3.2函数的基本性质同步练习2023——2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

3.2函数的基本性质同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且关于点中心对称.设，若，（ ）
A． B． C． D．
3．已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
5．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
6．已知函数的图像关于对称，且对任意，∈，都有，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数，若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．时，
C． D．函数有且只有3个零点
10．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的值域为 B．
C．若，则 D．的解集为
11．下列说法不正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．已知命题：对，则为
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
12．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．某超市中秋前30天月饼销售总量与时间的关系大致满足则该超市前天平均售出（如前10天的平均售出为）的月饼最少为 .
14．若命题“，”为真命题，则的取值范围为 .
15．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则 .
16．对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和，则称m为“一致数”.设一个“一致数”满足且.将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数.并记；一个两位数，将N的各个数位数字之和记为；当（k为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足为偶数时，k的值为 ，m的值为 .
四、解答题
17．求下列函数的值域.
(1)；
(2)；
(3).
18．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式并判断在上的单调性（不必证明）;
(2)解不等式.
19．已知函数，不等式的解集为，且.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式.
20．周期函数的图象如图．

(1)求函数的最小正周期；
(2)写出函数的解析式．
21．已知函数，．
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知为非零实数，记函数的最大值为，求．
22．“绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？
(2)该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性进行判断，可得到答案.
【详解】因为，
所以，
又因为函数定义域为，
所以函数为奇函数，故A选项错误，
又因为当时，，函数单调递增，故B和C选项错误.
故选：D
2．C
【分析】根据函数的对称性，可得函数的周期性，结合题意，求得函数的值，可得答案.
【详解】由题意可知，且，所以，
则，所以是以4为周期的周期函数.
由可知，，则，
所以，
由得，，
所以，则，所以，
，…，
，
所以.
故选：C.
3．C
【分析】结合二次函数的单调性与奇函数的性质，可推出在，上单调递增，从而得，解之即可.
【详解】当时，，由二次函数的单调性可知在，上单调递增，
又因为是定义在上的奇函数，所以在，上单调递增，
综上，在，上单调递增，
又函数在区间，上单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，.
故选：C.
4．A
【分析】利用奇函数的性质求时的函数解析式即可.
【详解】设，则，又.
故选：A
5．D
【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解.
【详解】由题意令，得，又不是常数函数，
所以，再令，得，
即，则，
即，故，
所以函数的周期为，
所以，
故选：D.
6．B
【分析】根据函数的单调性与对称性，确定自变量到对称轴的距离即可得函数值大小关系.
【详解】函数的图像关于对称，且对任意，∈，都有，
则函数在上单调递减，在上单调递增
又，且
所以，即.
故选：B.
7．D
【分析】根据奇偶性求参数，然后求函数值即可.
【详解】由已知可得，则．
因为是奇函数，
所以，即，
因为，解得，所以，
所以.
故选：D．
8．A
【分析】根据条件得出函数在上单调递增，再结合奇偶性转化为解不等式即可.
【详解】由任意两个实数，不等式恒成立，
函数在上单调递增．
又函数是定义在上的奇函数，得，
所以不等式
化为，解得，
所以不等式的解集为．
故选：A．
9．ABD
【分析】结合奇函数的性质，可判断A、B；应用分段函数的知识可判断C、D.
【详解】由是定义在上的奇函数，故，所以A选项正确；
由，，则.又，所以，故B选项正确；
，，
又，，故C选项错误；
由以上得到当，，，所以D选项正确.
故选：ABD.
10．AC
【分析】分别计算分段函数的值域得到A正确，计算，B错误，分类考虑计算得到C正确，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：当时，，当时，，
故函数值域为，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：当时，，，不成立；
当时，，或（舍），故，正确；
对选项D：，，错误.
故选：AC.
11．ACD
【分析】对于A，解出不等式的解集即可判断；对于B，根据全称命题的否定为特称命题，即可判断；对于C，令，根据对勾函数的性质即可判断；对于D，解出使不等式恒成立时的取值范围，即可判断.
【详解】解：对于A，不等式的解集为或，故错误；
对于B，命题：对，则为，故正确；
对于C，令，则原函数即为，由对勾函数的性质可知在上单调递增，
所以，所以函数的最小值为，当时，取最小值，故错误；
对于D，因为不等式恒成立，
所以当时，满足题意；
当时，则有，解得，
综上，的取值范围是，故错误.
故选：ACD.
12．BD
【分析】先根据题目条件得到为奇函数，且在定义域内为单调递减函数，A选项，为偶函数，A错误；B选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且单调递减；C选项，在定义域内不是单调递减，C错误；D选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且由二次函数的单调性得到单调递减,D正确.
【详解】由（1）可知，为奇函数，由（2）可知，在定义域内为单调递减函数，
对于A，定义域为R，又，故为偶函数，故A错误；
对于B，定义域为R，又，故为奇函数，
又在R上单调递减，满足要求，B正确；
对于C，分别在区间和上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；
对于D：，，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，
所以在上是减函数，所以是“理想函数”，D正确.
故选：BD
13．17
【分析】因为该超市前天平均售出的月饼为，结合对勾函数单调性分析求解.
【详解】由题意可知：该超市前天平均售出的月饼为，
令，
可知在上单调递减，在上单调递增，
但，且，
所以该超市前天平均售出的月饼最少为17.
故答案为：17.
14．
【分析】根据题意，将问题转化为能成立问题，求其最大值，即可得到结果.
【详解】命题“，”为真命题，即，，
设，，
当时，取得最大值为，所以，
即的取值范围为.
故答案为：
15．
【分析】由为偶函数可以推出，由为奇函数可以推出，从而可以求出的周期，进而即可求解.
【详解】因为为上的奇函数，所以有，
又因为为偶函数，所以有，即，
对比以上两式得，
从而，即函数是周期为的周期函数，
所以，
又注意到为上的奇函数，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】设一个“一致数”满足且，得出，然后分类讨论即可求解.
【详解】解：设一个“一致数”满足且，
则，，
所以，
一个两位数，将N的各个数位数字之和记为，
则，
因为，
即，，
因为满足为偶数时，
则， 为偶数，逐项代入检验可得：
当时，则，
当时，则，故舍去；
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题的关键是将表示成，然后再分类讨论.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法，令，结合二次函数运算求解；
（2）整理得，利用换元法，令，利用函数单调性运算求解；
（3）整理得，结合二次函数运算求解.
【详解】（1）令，则，，
所以原函数变为，
可知当时，，所以原函数的值域为.
（2）由题意知函数的定义域为，，
令，易知其在上单调递增，所以，
可知，所以原函数的值域为.
（3）由题意知，函数的定义域为，且，
因为，
当时，则，
可得，即，
又因为，可得，即函数的值域为.
18．(1)，在上单调递增
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质，以及代入条件，即可求解，并判断函数的单调性；
（3）根据函数是奇函数，以及函数的单调性，即可求解不等式.
【详解】（1）由题意可得，解得
所以，经检验满足，
设，
，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在区间单调递增；
（2），，是定义在上的增函数，
，得，所以不等式的解集为.
19．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意分析可得且0和2为方程的两个根，结合韦达定理运算求解；
（2）分、和三种情况，结合二次函数对称性运算求解.
【详解】（1）因为函数，不等式的解集为，
所以且0和2为方程的两个根，
则有，解得，，
又因为，则，可得，，
所以.
（2）因为，图象开口向上，对称轴为，
①当时，函数在上单调递增，
所以；
②当，即时，函数的对称轴在区间内，
故；
③当，即时，函数在上单调递减，
所以；
综上所述：.
20．(1)
(2)，，.
【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期；
（2）求出函数在上的解析式，再结合函数周期性的定义可求得函数的解析式.
【详解】（1）解：由图可知，函数的最小正周期为.
（2）解：当时，设，则，即；
当时，设，则，可得，即.
故当时，，
因为函数是以为最小正周期的周期函数，故对任意的，，
对任意的，当时，，
则.
因此，函数的解析式为，，.
21．(1)，
(2)
【分析】（1）根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域；
（2）令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）定义域：，
当时，，
∴，
∴；
（2），令，
则，
设，，
1°若，
此时二次函数对称轴，开口向上，则.
2°若，此时对称轴：，
①当即时，开口向下，则；
②当即，对称轴，开口向下，则，
③即时，开口向下，；
综上：.
22．(1)500
(2)不能获利，该市政府需要补贴元
【分析】（1）由题意列出每吨二氧化碳的平均处理成本的表达式，进而结合基本不等式求解即可；
（2）由题意列出该企业每月的利润的函数表达式，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由题意，，
所以每吨二氧化碳的平均处理成本为元，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该企业每月处理量为500吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低.
（2）设该企业每月的利润为，
则，
因为，
所以当时，函数取得最大值，即，
所以该企业每月不能获利，该市政府至少需要补贴元才能使该企业在该措施下不亏损.
答案第1页，共2页
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