)(m2)．
(2)几何体的体积为
V＝23＋××π×13＝(8＋) (m3)．
18．解 (1)直观图如图．
(2)这个几何体是一个四棱锥．它的底面边长为2，高为，
所以体积V＝×22×＝．
19．解 (1)因为＝＝，
所以EH∥BD，且EH＝BD．
因为＝＝2，
所以FG∥BD，且FG＝BD．
因而EH∥FG，且EH＝FG，
故四边形EFGH是梯形．
(2)因为BD＝a，所以EH＝a，FG＝a，所以梯形EFGH的中位线的长为
(EH＋FG)＝a．
20．解 直线MN∥平面A1BC1，
证明如下：
∵M平面A1BC1，N平面A1BC1．
∴MN平面A1BC1．
如图，取A1C1的中点O1，
连接NO1、BO1．
∵NO1綊D1C1，
MB綊D1C1，∴NO1綊MB．
∴四边形NO1BM为平行四边形．
∴MN∥BO1．又∵BO1?平面A1BC1，
∴MN∥平面A1BC1．
21．解 (1)∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF 面ACD，AD?面ACD，∴EF∥面ACD．
(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD．
∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．
又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC．
∵BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD．
22．证明 (1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，
∴SA⊥BC，
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC．
∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．
又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC．
∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF．
∴AF⊥SC．
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC．
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD．
∴DC⊥AG．
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?面AEF，
∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．
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第一章 立体几何初步（B）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P一定在直线AC或BD上
D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上
2．下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
3．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、 ( http: / / www.21cnjy.com )后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )21·世纪*教育网
A．0 B．9 C．快 D．乐
4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是( )
A．6 B．3 C．6 D．12
5．下列命题正确的是( )
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行
D．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
6．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB与∠A1O1B1( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．以上均不对
7．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
A．4 B．6 C．8 D．12
9．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )21世纪教育网版权所有
A． B． C．1 D．
10．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l?β
B．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
11．已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5，则此球的表面积为( )
A．25π B．50π C．125π D．均不正确
12．如图，在空间四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH、FG间的距离为( )www.21-cn-jy.com
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．9 cm
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D ( http: / / www.21cnjy.com )∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．www-2-1-cnjy-com
14．已知用斜二测画法，画得正方形的直观图的面积为18，则原正方形的面积为________．
15．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
①若AC＝BD，则四边形EFGH的形状是______；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是______．
16．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：____________时，SC∥平面EBD．2-1-c-n-j-y
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分) 画出如图所示的四边形OABC的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)
18．(12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；
②证明：面PBD⊥面AGC．
19．(12分)如图所示，一个封 ( http: / / www.21cnjy.com )闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为h1，且水面高是锥体高的，即h1＝h，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h2，求h2的大小． 21*cnjy*com
20．(12分)如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．
21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．
22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．2·1·c·n·j·y
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－ABC的体积V．
第一章 立体几何初步(B) 答案
1．B
[如图，
∵P∈HG，HG?面ACD，
∴P∈面ACD，同理P∈面BAC，
面BAC∩面ACD＝AC；
∴P∈AC，选B．]
2．C
3．B
4．D [△OAB为直角三角形，两直角边分别为4和6，S＝12．]
5．C [可以以正方体为载体作出判断．]
6．C
7．B [因为AD1⊥A1D，且AD1⊥A1B1，
所以AD1垂直于平面A1DB1．]
8．A
[由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S－ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，
AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．∠DAB＝90°，
∴V＝SA×(AB＋CD)×AD＝×2××(2＋4)×2＝4，故选A．]
9．D [设上，下底半径分别为r1，r2，
过高中点的圆面半径为r0，由题意
得r2＝4r1，r0＝r1，
∴＝＝．]
10．C [当l⊥α，α⊥β时不一定有l? ( http: / / www.21cnjy.com )β，还有可能l∥β，故A不对，当l∥α，α∥β时，l?β或l∥β，故B不对，若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此C正确，若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l?β，故D不对．]21cnjy.com
11．B [由题意知，球的直径为
2R＝＝5，
∴S球＝4×π·2＝50π．故选B．]
12．A [由题知，EH＝BD＝3 cm，
FG＝BD＝4 cm．
设平行线EH、FG之间距离为d，
则28＝×(3＋4)×d，∴d＝8 cm，故选A．]
13．9
解析 由面面平行的性质得AC∥BD，＝，
解得SD＝9．
14．72
解析 设原正方形边长为x，则直观图中平行四边形底为x，高为h′＝x·＝x，
面积为S′＝x·x＝x2，
即x2＝18，∴x2＝72，
∴原正方形面积为72．
15．菱形 矩形
16．E是SA的中点
解析 连接AC交BD于O，
则O为AC中点，
∴EO∥SC
EO?面EBD，SC面EBD，
∴SC∥面EBD．
17．解 直观图如下图所示．
(1)画轴：在直观图中画出x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
(2)确定A′，B′，C′三点 ( http: / / www.21cnjy.com )，在x′轴上取B′使O′B′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y′轴的平行线，过(0,2)，(0，－1)两点作x′轴的平行线，得交点A′，C′．
(3)顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，C′O′并擦去辅助线，就得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′．21·cn·jy·com
18．(1)解 该几何体的直观图如图所示
(2)证明 ①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，
所以OG∥PD．
又OG?面AGC，PD面AGC，
所以PD∥面AGC．
②连接PO，由三视图，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO．
又AO⊥BO，
所以AO⊥面PBD．
因为AO?面AGC，
所以面PBD⊥面AGC．
19．解 当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r，水的体积为：
V＝πr2h－π2·h＝πr2h．
当锥顶向下时，设水面圆半径为r′，
则V＝π·r′2·h2．又r′＝，
此时V＝π··h2＝，
∴＝πr2h，∴h2＝h，
即所求h2的值为h．
20．证明 设AC∩BD＝O，
连接EO，
则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，
PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD．
21．(1)解 ∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，
且平面ABCD∩平面PBO＝BO，
∴BO∥CD．
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．
则BC＝DO，而AD＝3BC，
∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．
(2)证明 ∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，且AB⊥AD，21教育网
∴AB⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
∴AB⊥PD．
又PA⊥PD，且AB∩PA＝A，
∴PD⊥平面PAB．
又PD?平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD．
22．(1)证明 在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，∴EF∥AD．
又∵AD?平面PAD，EF平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
(2)解 连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，
则EG⊥平面ABCD，
且EG＝PA．
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝，EG＝．
∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝，
∴VE－ABC＝S△ABC·EG＝××＝．
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6．2 垂直关系的性质(二)
【课时目标】 1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．21教育网
1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．21cnjy.com
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l ________．
2．两个重要结论：
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
图形表示为：
符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β a?α．
(2)已知平面α⊥平面β，aα，a⊥β，那么a∥α(a与α的位置关系)．
一、选择题
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A．l∥γ B．l?γ
C．l与γ斜交 D．l⊥γ
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
4．若α⊥β，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
5．设x，y，z中有两条直线和一个平面，已知条件可推得x⊥z，则x，y，z中可能为平面的是( )www.21-cn-jy.com
A．x或y B．x C．y D．z
6．在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )2·1·c·n·j·y
A．平面ABD⊥平面BDC
B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC
D．平面ABC⊥平面BED
二、填空题
7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，Pl，则下列结论中正确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直的三 ( http: / / www.21cnjy.com )个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________．21·cn·jy·com
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥AB．
11．如图所示，P是四边形ABCD所在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
能力提升
12．如图，在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°．
证明：AB⊥PC．
13．如图所示，已知直四棱柱ABCD—A ( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．21世纪教育网版权所有
(1)求证：直线MF∥平面ABCD；
(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．
1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．
2．判定线面垂直的方法主要有以下五种：
(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；
(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；
(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面， b⊥α；
(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面， a⊥β．
6．2 垂直关系的性质(二) 答案
知识梳理
1．垂直 交线 a⊥β
作业设计
1．D
2．D
[在γ面内取一点O，
作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，
同理OF⊥l，OE∩OF＝O，
所以l⊥γ．]
3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]
4．C 5．A 6．D
7．①③④
解析 由性质定理知②错误．
8．7 cm
解析 P到O的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．
9．直线AB上
解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．
10．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB．
11．证明
(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，
∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．
12．证明 因为△PAB是等边三角形，
所以PB＝PA．
因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AC＝BC．
如图，取AB的中点D，连结PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，
所以AB⊥平面PDC，
所以AB⊥PC．
13．证明
(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．
∵F是BB1的中点，
∴F为C1N的中点，B为CN的中点．
又∵M是线段AC1的中点，
∴MF∥AN．
又∵MF平面ABCD，AN?平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD．
(2)连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．
又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A?平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1．
在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，
∴四边形DANB为平行四边形，
∴NA∥BD，
∴NA⊥平面ACC1A1．
又∵NA?平面AFC1，
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1．
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§4 空间图形的基本关系与公理
4．1 空间图形基本关系的认识
【课时目标】 学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念．21教育网
1．空间点与直线的位置关系有两种：______________________________．
2．空间点与平面的位置关系有两种：________________________________．
3．空间两条直线的位置关系有三种
(1)________直线——在同一平面内，没有公共点；
(2)________直线——在同一平面内，只有一个公共点；
(3)________直线——不同在任何一个平面内．
4．空间直线与平面的位置关系有三种
(1)直线在平面内——直线和平面有无数个公共点；
(2)直线和平面相交——直线和平面只有一个公共点；
(3)直线和平面平行——直线和平面没有公共点．
5．空间平面与平面的位置关系
(1)两个平面平行——两个平面没有公共点；
(2)两个平面相交——两平面不重合且有公共点．
一、选择题
1．已知直线a∥平面α，直线b?α，则a与b的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
2．若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b?α D．b∥α或b?α
3．若直线m不平行于平面α，且mα，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线与m异面
B．α内不存在与m平行的直线
C．α内存在唯一的直线与m平行
D．α内的直线与m都相交
4．三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或2条
5．平面α∥β，且a?α，下列四个结论：
①a和β内的所有直线平行；
②a和β内的无数条直线平行；
③a和β内的任何直线都不平行；
④a和β无公共点．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
二、填空题
7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有______个．21世纪教育网版权所有
8．若a、b是两条异面直线，且a∥平行α，则b与α的位置关系是__________________．
9．三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________．
三、解答题
10．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．
(1)如图1，直线a在平面α内．
(2)如图2，直线a和平面α相交．
(3)如图3，直线a和平面α平行．
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，指出与AB平行的棱、相交的棱、异面的棱．
能力提升
12．如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF、GH在原正方体中相互异面的有______对．21cnjy.com
13．如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．21·cn·jy·com
正方体或长方体是一个特殊的图形，当点、线、 ( http: / / www.21cnjy.com )面关系比较复杂时，可以寻找正方体或长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．www.21-cn-jy.com
§4 空间图形的基本关系与公理
4．1 空间图形基本关系的认识
答案
知识梳理
1．点在直线上和点在直线外
2．点在平面内和点在平面外
3．(1)平行 (2)相交 (3)异面
作业设计
1．D 2．D 3．B 4．D 5．C 6．B
7．3
8．b?α，b∥α或b与α相交
9．4,6,7,8
10．解 (1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：
(1)直线a在平面α内：
(2)直线a与平面α相交：
(3)直线a与平面α平行：
11．
解 如图所示．与AB平行的棱CD，A1B1，C1D1；与AB相交的棱A1A，B1B，AD，BC；
与AB异面的棱为棱A1D1，
B1C1，D1D，C1C．
12．3
解析 将正方体恢复后，由图观察即可得．
即为EF，GH；CD，AB；AB，GH．
13．解 由α∩γ＝a知a?α且a?γ，
由β∩γ＝b知b?β且b?γ，
∵α∥β，a?α，b?β，∴a、b无公共点．
又∵a?γ且b?γ，∴a∥b．
∵α∥β，∴α与β无公共点，
又a?α，∴a与β无公共点，∴a∥β．
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