本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
习题课
课时目标 1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力． 21*cnjy*com
1．下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )www-2-1-cnjy-com
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．1 B．0
C．－1 D．无最大值
4．将化成指数式为________．
5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝()－0.5，则a，b，c的大小顺序为________．
6．已知＋＝3，求x＋的值．
一、选择题
1．的值为( )
A. B．－ C. D．－
2．化简＋的结果是( )
A．3b－2a B．2a－3b
C．b或2a－3b D．b
3．若0
A．2x<(0.2)x<()x B．2x<()x<(0.2)x21·cn·jy·com
C．()x<(0.2)x<2x D．(0.2)x<()x<2x【出处：21教育名师】
4．若函数则f(－3)的值为( )
A. B.
C．2 D．8
5．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b>0
B．a>1，b<0
C．00
D．06．函数f(x)＝的图像( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．计算：－(－)0＋160.75＋＝________________.
8．已知10m＝4,10n＝9，则＝________.
9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．
三、解答题
10．比较下列各组中两个数的大小：
(1)0.63.5和0.63.7；(2)()－1.2和()－1.4；
(3)和；(4)π－2和()－1.3.
11．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
能力提升
12．已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．
13．根据函数y＝|2x－1|的图像，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？21世纪教育网版权所有
1．(1)根式的运算中，有开方和乘方并存 ( http: / / www.21cnjy.com )的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a≥0时，＝()m，而当a<0时，则不一定可换，应视m，n的情况而定．
(2)分数指数幂不能对指数随意约分．
(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．
2．指数函数的解析式y＝ax中，ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y＝ax＋k(a>0且a≠21教育网
1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y＝a－x(a>0且a≠1)，因为它可以化为y＝()x，其中>0，且≠1.www.21-cn-jy.com
3．学习指数函数要记住图像，理解图像 ( http: / / www.21cnjy.com )，由图像能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a对于函数值变化的影响，对于a>1与0习题课
双基演练
1．B [只有③中y＝3x是指数函数．]
2．A [因f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即1＋b＝0，b＝－1.
所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.]
3．A [当x≤0时，f(x)＝2x；
当x>0时，f(x)＝－x＋1.
显然，其最大值是1.]
4．
解析 ＝×＝×＝.
5．b解析 a＝20.4，b＝20.3，c＝20.5.
又指数函数y＝2x在R上是增函数，
∴b6．解 由＋＝3得(＋)2＝9，
即x＋2＋x－1＝9，
则x＋x－1＝7，即x＋＝7.
作业设计
1．C [原式＝＝＝.]
2．C [原式＝(a－b)＋|a－2b|＝]
3．D [当01，()x<1，
对于()x，(0.2)x不妨令x＝，则有>.]
4．A [f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝.]
5．D [f(x)＝ax－b的图像是由 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝ax的图像左右平移|b|个单位得到的，由图像可知f(x)在R上是递减函数，所以06．D [∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，图像关于y轴对称．]
7.
解析 原式＝－1＋＋
＝0.4－1－1＋23＋0.1＝－1＋8＋＝.
8.
解析 因为10m＝4,10n＝9，所以＝＝＝＝.
9．[－8，]
解析 因为y＝3x是R上的单调 ( http: / / www.21cnjy.com )增函数，所以当x∈[－1,2]时，3x∈[3－1,32]，即－3x∈[－9，－]，所以y＝1－3x∈[－8，]．21·世纪*教育网
10．解 (1)考察函数y＝0.6x.因为0<0.6<1，所以函数y＝0.6x在实数集R上是单调减函数．21cnjy.com
又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.
(2)考察函数y＝()x.因为>1，
所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．
又因为－1.2>－1.4，
所以()－1.2>()－1.4.
(3)考察函数y＝()x.因为>1，
所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为<，
所以<.
(4)∵π－2＝()2<1，()－1.3＝31.3>1，
∴π－2<()－1.3.
11．解 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
∴a2－a＝，
即a＝或a＝0(舍去)．
(2)若0∴a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，所求a的值为或.
12．解 ∵f(x)＝(ax－)，
∴函数定义域为R，
设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1f(x1)－f(x2)＝(－－＋)
＝(－＋－)
＝(－＋)
＝(－)(1＋)
∵1＋>0，∴当a>1时，<，>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)当0，<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)综上，f(x)在R上为增函数．
13.
解 函数y＝|2x－1|的图像可由指数函数y＝2x的图像先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．2-1-c-n-j-y
函数y＝m的图像是与x轴平行的直线，观察两图像的关系可知：
当m<0时，两函数图像没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；
当m＝0或m≥1时，两函数图像只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；
当021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第三章 指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
§2 指数扩充及其运算性质
课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．21·cn·jy·com
1．正整数指数函数
函数y＝ax(a>0，a≠1， ( http: / / www.21cnjy.com )x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为________函数．2·1·c·n·j·y
2．分数指数幂
(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝；
(2)正分数指数幂写成根式形式：＝(a>0)；
(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)；【来源：21·世纪·教育·网】
(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)aman＝________(a>0)；
(2)(am)n＝________(a>0)；
(3)(ab)n＝________(a>0，b>0)．
一、选择题
1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确的是( )21世纪教育网版权所有
A．①③④ B．②③④
C．②③ D．③④
2．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
3．在(－)－1、、、2－1中，最大的是( )
A．(－)－1 B．
C． D．2－1
4．化简的结果是( )
A．a B．
C．a2 D．
5．下列各式成立的是( )
A.＝ B．()2＝
C.＝ D.＝
6．下列结论中，正确的个数是( )
①当a<0时，＝a3；
②＝|a|(n>0)；
③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.
A．0 B．1
C．2 D．3
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7.－＋的值为________．
8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.
9．若x>0，则(2＋)(2－)－4·(x－)＝________.
三、解答题
10．(1)化简：··(xy)－1(xy≠0)；
(2)计算：＋＋－·.
11．设－3能力提升
12．化简：÷(1－2)×.
13．若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值．
1.与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受n的奇偶性限制：当n为大于1的奇数时，＝a；当n为大于1的偶数时，＝|a|.21教育网
(2)()n是实数a的 ( http: / / www.21cnjy.com )n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，()n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，()n＝a，a≥0，由此看只要()n有意义，其值恒等于a，即()n＝a.21cnjy.com
2．有理指数幂运算的一般思路
化负指数为正指数，化根式 ( http: / / www.21cnjy.com )为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程．www.21-cn-jy.com
3．有关指数幂的几个结论
(1)a>0时，ab>0；
(2)a≠0时，a0＝1；
(3)若am＝an，则m＝n；
(4)a±2＋b＝(±)2(a>0，b>0)；
(5)(＋)(－)＝a－b(a>0，b>0)．
第三章 指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
§2 指数扩充及其运算性质
知识梳理
1．正整数 指数型 2.(3) (4)0 没有意义
3．(1)am＋n (2)amn (3)anbn
作业设计
1．D [①错，∵(±2)4＝16，
∴16的4次方根是±2；
②错，＝2，而±＝±2.]
2．C [原式＝|2－a|＋|3－a|，
∵23．C [∵(－)－1＝－2, ＝，＝，2－1＝，
∵>>>－2，
∴>>2－1>(－)－1.]
4．B [原式＝＝＝.]
5．D [被开方数是和的形式，运算错误，A选项错；()2＝，
B选项错；>0，<0，C选项错．故选D.]
6．B [①中，当a<0时，
＝[]3＝(－a)3＝－a3，
∴①不正确；
②中，若a＝－2，n＝3，
则＝－2≠|－2|，∴②不正确；
③中，有即x≥2且x≠，
故定义域为[2，)∪(，＋∞)，∴③不正确；
④中，∵100a＝5,10b＝2，
∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝10，即102a＋b＝10.
∴2a＋b＝1.④正确．]
7.
解析 原式＝－＋
＝－＋＝.
8．9
解析 ＝(ax)2·＝32·＝9.
9．－23
解析 原式＝4－33－4＋4＝－23.
10．解 (1)原式＝··(xy)－1
＝···
＝·＝.
(2)原式＝＋＋＋1－22
＝2－3.
11．解 原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3∴当－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝.
12．解 原式＝÷×
＝··
＝＝＝a.
13．解 ∵x－－2y＝0，x>0，y>0，
∴()2－－2()2＝0，
∴(＋)(－2)＝0，
由x>0，y>0得＋>0，
∴－2＝0，∴x＝4y，
∴＝＝.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§4 对数(一)
课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．21教育网
1．对数的概念
如果ab＝N(a>0，且a ( http: / / www.21cnjy.com )≠1)，那么数b叫做______________，记作__________，其中a叫做__________，N叫做________．21cnjy.com
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做__________，以e为底的对数叫做__________，log10N可简记为________，logeN简记为________．21·cn·jy·com
3．对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则ax＝N logaN＝____.
对数恒等式：＝____；logaax＝____(a>0，且a≠1)．
4．对数的性质
(1)1的对数为____；
(2)底的对数为____；
(3)零和负数________．
一、选择题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．有以下四个结论：①lg( ( http: / / www.21cnjy.com )lg10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )www.21-cn-jy.com
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<2
B．2C．2D．34．方程＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
5．若loga＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5c B．b5＝ac
C．b＝5ac D．b＝c5a
6．的值为( )
A．6 B.
C．8 D.
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.
8．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
9．已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则＝________.
三、解答题
10．(1)将下列指数式写成对数式：
①10－3＝；②0.53＝0.125；③(－1)－1＝＋1.
(2)将下列对数式写成指数式：
①log26＝2.585 0；②log30.8＝－0.203 1；③lg 3＝0.477 1.
11．已知logax＝4，logay＝5，求A＝的值．
能力提升
12．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )
A．15 B．75
C．45 D．225
13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值：
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式：
①log68；②log62；③log26.
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a>0，且a≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)＝N.21世纪教育网版权所有
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运
算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．指数式与对数式的互化
§4 对数(一)
知识梳理
1．以a为底N的对数 b＝logaN 对数的底数 真数
2．常用对数 自然对数 lg N ln N 3.x N x
4．(1)零 (2)1 (3)没有对数
作业设计
1．C [①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．]
2．C [∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确；
∵ln e＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；
由lg x＝10，得1010＝x，故x≠100，故③错误；
由e＝ln x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．]
3．C [由对数的定义知
24．A [∵＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.]
5．A [由loga＝c，得ac＝，
∴b＝(ac)5＝a5c.]
6．C [＝()－1·＝2×4＝8.]
7.
解析 由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，
∴＝＝＝＝.
8．3
解析 由题意得：logx9＝2，∴x2＝9，∴x＝±3，
又∵x>0，∴x＝3.
9.
解析 依据ax＝N logaN＝x(a>0且a≠1)，
有a＝102.431 0，b＝101.431 0，
∴＝＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝.
10．解 (1)①lg＝－3；②log0.50.125＝3；
③log－1(＋1)＝－1.
(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3.
11．解 A＝·＝.
又∵x＝a4，y＝a5，∴A＝＝1.
12．C [由loga3＝m，得am＝3，
由loga5＝n，得an＝5.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]
13．解 (1)①因为log2x＝－，所以x＝＝.
②因为logx3＝－，所以＝3，所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8得6a＝23，即＝2，所以log62＝.
③由＝2得＝6，所以log26＝.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
习题课
课时目标 1.巩固对数的概念及对数的运算.2.提高对对数函数及其性质的综合应用能力．
1．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )
A．mC．p2．已知0A．1C．m3．函数y＝＋的定义域是( )
A．(1,2) B．[1,4]
C．[1,2) D．(1,2]
4．给定函数①y＝，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )21世纪教育网版权所有
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
5．设函数f(x)＝loga|x|，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________________．
6．若log32＝a，则log38－2log36＝________.
一、选择题
1．下列不等号连接错误的一组是( )
A．log0.52.7>log0.52.8 B．log34>log6521cnjy.com
C．log34>log56 D．logπe>logeπ
2．若log37·log29·log49m＝log4，则m等于( )
A. B.
C. D．4
3．设函数若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b等于( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
4．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )2·1·c·n·j·y
A．(－∞，－) B．(－，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－)
5．若函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(x)<0的解集为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(，1)∪(2，＋∞) D．(0，)∪(2，＋∞)
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．已知loga(ab)＝，则logab＝________.
8．若log236＝a，log210＝b，则log215＝________.
9．设函数若f(a)＝，则f(a＋6)＝________.
三、解答题
10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．21·世纪*教育网
11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)21教育网
能力提升
12．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集．
13．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a>1.
(1)比较[f(0)＋f(1)]与f()的大小；
(2)探索[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)对任意x1>0，x2>0恒成立．
1．比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：
(1)利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；
(2)利用对数函数图像的相互位置关系比较大小．
2．指数函数与对数函数的区别与联系
指数函数y＝ax(a>0，且 ( http: / / www.21cnjy.com )a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是两类不同的函数．二者的自变量不同．前者以指数为自变量，而后者以真数为自变量；但是，二者也有一定的联系，y＝ax(a>0，且a≠1)和y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域．二者的图像关于直线y＝x对称．
习题课
双基演练
1．C [01，p<0，故p2．A [∵0由logamn>1.]
3．A [由题意得：解得：14．B [①y＝在(0,1)上为单调递增函数，
∴①不符合题意，排除A，D.
④y＝2x＋1在(0,1)上也是单调递增函数，排除C，故选B.]
5．f(a＋1)>f(2)
解析 当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上递增，
又∵a＋1>2，∴f(a＋1)>f(2)；
当0又∵a＋1<2，∴f(a＋1)>f(2)．
综上可知，f(a＋1)>f(2)．
6．a－2
解析 log38－2log36＝log323－2(1＋log32)
＝3a－2－2a＝a－2.
作业设计
1．D [对A，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．
对B，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对C，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对D，由π>e>1可知，logeπ>1>logπe错误．]
2．B [左边＝··＝，
右边＝＝－，
∴lg m＝lg＝lg，
∴m＝.]
3．A [∵f(3)＝2，∴loga(3＋1)＝2，
解得a＝2，又f(－2)＝0，
∴4－4＋b＝0，b＝0.]
4．D [令y＝2x2＋x，其图像的对称轴x＝－<0，
所以(0，)为y的增区间，所以0又因f(x)在区间(0，)内恒有f(x)>0，所以0f(x)的定义域为2x2＋x>0的解集，即x>0或x<－，
由x＝－>－得，(－∞，－)为y＝2x2＋x的递减区间，又由05．C [①若a>0，则f(a)＝log2a，f(－a)＝a，
∴log2a>a＝log2.
∴a>，∴a>1.
②若a<0，则f(a)＝(－a)，
f(－a)＝log2(－a)，
∴(－a)>log2(－a)＝(－)，
∴－a<－，
∴－1由①②可知，－11.]
6．C [∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，
在(0，＋∞)上f(x)<0 f(x)同理可求f(x)在(－∞，0)上是增函数，且f(－)＝0，得x>2.
综上所述，x∈(，1)∪(2，＋∞)．]
7．2p－1
解析 ∵logaba＝p，logabb＝logab＝1－p，
∴logab＝logaba－logabb
＝p－(1－p)＝2p－1.
8.a＋b－2
解析 因为log236＝a，log210＝b，
所以2＋2log23＝a,1＋log25＝b.
即log23＝(a－2)，log25＝b－1，
所以log215＝log23＋log25＝(a－2)＋b－1＝a＋b－2.
9．－3
解析 (1)当a≤4时，2a－4＝，
解得a＝1，此时f(a＋6)＝f(7)＝－3；
(2)当a>4时，－log2(a＋1)＝，无解．
10．解 由log4(x＋a)<1，得0解得－a即B＝{x|－a∵A∩B＝ ，∴解得1≤a≤2，
即实数a的取值范围是[1,2]．
11．解 设至少抽n次才符合条件，则
a·(1－60%)n<0.1%·a(设原来容器中的空气体积为a)．
即0.4n<0.001，两边取常用对数，得
n·lg 0.4所以n>.
所以n>≈7.5.
故至少需要抽8次，才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
12．解 设u(x)＝x2－2x＋3，则u(x)在定义域内有最小值．
由于f(x)在定义域内有最小值，所以a>1.
所以loga(x－1)>0 x－1>1 x>2，
所以不等式loga(x－1)>0的解集为{x|x>2}．
13．解 (1)∵[f(0)＋f(1)]＝(loga1＋loga2)＝loga，
又∵f()＝loga，且>，由a>1知
函数y＝logax为增函数，所以loga即[f(0)＋f(1)](2)由(1)知，当x1＝1，x2＝2时，不等式成立．
接下来探索不等号左右两边的关系：
[f(x1－1)＋f(x2－1)]＝loga，
f(－1)＝loga，
因为x1>0，x2>0，
所以－＝≥0，
即≥.
又a>1，
所以loga≥loga，
即[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)．
综上可知，不等式对任意x1>0，x2>0恒成立．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§3 指数函数(一)
课时目标 1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数.2.掌握指数函数的图像和性质．
1．指数函数的概念
一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质
a>1 0图像
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点 过点______，即x＝____时，y＝____
函数值的变化 当x>0时，______；当x<0时，________ 当x>0时，________；当x<0时，________
单调性 是R上的________ 是R上的________
一、选择题
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－4)x B．y＝πx
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)
2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
3．函数y＝a|x|(a>1)的图像是( )
4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)的值为( )
A．－9 B.
C．－ D．9
5．如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图像，则a、b、c、d与1的大小关系是( )21·cn·jy·com
A．aB．bC．1D．a6．函数y＝()x－2的图像必过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝ax的图像经过点(2,4)，则f(－3)的值为________．
8．若函数y＝ax－(b－1)(a>0，a≠1)的图像不经过第二象限，则a，b必满足条件________．
9．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
三、解答题
10．比较下列各组数中两个值的大小：
(1)0.2－1.5和0.2－1.7；
(2)和；
(3)2－1.5和30.2.
11．2000年10月18日 ( http: / / www.21cnjy.com )，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你根据下面关于垃圾的体积V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表格，回答下列问题．
周期数n 体积V(m3)
0 50 000×20
1 50 000×2
2 50 000×22
… …
n 50 000×2n
(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？
(2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？
(3)如果n＝－2，这时的n，V表示什么信息？
(4)写出n与V的函数关系式，并画出函数图像(横轴取n轴)．
(5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？
能力提升
12．定义运算a b＝，则函数f(x)＝1 2x的图像是( )
13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意的实数x，y都有f(xy)＝yf(x)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f()>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a为常数)．
1．函数y＝f(x)与函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝f(－x)的图像关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图像关于原点对称．
2．函数图像的平移变换是一种基本的图像变换 ( http: / / www.21cnjy.com )．一般地，函数y＝f(x－a)的图像可由函数y＝f(x)的图像向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位得到．21教育网
§3 指数函数(一)
知识梳理
1．函数y＝ax(a>0，且a≠1) R 2.(0,1) 0 1 y>1
01 增函数 减函数
作业设计
1．B [A中－4<0，不满足指数函数底数的 ( http: / / www.21cnjy.com )要求，C中因有负号，也不是指数函数，D中的函数可化为y＝a2·ax，ax的系数不是1，故也不是指数函数．]
2．C [由题意得
解得a＝2.]
3．B [该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图像，
然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图像．]
4．C [当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝3－x，
即－f(x)＝()x，∴f(x)＝－()x.
因此有f(2)＝－()2＝－.]
5．B [作直线x＝1与四个指数函数图像交点的坐标分别为(1，a)、(1，b)、(1，c)、(1，d)，由图像可知纵坐标的大小关系．]21cnjy.com
6．D [函数y＝()x的图像上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y＝()x－2的图像，所以观察y＝()x－2的图像知选D.]www.21-cn-jy.com
7.
解析 由题意a2＝4，∴a＝2.f(－3)＝2－3＝.
8．a>1，b≥2
解析 函数y＝ax－(b－1)的图像可以看作 ( http: / / www.21cnjy.com )由函数y＝ax的图像沿y轴平移|b－1|个单位得到．若01时，由于y＝ax的图像必过定点(0,1)，当y＝ax的图像沿y轴向下平移1个单位后，得到的图像不经过第二象限．由b－1≥1，得b≥2.因此，a，b必满足条件a>1，b≥2.
9．[0,8)
解析 y＝8－23－x＝8－23·2－x＝8－8·()x
＝8[1－()x]．
∵x≥0，∴0<()x≤1，∴－1≤－()x<0，
从而有0≤1－()x<1，
因此0≤y<8.
10．解 (1)考察函数y＝0.2x.
因为0<0.2<1，
所以函数y＝0.2x在实数集R上是单调减函数．
又因为－1.5>－1.7，
所以0.2－1.5<0.2－1.7.
(2)考察函数y＝()x.因为0<<1，
所以函数y＝()x在实数集R上是单调减函数．
又因为<，所以>.
(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，
即1<30.2，所以2－1.5<30.2.
11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m3)．21世纪教育网版权所有
(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m3)．
(3)如果n＝－2，这时的n表示6年前，V表示6年前垃圾的体积．
(4)n与V的函数关系式是V＝50 000×2n，图像如图所示．
(5)因为对任意的整数n,2n>0，所以V＝50 000×2n>0，因此曲线不可能与横轴相交．
12．A [由题意f(x)＝1 2x＝]
13．解 (1)令x＝1，y＝2，可知f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)设0且s>t，又f()>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f[()s]－f[()t]
＝sf()－tf()＝(s－t)f()>0，
∴f(x1)>f(x2)．
故f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
又∵f(ax)>0，x>0，f(1)＝0，
∴0当a＝0时，x∈ ，
当a>0时，0当a<0时，综上：a≤0时，x∈ ；
a>0时，不等式解集为{x|021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第三章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知函数f(x)＝lg(4－x)的定义域为M，函数g(x)＝的值域为N，则M∩N等于( )
A．M B．N
C．[0,4) D．[0，＋∞)
2．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( )
A．[2,8] B．[0,8]
C．[1,8] D．[－1,8]
3．已知f(3x)＝log2，则f(1)的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D.
4．等于( )
A．7 B．10 C．6 D.
5．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．比较、23.1、的大小关系是( )
A．23.1<< B．<23.1<
C．<<23.1 D．<<23.1
7．式子的值为( )
A. B.
C．2 D．3
8．已知ab>0，下面四个等式中：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；
②lg＝lg a－lg b；
③lg()2＝lg ；
④lg(ab)＝.
其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
9．为了得到函数y＝lg的图像，只需把函数y＝lg x的图像上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
10．函数y＝2x与y＝x2的图像的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
11．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}等于( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
12．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝，则f(2＋log23)的值为______．
14．函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
15．函数y＝(x2－3x＋2)的单调递增区间为______________．
16．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式；
(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．
18．(12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
19．(12分)已知x>1且x≠，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，
(1)若t＝log2x，求t的取值范围；
(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．
21．(12分)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
第三章 章末检测(B)
1．C [由题意，得M＝{x|x<4}，N＝{y|y≥0}，
∴M∩N＝{x|0≤x<4}．]
2．B [当x＝0时，ymin＝30－1＝0，
当x＝2时，ymax＝32－1＝8，
故值域为[0,8]．]
3．D [由f(3x)＝log2，
得f(x)＝log2，f(1)＝log2＝.]
4．B [＝2·＝2×5＝10.]
5．B [由100a＝5，得2a＝lg 5，
由10b＝2，得b＝lg 2，∴2a＋b＝lg 5＋lg 2＝1.]
6．D [∵＝1.5－3.1＝()3.1，
＝2－3.1＝()3.1，
又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，
<<2，
∴()3.1<()3.1<23.1，故选D.]
7．A [∵log89＝＝log23，
∴原式＝.]
8．B [∵ab>0，∴a、b同号．
当a、b同小于0时①②不成立；
当ab＝1时④不成立，故只有③对．]
9．C [y＝lg＝lg(x＋3)－1，
即y＋1＝lg(x＋3)．故选C.]
10．D [分别作出y＝2x与y＝x2的图像．
知有一个x<0的交点，另外，x＝2，x＝4时也相交，故选D.]
11．B [∵f(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2x－4(x≥0)，∴令f(x)>0，得x>2.又f(x)为偶函数且f(x－2)>0，∴f(|x－2|)>0，∴|x－2|>2，解得x>4或x<0.]21世纪教育网版权所有
12．A [由f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，可知a>1，而f(－4)＝a|－4＋1|＝a3，
f(1)＝a|1＋1|＝a2，
∵a3>a2，∴f(－4)>f(1)．]
13.
解析 ∵log23∈(1,2)，∴3<2＋log23<4，
则f(2＋log23)＝f(3＋log23)
＝＝()3·＝×＝.
14．－3
解析 ∵>0，∴－3∴f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
15．(－∞，1)
解析 函数的定义域为{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x>2或x<1}，
令u＝x2－3x＋2，则y＝u是减函数，
所以u＝x2－3x＋2的减区间为函数y＝(x2－3x＋2)的增区间，由于二次函数u＝x2－3x＋2图像的对称轴为x＝，21教育网
所以(－∞，1)为函数y的递增区间．
16.
解析 y＝－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.
令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，
于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4.
当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝×(1－3)2＋＝.
17．解 (1)指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
则f(x)的反函数g(x)＝logax(a>0且a≠1)．
(2)∵g(x)≤loga(2－3x)，∴logax≤loga(2－3x)
若a>1，则，解得0若0综上所述，a>1时，不等式解集为(0，]；
018．解 (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，x∈[－3,0]，则t∈[，1]，21cnjy.com
故y＝2t2－t－1＝2(t－)2－，t∈[，1]，
故值域为[－，0]．
(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，等价于方程2ax2－x－1＝0在(0，＋∞)上有解．
记g(x)＝2ax2－x－1，当a＝0时，解为x＝－1<0，不成立；
当a<0时，开口向下，对称轴x＝<0，
过点(0，－1)，不成立；
当a>0时，开口向上，对称轴x＝>0，
过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求．
故a的取值范围为(0，＋∞)．
19．解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx＝logxx，当1当x>时，x>1，∴logxx>0.
即当1当x>时，f(x)>g(x)．
20．解 (1)∵t＝log2x，≤x≤4，
∴log2≤t≤log24，
即－2≤t≤2.
(2)f(x)＝(log24＋log2x)(log22＋log2x)
＝(log2x)2＋3log2x＋2，
∴令t＝log2x，
则y＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－，
∴当t＝－即log2x＝－，x＝时，
f(x)min＝－.
当t＝2即x＝4时，f(x)max＝12.
21．解 (1)由对数函数的定义知>0，
故f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)(ⅰ)对a>1，loga>0等价于>1，①
而从(1)知1－x>0，故①等价于1＋x>1－x又等价于x>0.
故对a>1，当x∈(0,1)时有f(x)>0.
(ⅱ)对00等价于0<<1，②
而从(1)知1－x>0，故②等价于－1故对00.
综上，a>1时，x的取值范围为(0,1)；
022．解 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0 b＝1.∴f(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
设x1因为函数y＝2x在R上是增函数且x1∴－>0.
又(＋1)( ＋1)>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)因为f(x)是奇函数，
从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0.
等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2.
即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，
从而判别式Δ＝4＋12k<0 k<－.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§4 对数(二)
课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：
(1)loga(MN)＝________________；
(2)loga＝________；
(3)logaMn＝__________(n∈R)．
2．对数换底公式
logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)；
特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
一、选择题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )
A．logax·logay＝loga(x＋y)
B．(logax)n＝nlogax
C.＝loga
D.＝logax－logay
2．计算：log916·log881的值为( )
A．18 B. C. D.
3．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9 B.
C．25 D.
4．已知3a＝5b＝A，若＋＝2，则A等于( )
A．15 B.
C．± D．225
5．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3等于( )
A. B.
C. D.
6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于( )
A．2 B.
C．4 D.
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．2log510＋log50.25＋(－)÷＝______________.
8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏 ( http: / / www.21cnjy.com )8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lg E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．21世纪教育网版权所有
三、解答题
10．(1)计算：lg－lg＋lg 12.5－log89·log34；
(2)已知3a＝4b＝36，求＋的值．
11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
能力提升
12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：
组号 一 二 三 四 五 六 七
x 0.301 03 0.477 11 0.698 97 0.778 15 0.903 09 1.000 00 1.079 18
10x 2 3 5 6 8 10 12
假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．( )
A．二 B．四
C．五 D．七
13．一种放射性物质不断变化为其他 ( http: / / www.21cnjy.com )物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)21教育网
1．在运算过程中避免出现以下错误：
loga(MN)＝logaM·logaN.
loga＝.
logaNn＝(logaN)n.
logaM±logaN＝loga(M±N)．
2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：
logab＝(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)．
由对数换底公式又可得到两个重要结论：
(1)logab·logba＝1；
(2)＝logab.
3．对于同底的对数的化简常用方法：(1 ( http: / / www.21cnjy.com ))“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．21cnjy.com
§4 对数(二)
知识梳理
1．(1)logaM＋logaN (2)logaM－logaN (3)nlogaM 2.1
作业设计
1．C
2．C [log916·log881＝·＝·＝.]
3．D [由换底公式，得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.]
4．B [∵3a＝5b＝A>0，
∴a＝log3A，b＝log5A.
由＋＝logA3＋logA5＝logA15＝2，
得A2＝15，A＝.]
5．C [∵log89＝a，∴＝a.
∴log23＝a.
lg 3＝＝＝.]
6．A [由根与系数的关系可知lg a＋lg b＝2，
lg alg b＝.
于是(lg)2＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－4×＝2.]
7.－3
解析 原式＝2(log510＋log50.5)＋(－)
＝2log5(10×0.5)＋
＝2＋－5＝－3.
8．1
解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
9．1 000
解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，
则8－6＝(lg E2－lg E1)，即lg＝3.
∴＝103＝1 000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹．
10．解 (1)方法一 lg－lg＋lg 12.5－log89·log34
＝lg(××12.5)－·＝1－＝－.
方法二 lg－lg＋lg 12.5－log89·log34
＝lg－lg＋lg－·
＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－·
＝(lg 2＋lg 5)－＝1－＝－.
(2)方法一 由3a＝4b＝36得：a＝log336，b＝log436，
所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
方法二 因为3a＝4b＝36，所以＝3,＝4，
所以()2·＝32×4，
即＝36，故＋＝1.
11．解 原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·(＋)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
12．A [由指数式与对数式的互化可知，
10x＝N x＝lg N，
将已知表格转化为下表：
组号 一 二 三 四 五 六 七
N 2 3 5 6 8 10 12
lg N 0.301 03 0.477 11 0.698 97 0.778 15 0.903 09 1.000 00 1.079 18
∵lg 2＋lg 5＝0.301 03＋0.698 97＝1，
∴第一组、第三组对应值正确．
又显然第六组正确，
∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09，
∴第五组对应值正确．
∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18，
∴第四组、第七组对应值正确．
∴只有第二组错误．]
13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.
依题意，得＝0.75x，即x＝
＝＝
＝≈4.
∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§3 指数函数(二)
课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a对函数图像的影响．21cnjy.com
1．下列一定是指数函数的是( )
A．y＝－3x B．y＝xx(x>0，且x≠1)
C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－)x
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图，则( )
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．01 D．03．函数y＝πx的值域是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．R D．(－∞，0)
4．若()2a＋1<()3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，)
5．设<()b<()a<1，则( )
A．aaC．ab6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为( )
A．a<2 B．a>2
C．－1一、选择题
1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )
A．QP B．QP
C．P∩Q＝{2,4} D．P∩Q＝{(2,4)}
2．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)
3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )21·cn·jy·com
A．6 B．1
C．3 D.
4．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
5．函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝ex＋2的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝－ex－2 B．f(x)＝－e－x＋2
C．f(x)＝－e－x－2 D．f(x)＝e－x＋2www.21-cn-jy.com
6．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是( )
A．cC．a题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁 ( http: / / www.21cnjy.com )叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．21教育网
8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函 ( http: / / www.21cnjy.com )数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________________．2·1·c·n·j·y
9．函数y＝的单调递增区间是________．
三、解答题
10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性；
(2)求函数y＝的单调区间．
11．函数f(x)＝4x－2x＋1＋3的定义域为[－，]．
(1)设t＝2x，求t的取值范围；
(2)求函数f(x)的值域．
能力提升
12．函数y＝2x－x2的图像大致是( )
13．已知函数f(x)＝.
(1)求f[f(0)＋4]的值；
(2)求证：f(x)在R上是增函数；
(3)解不等式：01．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.【来源：21·世纪·教育·网】
2．了解由y＝f(u)及u＝φ(x)的单调性探求y＝f[φ(x)]的单调性的一般方法．
§3 指数函数(二)
双基演练
1．C 2.C 3.A
4．B [∵函数y＝()x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a>.]
5．C [由已知条件得0∴ab6．C
作业设计
1．B [因为P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y>0}，所以QP.]
2．C [∵4x>0，∴0≤16－4x<16，
∴∈[0,4)．]
3．C [函数y＝ax在[0,1] ( http: / / www.21cnjy.com )上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.]21·世纪*教育网
4．B [∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，
g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．]
5．C [∵y＝f(x)的图像与g(x)＝ex＋2的图像关于原点对称，
∴f(x)＝－g(－x)＝－(e－x＋2)＝－e－x－2.]
6．A [∵y＝()x是减函数，－>－，
∴b>a>1.又0∴c7．19
解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1 ( http: / / www.21cnjy.com )，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
8．(－∞，－1)
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
当x>0时，由1－2－x<－，()x>，得x∈ ；
当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.
综上可知x∈(－∞，－1)．
9．[1，＋∞)
解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．
令u＝－x2＋2x，则y＝()u在u∈R上为减函数，
问题转化为求u＝－x2＋2x的单调递减区间，即为x∈[1，＋∞)．
10．解 (1)设x1又由y＝2u的增减性得<，即f(x1)所以f(x)为R上的增函数．
(2)令u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
则u在区间[1，＋∞)上为增函数．
根据(1)可知y＝在[1，＋∞)上为增函数．
同理可得函数y在(－∞，1]上为单调减函数．
即函数y的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
11．解 (1)∵t＝2x在x∈[－，]上单调递增，∴t∈[，]．
(2)函数可化为：f(x)＝g(t)＝t2－2t＋3，
g(t)在[，1]上递减，在[1，]上递增，
比较得g()∴f(x)min＝g(1)＝2，f(x)max＝g()＝5－2.
∴函数的值域为[2,5－2]．
12．A [当x→－∞时，2x→0，
所以y＝2x－x2→－∞，
所以排除C、D.
当x＝3时，y＝－1，所以排除B.故选A.]
13．(1)解 ∵f(0)＝＝0，
∴f[f(0)＋4]＝f(0＋4)＝f(4)＝＝.
(2)证明 设x1，x2∈R且x1则>>0,－>0，
∴f(x2)－f(x1)＝
＝>0，
即f(x1)(3)解 由0又f(x)在R上是增函数，∴0即221世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§5 对数函数(一)
课时目标 1.掌握对数函数的概念、图像和性质.2.能够根据指数函数的图像和性质得出对数函数的图像和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
1．对数函数的定义：一般地，我们把___ ( http: / / www.21cnjy.com )___________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数. 21cnjy.com
2．对数函数的图像与性质
定义 y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图像
定义域 ______
值域 ______
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图像过点______，即loga1＝0
函数值特点 x∈(0,1)时，y∈______；x∈[1，＋∞)时，y∈______. x∈(0,1)时，y∈______；x∈[1，＋∞)时，y∈______.
对称性 函数y＝logax与y＝x的图像关于______对称
3.反函数
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．
一、选择题
1．函数y＝的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．设集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N是( )
A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)
3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数f(x)＝|log3x|的图像是( )
5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是( )www.21-cn-jy.com
A．g(x)＝4x B．g(x)＝2x
C．g(x)＝9x D．g(x)＝3x
6．若loga<1，则a的取值范围是( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(，1) D．(0，)∪(1，＋∞)
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．
9．给出函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，则f(log23)＝________.
三、解答题
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．
11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
能力提升
12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x的图像，则a1，a2，a3，a4的大小关系是( )2·1·c·n·j·y
A．a4B．a3C．a2D．a313．若不等式x2－logmx<0在(0，)内恒成立，求实数m的取值范围．
1．函数y＝logmx与y＝lognx中m、n的大小与图像的位置关系．
当02．由于指数函数y＝ax(a>0， ( http: / / www.21cnjy.com )且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图像过(0,1)点，故对数函数图像必过(1,0)点．21·cn·jy·com
§5 对数函数(一)
知识梳理
1．函数y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞) y＝lg x ln x
2．(0，＋∞) R (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴 3.y＝ax (a>0且a≠1)【来源：21·世纪·教育·网】
作业设计
1．D [由题意得：解得x≥4.]
2．C [M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．]
3．B [α＋1＝2，故α＝1.]
4．A [y＝|log3x|的图像 ( http: / / www.21cnjy.com )是保留y＝log3x的图像位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点)，而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的．]
5．D [由题意得：loga9＝2，即a2＝9，又∵a>0，∴a＝3.
因此f(x)＝log3x，所以f(x)的反函数为g(x)＝3x.]
6．D [由loga<1得：loga当a>1时，有a>，即a>1；
当0综上可知，a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)．]
7．(1,2)
解析 由题意，得或解得18．(4，－1)
解析 y＝logax的图像恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；
令y＋1＝0，则y＝－1.
9.
解析 ∵1∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)
＝f(log23＋3)＝f(log224)＝＝＝
＝.
10．解 (1)由x－2>0，得x>2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.21世纪教育网版权所有
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，
即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[，＋∞)．
11．解 (1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当012．B [作x轴的平行线y ( http: / / www.21cnjy.com )＝1，直线y＝1与曲线C1，C2，C3，C4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a1，a2，a3，a4.由图可知a313.
解 由x2－logmx<0，得x2要使x2于是0∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝.
∴≤，即≤m.又0∴≤m<1，
即实数m的取值范围是[，1)．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第三章 章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若a<，则化简的结果是( )
A. B．－
C. D．－
2．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是( )
A．[0，) B．[0，]
C．[1，) D．[1，]
3．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)
4．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是( )
A．7 B．7
C．±7 D．98
5．若a>1，则函数y＝ax与y＝(1－a)x2的图像可能是下列四个选项中的( )
6．下列函数中值域是(1，＋∞)的是( )
A．y＝()|x－1|
B．y＝
C．y＝()x＋3()x＋1
D．y＝log3(x2－2x＋4)
7．若0A．增函数且f(x)>0
B．增函数且f(x)<0
C．减函数且f(x)>0
D．减函数且f(x)<0
8．已知函数f(x)＝，则f(f())等于( )
A．4 B.
C．－4 D．－
9．如图为函数y＝m＋lognx的图像，其中m，n为常数，则下列结论正确的是( )
A．m<0，n>1
B．m>0，n>1
C．m>0,0D．m<0,010．下列式子中成立的是( )
A．log0.441.013.521世纪教育网版权所有
C．3.50.3<3.40.3 D．log7611．方程log2x＋log2(x－1)＝1的解集为M，方程22x＋1－9·2x＋4＝0的解集为N，那么M与N的关系是( )21·cn·jy·com
A．M＝N B．MN
C．MN D．M∩N＝
12．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为( )www.21-cn-jy.com
A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)>f(a＋1)
C．f(b－2)题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.＝______________.
14．函数f(x)＝ax－1＋3的图像一定过定点P，则P点的坐标是________．
15．设loga<1，则实数a的取值范围是________________．
16．如果函数y＝logax在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)计算：(－3)0－＋(－2)－2－；
(2)已知a＝，b＝，求[·]2的值．
18．(12分)(1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)计算：log49－log212＋.
19．(12分)设函数f(x)＝2x＋－1(a为实数)．
(1)当a＝0时，若函数y＝g(x)为奇函数，且在x>0时g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)的解析式；21教育网
(2)当a<0时，求关于x的方程f(x)＝0在实数集R上的解．
20．(12分)已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
21．(12分)已知－3≤x≤－，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值．
22．(12分)已知常数a、b满足a>1>b>0，若f(x)＝lg(ax－bx)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)证明y＝f(x)在定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg 2，求a、b的值．
第三章 章末检测(A)
1．C [∵a<，∴2a－1<0.
于是，原式＝＝.]
2．C [由函数的解析式得：即
所以1≤x<.]
3．C [∵x≥1，∴x2＋3≥4，∴log2(x2＋3)≥2，则有y≥4.]
4．B [由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，
则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，
A2＝98.又A>0，故A＝＝7.]
5．C [∵a>1，∴y＝ax在R上是增函数，
又1－a<0，所以y＝(1－a)x2的图像为开口向下的抛物线．]
6．C [A选项中，∵|x－1|≥0，∴0B选项中，y＝＝，∴y>0；
C选项中y＝[()x]2＋3()x＋1，∵()x>0，∴y>1；
D选项中y＝log3[(x－1)2＋3]≥1.]
7．C [当－10，排除B、D.设u＝x＋1，则u在(－1,0)上是增函数，且y＝logau在(0，＋∞)上是减函数，故f(x)在(－1,0)上是减函数．]2·1·c·n·j·y
8．B [根据分段函数可得f()＝log3＝－2，
则f(f())＝f(－2)＝2－2＝.]
9．D [当x＝1时，y＝m，由图形易知m<0，又函数是减函数，
所以010．D [A选项中由于y＝log0.4x在(0，＋∞)上单调递减，
所以log0.44>log0.46；
B选项中函数y＝1.01x在R上是增函数，
所以1.013.4<1.013.5；
C选项中由于函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
所以3.50.3>3.40.3；
D选项中log76<1，log67>1.]
11．B [由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，
解得x＝－1(舍)或x＝2，故M＝{2}；
由22x＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x)2－9·2x＋4＝0，
解得2x＝4或2x＝，
即x＝2或x＝－1，故N＝{2，－1}，因此有MN.]
12．C [∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝loga|x|.
当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；
当0∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．
综上可知f(b－2)13.
解析 原式＝＝×＝＝.
14．(1,4)
解析 由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图像可看作由y＝ax的图像向右平移1 个单位，再向上平移3个单位得到的，【来源：21·世纪·教育·网】
则P点坐标为(1,4)．
15．(0，)∪(1，＋∞)
解析 当a>1时，loga<0<1，满足条件；
当0故a>1或016．(1,2)
解析 当x∈[2，＋∞)时，y>1>0，所以a>1，所以函数y＝logax在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为loga2，21·世纪*教育网
所以loga2>1＝logaa，所以117．解 (1)原式＝1－0＋－＝1＋－2－1
＝1＋－＝.
(2)因为a＝，b＝，所以
原式＝()2＝b4
＝＝＝20＝1.
18．解 (1)∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22·3＝12.
(2)原式＝log23－(log23＋log24)＋
＝log23－log23－2＋＝－.
19．解 (1)当a＝0时，f(x)＝2x－1，
由已知g(－x)＝－g(x)，
则当x<0时，g(x)＝－g(－x)＝－f(－x)＝－(2－x－1)
＝－()x＋1，
由于g(x)为奇函数，故知x＝0时，g(x)＝0，
∴g(x)＝.
(2)f(x)＝0，即2x＋－1＝0，整理，
得：(2x)2－2x＋a＝0，
所以2x＝，
又a<0，所以>1，所以2x＝，
从而x＝log2.
20．解 (1)要使此函数有意义，则有或，
解得x>1或x<－1，此函数的定义域为
(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga(1＋)，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；
当021．解 ∵f(x)＝log2·log2
＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2
＝(log2x－)2－，
∵－3≤x≤－.
∴≤log2x≤3.
∴当log2x＝，即x＝2时，f(x)有最小值－；
当log2x＝3，即x＝8时，f(x)有最大值2.
22．(1)解 ∵ax－bx>0，∴ax>bx，∴()x>1.
∵a>1>b>0，∴>1.
∴y＝()x在R上递增．
∵()x>()0，∴x>0.
∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)证明 设x1>x2>0，∵a>1>b>0，
∴>>1,0<<<1.
∴－>－>－1.∴－>－>0.
又∵y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，
∴lg(－)>lg(－)，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在定义域内是增函数．
(3)解 由(2)得，f(x)在定义域内为增函数，
又恰在(1，＋∞)内取正值，
∴f(1)＝0.又f(2)＝lg 2，
∴∴解得
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§5 对数函数(二)
课时目标 1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用．
1．函数y＝logax的图像如图所示，则实数a的可能取值是( )
A．5 B.
C. D.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝和y＝()2
B．|y|＝|x|和y3＝x3
C．y＝logax2和y＝2logax
D．y＝x和y＝logaax
3．若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f(x)的定义域是( )
A．[，1] B．[4,16]
C．[，] D．[2,4]
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
5．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像经过(－1,0)和(0,1)两点，则f(2)＝________.
6．函数y＝loga(x－2)＋ ( http: / / www.21cnjy.com )1(a>0且a≠1)恒过定点______________________________ __________________________________________．21世纪教育网版权所有
一、选择题
1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．aC．a2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为( )
A．[－1,1] B．[，2]
C．[1,2] D．[，4]
3．函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有( )
A．f(2)>f(－2) B．f(1)>f(2)
C．f(－3)>f(－2) D．f(－3)>f(－4)
4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )
A. B. C．2 D．4
5．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A．b B．－b
C. D．－
6．函数y＝3x(－1≤x<0)的反函数是( )
A．y＝x(x>0)
B．y＝log3x(x>0)
C．y＝log3x(≤x<1)
D．y＝x(≤x<1)
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满足的条件是________．
8．函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是________．
9．若loga2<2，则实数a的取值范围是______________．
三、解答题
10．已知f(x)＝loga(3－ax)在x∈[0,2]上单调递减，求a的取值范围．
11．已知函数f(x)＝的图像关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)能力提升
12．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋)有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1)∪(1，)21教育网
C．(1，) D．[，＋∞)
13．已知logm41．在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图像的影响
无论a取何值，对数函数y＝loga ( http: / / www.21cnjy.com )x(a>0，且a≠1)的图像均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图像穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图像绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增．21cnjy.com
2．比较两个(或多个)对数的大小时， ( http: / / www.21cnjy.com )一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图像，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．21·cn·jy·com
§5 对数函数(二)
双基演练
1．A
2．D [y＝logaax＝xlogaa＝x，即y＝x，两函数的定义域、值域都相同．]
3．C [由题意得：2≤x≤4，所以()2≥x≥()4，
即≤x≤.]
4．A [∵3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0.]
5．2
解析 由已知得loga(b－1)＝0且logab＝1，
∴a＝b＝2.从而f(2)＝log2(2＋2)＝2.
6．(3,1)
解析 若x－2＝1，则不论a为何值，只要a>0且a≠1，
都有y＝1.
作业设计
1．D [因为0所以b2．D [∵－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2，即≤2x≤2.
∴y＝f(x)的定义域为[，2]．
即≤log2x≤2，∴≤x≤4.]
3．C [∵loga8＝3，解得a ( http: / / www.21cnjy.com )＝2，因为函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f(－3)>f(－2)．]
4．B [函数f(x)＝ax＋loga ( http: / / www.21cnjy.com )(x＋1)，令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减．因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝.]www.21-cn-jy.com
5．B [f(－x)＝lg＝lg()－1＝－lg
＝－f(x)，
则f(x)为奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－b.]
6．C [由y＝3x(－1≤x<0)得反函数是y＝log3x(≤x<1)．]
7．b≤1
解析 由题意，x≥1时，2x－b≥1.又2x≥2，∴b≤1.
8．[，1)∪(1,2]
解析 ∵|y|>1，即y>1或y<－1，
∴logax>1或logax<－1，
变形为logax>logaa或logax当x＝2时，令|y|＝1，
则有loga2＝1或loga2＝－1，
∴a＝2或a＝.
要使x>2时，|y|>1.
如图所示，a的范围为19．(0,1)∪(，＋∞)
解析 loga2<2＝logaa ( http: / / www.21cnjy.com )2.若01，由于y＝logax是增函数，则a2>2，得a>.综上得0.
10．解 由a>0可知u＝3－ax为减函数，依题意则有a>1.
又u＝3－ax在[0,2]上应满足u>0，
故3－2a>0，即a<.
综上可得，a的取值范围是111．解 (1)∵函数f(x)的图像关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－＝，
解得a＝－1或a＝1(舍)．
(2)f(x)＋(x－1)＝＋(x－1)
＝(1＋x)，
当x>1时，(1＋x)<－1，
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)∴m≥－1.
12．C [已知函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)有最小值，令y＝x2－ax＋，由于y的值可以趋于＋∞，所以a>1，否则，如果013．解
数形结合可得021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
课时目标 1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.2.能够借助信息技术，利用函数图像及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性．
1．当a>1时，指数函数y＝ax是________，并且当a越大时，其函数值增长越____．
2．当a>1时，对数函数y＝logax(x>0)是________，并且当a越小时，其函数值________．
3．当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是________，并且当x>1时，n越大，其函数值__________．
一、选择题
1．今有一组数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.40 7.5 12 18.01
现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )
A．v＝log2t B．v＝t
C．v＝ D．v＝2t－2
2．从山顶到山下的招待所的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图像表示为( )
3．某公司为了适应市场需求对产品结 ( http: / / www.21cnjy.com )构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
4．某自行车存车处在某天的存车量为4 0 ( http: / / www.21cnjy.com )00辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为( )2-1-c-n-j-y
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有( )
A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx)21cnjy.com
C．f(bx)6．某公司在甲、乙两地销售一种品 ( http: / / www.21cnjy.com )牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝5.06x－0.15x2和l2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是( ) 21*cnjy*com
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机 ( http: / / www.21cnjy.com )时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．21世纪教育网版权所有
8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手 ( http: / / www.21cnjy.com )房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．www.21-cn-jy.com
三、解答题
9．用模型f(x)＝ax＋b ( http: / / www.21cnjy.com )来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)当b＝，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．
10．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．
11．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q＝－t＋40(0能力提升
12．某种商品进价每个8 ( http: / / www.21cnjy.com )0元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；
(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．
13．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有L 21教育网
1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图像的直观性，来确定适合题意的函数模型．21·cn·jy·com
2．常见的函数模型及增长特点
(1)直线y＝kx＋b (k>0)模型，其增长特点是直线上升；
(2)对数y＝logax (a>1)模型，其增长缓慢；
(3)指数y＝ax (a>1)模型，其增长迅速．
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
知识梳理
1．增函数 快 2.增函数 增长越快 3.增函数 增长越快
作业设计
1．C [将t的5个数值代入这四个函数，大体估算一下，
很容易发现v＝的函数比较接近表中v的5个数值．]
2．C [由题意知s与t的函数关系为s＝20－4t，t∈[0,5]，所以函数的图像是下降的一段线段，故选C.]21·世纪*教育网
3．D [由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．]
4．C [由题意得：y＝0.2x＋0.3(4 000－x)
＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．]
5．B [由f(1＋x)＝f(1－x)，知对称轴＝1，b＝2.
由f(0)＝3，知c＝3.
此时f(x)＝x2－2x＋3.
当x<0时，3x<2x<1，函数y＝f(x)在x∈(－∞，1)上是减函数，
f(bx)当x＝0时，f(bx)＝f(cx)；
当x>0时，3x>2x>1，函数y＝f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，
f(bx)综上，f(bx)≤f(cx)．]
6．B [设该公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆．
由题意可知所获利润l＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15(x－10.2)2＋45.606.
当x＝10时，lmax≈45.6(万元)．]
7．45
解析 设过n个3分钟后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216 n＝15，故时间为15×3＝45(分钟)．www-2-1-cnjy-com
8．80(1＋x)10
解析 一年后的价格为80＋80·x＝80(1＋x)．
二年后的价格为80(1＋x)＋80(1＋x)·x
＝80(1＋x)(1＋x)＝80(1＋x)2，
由此可推得10年后的价格为80(1＋x)10.
9．解 (1)b＝时，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2
＝14(a－)2＋，
∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝.
10．解 据题意，商品的价格随时间t变 ( http: / / www.21cnjy.com )化，且在不同的区间0≤t<20与20≤t≤40上，价格随时间t的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F(t)．
①当0≤t<20，t∈N时，
F(t)＝(t＋11)(－t＋)
＝－(t－)2＋(＋946)，
故当t＝10或11时，F(t)max＝176.
②当20≤t≤40时，t∈N时，
F(t)＝(－t＋41)(－t＋)＝(t－42)2－，
故当t＝20时，F(t)max＝161.
综合①、②知当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.
11．解 设日销售金额为y(元)，则y＝p·Q.
∴y＝
＝
当0当25≤t≤30，t∈N，t＝25时，ymax＝1 125(元)．
由1 125>900，知ymax＝1 125(元)，
且第25天，日销售额最大．
12．解 (1)设未赠礼品时的销售量为m，
则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n.
利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n
＝(20－n)m×1.1n (0(2)令yn＋1－yn≥0，
即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0.
解得n≤9，
所以y1令yn＋1－yn＋2≥0，
即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，
解得n≥8.
所以y9＝y10>y11>…>y19.
所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．
13．解 由题意得ae－5n＝a－a·e－5n，
即e－5n＝.①
设再过t min后桶1中的水有L，
则ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝.②
将①式平方得e－10n＝.③
比较②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.
即再过5 min后桶1中的水只有L.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网