4.1指数同步练习2023——2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

4.1指数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知a是的小数部分，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． 2 D．4
2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．将化成分数指数幂的形式是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．2
6．方程组的实数解的组数是（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
7．若，则的值是（ ）
A．2 B．0 C． D．1
8．已知函数，则（ ）
A．4 B． C．81 D．
二、多选题
9．若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值9
B．的最小值是
C．ab有最大值
D．的最小值是
10．（多选）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（　　）
A． B．﹣ C． D．
11．[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
12．若，则下列四个式子中有意义的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．若不等式的解集是，则的值为 .
14．已知函数，则 ．
15．已知且，若函数为奇函数，则 .
16．已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为 ；函数的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整数），则 .
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)
18．已知，求的值．
19．已知是定义在R上的奇函数，且.
(1)求实数a，b的值；
(2)若，求实数m的取值范围.
20．已知函数．
(1)若，求的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】先计算出，代入求解即可.
【详解】因为，故，
所以.
故选：A
2．C
【分析】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误；
对于B选项：由，所以B错误；
对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确；
对于D选项：当时，，
当时，，
显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误.
故选：C.
3．A
【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可.
【详解】.
故选：A
4．C
【分析】利用指数运算可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，若，，且，
所以，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
5．C
【分析】根据奇函数性质列方程求参数，验证是否满足题设.
【详解】函数为奇函数，且定义域为，
∴，即，解得，
所以，而，
故，满足题设.
故选：C
6．B
【分析】根据底数分类讨论后可求方程组的解的个数.
【详解】第一个方程即或或，
因此所有的实数解为，共有4组．
故选：B.
7．D
【分析】由，即，求得代入求解.
【详解】解：由，得，
即，解得．
∴．
故选：D
8．C
【分析】根据函数解析式求得正确答案.
【详解】，.
故选：C
9．AB
【分析】根据已知等量关系，应用基本不等式及“1”的代换、二次函数性质求各式的最值，注意取值条件.
【详解】，当且仅当时等号成立，A对；
，当且仅当即时等号成立，B对；
，则，当且仅当即时等号成立，C错；
由，则，而，
所以，当且仅当时等号成立，D错.
故选：AB
10．ACD
【分析】由式，通过配方可得，已知，进而分别用a，b表示c，根据实数的性质即可得出c的范围．
【详解】由式，可得，
，则，，
所以，，
又，则，
，
，，
则c的值可能为．
故选：ACD．
11．BD
【分析】利用根式与指数幂的关系求解.
【详解】当时，，，故A错误．
（），故B正确．
（），故C错误．
（），故D正确．
故选： BD
12．AC
【分析】根据根式的意义逐一判断可得.
【详解】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确；
取，则，所以无意义，B错误；
因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确；
若，则，所以无意义，D错误.
故选：AC
13．-8
【分析】根据二次不等式的解集，结合韦达定理，可求出a,b，即可求解
【详解】不等式的解集是，
则，的两根为-2,6；
则根据韦达定理得，，所以.
故答案为：-8
14．8
【分析】根据题意代入分段函数计算即可.
【详解】由题意得.
故答案为：8
15．4
【分析】函数为奇函数，有，代入函数解析式求解即可.
【详解】已知且，若函数为奇函数，则有，
即，化简得，所以.
故答案为：4
16． 18
【分析】证明函数为奇函数，由此确定函数的对称中心，证明与的对称中心重合，结合对称性及加法的运算律求值.
【详解】因为，所以，
设，则函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，即函数的图象关于原点对称，所以函数的图象关于对称，
因为，所以，
所以，
所以函数为奇函数，故函数的图象关于对称，
且的定义域为，
且在上均单调递减，且
，
，且单调递增，
所以函数的图象与函数图象的交点共有四个交点，且关于点两两对称，
所以，，
.
古答案为：；18.
【点睛】本题解决的关键在于通过证明，为奇函数，确定其对称性，结合对称性求解问题.
17．(1)1
(2)
【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；
（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.
【详解】（1）原式
（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，
18．
【分析】利用指数的定义、性质、运算法则直接求解．
【详解】因为，
．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）利用奇函数的性质以及列方程求解；
（2）先分析的单调性，再利用单调性解不等式.
【详解】（1）由题意,解得，则，
经检验：，故，.
（2）设R上任意实数，且，
则，
所以在R上是增函数,
则，故.
解得.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，得到，再利用平方关系得到求解；
（2）利用单调性的定义证明；
【详解】（1）解：若，则，
所以，则，
；
（2）在上任取，，且，
则 ，
因为，所以，，
故，即，
所以函数在上单调递增．
答案第1页，共2页
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