3.4函数的应用（一）同步练习2023——2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

3.4函数的应用（一）同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．0 B．2022 C．2023 D．2024
2．已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知函数满足，，，且在区间上单调，若函数在区间内有4个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，若，则所在区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知实数，记函数构成的集合．已知实数、，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
6．已知定义在上的函数满足，，在区间内单调且，则（ ）
A． B．5055
C． D．1011
7．形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（ ）
①函数的定义域为；
②；
③函数的图象关于直线对称；
④当时，；
⑤方程有四个不同的根（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（ ）
A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元
B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元
C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元
D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
10．（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
11．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影． 设，用符号表示不大于的最大整数，如称函数叫做高斯函数． 下列关于高斯函数的说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．函数的值域是
D．函数在上单调递增
12．设函数，设，则方程的解的个数可能为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、填空题
13．已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是 ．
14．设是上的奇函数，，当 时, ,则当时，的图象与x轴所围成图形的面积= ．
15．定义在上的函数，若满足下面某一个条件时，必然没有反函数，请写出所有这样条件的编号: .
（1）是偶函数;
（2）存在实数，在上单调递增，在上单调递减；
（3）存在非零实数，，使得对任意实数;
（4）对任意实数，均有.
16．在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m )随时间t(h)变化的规律可表示为如图所示，则a= ;
实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m 时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过 小时方可进入.
四、解答题
17．在一个实验中，发现某个物体离地面的高度（米）随时间（秒）的变化规律可表示为.
(1)当时，若此物体的高度不低于4米时，能持续多长时间？
(2)当且仅当时，此物体达到最大的高度6，求实数满足的条件？
18．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表.
投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79
该经营者准备在第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
19．巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整）
20．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式，并证明函数在上单调递增；
(2)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围.
22．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数及利润函数的最大值；
(2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据解析式赋值代入，解得;
【详解】令，解得，
然后逐项带入，解得：
，
故选：C.
2．B
【分析】作出函数和的图象以及直线的图象，利用反函数的性质即可判断
【详解】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，

由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，
由题意知，也即,
由于函数和互为反函数，
二者图像关于直线对称，
而为和的图象与直线的交点,
故关于对称，
故.
故选：B.
3．C
【分析】由题意可得的图象关于中心对称，关于中心对称且周期为，由函数在区间内有4个零点，则与的图象在区间内有4个零点，，作出图象，结合图象即可得出答案.
【详解】因为，所以的图象关于中心对称，
又因为，所以的图象关于中心对称，
所以，即，
所以，所以，
所以的周期为，又因为，
所以令中，则，
所以，又因为在区间上单调，
所以，
又因为在区间内有四个零点，
令，即，即与的图象在区间有四个交点，
又因为直线过定点，斜率为，
如图所示：

为临界状态，
当处于时，此时直线的斜率为，
当处于时，此时直线的斜率为，
因为满足，不满足.
所以由图可知，a的取值范围是.
故选：C
4．B
【分析】利用零点存在性定理求解即可.
【详解】由已知得函数连续且单调递增，
因为，，
所以，
由零点存在性定理可知存在使得，
故选：.
5．D
【分析】根据，，结合其定义以及不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】因为，，设，
则，，
即有，
所以，故D正确，
由于，则，即，
所以，所以，故C错误，
根据，，
无法得到，故A错误，
由于，所以，
又，故无法得到，所以B错误，
故选：D
【点睛】思路点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
6．A
【分析】由题意可通过换元法将已知条件函数的奇偶性和对称性推导出函数的周期性，再由在区间内单调且，可得根据函数周期性即可解得的值.
【详解】由题知在内单调，且时，有，由此可知，
当 时. ，得 ,
且 在 内单调，可得
，令, 则 .又，
故 . 令. 则 的周期为 4 .
当 趋于0时，有 . 故 ，
有 ，
，
根据的周期性可知 ，
，
由，
故
.
故选：A.
【点睛】关键点睛：由奇函数性质，以及对称性性质推出函数周期是解题的必要步骤，再由在区间内单调且，用特值法得出的值为难点，本题考查的是函数的性质的综合应用，属于较难题.
7．A
【分析】由求定义域、将自变量代入求值判断①②，应用特殊值得，，即可判断③，写出分段函数形式研究其单调性，进而求值域即可判断④，应用数形结合判断与在上交点个数即可判断⑤.
【详解】①由解析式知：，所以，故定义域为，错误；
②，所以，正确；
③由解析式知：，，即，故的图象不关于对称，错误；
④由，
所以有，在上递增，上递减，
则上，上，故值域为，
所以，正确；
⑤有两个根，即与在上有四个交点，
在上递增且值域为；
在上递增且值域为；
在上递减且值域为；
在上递减且值域为；
而在上递减，上递增且值域为，
所以它们的函数图象如下图示：
由图知：与在上有四个交点，正确.
正确的命题有②④⑤.
故选：A
8．D
【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论.
【详解】由题意可得，
故当时，取得最大值，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，
当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.
故选：D.
9．AB
【分析】利用不等式的性质，赋值法可分析判断A、C、D选项，利用幂函数的性质可分析判断B选项，即可得答案.
【详解】对于A，由，可得，有，故A正确；
对于B， 由函数是在定义在上的单调递增函数，若，则，故B正确；
对于C，当，时，没有意义，此时和无法比较大小，故C错误；
对于D，取，，，，此时，故D错误；
故选：AB.
10．ABC
【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果.
【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，
显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点；
所以只有D正确.
故选：ABC
11．ABD
【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可.
【详解】对A，由高斯函数的定义，可得，故A正确；
对B，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故B正确；
对C，函数，当时，，故C错误；
对D，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
12．BCD
【分析】根据二次函数的图像和性质，作出函数的图像，然后以为定义域，作出 的图像，然后根据图像性质求解；
【详解】
作出函数图像，如图（左），对称轴故有
令画出的图像，如图（右），定义域
由右图可知，当对应左图，有两个解；
当时，有2个与之对应，则参照左图，有4个解；
当，则有，参照左图，有1个解，当有2个解，由此共有3个解与之对应；
右图，有1个与之对应，参照左图，有2个解；
故选：BCD.
13．8
【分析】数形结合，结合函数的图像即可得出结论.
【详解】函数的图象, 如图所示,

关于 的不等式 ，
当 时, , 由于关于 的不等式 恰有 1 个整数解,
因此其整数解为 3 , 又 ,
所以 ,
则 , 所以实数 的最大值为 8 ,
故答案为：8.
14．4
【分析】由可得 是以 4 为周期的周期函数,再结合奇函数的性质即可推导出函数 的图象关于直线 对称，结合函数图像即可得出结论.
【详解】由 得,
所以 是以 4 为周期的周期函数,
由 是奇函数且 , 得 ,
即 .
故知函数 的图象关于直线 对称.
又当 时, , 且 的图象关于原点成中心对称, 则 的图象如图所示：

当 时, 的图象与轴围成的图形面积为 , 则 .
故答案为：4.
15．（1）（2）（3）（4）
【分析】根据反函数的概念与函数的性质对各个条件进行分析即可得判断得出结论.
【详解】（1）函数在指定区间内单调才会有反函数, 故 是偶函数必然没有反函数, 所以（1）符合.
（2）若在上单调递增，在上单调递减，则存在同样一个函数值对应两个自变量的情形，不符合原函数一一对应的原则，该函数没有反函数，所以（2）符合.
（3）即，从而，
，是周期为的周期函数，必没有反函数，所以（3）符合;
（4）令，易得，即至少有两个相等，所以（4）符合;
综上，（1）（2）（3）（4）满足条件.
故答案为：（1）（2）（3）（4）.
【点睛】本题考查反函数的考点，需对函数的性质和反函数有较高的认识及灵活运用，属于较难题.
16．
【解析】根据函数图象当时，，即可求出，从而得到，再根据题意解不等式即可.
【详解】由题知：当时，，即，解得.
所以.
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
令，解得，
所以经过小时后方可进入房间.
故答案为：；
【点睛】本题主要考查函数的模型应用，考查学生分析问题的能力，属于简单题.
17．(1)6秒
(2)，
【分析】（1）由题意可知：，分和两种情况解不等式即可；
（2）根据题意结合单调性可得当时，，且在内恒成立，分析求解即可.
【详解】（1）当时，则，
由题意可知：，
若，则，解得；
若，则，解得；
综上所述：，
所以若此物体的高度不低于4米时，能持续时间为（秒）.
（2）令，解得，可得，
因为在上单调递增，
由题意可得：当时，，解得；
且在内恒成立，则，解得；
综上所述：，.
18．12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品；约为4.6万元.
【分析】先画出散点图，根据变化规律分别选用二次函数与一次函数模型进行模拟，再根据数据待定系数法求函数解析式，最后应用求出的函数模型求解纯利润的最大值.
【详解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．

观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．
取为最高点，则，
再把点代入，得，
解得，所以.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．
设，取点和代入，
得，解得.
所以.
设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为万元，万元，总利润为万元，
那么
，
当x＝3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元．
故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元.
19．(1)
(2)25艘/海里，最大值为625．
【分析】（1）根据题意分段求解函数解析式，即可得答案；
（2）由（1）可得的解析式，分段求解函数最值，比较即可得答案.
【详解】（1）由题意知时，海里/小时；
当时，设，
则，解得，
故；
（2）由（1）可得，
当时，，此时；
当时，，
当时，取到最大值为625；
由于，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量可以达到最大值，
最大值为625．
20．(1)，
(2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元
【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解；
（2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解.
【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元
由题设，，
由图知，故，又，所以．
从而，．
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元
则，
令，则，
当时，，此时.
故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据奇函数性质以及，求解时，
，得到函数
最后根据定义判断证明函数在上单调递增；
（2）将不等式转化为，对任意的恒成立，
构造函数，然后根据函数的单调性以及二次函数性质以及对参数分类讨论即可完成求解；
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，且当时，，
设，有，则.
故
下面先证明函数在上单调递增.
不妨设，由指数函数的单调性有，又由不等式的性质有，即，可得函数在上单调递增，
又由函数为奇函数，故函数在上单调递增；
（2）因为函数在定义域上的单调递增.
不等式恒成立等价于
对任意的恒成立.
即对任意的恒成立，
构造函数，则也是上的增函数.
故原不等式恒成立等价于对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
①当时，二次函数为开口向下的二次函数，不恒成立，不合题意；
②当时，不恒成立；
③当时，由对任意的恒成立，
可得，解得或.由，有，
综上，实数a的取值范围是.
22．(1)利润函数，最大值为（元）
(2)当台时，每台产品的利润取到最大值1900元
【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值；
（2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意知，
，
易得的对称轴为，
所以当或时，取得最大值为（元）．
所以利润函数，最大值为（元）；
（2）依题意，得
（元）.
当且仅当时等号成立，即时，等号成立．
所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．
答案第1页，共2页
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