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§5 简单的幂函数
课时目标 1.掌握幂函数的概念.2.熟悉α＝，1,2,3，－1时幂函数y＝xα的图像与性质.3.理解奇、偶函数的定义及图像的性质．21教育网
1．如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为________．
2．一般地，图像关于______对称的函数叫作奇函数，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．
3．(1)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有________，那么函数f(x)一定是偶函数．21世纪教育网版权所有
(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有________，那么函数f(x)一定是奇函数．www-2-1-cnjy-com
4．幂函数y＝xα，当α＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2k(k∈Z)时，y＝xα是______函数，当α＝2k－1 (k∈Z)时，y＝xα是______函数．(填“奇”或“偶”)2-1-c-n-j-y
一、选择题
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
2．幂函数f(x)的图像过点(4，)，那么f(8)的值为( )
A. B．64 C．2 D.
3．下列是y＝的图像的是( )
4．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
5．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(x)·f(－x)≤0
D.＝－1
6．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相 ( http: / / www.21cnjy.com )交；②奇函数的图像一定过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．
其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．已知函数y＝x－2m－3的图像过原点，则实数m的取值范围是____________________．
8．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝______________.
9．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________.21·cn·jy·com
三、解答题
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
11．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；(4)幂函数．
能力提升
12．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图像关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．2·1·c·n·j·y
13．已知奇函数f(x)＝.
(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图像；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
1．幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图像从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．21cnjy.com
2．幂函数y＝xα的单调性，在(0，＋∞)上，α>0时为增函数，α<0时为减函数．
3．函数奇偶性
(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数．
(2)函数f(x)＝c(c是常数)是偶函数，当c＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数．
4．函数的奇偶性与图像的对称性的关系
(1)若一个函数是奇函数，则其图像关于原点对称，反之，若一个函数图像关于原点中心对称，则其一定是奇函数．www.21-cn-jy.com
(2)若一个函数是偶函数，则其图像关于y轴对称，反之，若一个函数图像关于y轴成轴对称，则其必为偶函数．【来源：21·世纪·教育·网】
§5 简单的幂函数
知识梳理
1．幂函数 2.原点 3.(1)任意 f(－x)＝f(x) (2)任意
f(－x)＝－f(x) 4.偶 奇
作业设计
1．C [根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]21·世纪*教育网
2．A [设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，
即22α＝2－1，∴α＝－.
∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.]
3．B [y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝
＝f(x)，即y＝是偶函数，又∵<1，∴图像上凸．]
4．B [F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．]
5．D [∵f(－x)＝－f(x)，A、B显然正确，
因为f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确．
当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．]
6．A [函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故①错；
函数y＝是奇函数，但不过原点，故②错；
函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．]
7．m<－
解析 由幂函数的性质知－2m－3>0，
故m<－.
8．2
解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2.
9．0
解析 ∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)
＝－f(1)＝－4，
∴f[f(7)]＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0＋4)＝－f(0)＝0.
10．解 (1)f(－x)＝3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7
＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；
当x<0时f(x)＝x2－1，
此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数．
11．解 (1)若f(x)为正比例函数，
则 m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，
则 m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
12．解 由题意，得3m－7<0.
∴m<.
∵m∈N，∴m＝0,1或2，
∵幂函数的图像关于y轴对称，
∴3m－7为偶数．
∵m＝0时，3m－7＝－7，
m＝1时，3m－7＝－4，
m＝2时，3m－7＝－1.
故当m＝1时，y＝x－4符合题意．
即y＝x－4.
13．解 (1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)
＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2.
y＝f(x)的图像如图所示．
(2)由(1)知f(x)
＝，
由图像可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需，
解得1
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第二章 函 数
§1 生活中的变量关系
§2 对函数的进一步认识
2.1 函数概念
课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．21cnjy.com
1．函数
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应 ( http: / / www.21cnjy.com )关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在____________与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作________，集合A叫作函数的________，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的______，值域是集合B的子集．21·cn·jy·com
函数的三要素是________、______和________．
2．区间
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫作__________，表示为________．
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x(4)实数集R用区间表示为________．
(5)把满足x≥a，x>a，x≤b，x一、选择题
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数
②对于不同的x，y的值也不同
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有( )www.21-cn-jy.com
A．①②③④ B．①②③
C．②③ D．②
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
5．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
6．函数y＝的值域为( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，－1]
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
x 1 2 3
g(x) 1 3 2
x 1 2 3
g[f(x)]
填写后面表格，其三个数依次为：________.
8．如果函数f(x)满足：对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝1，则＋＋＋＋…＋＝________.21世纪教育网版权所有
9．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
10．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x＋)的定义域为________．
三、解答题
11．已知函数f()＝x，求f(2)的值．
能力提升
12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：2·1·c·n·j·y
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)21·世纪*教育网
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图像．
1．函数的判定
判定一个对应关系是否为函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应关系所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．www-2-1-cnjy-com
2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．
3．求函数定义域的原则：①当f(x)以 ( http: / / www.21cnjy.com )表格形式给出时，其定义域指表格中的x的集合；②当f(x)以图像形式给出时，由图像范围决定；③当f(x)以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．2-1-c-n-j-y
第二章 函 数
§1 生活中的变量关系
§2 对函数的进一步认识
2．1 函数概念
知识梳理
1．唯一确定的数f(x) 自变量 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域 值域 定义域 值域 对应关系 2.(1)闭区间 [a，b] (2)开区间 (a，b) (3)半开半闭区间 [a，b)，(a，b] (4)(－∞，＋∞) (5)[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b) 21*cnjy*com
作业设计
1．B [①、③正确；②不对，如f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]【来源：21cnj*y.co*m】
2．C [①的定义域不是集合M；②能；③能；④与函数的定义矛盾．
故选C.]
3．D [A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.]
4．B [由2x2－1＝1,2x2－1＝7得 ( http: / / www.21cnjy.com )x的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]【出处：21教育名师】
5．D [由题意可知解得0≤x≤1.]
6．B
7．3 2 1
解析 g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，
g[f(3)]＝g(1)＝1.
8．2 010
解析 由f(a＋b)＝f(a)f(b)，令b＝1，∵f(1)＝1，
∴f(a＋1)＝f(a)，即＝1，由a是任意实数，
所以当a取1,2,3，…，2 010时，得＝＝…＝＝1.故答案为2 010.
9．{－1,1,3,5,7}
解析 ∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
10．[0，]
解析 由
得即x∈[0，]．
11．解 由＝2，解得x＝－，
所以f(2)＝－.
12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11：00至12：00他骑了13千米．
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．21教育网
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．
13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，
∴水的面积A＝＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图像可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，【来源：21·世纪·教育·网】
∴0故值域为{A|0(3)函数图像如下确定．
由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图像过(0,0)和
(－2,0)两点，又考虑到0∴A＝h2＋2h的图像仅是抛物线的一部分，如下图所示．
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2.2 函数的表示法
课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．21·世纪*教育网
1．函数的三种表示法
(1)列表法——用________的形式表示两个变量之间函数关系的方法．
(2)图像法——用________把两个变量间的函数关系表示出来的方法．
(3)解析法——一个函数的对应关系可以用________的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．21世纪教育网版权所有
2．分段函数：对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
一、选择题
1．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )www-2-1-cnjy-com
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)2-1-c-n-j-y
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) 21*cnjy*com
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如果f()＝，则当x≠0时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
4．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
5．已知f(x)＝，则f(3)为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在函数y＝|x|(x∈[－1,1]) ( http: / / www.21cnjy.com )的图像上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体 ( http: / / www.21cnjy.com )后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为_________________________________________________．
8．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋x，则f(x)的解析式为____________．
9．已知f(x)＝，则f(7)＝______________.
三、解答题
10．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图像过(0,3)点，求f(x)的解析式．www.21-cn-jy.com
11．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
能力提升
12．某学校要召开学生代表大会，规定 ( http: / / www.21cnjy.com )各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝[] B．y＝[]
C．y＝[] D．y＝[]
13．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．21cnjy.com
1．如何作函数的图像
一般地，作函数图像主要有三步：列表、描 ( http: / / www.21cnjy.com )点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．
2．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本 ( http: / / www.21cnjy.com )质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
2．2 函数的表示法
知识梳理
1．(1)表格 (2)图像 (3)自变量
作业设计
1．C [由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．]
2．B [由题意可知在0点到3点这 ( http: / / www.21cnjy.com )段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]2·1·c·n·j·y
3．B [令＝t，则x＝，代入f()＝，
则有f(t)＝＝，故选B.]
4．B [由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令t＝x＋2，则x＝t－2，
代入g(x＋2)＝2x＋3，
则有g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，
故选B.]
5．A [∵3<6，
∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]
6．B [当t<0时，S＝－，所以图像是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，)；当t>0时，S＝＋，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，)．所以B满足要求．]
7．y＝x＋12
解析 设所求函数解析式为y＝kx＋12，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k＝.【来源：21·世纪·教育·网】
所以所求的函数解析式为y＝x＋12.
8．f(x)＝－(x≠0)
解析 ∵f(x)＝2f()＋x，①
∴将x换成，得f()＝2f(x)＋.②
由①②消去f()，得f(x)＝－－，
即f(x)＝－(x≠0)．
9．6
解析 ∵7<9，
∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.
10．解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝f(4)知
得4a＋b＝0.①
又图像过(0,3)点，
所以c＝3.②
设f(x)＝0的两实根为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－)2－2·＝10.
即b2－2ac＝10a2.③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.所以f(x)＝x2－4x＋3.
11．解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －5 0 3 4 3 0 －5 …
连线，描点，得函数图像如图：
(1)根据图像，容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图像，容易发现当x1(3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．21教育网
12．B [方法一 特殊取值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，所以选B.21·cn·jy·com
方法二 设x＝10m＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，
[]＝[m＋]＝m＝[]，
当6<α≤9时，[]＝[m＋]＝m＋1＝[]＋1，
所以选B.]
13．解 因为对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
所以令y＝x，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，
∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.
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2．3 映 射
课时目标 1.了解映射的概念.2.了解一一映射满足的条件.3.了解函数与映射的区别与联系．
1．映射的概念
如果两个非空集合A与B间存在着对 ( http: / / www.21cnjy.com )应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有__________元素y与它对应，则称f是集合A到集合B的________．A中的元素称为________，B中的对应元素y称为x的像．【来源：21cnj*y.co*m】
2．一一映射
在实际中，我们经常使用一种特殊的映射， ( http: / / www.21cnjy.com )通常叫作一一映射，它满足：(1)A中每一个元素在B中都有______的像与之对应；(2)A中的不同元素的____也不同；(3)B中的每一个元素都有______；有时，我们把集合A，B之间的一一映射也叫作________．
3．映射与函数
由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________．21·cn·jy·com
一、选择题
1．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是( )
A．A中的每一个元素在B中必有像
B．B中每一个元素在A中必有原像
C．A中的一个元素在B中可以有多个像
D．A中不同元素的像必不同
2．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
3．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是( )
4．下列集合A，B及对应关系不能构成函数的是( )
A．A＝B＝R，f(x)＝|x|
B．A＝B＝R，f(x)＝
C．A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3
D．A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0
5．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：
①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；
②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；
③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；
④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．21世纪教育网版权所有
上述四个对应中是映射的有____，是函数的有____，是一一映射的有________．( )
A．3个 2个 1个 B．3个 3个 2个
C．4个 2个 2个 D．2个 2个 1个
6．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋ ( http: / / www.21cnjy.com )1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→，则经过两次映射，A中元素1在C中的像为________．
8．设f，g都是由A到A的映射，其对应关系如下表：
映射f的对应关系如下：
原像 1 2 3 4
像 3 4 2 1
映射g的对应关系如下：
原像 1 2 3 4
像 4 3 1 2
则f[g(1)]的值为________．
9．已知f是从集合M到N的映射，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )M＝{a，b，c}，N＝{－3,0,3}，则满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的映射f的个数是________．21cnjy.com
三、解答题
10．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x－1，求A中元素1＋的像和B中元素－1的原像．www-2-1-cnjy-com
11．已知A＝{1,2,3，m}，B＝ ( http: / / www.21cnjy.com ){4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N＋.若x∈A，y∈B，有对应关系f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．【出处：21教育名师】
能力提升
12．已知集合A＝R，B ( http: / / www.21cnjy.com )＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素在B中的像和B中元素在A中的原像．
13．在下列对应关系中，哪些对应关系是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？
(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应关系f：“加1”；
(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应关系f：“求平方根”；
(3)A＝N，B＝N，对应关系f：“3倍”；
(4)A＝R，B＝R，对应关系f：“求绝对值”；
(5)A＝R，B＝R，对应关系f：“求倒数”．
1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．21教育网
2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．www.21-cn-jy.com
3．判断一个对应是否是映射，主要看 ( http: / / www.21cnjy.com )第一个集合A中的每一个元素在对应关系下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B中的每一个元素是否都有原像，不做要求．2·1·c·n·j·y
2．3 映 射
知识梳理
1．唯一的一个 映射 原像 2.(1)唯一 (2)像 (3)原像 一一对应
3．函数 非空数集
作业设计
1．A
2．C [如果从P到Q能 ( http: / / www.21cnjy.com )表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应关系f在Q中有唯一元素和它对应，选项C中，当x＝4时，y＝×4＝ Q，故选C.]21·世纪*教育网
3．D [选项A、B中的元素2没有像；选项C中1的像有两个；只有D满足映射的定义，故选D.]
4．B [在B项中f(0)无意义，即A中的数0在B中找不到和它的对应的数．]
5．C [①、②、③、④都是映射；②、③是函数；②、④是一一映射，对于①由于有的同学体重可能相等，故①不是一一映射．] 21*cnjy*com
6．B [由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的像的问题，总共有如图所示的4种可能．]
7.
解析 A中元素1在B中象为2×1－1＝1，
而1在C中象为＝.
8．1
解析 ∵g(1)＝4，∴f[g(1)]＝f(4)＝1.
9．7
解析
f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.
10．解 当x＝1＋时，x2－2x－1＝(1＋)2－2×(1＋)－1＝0，所以1＋的像是0.2-1-c-n-j-y
当x2－2x－1＝－1时，x＝0或x＝2.
因为0 A，所以－1的原像是2.
11．解 由f(1)＝4，f(2)＝7，列方程组：
.
故对应关系为f：x→y＝3x＋1. ( http: / / www.21cnjy.com )由此判断出A中元素3的象是n4或n2＋3n.若n4＝10，因为n∈N＋，不可能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A中的元素m的像是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的像是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.【版权所有：21教育】
12．解 将x＝代入对应关系，
可求出其在B中的对应元素(＋1,3)．
由 得x＝.
所以在B中的像为(＋1,3)，在A中对应的原像为.
13．解 (1)中集合A中的每一 ( http: / / www.21cnjy.com )个元素通过关系f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应关系f是A到B的映射，又B中的每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应，故f：A→B也是一一映射．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)中集合A中的每一个元素通过关系f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应关系f不是A到B的映射，故不是一一映射．21教育名师原创作品
(3)中集合A中的每一个元素通过关 ( http: / / www.21cnjy.com )系f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f是从A到B的映射，又B中某些元素1、2、4、5……在A中没有原像与之对应，故f：A→B不是一一映射．21*cnjy*com
(4)中集合A中的每一个元 ( http: / / www.21cnjy.com )素通过关系f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故关系f是从A到B的映射，但对于B中某些元素在A中可能有两个元素与之对应甚至没有原像，故f：A→B不是一一映射．
(5)当x＝0∈A，无意义，故关系f不是从A到B的映射．
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§3 函数的单调性
课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．
1．函数的单调性
(1)在函数y＝f(x)的定义域内的一个区 ( http: / / www.21cnjy.com )间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1(2)在函数y＝f(x)的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么就说函数y＝f(x)在区间A上是______的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是______的．2·1·c·n·j·y
(3)如果函数y＝f(x)在区间A上是__________或是__________，那么A称为__________．
2．一般地，对于函数y＝f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1类似地，在函数y＝f(x)的定义域内 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个子集A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1一、选择题
1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图像如图所示．
给出如下命题：①f(0)＝1；
②f(－1)＝1；③若x>0，则f(x)<0；④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是( )
A．②③ B．①④
C．②④ D．①③
2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1A．f(x1)C．f(x1)>f(x2) D．以上都可能
3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一个根 B．至多有一个根
C．无实根 D．必有唯一的实根
4．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是( )21·世纪*教育网
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)D.>0
6．函数y＝的单调递减区间为( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．[－3，－1]
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是________．
8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.www-2-1-cnjy-com
三、解答题
9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．
10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
11．已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
能力提升
12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0(1)试求f(0)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．
13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.www.21-cn-jy.com
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，
＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数．
3．求单调区间的方法：(1)图像法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．
若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．21世纪教育网版权所有
§3 函数的单调性
知识梳理
1．(1)增加 递增 (2)减少 递减 (3) 增加的 减少的 单调区间
2．f(x1)f(x2)
作业设计
1．B
2．A [由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，对应的f(x2)>f(x1)．]
3．D [∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，
∴①当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0，
②当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，
由①②知f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．]
4．C [如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图像可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]
5．C [由函数单调性的定义可知， ( http: / / www.21cnjy.com )若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；21cnjy.com
对于C，若x16．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪ ( http: / / www.21cnjy.com )[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]
7．m>0
解析 由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－1<2m－1，∴m>0.
8．－3
解析 f(x)＝2(x－)2＋3－，由题意＝2，∴m＝8.
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
9．解 y＝－x2＋2|x|＋3
＝＝.
函数图像如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
10．证明 设a∵g(x)在(a，b)上是增函数，
∴g(x1)且a又∵f(x)在(a，b)上是增函数，
∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．
11．解 函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
∵1≤x1∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
12．解 (1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.
(2)函数f(x)在R上单调递减．
任取x1，x2∈R，且设x1在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
若取m＋n＝x2，m＝x1，
则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，
由于x2－x1>0，所以0在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.
当x>0时，0所以f(－x)＝>1>0，
又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减．
13．解 (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴，解得m≥4.∴不等式的解集为{m|m≥4}．
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§4 二次函数性质的再研究
课时目标 1.了解二次函数的定义，会画二次函数的图像.2.掌握二次函数图像的平移规律.3.能灵活应用二次函数的性质解决问题．21世纪教育网版权所有
1．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像与y＝ax2的图像之间的关系(a≠0)．
当h>0 (h<0)时，把y＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )2的图像__________平移____个单位，得到y＝a(x＋h)2的图像；当k>0 (k<0)时，把y＝a(x＋h)2的图像__________平移____个单位，得到y＝a(x＋h)2＋k的图像．21教育网
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的性质
当a>0 (a<0)时，它的图像开口__ ( http: / / www.21cnjy.com )________，顶点坐标为________________，对称轴为__________；在上是________函数，在上是________函数；当x＝－时，函数取得最小(大)值____________．21cnjy.com
一、选择题
1．已知二次函数y＝(m＋1)x2－m(m＋3)x＋5在区间[1，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，1)上是增函数，则m的值为( )2·1·c·n·j·y
A．1 B．－2
C．1或－2 D．0
2．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(－2)C．f(2)3．设ak>0，bc>0，在同一坐标系中，y＝ax2＋c与y＝kx＋b的图像(如图所示)只可能是( )2-1-c-n-j-y
4．函数y＝x2＋bx＋c在(－∞，1)上是单调函数，则b的取值范围为( )
A．b≥－2 B．b≤－2
C．b>－2 D．b<－2
5．已知P(a，m)和Q(b，m)是二次函数y＝2x2＋4x－3上的两个不同点，则a＋b等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
6．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．已知二次函数f(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )－x2＋4x＋3，则f(x)的开口方向向________(上，下)，对称轴方程为________，顶点坐标为________，该函数可由y＝－x2向________平移________个单位长度，再向上平移________个单位长度得到．21·cn·jy·com
8．把抛物线y＝－3(x－1) ( http: / / www.21cnjy.com )2的图像向上平移k个单位长度，所得抛物线与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2，0)，如果x＋x＝，则k＝________.www.21-cn-jy.com
9．若f(x)是二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，且f(2－x)＝f(2＋x)对任意实数x都成立，又知f(3)三、解答题
10．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
11．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
能力提升
12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)A．有最大值3，最小值－1
B．有最大值3，无最小值
C．有最大值7－2，无最小值
D．无最大值，也无最小值
13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.
(1)若a＝1，作函数f(x)的图像；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
1．二次函数的三种表示形式：
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．若二次函数y＝f(x)恒满足f(x＋m)＝f(－x＋n)，则其对称轴为x＝.
3．二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动
轴”解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．
具体做法是：首先要采用配方法，化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m.【来源：21·世纪·教育·网】
其次对区间进行讨论，可分为三个类型：
(1)顶点固定，区间也固定．
(2)顶点含参数(即顶点为动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外．
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
§4 二次函数性质的再研究
知识梳理
1．向左(向右) |h| 向上(向下) |k| 2.向上(向下) x＝－ 减(增) 增(减) 21·世纪*教育网
作业设计
1．B [由题设知对称轴为x＝1，∴＝1，
解得m＝1或－2.
由已知知抛物线开口向下，∴m＝－2.]
2．D [依题意，由f(1＋x) ( http: / / www.21cnjy.com )＝f(－x)知，二次函数的对称轴为x＝，因为f(x)＝x2＋bx＋c开口向上，且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，由函数f(x)的图像可知，[，＋∞)为f(x)的增区间， 21*cnjy*com
所以f(1)3．A
4．B [由题意知：对称轴x＝－≥1，b≤－2.]
5．C [由P、Q两点关于直线x＝－1对称，
知P、Q的中点坐标为(－1，m)，
∴＝－1，即a＋b＝－2.]
6．D [由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，
当x＝1时，y的最小值为2，
当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.
由y＝x2－2x＋3的图像知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.]
7．下 x＝2 (2,7) 右 2 7
解析 ∵f(x)＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7，
由a＝－1<0，可知f(x)的开口向下 ( http: / / www.21cnjy.com )，对称轴方程为x＝2，顶点坐标为(2,7)，可由y＝－x2向右平移2个单位长度，再向上平移7个单位长度得到．【出处：21教育名师】
8.
解析 y＝－3(x－1)2＋k，令y＝0，
则3(x－1)2＝k，即3x2－6x＋3－k＝0，
x1＋x2＝2，x1x2＝，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝，∴k＝.
9．f(－3)>f(3)
解析 ∵f(2－x)＝f(2＋x)对任意实数x都成立，
∴f(x)的图像即函数的对称轴是直线x＝2，
∴f(1)＝f(3)．
又∵f(3)∴抛物线的开口必然向上，即x∈(－∞，2)时，
f(x)单调递减，x∈[2，＋∞)时，f(x)单调递增．
∴f(－3)>f(1)．
∴f(－3)>f(3)．
10．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，
∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，
∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
11．解 (1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f()＝，f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，
即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
12．C
[画图得到F(x)的图像：
射线AC、抛物线及射线BD三段，
联立方程组
得xA＝2－，
代入得F(x)的最大值为7－2，
由图可得F(x)无最小值，从而选C.]
13.
解 (1)当a＝1时，
f(x)＝x2－|x|＋1
＝.
作图(如右所示)
(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝－3.
若a>0，则f(x)＝a(x－)2＋2a－－1，
f(x)图像的对称轴是直线x＝.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，
g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，
g(a)＝f()＝2a－－1，
当>2，即0g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上可得g(a)＝
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第二章 章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若f(x)＝ax2－(a>0)，且f()＝2，则a等于( )
A．1＋ B．1－
C．0 D．2
2．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
3．下列说法正确的是( )
A．幂函数一定是奇函数或偶函数
B．任意两个幂函数图像都有两个以上交点
C．如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个幂函数相同
D．图像不经过(－1,1)的幂函数一定不是偶函数
4．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( )
A． B． 或{1}
C．{1} D．
5．函数f(x)＝的最大值是( )
A. B.
C. D.
6．函数y＝(n∈N，n>9)的图像可能是( )
7．函数f(x)＝－x的图像关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
8．已知函数f(x)＝ax2＋(a3－a)x＋1在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是( )
A．a≤ B．－≤a≤
C．09．设f(x)＝，则f(5)的值是( )
A．24 B．21
C．18 D．16
10．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．有增有减 D．增减性不确定
11．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，那么( )
A．f(2)C．f(2)12．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2，在(0，＋∞)上有最大值8，则在
(－∞，0)上F(x)有( )
A．最小值－8 B．最大值－8
C．最小值－6 D．最小值－4
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．www-2-1-cnjy-com
14．函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．
15．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝________.
16．如图，已知函数f(x)的图像是两 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f(x)－f(－x)>－1的解集是________．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设集合A＝{x| ( http: / / www.21cnjy.com )2x2＋3px＋2＝0}，B＝{x|2x2＋x＋q＝0}，其中p、q为常数，x∈R，当A∩B＝{}时，求p、q的值和A∪B.2-1-c-n-j-y
18．(12分)已知函数f(x)＝，
(1)点(3,14)在f(x)的图像上吗？
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值．
19．(12分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)求当x<0时，函数的解析式．
20．(12分)函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．
21．(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.21世纪教育网版权所有
(1)试判定该函数的奇偶性；
(2)试判断该函数在R上的单调性；
(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．
22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．21教育网
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．21cnjy.com
第二章 章末检测(A)
1．A [f()＝2a－＝2，∴a＝1＋.]
2．B [f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，
∴f(t)＝3t＋2，即f(x)＝3x＋2.]
3．D [举反例：y＝x不具有奇偶性， ( http: / / www.21cnjy.com )排除A；y＝x－1和y＝x－2图像的交点只有(1,1)，排除B；y＝x3与y＝x图像的交点为(－1，－1)，(0,0)，(1,1)，排除C.]
4．B [由题意可知，集合A中可能含有的元素为：当x2＝1时，x＝1，－1；当x2＝2时，x＝，－.21·cn·jy·com
所以集合A可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．
无论含有几个元素，A∩B＝ 或{1}．]
5．D [f(x)＝≤.]
6．C [∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴函数为偶函数，图像关于y轴对称，故排除A、B.
令n＝18，则y＝，当x≥0时，y＝，由其在第一象限的图像知选C.]
7．C [∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，
都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，
∴该函数f(x)＝－x是奇函数，其图像关于坐标原点对称．]
8．D [由题意知a<0，－≥－1，
－＋≥－1，即a2≤3.
∴－≤a<0.]
9．A [f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))
＝f(f(18))＝f(21)＝24.]
10．B [f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，
所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图像知，f(x)在区间(2,5)上为减函数．]
11．A [由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x＝2，由二次函数f(x)开口方向，可得f(2)最小；www.21-cn-jy.com
又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)，
在x<2时y＝f(x)为减函数．
∵0<1<2，
∴f(0)>f(1)>f(2)，
即f(2)12．D [由题意知f(x)＋g ( http: / / www.21cnjy.com )(x)在(0，＋∞)上有最大值6，因f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，即f(x)＋g(x)也是奇函数，所以f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.]
13．m≤2
解析 由函数单调性可知，由f(m＋3)≤f(5)有m＋3≤5，
故m≤2.
14．－1
解析 f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∵1∈[－2,3]，
∴f(x)max＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图像的对称性可知，
f(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值，
即f(x)min＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1.
15．－1
解析 由题意知，f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴(a＋1)x＝0对x≠0恒成立，
∴a＋1＝0，a＝－1.
16．(－1，－)∪[0,1)
解析 由题中图像知，当x≠0时， ( http: / / www.21cnjy.com )f(－x)＝－f(x)，所以f(x)－[－f(x)]>－1，∴f(x)>－，由题图可知，此时－10>－1满足条件．
因此其解集是{x|－117．解 ∵A∩B＝{}，∴∈A.
∴2()2＋3p()＋2＝0.
∴p＝－.∴A＝{，2}．
又∵A∩B＝{}，∴∈B.
∴2()2＋＋q＝0.∴q＝－1.
∴B＝{，－1}．∴A∪B＝{－1，，2}．
18．解 (1)∵f(3)＝＝－≠14.
∴点(3,14)不在f(x)的图像上．
(2)当x＝4时，f(4)＝＝－3.
(3)若f(x)＝2，则＝2，
∴2x－12＝x＋2，∴x＝14.
19．(1)证明 设0f(x1)－f(x2)＝(－1)－(－1)
＝，
∵00，x2－x1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)解 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1，
又f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝－－1，即f(x)＝－－1(x<0)．
20．解 ∵f(x)＝4(x－)2－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.
∵a≤0，∴a＝1－.
②当0<<2，即0f(x)min＝f()＝－2a＋2.
由－2a＋2＝3，得a＝－ (0,4)，舍去．
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，
f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.
∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5＋.
21．解 (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0)
＝2f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)任取x10，∴f(x2－x1)<0，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，
即f(x2)∴f(x)在R上是减函数．
(3)∵f(x)在[－12,12]上是减函数，
∴f(12)最小，f(－12)最大．
又f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)
＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－8，
∴f(－12)＝－f(12)＝8.
∴f(x)在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.
22．解 (1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，1≤u≤3，
则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，所以减区间为[0，]；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，
所以增区间为[，1]；
由f(0)＝－3，f()＝－4，f(1)＝－，
得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
∴∴a＝.
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第二章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
C．(－∞，－)∩(－，1]
D．(－∞，－)∪(－，1]
2．已知a，b为两个不相等的实数，集合M ( http: / / www.21cnjy.com )＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，映射f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为( )
A．[2a，a＋b] B．[a，b]
C．[0，b－a] D．[－a，a＋b]
4．若函数f(＋1)＝x2－2x，则f(3)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知偶函数f(x)的定义域为R，且在(－∞，0)上是增函数，则f(－)与f(a2－a＋1)的大小关系为( )21·cn·jy·com
A．f(－)B．f(－)>f(a2－a＋1)
C．f(－)≤f(a2－a＋1)
D．f(－)≥f(a2－a＋1)
6．函数f(x)＝(x≠－)，满足f[f(x)]＝x，则常数c等于( )
A．3 B．－3
C．3或－3 D．5或－3
7．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的范围为( )
A．(－∞，－2]∪[0,10]
B．(－∞，－2]∪[0,1]
C．(－∞，－2]∪[1,10]
D．[－2,0)∪[1,10]
8．当x∈(0,1)时，幂函数y＝xn(n∈Q)的图像在直线y＝x的上方，则n的取值范围为( )
A．n<1 B．n>1 C．09．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是( )
A．f(1)≥25 B．f(1)＝2521·世纪*教育网
C．f(1)≤25 D．f(1)>25www-2-1-cnjy-com
10．已知y＝f(x)与y＝g(x)的图像如下图：
则F(x)＝f(x)·g(x)的图像可能是下图中的( )
11．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
12．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设函数f(x)＝，已知f(x0)＝8，则x0＝________.
14．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
15．若定义运算a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
16．函数f(x)的定义域为D，若对于 ( http: / / www.21cnjy.com )任意x1，x2∈D，当x1三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)画出函数f(x)的图像；
(3)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
18．(12分)讨论函数f(x)＝x＋(a>0)的单调区间．
19．(12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f()＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.
20．(12分)设f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)且f(1)＝2，f(2)<3.求a、b、c的值和f(x)．
21．(12分)已知≤a≤1，若函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)．21教育网
(1)求g(a)的函数表达式；
(2)判断函数g(a)在区间[，1]上的单调性，并求出g(a)的最小值．
22．(12分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件：
①当x∈R时，其最小值为0，且f(x－1)＝f(－x－1)成立；
②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．
(1)求f(1)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)求最大的实数m(m>1)，使得存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f(x＋t)≤x成立．
第二章 章末检测(B)
1．D [由题意知：
解得故选D.]
2．D [∵集合M中的元素－1不能映射到N中为－2，
∴
即
∴a，b为方程x2－4x＋2＝0的两根，
∴a＋b＝4.]
3．B [因为函数y＝f(x＋a ( http: / / www.21cnjy.com ))的图像，可由函数y＝f(x)的图像向左或右平移|a|个单位得到，因此，函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x＋a)的值域相同，2·1·c·n·j·y
故选B.]
4．A [令＋1＝3，得x＝2，
∴f(3)＝22－2×2＝0.]
5．D [设x1>x2>0，则－x1<－x2<0，
∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，
∴f(－x1)∴f(x1)又∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥，
∴f(a2－a＋1)≤f()＝f(－)．]
6．B [＝x，f(x)＝＝，
得c＝－3.]
7．A [由(x＋1)2≥1得x≤－2或0≤x<1；
由4－≥1得1≤x≤10.
∴x∈(－∞，－2]∪[0,10]，选A.]
8．A [结合图像可知，在区间(0,1)上，n<0，n＝0,09．A [函数f(x)的增区间为[，＋∞)，函数在区间[－2，＋∞)上是增函数，所以≤－2，m≤－16，f(1)＝4－m＋5≥25.] 21*cnjy*com
10．A [由图像知y＝f(x)与y＝g(x)均为奇函数，
∴F(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，故D不正确．
在x＝0的左侧附近，∵f(x)>0，g(x)<0，
∴F(x)<0，
在x＝0的右侧附近，∵f(x)<0，g(x)>0，
∴F(x)<0，
故选A.]
11．A [易知f(1)＝3，则不等式f(x)>f(1)等价于或
解得－33.]
12．B [由f(x)是偶函数，得f(x)关于y轴对称，其图像可以用下图简单地表示，
则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.]
13.
解析 ∵当x≥2时，f(x)≥f(2)＝6，
当x<2时，f(x)∴x＋2＝8(x0≥2)，解得x0＝.
14．－2
解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.
15．(－∞，1]
解析 由题意知x⊙(2－x)表示x与2－x两者中的较小者，借助y＝x与y＝2－x的图像，不难得出，f(x)的值域为(－∞，1]．www.21-cn-jy.com
16.
解析 由题意得f(1)＝1－f(0)＝1，
f()＝f(1)＝，f()＝1－f()，
即f()＝，
由函数f(x)在[0,1]上为非减函数得，当≤x≤时，f(x)＝，则f()＝，
又f(×)＝f()＝，
即f()＝.
因此f()＋f()＝.
17．解 (1)当x<0时，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)如图所示．
(3)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图像知
所以118．解 任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1则x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·.
当0∴x1x2－a<0.
∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x)在(0，)上是减函数．
当≤x1a，∴x1x2－a>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，
即f(x)在[，＋∞)上是增函数．
∵函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)在(－∞，－]上是增函数，在[－，0)上是减函数．
综上所述，f(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上为增函数，在[－，0)，(0，]上为减函数．21世纪教育网版权所有
19．解 (1)令x＝y≠0，则f(1)＝0.
(2)令x＝36，y＝6，
则f()＝f(36)－f(6)，f(36)＝2f(6)＝2，
故原不等式为f(x＋3)－f()即f[x(x＋3)]又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
故原不等式等价于
020．解 ∵f(x)＝是奇函数，
∴f(－x)＝＝－f(x)＝－，
∴b(－x)＋c＝－(bx＋c)，解得c＝0.
由f(1)＝2，f(2)<3，得，消去b，得<3，
解得－1若a＝0时，得b＝ Z；若a＝1时，得b＝1∈Z，
∴a＝1，b＝1，c＝0，f(x)＝＝x＋.
21．解 (1)∵≤a≤1，∴f(x)的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为x＝∈[1,3]．
∴f(x)有最小值N(a)＝1－.
当2≤≤3时，a∈[，]，
f(x)有最大值M(a)＝f(1)＝a－1；
当1≤<2时，a∈(，1]，
f(x)有最大值M(a)＝f(3)＝9a－5；
∴g(a)＝
(2)设≤a1＝(a1－a2)(1－)>0，
∴g(a1)>g(a2)，
∴g(a)在[，]上是减函数．
设∴g(a)在(，1]上是增函数．
∴当a＝时，g(a)有最小值.
22．解 (1)在②中令x＝1，有1≤f(1)≤1，故f(1)＝1.
(2)由①知二次函数的图像 ( http: / / www.21cnjy.com )开口向上且关于x＝－1对称，故可设此二次函数为f(x)＝a(x＋1)2(a>0)，又由f(1)＝1代入求得a＝，故f(x)＝(x＋1)2.2-1-c-n-j-y
(3)假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f(x＋t)≤x.
取x＝1，有f(t＋1)≤1，
即(t＋2)2≤1，
解得－4≤t≤0.
对固定的t∈[－4,0]，取x＝m，有f(t＋m)≤m，
即(t＋m＋1)2≤m，
化简得m2＋2(t－1)m＋(t2＋2t＋1)≤0，
解得1－t－≤m≤1－t＋，
故m≤1－t＋≤1－(－4)＋＝9，
t＝－4时，对任意的x∈[1,9]，
恒有f(x－4)－x＝(x2－10x＋9)＝(x－1)(x－9)≤0，所以m的最大值为9.
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习题课
课时目标 1.巩固幂函数及函数奇、偶性的有关知识.2.培养学生知识的应用能力．
1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )21cnjy.com
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)A．f(－1)C．f(－3)f(1)
3．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定
6．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
一、选择题
1．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x1>0，x2<0，且f(x1)A．x1＋x2<0 B．x1＋x2>0
C．f(－x1)>f(－x2) D．f(－x1)·f(－x2)<0
2．下列判断：
①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；
②对于定义域为实数集R的任何奇函数f(x)都有f(x)·f(－x)≤0；
③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；
④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．
其中正确的序号为( )
A．②③④ B．①③ C．② D．④
3．函数f(x)＝xα，x∈( ( http: / / www.21cnjy.com )－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )
A．0 B．2 C．3 D．4
4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于( )
A．0.5 B．－0.5
C．1.5 D．－1.5
6．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则{x|x·f(x)<0}等于( )
A．{x|x>3，或－3B．{x|0C．{x|x>3，或x<－3}
D．{x|0题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝________.
8．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是________．
9．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线；
②幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
三、解答题
10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围． 21*cnjy*com
11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)能力提升
12．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )www.21-cn-jy.com
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
13．若函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)指出y＝f(x)的奇偶性，并给予证明；
(2)如果x>0时，f(x)<0，判断f(x)的单调性；
(3)在(2)的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求k的取值范围．
1．函数的奇偶性是其相应图像特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．
2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在 ( http: / / www.21cnjy.com )原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．21·cn·jy·com
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．2-1-c-n-j-y
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
习题课
双基演练
1．A [∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，
又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(2)即f(π)>f(－3)>f(－2)．]
2．D [∵f(－3)＝f(3)，∴f(3)∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数．
∴f(0)>f(1)，故选D.]
3．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c，y＝()x在x>0时是减函数，【来源：21cnj*y.co*m】
所以c>b.]
4．B [作直线x＝t(t>1)与各个图像相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]21*cnjy*com
5．A [f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x1)＝f(x1)．
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x2>－x1>0，
∴f(－x2)＝f(x2)6. 0
解析 偶函数定义域关于原点对称，
∴a－1＋2a＝0.∴a＝.
∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.
又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.
作业设计
1．B [由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，
而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，
因此由f(x1)则f(－x1)0.]
2．C [判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．21世纪教育网版权所有
判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.21教育网
判断③，如f(x)＝x2， ( http: / / www.21cnjy.com )x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1 [0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，【版权所有：21教育】
有f(x)≠f(－x)．故③错误．
判断④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．
综上可知，选C.]
3．B [因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以α＝－1,1显然是不成立的．
当α＝0时，f(x)＝1>|x|；
当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；
当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]
4．C [∵f(x)为奇函 ( http: / / www.21cnjy.com )数，∴<0，即<0，当x∈(0，＋∞)，∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0.由奇函数图像关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0.综上使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
5．B [由f(x＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2)
＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)
＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)
＝－f(0.5)＝－0.5.]
6．D [依题意，得x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0；
x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0.
由x·f(x)<0，知x与f(x)异号，
从而找到满足条件的不等式的解集．]
7．－x2＋x＋1
解析 由题意，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1＝x2＋x－1，
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2－x－1，即f(x)＝－x2＋x＋1.
8．(－∞，0]
解析 因为f(x)是偶函数，所以k－1＝0，即k＝1.
∴f(x)＝－x2＋3，即f(x)的图像是开口向下的抛物线．
∴f(x)的递增区间为(－∞，0]．
9．④
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图像不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确；④正确．2·1·c·n·j·y
10．解 由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴，即，解得－1≤m<.
11．解 由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋>0，
2a2－2a＋3＝2(a－)2＋>0，
且f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，即3a－2>0，解得a>.
12．C [令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，
解得f(0)＝－1.
令x2＝－x1＝x，得f(0)＝f(－x)＋f(x)＋1，
即f(－x)＋1＝－f(x)－1，
令g(x)＝f(x)＋1，g(－x)＝f(－x)＋1，－g(x)＝－f(x)－1，
即g(－x)＝－g(x)．
所以函数f(x)＋1为奇函数．]
13．解 (1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝0，
即f(x)＝－f(－x)，所以y＝f(x)是奇函数．
(2)令x＋y＝x1，x＝x2，则y＝x1－x2，
得f(x1)＝f(x2)＋f(x1－x2)．
设x1>x2，∵x>0时f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，即f(x1)所以y＝f(x)为R上的减函数．
(3)由f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0，
得f(kx2)>－f(－x2＋x－2)，
∵f(x)是奇函数，有f(kx2)>f(x2－x＋2)，
又∵f(x)是R上的减函数，
∴kx2即(k－1)x2＋x－2<0对于x∈R恒成立，
即，故k<.
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习题课
课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．www.21-cn-jy.com
1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图像的是( )
2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是( )
A．M＝A，N＝B B．M A，N＝B
C．M＝A，N B D．M A，N B
3．函数y＝f(x)的图像与直线x＝a的交点( )
A．必有一个 B．一个或两个
C．至多一个 D．可能两个以上
4．已知函数f(x)＝，若f(a)＝3，则a的值为( )
A. B．－
C．± D．以上均不对
5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为( )
A．[－1,2] B．[－2,2]
C．[0,2] D．[－2,0]
6．函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为( )
A．k<0或k>4 B．0≤k<4
C．0一、选择题
1．函数f(x)＝，则f()等于( )
A．f(x) B．－f(x)
C. D.
2．已知f(x2－1)的定义域为[－，]，则f(x)的定义域为( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－1,2] D．[－，]
3．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是( )
4．与y＝|x|为相等函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝ D．y＝
5．函数y＝的值域为( )
A．(－∞，)∪(，＋∞)
B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．R
D．(－∞，)∪(，＋∞)
6．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B等于( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R ( http: / / www.21cnjy.com )，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为________．21世纪教育网版权所有
8．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________．
9．已知函数f(x)＝，则f(f(－2))＝______________.
三、解答题
10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．
11．已知f(x)＝，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．
能力提升
12．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x－a)＋f(x＋a)(0A． B．[a,1－a]
C．[－a,1＋a] D．[0,1]
13．已知函数f(x)＝
(1)求f(－3)，f[f(－3)]；
(2)画出y＝f(x)的图像；
(3)若f(a)＝，求a的值．
1．函数的定义域、对应关 ( http: / / www.21cnjy.com )系以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应关系确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．
2．函数图像是描述函数两个变量之间关系 ( http: / / www.21cnjy.com )的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图像可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．21cnjy.com
3．函数的表示方法有列举法、 ( http: / / www.21cnjy.com )解析法、图像法三种．根据解析式画函数的图像时，要注意定义域对函数图像的制约作用．函数的图像既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．21·cn·jy·com
习题课
双基演练
1．C [C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]
2．C [值域N应为集合B的子集，即N B，而不一定有N＝B.]
3．C [当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]
4．A [当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；
当－1∴a＝，a＝－(舍去)；
当a≥2时，有2a＝3，∴a＝与a≥2矛盾．
综上可知a＝.]
5．B [由－1≤x2≤4，得x2≤4，
∴－2≤x≤2，故选B.]
6．B [由题意，知kx2＋kx＋1≠0对任意实数x恒成立，
当k＝0时，1≠0恒成立，∴k＝0符合题意．
当k≠0时，Δ＝k2－4k<0，解得0综上，知0≤k<4.]
作业设计
1．A [f()＝＝＝f(x)．]
2．C [∵x∈[－，]，∴0≤x2≤3，
∴－1≤x2－1≤2，
∴f(x)的定义域为[－1,2]．]
3．C [C选项中，和a相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]
4．B [A中的函数定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域与y＝|x|不同；C中的函数定义域不含有x＝0，而y＝|x|中含有x＝0，D中的函数与y＝|x|的对应关系不同，B正确．]21教育网
5．B [用分离常数法．
y＝＝2＋.
∵≠0，∴y≠2.]
6．C [化简集合A，B，则得A＝[1，＋∞)，B＝[2，＋∞)．
∴A∩B＝[2，＋∞)．]
7．(，－)
解析 由题意，∴.
8．f(x)＝x2－1(x≥1)
解析 ∵f(＋1)＝x＋2
＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(x)＝x2－1.
由于＋1≥1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
9．4
解析 ∵－2<0，∴f(－2)＝(－2)2＝4，
又∵4≥0，∴f(4)＝4，∴f(f(－2))＝4.
10．解 令t＝x－1，则1－x＝－t，
原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，①
以－t代t，原式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，②
由①②消去f(－t)，得f(t)＝2t＋.
即f(x)＝2x＋.
11．解 f(1)＝1×(1＋4)＝5，
∵f(1)＋f(a＋1)＝5，∴f(a＋1)＝0.
当a＋1≥0，即a≥－1时，
有(a＋1)(a＋5)＝0，
∴a＝－1或a＝－5(舍去)．
当a＋1<0，即a<－1时，
有(a＋1)(a－3)＝0，无解．
综上可知a＝－1.
12．B [由已知，得
又∵013．解 (1)∵x≤－1时，f(x)＝x＋5，
∴f(－3)＝－3＋5＝2，
∴f[f(－3)]＝f(2)＝2×2＝4.
(2)函数图像如右图所示．
(3)当a≤－1时，f(a)＝a＋5＝，a＝－≤－1；
当－1当a≥1时，f(a)＝2a＝，a＝ [1，＋∞)，舍去．
故a的值为－或±.
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