3.3幂函数同步练习2023——2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

3.3幂函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．若幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2 B． C． D．-2
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“”是“幂函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．幂函数（是常数）的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
7．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C．4 D．8
8．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ）
A．-1 B．-2
C．-4 D．-8
二、多选题
9．下列结论中正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点，则
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．若，则，
D．若幂函数，则对任意，都有
10．下列四个命题中真命题为（ ）
A．
B．函数是幂函数
C．为28的约数
D．对实数m，命题．命题．则是的必要不充分条件
11．若函数在其定义域D的某个子区间M上单调递增，且在M上单调递减，则称在M上是“弱增函数”，则（ ）
A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
12．下列结论中正确的是（　　）
A．幂函数的图像都经过点
B．幂函数的图像不经过第四象限
C．当指数取1，3，时，幂函数是定义域上的增函数
D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数
三、填空题
13．已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是 ．
14．已知幂函数的图像过点，则 ．
15．已知幂函数，若，则a的取值范围是 .
16．已知函数
①当时，不等式的解集为 ；
②若是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题
17．设函数.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)写出的单调区间.
18．已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)求的值；
(2)当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围.
19．已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)求当时，函数的解析式；
20．已知幂函数是偶函数．
(1)求的解析式；
(2)求函数的值域．
21．已知幂函数的图像关于点对称．

(1)求该幂函数的解析式；
(2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像；
(3)直接写出函数的解集．
22．设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数.
(1)求函数的解析式.
(2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据幂函数的性质可得，即可代入求解.
【详解】因为为幂函数，所以，解得，或，
又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，
所以.
故选:A.
2．C
【分析】由幂函数的定义和性质求解即可.
【详解】由幂函数的定义可知，，即，解得或.
当时，，在上单调递增，不合题意;
当时，，在上单调递减，符合题意，故.
故选：C.
3．A
【分析】根据条件得到的大小关系，结合充要条件进一步判断即可.
【详解】因为，所以，
而，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：
4．C
【分析】判断“”和“幂函数在上单调递增”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】当时，幂函数，
该函数在上单调递增,
当幂函数在上单调递增时，
需满足，即，
故“”是“幂函数在上单调递增”的充要条件，
故选：C
5．A
【分析】根据幂函数的单调性判断.
【详解】因为，，，
又，在上单调递增，
所以．
综上，．
故选：A．
6．B
【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案.
【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关，
故幂函数（是常数）的图象一定经过点，
故选：B
7．C
【分析】设，代入，得，从而得，再将代入计算即可得答案.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以设，
代入，得，解得，
所以，
所以.
故选：C.
8．D
【分析】先求出幂函数的解析式，从而得出的表达式，然后再求的最小值.
【详解】因为幂函数的图像过点，所以，得，
所以，则显然在区间上单调递增，
所以所求最小值为.
故选：D
9．CD
【分析】根据幂函数的定义及性质判断A；由抽象函数的定义域求法判断B；应用换元法求函数解析式判断C；利用分析法证明D.
【详解】A：设，则，即，所以，解得，所以，错误；
B：因为函数的定义域为，对于函数，则，解得，即函数的定义域为，错误；
C：若，令，可得，
所以，，其中，
所以，，，正确；
D：对任意，要证明不等式，
只需证明，即，
故只需证明，此不等式显然成立，正确.
故选：CD.
10．ACD
【分析】利用配方法以及逻辑语概念可知A正确；由幂函数定义可知B错误；28的约数有等，可知C正确；求出使得命题成立的的取值范围，即可得出D正确.
【详解】对于A，易知，即可知对于恒成立，所以A正确；
对于B，根据幂函数定义可知幂函数的系数必须为1，而的系数为2，所以函数不是幂函数，即B错误；
对于C，易知等都是28的约数，因此为28的约数，即C正确；
对于D，若命题成立可得，解得，显然，
即，所以是的必要不充分条件，即D正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.
【详解】对于A：在上为增函数，
在上是增函数，
故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；
对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，
由幂函数的性质可知，在上为减函数，
故存在区间使为“弱增函数”，B正确；
对于C：因为在上单调递增，则在上单调递增，
，因为在单调递减，
则在上单调递增，
故不是上的“弱增函数”，C错误；
对于D：若在区间上是“弱增函数”，
则在上为增函数，所以，解得，
又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．
故选：ABD．
12．ABC
【分析】根据常见的几种幂函数及其图像的性质，逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，根据幂函数性质可知，A正确；
B选项，所有的幂函数在区间上都有定义且，所以幂函数的图像不可能经过第四象限，故B正确；
C选项，当α为1，3，时，是增函数，显然C正确；
D选项，当时，在区间和上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误.
故选：ABC.
13．3
【分析】根据幂函数的定义求得，再由单调性确定最终结论．
【详解】由题意，解得或，时，在上递减，时，在上递增，所以．
故答案为：3.
14．16
【分析】根据条件先算出幂函数解析式，然后再求.
【详解】由题意，，解得，故，则.
故答案为：
15．
【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.
【详解】由幂函数，
可得函数的定义域为，且是递减函数，
因为，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
16．
【分析】①分类讨论解分段函数不等式；②分段函数单调递增等价于各分段单调递增以及分段处单调递增，分别根据二次函数性质、幂函数性质列式求解即可.
【详解】①时，，由得x无解，或.
故所求解集为；
②是定义在R上的增函数等价于单调递增，单调递增，且，
则有，故实数m的取值范围为.
故答案为：；.
17．(1)奇函数，证明见解析；
(2)增区间为，无减区间.
【分析】（1）应用定义判断的奇偶性；
（2）应用复合函数的单调性确定的单调区间.
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
由解析式知：的定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数.
（2）在，令，则在上递增，
而在上递增，故在上递增；
由奇函数性质知：在上递增；
所以的递增区间为、，无递减区间.
18．(1)0；
(2).
【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性，即得解.
（2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解.
【详解】（1）依题意得：，或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去，
当时，在上单调递增，
.
（2）由（1）得，当时，，即，
当时，，即，
∵命题是成立的必要条件，∴，∴，∴，
∴的取值范围是．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先设幂函数，根据题意，得到，即可求出解析式；
（2）根据题意可得：当时，，结合函数奇偶性，即可求出结果.
【详解】（1）设，代入点，得，解得，
所以.
（2）因为，当时，，
设，则，
又因为是R上的偶函数，
所以，
即当时，.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）利用幂函数定义及性质求解作答.
（2）由（1）的结论，利用换元法，结合二次函数求出函数最值作答.
【详解】（1）依题意，，即，解得或，
当时，，不是偶函数，当时，，是偶函数，
所以的解析式是．
（2）由（1）知，，，
设，则，，因此，
当时，，当或时，，于是，
所以函数的值域为.
21．(1)
(2)图像见解析
(3)
【分析】（1）利用幂函数的定义求出m值，再结合其图像性质即可得解.
（2）由（1）求出函数，再借助反比例函数与偶函数的对称性作出的图像.
（3）根据（2）中图像特征写出函数的单调区间.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或，
当时，函数定义域是，
易得是奇函数，图像关于原点对称，则满足题意；
当时，函数，
易知是R上的偶函数，其图像关于y轴对称，关于原点不对称；
综上：幂函数的解析式是.
（2）因为函数，定义域为，
且，
所以是上的偶函数，
当时，在上单调递减，其图像是反比例函数在第一象限的图像，
作出函数在第一象限的图像，再将其关于y翻折即可得在定义域上的图像，如图，

（3）观察（2）中图像可得，
的解集为.
22．(1)
(2)是，
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可；
（2）首先得到的解析式，即可判断函数的单调性，再根据题意得到方程组，解得即可.
【详解】（1）因为幂函数在内是单调增函数，
所以，解得，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）知，，函数的定义域为，
又，所以函数的值域为，
因为在上单调递增，
若存在，使得在上的值域为，
则函数在上单调递增，
有，解得或，或，
显然，所以，，
即存在，使得在上的值域为，
故函数为“佳”函数.
“佳”函数的区间为；
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