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第四章 章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1,0) B．－1
C．1 D．0
2．设函数y＝x3与y＝()x－2的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为( )21cnjy.com
A. B.－1
C. D.
4．如图所示的函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
5．如图1，直角梯形OABC中，AB∥ ( http: / / www.21cnjy.com )OC，|AB|＝1，|OC|＝|BC|＝2，直线l∶x＝t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S＝f(t)的图像大致为图中的( )
图1
6．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( )
(下列数据仅供参考：＝1.41，＝1.73，＝1.44，
＝1.38)
A．38% B．41%
C．44% D．73%
8．某工厂生产某种产品的固定成本为 ( http: / / www.21cnjy.com )200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值和这时产品的生产数量分别为(总利润＝总收入－成本)( )
A．250 300 B．300 350
C．250 350 D．300 300
9．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a、b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
10．根据统计资料，我国能源生产自1 ( http: / / www.21cnjy.com )986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．一次函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
11．用二分法判断方程2x3＋3x－3 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875,0.6253＝0.244 14)( )www-2-1-cnjy-com
A．0.25 B．0.375
C．0.635 D．0.825
12．有浓度为90%的溶 ( http: / / www.21cnjy.com )液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( ) 21*cnjy*com
A．19 B．20
C．21 D．22
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．用二分法研究函数f(x)＝x ( http: / / www.21cnjy.com )3＋2x－1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．
14．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．
15．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为________万元．www.21-cn-jy.com
16．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1 200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．2·1·c·n·j·y
(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x的取值范围．2-1-c-n-j-y
(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．
18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后强度为y.【出处：21教育名师】
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下？(lg 3≈0.477 1)
19．(12分)某医药研 ( http: / / www.21cnjy.com )究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图像．
(1)写出服药后y关于t的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中的含药量 ( http: / / www.21cnjy.com )不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？
(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克) 【版权所有：21教育】
20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3，
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f2(x)在区间[0,9]上零点的个数．
21．(12分)截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．21教育网
(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．
22．(12分)某厂生产某种零件 ( http: / / www.21cnjy.com )，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件 ( http: / / www.21cnjy.com )时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
第四章 章末检测(A)
1．B[ 由1＋＝0，得＝－1，∴x＝－1.]
2．B [由题意x0为方程x3＝()x－2的根，
令f(x)＝x3－22－x，
∵f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
∴x0∈(1,2)．]
3．B [设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)11，
∴x＝－1.]
4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，
故不能用二分法求．]
5．C [解析式为S＝f(t)
＝
＝
∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]
6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a%x＋b%y＝c%(x＋y)，
即ax＋by＝cx＋cy，故y＝x.]
7．B [设职工原工资为p，平均增长率为x，
则p(1＋x)6＝8p，x＝－1＝－1＝41%.]
8．A [L(Q)＝4Q－ ( http: / / www.21cnjy.com )Q2－Q－200＝－(Q－300)2＋250，故总利润L(Q)的最大值是250万元，这时产品的生产数量为300.]21·cn·jy·com
9．B [∵x＝0时，无意义，
∴D不成立．
由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，
∴A不成立．
∵C是偶函数，
∴x＝±1的值应该相等，故C不成立．
对于B，当x＝0时，y＝1，
∴a＋1＝1，a＝0；
当x＝1时，y＝b＝2.02，经验证它与各数据比较接近．]
10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]21·世纪*教育网
11．C [令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)<0，
f(0.75)>0，f(0.625)<0，∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625，0.75)内，
∵0.75－0.625＝0.125<0.25，
∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]
12．C [操作次数为n时的浓度为()n＋1，由()n＋1<10%，
得n＋1>＝≈21.8，
∴n≥21.]
13．(0,0.5) 0.25
解析 根据函数零点的存在性定理．
∵f(0)<0，f(0.5)>0，
∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点，
即＝0.25.
14．(1，＋∞)
解析 函数f(x)的零点的个数 ( http: / / www.21cnjy.com )就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，如下图，由函数的图像可知a>1时两函数图像有两个交点，0
1.
15．a(1－b%)n
解析 第一年后这批设备的价值为a(1－b%)；
第二年后这批设备的价值为a(1－b%)－a(1－b%)·b%
＝a(1－b%)2；
故第n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.
16．(0,1]
解析 设x1，x2是函数f(x)的零点，则x1，x2为方程x2－2x＋b＝0的两正根，
则有，即.
解得017．解 (1)依题意得y＝5x＋10(1 200－x)
＝－5x＋12 000，0≤x≤1 200.
(2)∵1 200×65%≤x≤1 200×85%，
解得780≤x≤1 020，
而y＝－5x＋12 000在[780,1 020]上为减函数，
∴－5×1 020＋12 000≤y≤－5×780＋12 000.
即6 900≤y≤8 100，
∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]．
18．解 (1)依题意：y＝a·0.9x，x∈N＋.
(2)依题意：y≤a，
即：a·0.9x≤，0.9x≤＝，
得x≥log0.9＝≈－≈10.42.
答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下．
19．解 (1)当0≤t<1时，y＝8t；
当t≥1时，∴
∴y＝
(2)令8·()t≥2，解得t≤5.
∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药．
(3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一 ( http: / / www.21cnjy.com )次所服药的药量为y1＝8×()8＝(微克)；含第二次服药后药量为y2＝8×()3＝4(微克)，y1＋y2＝＋4≈4.7(微克)．
故第二次服药再过3小时，
该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．
20．解 (1)令f(x)＝ax＋b，由已知条件得
，解得a＝b＝1，
所以f(x)＝x＋1(x∈R)．
(2)∵g(x)＝－1＋lg f2(x)＝－1＋lg (x＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g(0)＝－1<0，
g(9)＝－1＋lg 102＝1>0，
∴函数g(x)在区间[0,9]上零点的个数为1个．
21．解 (1)2009年底人口数：13.56亿．
经过1年，2010年底人口数：
13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)．
经过2年，2011年底人口数：
13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1%
＝13.56×(1＋1%)2(亿)．
经过3年，2012年底人口数：
13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%
＝13.56×(1＋1%)3(亿)．
∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．
∴经过x年后人口数为13.56×(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.
(2)理论上指数函数定义域为R.
∵此问题以年作为时间单位．
∴此函数的定义域是{x|x∈N＋}．
(3)y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.
∵1＋1%>1,13.56>0，
∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
22．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋＝550.21世纪教育网版权所有
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
(2)当0当100当x≥550时，P＝51.
所以P＝f(x)＝(x∈N)．
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(P－40)x＝(x∈N)．
当x＝500时，L＝6 000；
当x＝1 000时，L＝11 000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，
该厂获得的利润是6 000元；
如果订购1 000个，利润是11 000元．
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第四章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)·f(4)<0，则下列命题中正确的是( )21·cn·jy·com
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
2．将进货单价为80元的商品按 ( http: / / www.21cnjy.com )90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为( )
A．每个110元 B．每个105元
C．每个100元 D．每个95元
3．今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )【来源：21·世纪·教育·网】
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
A.y＝log2t B．y＝t
C．y＝ D．y＝2t－2
4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )
A．413.7元 B．513.7元
C．548.7元 D．546.6元
5．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为( )
A．(－，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[－，1] D．(－∞，－]
6．设f(x)是区间[a，b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
7．方程x2－(2－a)x＋5－a＝0的两根都大于2，则实数a的取值范围是( )
A．a<－2 B．－5C．－54或a<－4
8．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x的关系分别是：f1(x)＝，f2(x)＝x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )2·1·c·n·j·y
A．f1(x)＝ B．f2(x)＝x
C．f3(x)＝log2(x＋1) D．f4(x)＝log8(x＋1)www-2-1-cnjy-com
9．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(e,3) D．(e，＋∞)
10．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2的两个零点分别为α，β，则( )
A．a<αC．a<α<β11．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f()的所有x之和为( )2-1-c-n-j-y
A．－ B．－
C．－8 D．8
12．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图像如图所示．现给出下面说法：【版权所有：21教育】
①前5分钟温度增加的速度越来越快；
②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后温度保持匀速增加；
④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是( )
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______________．21教育名师原创作品
14．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长与宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为________．21*cnjy*com
15．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为________．
16．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．
18．(12分)(1)已知f(x)＝＋m是奇函数，求常数m的值；
(2)画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
19．(12分)某出版公司为一本畅销书定价如下：
C(n)＝这里n表示定购书的数量，C(n)是定购n本书所付的钱数(单位：元)．
若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？21教育网
20．(12分)是否存在这样的实数a，使函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．
21．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．21·世纪*教育网
22．(12分)我国是水资 ( http: / / www.21cnjy.com )源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：www.21-cn-jy.com
①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；
②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；
③每户每月的定额损耗费a不超过5元．
(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；
(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：
月份 用水量(立方米) 水费(元)
一 4 17
二 5 23
三 2.5 11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．
第四章 章末检测(B)
1．D [由f(0)>0， ( http: / / www.21cnjy.com )f(1)f(2)f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)三者中必有一个与其余两个异号，所以必有根在(0,4)内．]【来源：21cnj*y.co*m】
2．D [设售价为x元，则利润
y＝[400－20(x－90)](x－80)＝20(110－x)(x－80)
＝－20(x2－190x＋8 800)
＝－20(x－95)2＋4 500.
∴当x＝95时，y最大为4 500元．]
3．C [当t＝4时，y＝log24＝2，y＝4＝－2，y＝＝7.5，y＝2×4－2＝6.
所以y＝适合，
当t＝1.99代入A、B、C、D4个选项，y＝的值与表中的1.5接近，故选C.]
4．D [购物超过200元，至少付款 ( http: / / www.21cnjy.com )200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．]
5．C [令f(x)＝x2＋ax－2，
则f(0)＝－2<0，
∴要使f(x)在[1,5]上与x轴有交点，则需要
，
即，
解得－≤a≤1.]
6．D [∵f(a)·f(b)<0，∴f(x)在区间[a，b]上存在零点，
又∵f(x)在[a，b]上是单调函数，∴f(x)在区间[a，b]上的零点唯一，即f(x)＝0在[a，b]上必有唯一实根．]21世纪教育网版权所有
7．C [由题意知，解得－58．B [在同一坐标系下画出四个函数的图像，由图像可知f2(x)＝x增长的最快．]
9．B [f(2)＝ln 2－＝ln 2－1<1－1＝0，
f(3)＝ln 3－>1－＝>0.
故零点所在区间为(2,3)．]
10．B [设g(x)＝(x－a)(x－ ( http: / / www.21cnjy.com )b)，则f(x)是由g(x)的图像向下平移2个单位得到的，而g(x)的两个零点为a，b，f(x)的两个零点为α，β，结合图像可得α11．C [∵x>0时f(x)单调且为偶函数，
∴|2x|＝||，即2x(x＋4)＝±(x＋1)．
∴2x2＋9x＋1＝0或2x2＋7x－1＝0.
∴共有四根．
∵x1＋x2＝－，x3＋x4＝－，
∴所有x之和为－＋(－)＝－8.]
12．B [因为温度y关于时间t的 ( http: / / www.21cnjy.com )图像是先凸后平行直线，即5分钟前每当t增加一个单位增量Δt，则y随相应的增量Δy越来越小，而5分钟后y关于t的增量保持为0.故选B.]【出处：21教育名师】
13．(1，＋∞)
解析 由f(x)＋x－a＝0，
得f(x)＝a－x，
令y＝f(x)，y＝a－x，如图，
当a>1时，y＝f(x)与y＝a－x有且只有一个交点，
∴a>1.
14．300 m3
解析 设长为x m，则宽为(20－x)m，仓库的容积为V，
则V＝x(20－x)·3＝－3x2＋60x,0由二次函数的图像知，顶点的纵坐标为V的最大值．
∴x＝10时，V最大＝300(m3)．
15．(0,1)
解析 函数f(x)＝的图像如图所示，
该函数的图像与直线y＝m有三个交点时m∈(0,1)，此时函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．
16．[－1,1]
解析 分别作出两个函数的图像，通过 ( http: / / www.21cnjy.com )图像的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件为b∈[－1,1]．21cnjy.com
17．解 令f(x)＝4x3＋x－15，
∵y＝4x3和y＝x在[1,2]上都为增函数．
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上为增函数，
∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×8＋2－15＝19>0，
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上存在一个零点，
∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内有一个实数解．
18．解 (1)∵f(x)＝＋m是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴＋m＝－－m.
∴＋m＝－m，
∴＋2m＝0.
∴－2＋2m＝0，∴m＝1.
(2)作出直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像，如图．
①当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点，即方程无解；
②当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；
③当019．解 设甲买n本书，则乙买(60－n)本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则n≤30，n∈N＋. 21*cnjy*com
①当1≤n≤11且n∈N＋时，49≤60－n≤59，
出版公司赚的钱数f(n)＝12n＋10(60－n)－5×60＝2n＋300；
②当12≤n≤24且n∈N＋时，36≤60－n≤48，
出版公司赚的钱数
f(n)＝12n＋11(60－n)－5×60＝n＋360；
③当25≤n≤30且n∈N＋时，30≤60－n≤35，
出版公司赚的钱数f(n)＝11×60－5×60＝360.
∴f(n)＝
∴当1≤n≤11时，302≤f(n)≤322；
当12≤n≤24时，372≤f(n)≤384；
当25≤n≤30时，f(n)＝360.
故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元．
20．解 若实数a满足条件，
则只需f(－1)f(3)≤0即可．
f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)
＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
所以a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1，
所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，
得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时a＝－，
此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，
解得，x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有两根，
不合题意，故a≠－.
综上所述，a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)．
21．解 当a＝0时，函数为f(x)＝2x－3，其零点x＝不在区间[－1,1]上．
当a≠0时，函数f(x)在区间[－1,1]分为两种情况：
①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：
或，
解得1≤a≤5或a＝.
②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时
，即.
解得a≥5或a<.
综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a的取值范围为(－∞，]∪[1，＋∞)．
22．解 (1)依题意，得y＝
其中0(2)∵0由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．
将和分别代入②，
得
③－④，得n＝6.
代入17＝9＋n(4－m)＋a，
得a＝6m－16.
又三月份用水量为2.5立方米，
若m<2.5，将代入②，得a＝6m－13，
这与a＝6m－16矛盾．
∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．
将代入①，得11＝9＋a，
由解得
∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m＝3，n＝6，a＝2.
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第四章 函数应用
§1 函数与方程
1.1 利用函数性质判定方程解的存在
课时目标 1.能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.理解函数的零点与方程根的关系.3.掌握函数零点的存在性的判定方法．
1．我们把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的__________称为这个函数的零点．
2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．www-2-1-cnjy-com
3．方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图像与x轴有________
函数y＝f(x)有________．
4．函数零点的存在性的判定方法
如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上 ( http: / / www.21cnjy.com )的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2-1-c-n-j-y
一、选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无法确定
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，－ B．0，
C．0,2 D．2，－
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
5．函数零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则实数b的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2，＋∞)
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数， ( http: / / www.21cnjy.com )－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有____个零点，这几个零点的和等于______．21世纪教育网版权所有
8．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．
9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x ( http: / / www.21cnjy.com )－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为____________________________________________________________．
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
三、解答题
10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．21教育网
能力提升
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的 解的个数是( )21cnjy.com
A．1 B．2
C．3 D．4
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．21·cn·jy·com
1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知 ( http: / / www.21cnjy.com )，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
(3)函数F(x)＝f(x)－g(x) ( http: / / www.21cnjy.com )的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像交点的横坐标．www.21-cn-jy.com
2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
3．对于任意的一个函数，即使它的图 ( http: / / www.21cnjy.com )像是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．
第四章 函数应用
§1 函数与方程
1．1 利用函数性质判定方程解的存在
知识梳理
1．横坐标 3.交点 零点 4.<
作业设计
1．C [方程ax2＋bx＋c＝0中，
∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．]
2．C [对于选项A，可能存在根；
对于选项B，必存在但不一定唯一；
选项D显然不成立．]
3．A [∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]
4．C [∵f(x)＝ex＋x－2，
f(0)＝e0－2＝－1<0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，
∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]
5．C [x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，
∵f(1)f(e3)<0
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
总之，f(x)在R上有2个零点．]
6．A [设f(x)＝ax3＋bx ( http: / / www.21cnjy.com )2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2) b＝－3a，又由x∈(0,1)时，f(x)>0，可得a>0，∴b<0.]
7．3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0) ( http: / / www.21cnjy.com )上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，2·1·c·n·j·y
其和为－2＋0＋2＝0.
8．2
解析 该函数零点的个数就是函数y＝ln x与y＝x－2图像的交点个数．在同一坐标系中作出y＝ln x与y＝x－2的图像如下图：【来源：21·世纪·教育·网】
由图像可知，两个函数图像有2个交点，
即函数f(x)＝ln x－x＋2有2个零点．
9．1
解析 设f(x)＝e2－( ( http: / / www.21cnjy.com )x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.21·世纪*教育网
10．证明 设f(x)＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．
因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或，
即或，解得－12．C [由已知得
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．]
13．解 设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴，即，
∴21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.2 利用二分法求方程的近似解
课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．www-2-1-cnjy-com
1．二分法的概念
每次取区间的中点，将区间__ ( http: / / www.21cnjy.com )________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求_________________ _______________________________________________________．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)
(1)确定区间[a，b]，使____________．
(2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.
(3)计算f(x1)．
①若f(x1)＝0，则________________；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
(4)继续实施上述步骤，直到区间[an ( http: / / www.21cnjy.com )，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．
一、选择题
1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
2．下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
3．对于函数f(x)在定义域内用二分法 ( http: / / www.21cnjy.com )的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是( )21·世纪*教育网
A．函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点
B．函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点
C．函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个
D．函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法 ( http: / / www.21cnjy.com )求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)【出处：21教育名师】
C．(1.5,2) D．不能确定
5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …
y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 …
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
6．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>021世纪教育网版权所有
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>021·cn·jy·com
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．若函数f(x)的图像是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)2-1-c-n-j-y
①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；
⑥[5,6]；⑦[6，＋∞)．
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.123 15.542 －3.930 10.678 －50.667 －305.678
8.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．【来源：21·世纪·教育·网】
9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1] ( http: / / www.21cnjy.com )上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．
三、解答题
10．确定函数f(x)＝x＋x－4的零点所在的区间．
11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)
能力提升
12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为( )
A．0 B．1 C．3 D．4
13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？21cnjy.com
1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为.
3．求函数零点的近似值时，所要求的精 ( http: / / www.21cnjy.com )确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．www.21-cn-jy.com
1．2 利用二分法求方程的近似解
知识梳理
1．一分为二 方程的近似解 2.(1)f(a)·f(b)<0 (2)
(3)①x1就是函数的零点
作业设计
1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
2．A [由选项A中的图像可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即A选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]2·1·c·n·j·y
3．D
4．B [∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25，
且f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]
5．C [设f(x)＝2x－x2，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0. 21*cnjy*com
因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]
6．B [∵f(x)＝2x－，f(x)由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，－在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x1又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.]
7．③④⑤
8．[2,2.5)
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．
9．0.75或0.687 5
解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
10．解 (答案不唯一)
设y1＝x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图像，如图．
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
11．证明 设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
∴x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，
f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，
f(1.187 5)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，
∴1.187 5可作为这个方程的实数解．
12．A [∵①中x0∈[a，b] ( http: / / www.21cnjy.com )且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]
13．解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；21教育网
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
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习题课
课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．
1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则( )
A．f(0)>0，f(2)<0
B．f(0)·f(2)<0
C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0
D．以上说法都不正确
2．函数f(x)＝x2＋2x＋b的图像与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y＝f(x)的零点个数是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．0 B．1
C．2 D．1或2
3．设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，－log32) B．(0，log32)
C．(log32,1) D．(1，log34) 21*cnjy*com
4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解的个数是________．
5．函数y＝()x与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标是________．(精确到0.1)
6．方程4x2－6x－1＝0位于区间(－1,2)内的解有____________个．
一、选择题
1．已知某函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是( )
A．(0,0.5)
B．(0.5,1)
C．(1,1.5)
D．(1.5,2)
2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[2,3] D．[3,4]
3．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(0,1) B．(1,1.25)
C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)
4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b ( http: / / www.21cnjy.com ))＋2(aA．a<α<βC．α题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.www.21-cn-jy.com
7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．
8．若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p的取值范围为______________．21·世纪*教育网
9．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程f(x)＝0至少有一正根，则a的取值范围为________．21*cnjy*com
三、解答题
10．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)．
11．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，
(1)有两个负根；
(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；
(3)有两个实根，且都比1大．
能力提升
12．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图像；
(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；
(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？
13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
1．函数与方程存在着内在的联系， ( http: / / www.21cnjy.com )如函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)＝0的解；两个函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像交点的横坐标就是方程f(x)＝g(x)的解等．根据这些联系，一方面，可通过构造函数来研究方程的解的情况；另一方面，也可通过构造方程来研究函数的相关问题．利用函数与21cnjy.com
方程的相互转化去解决问题，这是一种重要的数学思想方法．
2．对于二次方程f(x)＝ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋bx＋c＝0根的问题，从函数角度解决有时比较简洁．一般地，这类问题可从四个方面考虑：①开口方向；②判别式；③对称轴x＝－与区间端点的关系；④区间端点函数值的正负．21·cn·jy·com
习题课
双基演练
1．D [函数y＝f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)<0，故A、B、C都是错误的，正确的为D.]2·1·c·n·j·y
2．D [当f(x)的图像和x ( http: / / www.21cnjy.com )轴相切与y轴相交时，函数f(x)的零点数为1，当f(x)的图像与y轴交于原点与x轴的另一交点在x轴负半轴上时，函数f(x)有2个零点．]
3．C [f(x)＝log3(1＋)－a在(1,2)上是减函数，由题设有f(1)>0，f(2)<0，解得a∈(log32,1)．]www-2-1-cnjy-com
4．2
解析 作出函数y＝2x及y＝x＋2的图像，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．
5．1.9(答案不唯一)
解析 令f(x)＝()x－lg x，则f(1)＝>0，f(3)＝－lg 3<0，∴f(x)＝0在(1,3)内有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.【来源：21cnj*y.co*m】
6．2
解析 设f(x)＝4x2－6x－1，由f(－1)>0，f(2)>0，且f(0)<0，知方程4x2－6x－1＝0在
(－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解．
作业设计
1．B
2．B [因为f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，
所以存在一个零点x∈[1,2]．]
3．D [构造函数f(x)＝lg x＋x－2，由f(1.75)＝f()＝lg－<0，f(2)＝lg 2>0，
知x0属于区间(1.75,2)．]
4．A [由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]【出处：21教育名师】
5．A [函数g(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是a，b.
由于y＝f(x)的图像可看作是由y＝g(x)的图像向上平移2个单位而得到的，所以a<α<β6．7
解析 区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为
＝<＝0.01.
7．0
解析 不妨设它的两个正零点分别为x1，x2.
由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x1，－x2，
于是x1＋x2－x1－x2＝0.
8．(－1,0)
解析 设f(x)＝x2－2x＋p＋1，根据题意得f(0)＝p＋1>0，
且f(1)＝p<0，f(2)＝p＋1>0，解得－19．a<0
解析 对ax2＋2x＋1＝0，当a＝0时，x＝－，不符题意；
当a≠0，Δ＝4－4a＝0时，得x＝－1(舍去)．
当a≠0时，由Δ＝4－4a>0，得a<1，
又当x＝0时，f(0)＝1，即f(x)的图像过(0,1)点，
f(x)图像的对称轴方程为x＝－＝－，
当－>0，即a<0时，
方程f(x)＝0有一正根(结合f(x)的图像)；
当－<0，即a>0时，由f(x)的图像知f(x)＝0有两负根，
不符题意．故a<0.
10．解 ∵f(1.375)·f(1.437 5)<0，
且|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1，
方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可取为区间(1.375，1.437 5)中任意一个值，通常我们取区间端点值，2-1-c-n-j-y
比如1.437 5.
11．解 (1)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为x1，x2，
则有两个负根的条件是解得－1方法二 (函数思想)
设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点均在y轴左侧，结合函数的图像，有21教育网
解得－1(2)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为x1，x2，则令y ( http: / / www.21cnjy.com )1＝x1－2>0，y2＝x2－2<0，问题转化为求方程(y＋2)2＋2(y＋2)＋m＋1＝0，即方程y2＋6y＋m＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y1y2＝m＋9<0，解得m<－9.【版权所有：21教育】
方法二 (函数思想)
设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原 ( http: / / www.21cnjy.com )问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图像，有f(2)＝m＋9<0，解得m<－9.21教育名师原创作品
(3)由题意知，(方程思想)，
或(函数思想)，
因为两方程组无解，故解集为空集．
12．解 (1)f(x)＝x|x－4|＝
图像如右图所示．
(2)当x∈[1,5]时，f(x)≥0且当x＝4时f(x)＝0，故f(x)min＝0；
又f(2)＝4，f(5)＝5，故f(x)max＝5.
(3)由图像可知，当0方程f(x)＝a有三个解．
13．解 ①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
②当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
∴，即，解得③当a<0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1x2＝<0，x1，x2一正一负不符合题意．
综上，a的取值范围为21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§2 实际问题的函数建模
课时目标 1.掌握几种初等函数的应用.2.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法.3.了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．21·cn·jy·com
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：
(1)收集数据；
(2)描点；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验；
(6)用函数模型解决实际问题．
一、选择题
1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：
x(h) 0 1 2 3
细菌数 300 600 1 200 2 400
据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为( )
A．75 B．100
C．150 D．200
2．某公司市场营销人员的个人月 ( http: / / www.21cnjy.com )收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )21cnjy.com
A．减少7.84% B．增加7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前 ( http: / / www.21cnjy.com )三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是( )www.21-cn-jy.com
5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
6．某厂有许多形状为直角梯形的铁 ( http: / / www.21cnjy.com )皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )www-2-1-cnjy-com
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．某不法商人将彩电先按原 ( http: / / www.21cnjy.com )价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．
8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏 ( http: / / www.21cnjy.com )省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．2-1-c-n-j-y
9．某种病毒经30分钟繁殖为 ( http: / / www.21cnjy.com )原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 21*cnjy*com
三、解答题
10．东方旅社有100张普通客床，若每床每 ( http: / / www.21cnjy.com )夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？
11．芦荟是一种经济价值很高 ( http: / / www.21cnjy.com )的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：【来源：21cnj*y.co*m】
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数 ( http: / / www.21cnjy.com )中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；2·1·c·n·j·y
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
能力提升
12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份 1 2 3
产量(千件) 50 52 53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以 ( http: / / www.21cnjy.com )这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．21教育网
13．一片森林原来的面积为a，计划 ( http: / / www.21cnjy.com )每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．函数拟合与预测的一般步骤：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线 ( http: / / www.21cnjy.com )或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
§2 实际问题的函数建模
作业设计
1．A [由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为y＝300·2x(x∈Z)．当x＝－2时，
y＝300×2－2＝＝75.]
2．B [由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1 300)代入得a＝500，b＝300.21·世纪*教育网
当销售量为x＝0时，y＝300.]
3．A [设某商品价格为a，依题意 ( http: / / www.21cnjy.com )得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，即减少7.84%.]
4．A [由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画，【出处：21教育名师】
故选A.]
5．D [设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm.
∴S＝()2＋(4－)2＝(x－6)2＋2≥2.]
6．A [由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180.
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.]
7．2 250 [设每台彩电的原价为x元，则x(1＋40%)×0.8－x＝270，解得x＝2 250(元)．]
8．400
解析 由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，
x＝15，代入得y＝400.
9．2ln 2 1 024
解析 当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝，
∴k＝2ln 2，
∴y＝e2tln 2，当t＝5时，
∴y＝e10ln 2＝210＝1 024.
10．解 设每床每夜租金为10＋2n(n∈N)，则租出的床位为
100－10n(n∈N且n<10)
租金f(n)＝(10＋2n)(100－10n)
＝20[－(n－)2＋]，
其中n∈N且n<10.
所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，
若n＝2，则租出床位100－20＝80(张)；
若n＝3，则租出床位100－30＝70(张)；
综合考虑，n应当取3，即每床每夜租金选择
10＋2×3＝16(元)．
11．解 (1)由所提供的数据可知，刻 ( http: / / www.21cnjy.com )画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：21世纪教育网版权所有
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为
Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为
Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
或(a>0)
解得(两方程组的解相同)．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即＝，＝，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
≥，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
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习题课
课时目标 1.进一步体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.2.掌握几种初等函数的应用.3.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法．
1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平 ( http: / / www.21cnjy.com )均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
2．能使不等式log2xA．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(0,2)∪(4，＋∞)
3．四人赛跑，假设其跑过的路程fi(x ( http: / / www.21cnjy.com ))(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果 ( http: / / www.21cnjy.com )行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是______________．【来源：21cnj*y.co*m】
5．如图所示，要在一个边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为150 m的正方形草坪上，修建两条宽相等且相互垂直的十字形道路，如果要使绿化面积达到70%，则道路的宽为______m(精确到0.01 m)．
一、选择题
1．下面对函数f(x)＝x与g(x)＝()x在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
2．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝100ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
3．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x<10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(54．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示： 21*cnjy*com
型号 小包装 大包装
重量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法中正确的是( )
①买小包装实惠 ②买大包装实惠 ③卖3小包比卖1大包盈利多 ④卖1大包比卖3小包盈利多
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．某商店出售A、B两种价 ( http: / / www.21cnjy.com )格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是( )www.21-cn-jy.com
A．多赚约6元 B．少赚约6元
C．多赚约2元 D．盈利相同
6．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近 ( http: / / www.21cnjy.com )三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是( )21教育名师原创作品
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)21*cnjy*com
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加 ( http: / / www.21cnjy.com )热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗澡．
8．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是________．21cnjy.com
9．已知甲、乙两地相距150 km，某人开 ( http: / / www.21cnjy.com )汽车以60 km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50 km/h的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数，则此函数表达式为________．
三、解答题
10．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正常数．
(1)说明该函数是增函数还是减函数；
(2)把t表示成原子数N的函数；
(3)求当N＝时，t的值．
11．我县某企业生产A，B两种产品，根据市 ( http: / / www.21cnjy.com )场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位是万元)．
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并 ( http: / / www.21cnjy.com )全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)．
能力提升
12．某乡镇现在人均一年占有粮食36 ( http: / / www.21cnjy.com )0 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求出函数y关于x的解析式．21·cn·jy·com
13．如图，有一块矩形空地 ( http: / / www.21cnjy.com )，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a(a>2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y.2·1·c·n·j·y
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．
(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？
解决实际问题的解题过程：
(1)对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；21世纪教育网版权所有
(2)建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学中，我们建立的函数模型一般都是基本初等函数；
(3)求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点，正确选择函数知识求得函数模
型的解，并还原为实际问题的解．
这些步骤用框图表示：
习题课
双基演练
1．D [设某地区的原有荒漠化土地面积为a，则x年后的面积为a(1＋10.4%)x，由题意y＝＝1.104x，故选D.]21教育网
2．D [由题意知x的范围为x>0，由 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像可知，当x>0时，log2x3．D [由于指数函数的增长特点是越来越大，故选D.]
4．y＝
5．24.50
解析 设道路宽为x，则×100%＝30%，
解得x1≈24.50，x2≈275.50(舍去)．
作业设计
1．C
2．A [对于指数函数，当底数大于1时，函数值随x的增大而增大的速度快，又∵e>2，故选A.]
3．D [∵20＝y＋2x，∴y＝20－2x，
又y＝20－2x>0且2x>y＝20－2x，
∴54．D [买小包装时每克费用为元，买大包装每克费用为＝元，而>，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)．而2.3>2.1，卖1大包盈利多，故选D.]
5．B [设A、B两种商品的原价为a、b，
则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23 a＝，b＝，a＋b－46≈6(元)．]
6．C [将(1,0.2)，(2,0.4) ( http: / / www.21cnjy.com )，(3,0.76)与x＝1,2,3时，选项A、B、C、D中得到的y值做比较，y＝的y值比较接近．]【来源：21·世纪·教育·网】
7．4
解析 设最多用t分钟，则水箱内水量y＝200＋2t2－34t，当t＝时y有最小值，此时共放水34×＝289(升)，可供4人洗澡．2-1-c-n-j-y
8．y＝
解析 设每经过1年，剩留量为原来的a倍，则y＝ax，
且0.957 6＝，从而a＝，
因此y＝.
9．s＝
解析 当0≤t≤2.5时，s＝60t，
当2.5当3.5≤t≤6.5时，s＝150－50(t－3.5)＝325－50t，
综上所述，s＝
10．解 (1)由于N0>0，λ>0， ( http: / / www.21cnjy.com )函数N＝N0e－λt是属于指数函数y＝e－x类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少．【出处：21教育名师】
(2)将N＝N0e－λt写成e－λ ( http: / / www.21cnjy.com )t＝，根据对数的定义有－λt＝ln，所以t＝－(ln N－ln N0)＝(ln N0－ln N)．【版权所有：21教育】
(3)把N＝代入t＝(ln N0－ln N)，
得t＝(ln N0－ln)＝ln 2.
11．解 (1)投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，www-2-1-cnjy-com
由图知f(1)＝，∴k1＝，又g(4)＝，∴k2＝.
从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10－x)万元，
设企业的利润为y万元，
y＝f(x)＋g(10－x)＝＋(0≤x≤10)，
令＝t，
则y＝＋t＝－(t－)2＋(0≤t≤)，
当t＝，ymax≈4，此时x＝10－＝3.75,10－x＝6.25.
所以投入A产品3.75万元，投入B产品6.25万元时，能使企业获得最大利润，且最大利润约为4万元．
12．解 设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M，
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M( ( http: / / www.21cnjy.com )1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食为；经过2年后，人均占有粮食为；…；经过x年后，人均占有粮食为y＝，即所求函数解析式为y＝360()x.
13．解 (1)S△AEH＝S△CFG＝x2，
S△BEF＝S△DGH＝(a－x)(2－x)．
∴y＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)
＝－2x2＋(a＋2)x.
由，得0∴y＝－2x2＋(a＋2)x，定义域为(0,2]．
(2)当<2，即a<6时，则x＝时，y取最大值；
当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x，
在(0,2]上是增函数，则x＝2时，ymax＝2a－4.
综上所述：当a<6，AE＝时，绿地面积取最大值；当a≥6，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.
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