2.2.1直线的点斜式方程（课件 共30张ppt）
文档属性
| 名称 | 2.2.1直线的点斜式方程（课件 共30张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 945.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-11 20:52:23 | ||
图片预览
文档简介
(共30张PPT)
2.2.1 直线的点斜式方程
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
（1） 如何求直线的斜率？
（2） 如何判断直线的平行与垂直？
通过直线斜率进行判断
l1//l2=.
l1l2=1.
知识回顾
前提条件：
两条不同直线，
斜率存在
（x≠0）
新课导入
问题1： 如何表示过已知点 ，且斜率为k的直线的方程？
在直角坐标系中，给定一个点P0(x0 , y0)和斜率 k ，就能唯一确定一条直线.
思考1 直线l上每一个点的坐标(x , y)满足关系式y-y0=k(x-x0)吗
思考2 坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一点是否都在过点P0(x0 , y0)，斜率为 k的直线l上
思考3 方程 能否直接表示该直线 为什么要变形？
新课导入
问题1： 如何表示过已知点 ，且斜率为k的直线的方程？
在直角坐标系中，给定一个点P0(x0 , y0)和斜率 k ，就能唯一确定一条直线.
设P(x, y)是直线l上不同于点P0的任意一点, 因为直线l的斜率为k, 由斜率公式得
即
思考1 直线l上每一个点的坐标(x , y)满足关系式y-y0=k(x-x0)吗
思考2 坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一点是否都在过点P0(x0 , y0)，斜率为 k的直线l上
思考3 方程 能否直接表示该直线 为什么要变形？
不在直线上
一、 直线的点斜式方程
若直线l 经过点P0(x0, y0), 且斜率为k, 则直线l 的点斜式方程（简称点斜式）为
x
y
O
P0(x0, y0)
l
问题 2 (1) 当直线l 的倾斜角为0°时, l 的方程是什么 为什么
(2) 当直线l 的倾斜角为90°时, l 的方程如何表示 为什么
(3) 直线y－2＝k(x－3)恒过哪个点
一、 直线的点斜式方程
x
y
O
P0(x0, y0)
直线l 经过点P0(x0, y0)
问题 2 (1) 当直线l的倾斜角为0°时, l的方程是什么 为什么
x
y
O
P0(x0, y0)
l
tan0°=0, 即k=0, l与x轴平行或重合,
直线l的斜率不存在，l与y轴平行或重合, l的方程不能用点斜式表示,
特别地 x轴:
特别地y轴:
(2) 当直线l的倾斜角为90°时, l的方程如何表示 为什么
(3) 直线y－2＝k(x－3)恒过哪个点
（3，2）
直线l的方程为
直线l的方程为
y=0.
x=0.
一、 直线的点斜式方程
例1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(－1，4)，倾斜角为45°；
(2)经过点B(4，2)，倾斜角为90°；
(3)经过原点，倾斜角为 ；
(4)经过D(－1，1)，与x轴平行．
(5)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ 的倾斜角的2倍；
类型一 求直线的点斜式方程
(6)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点.
(7)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ 的倾斜角的2倍
例1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(－1，4)，倾斜角为45°；
(2)经过点B(4，2)，倾斜角为90°；
(3)经过原点，倾斜角为 ；
(4)经过D(－1，1)，与x轴平行．
(5)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ 的倾斜角的2倍；
类型一 求直线的点斜式方程
(6)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点.
y－3＝－(x＋2)
y－4＝x+1
x＝4
y＝1
问题3 ：下面我们来看点斜式的一种特殊情况：
已知直线 l 的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b) ,此时直线的方程如何表示？
x
y
O
P0(0,b)
l
问题3 ：下面我们来看点斜式的一种特殊情况：
已知直线 l 的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b) ,此时直线的方程如何表示？
解：∵直线l的斜率为k，且过点(0, b),
∴直线的点斜式方程
即
x
y
O
P0(0,b)
l
思考1： 如何理解与应用直线的斜截式方程
斜：直线的斜率k
直线斜截式方程的特点：
①方程左端y的系数是1；
②右端x的系数k是直线斜率, 常数项b是直线在y轴上的截距.
思考2：截距是距离吗
截距不是点也不是距离.
点斜式 斜截式
已知条件 点和斜率 斜率与直线在轴上的截距
图示
方程形式
适用条件 斜率存在的直线 备注 斜截式是特殊的点斜式方程
直线的点斜式方程
小结
一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0(否则就不是一次函数).
例如: 对于直线方程y= kx+ b(斜截式), 当k≠0(即斜率不为0)时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，这个直线方程就不能称一次函数了.
问题4 方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似. 我们知道, 一次函数的图象是一条直线, 你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b
问题5： 你能说出一次函数，及图象的特点吗？
一次函数 图像对应的直线斜率 直线在y轴的截距 直线与y轴的交点
例2 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，（1）直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
类型二 求直线的斜截式方程
（2）直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
变式 直线l过点P（－2 , 3）与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.
（3）直线l与l1垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程
例2 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，
又因为l∥l1，所以kl＝－2.
由题意知，l2在y轴上的截距为－2，
所以直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
类型二 求直线的斜截式方程
延伸探究
1.本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程.
∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，
直线l2：y＝4x－2，
∴l在y轴上的截距为2.
2.若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝－1.
例4 已知直线l1: y=k1x+b1，l2: y=k2x+b2，试讨论:
(1) l1//l2的条件是什么
(2) l1⊥l2的条件是什么
笔记：我们得到，对于直线l1: y=k1x+b1, l2: y=k2x+b2.
类型三 根据直线的斜截式方程判断直线平行与垂直
例4 已知直线l1: y=k1x+b1，l2: y=k2x+b2，试讨论:
(1) l1//l2的条件是什么
(2) l1⊥l2的条件是什么
结论：我们得到，对于直线l1: y=k1x+b1, l2: y=k2x+b2.
类型三 根据直线的斜截式方程判断直线平行与垂直
练习 当a为何值时
(1)直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
类型三 根据直线的斜截式方程判断直线平行与垂直
(2)直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
跟踪训练2 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2，
解得a＝－1，
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，
∵l1⊥l2，
例5 已知直线l1：y＝ 和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
类型三 根据直线的斜截式方程判断直线平行与垂直
类型三 求直线方程
课本67页
当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
当m＝0时，l1与l2垂直.
课堂练习
1.若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
A.k>0，b>0 B.k>0，b<0
C.k<0，b>0 D.k<0，b<0
课堂小结
形式 条件 直线方程 应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k
斜截式 在y轴上的截距为b,且斜率为k
注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解.
不含与x轴垂直的直线
不含与x轴垂直的直线
2.2.1 直线的点斜式方程
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
（1） 如何求直线的斜率？
（2） 如何判断直线的平行与垂直？
通过直线斜率进行判断
l1//l2=.
l1l2=1.
知识回顾
前提条件：
两条不同直线，
斜率存在
（x≠0）
新课导入
问题1： 如何表示过已知点 ，且斜率为k的直线的方程？
在直角坐标系中，给定一个点P0(x0 , y0)和斜率 k ，就能唯一确定一条直线.
思考1 直线l上每一个点的坐标(x , y)满足关系式y-y0=k(x-x0)吗
思考2 坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一点是否都在过点P0(x0 , y0)，斜率为 k的直线l上
思考3 方程 能否直接表示该直线 为什么要变形？
新课导入
问题1： 如何表示过已知点 ，且斜率为k的直线的方程？
在直角坐标系中，给定一个点P0(x0 , y0)和斜率 k ，就能唯一确定一条直线.
设P(x, y)是直线l上不同于点P0的任意一点, 因为直线l的斜率为k, 由斜率公式得
即
思考1 直线l上每一个点的坐标(x , y)满足关系式y-y0=k(x-x0)吗
思考2 坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一点是否都在过点P0(x0 , y0)，斜率为 k的直线l上
思考3 方程 能否直接表示该直线 为什么要变形？
不在直线上
一、 直线的点斜式方程
若直线l 经过点P0(x0, y0), 且斜率为k, 则直线l 的点斜式方程（简称点斜式）为
x
y
O
P0(x0, y0)
l
问题 2 (1) 当直线l 的倾斜角为0°时, l 的方程是什么 为什么
(2) 当直线l 的倾斜角为90°时, l 的方程如何表示 为什么
(3) 直线y－2＝k(x－3)恒过哪个点
一、 直线的点斜式方程
x
y
O
P0(x0, y0)
直线l 经过点P0(x0, y0)
问题 2 (1) 当直线l的倾斜角为0°时, l的方程是什么 为什么
x
y
O
P0(x0, y0)
l
tan0°=0, 即k=0, l与x轴平行或重合,
直线l的斜率不存在，l与y轴平行或重合, l的方程不能用点斜式表示,
特别地 x轴:
特别地y轴:
(2) 当直线l的倾斜角为90°时, l的方程如何表示 为什么
(3) 直线y－2＝k(x－3)恒过哪个点
（3，2）
直线l的方程为
直线l的方程为
y=0.
x=0.
一、 直线的点斜式方程
例1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(－1，4)，倾斜角为45°；
(2)经过点B(4，2)，倾斜角为90°；
(3)经过原点，倾斜角为 ；
(4)经过D(－1，1)，与x轴平行．
(5)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ 的倾斜角的2倍；
类型一 求直线的点斜式方程
(6)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点.
(7)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ 的倾斜角的2倍
例1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(－1，4)，倾斜角为45°；
(2)经过点B(4，2)，倾斜角为90°；
(3)经过原点，倾斜角为 ；
(4)经过D(－1，1)，与x轴平行．
(5)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ 的倾斜角的2倍；
类型一 求直线的点斜式方程
(6)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点.
y－3＝－(x＋2)
y－4＝x+1
x＝4
y＝1
问题3 ：下面我们来看点斜式的一种特殊情况：
已知直线 l 的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b) ,此时直线的方程如何表示？
x
y
O
P0(0,b)
l
问题3 ：下面我们来看点斜式的一种特殊情况：
已知直线 l 的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b) ,此时直线的方程如何表示？
解：∵直线l的斜率为k，且过点(0, b),
∴直线的点斜式方程
即
x
y
O
P0(0,b)
l
思考1： 如何理解与应用直线的斜截式方程
斜：直线的斜率k
直线斜截式方程的特点：
①方程左端y的系数是1；
②右端x的系数k是直线斜率, 常数项b是直线在y轴上的截距.
思考2：截距是距离吗
截距不是点也不是距离.
点斜式 斜截式
已知条件 点和斜率 斜率与直线在轴上的截距
图示
方程形式
适用条件 斜率存在的直线 备注 斜截式是特殊的点斜式方程
直线的点斜式方程
小结
一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0(否则就不是一次函数).
例如: 对于直线方程y= kx+ b(斜截式), 当k≠0(即斜率不为0)时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，这个直线方程就不能称一次函数了.
问题4 方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似. 我们知道, 一次函数的图象是一条直线, 你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b
问题5： 你能说出一次函数，及图象的特点吗？
一次函数 图像对应的直线斜率 直线在y轴的截距 直线与y轴的交点
例2 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，（1）直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
类型二 求直线的斜截式方程
（2）直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
变式 直线l过点P（－2 , 3）与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.
（3）直线l与l1垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程
例2 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，
又因为l∥l1，所以kl＝－2.
由题意知，l2在y轴上的截距为－2，
所以直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
类型二 求直线的斜截式方程
延伸探究
1.本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程.
∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，
直线l2：y＝4x－2，
∴l在y轴上的截距为2.
2.若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝－1.
例4 已知直线l1: y=k1x+b1，l2: y=k2x+b2，试讨论:
(1) l1//l2的条件是什么
(2) l1⊥l2的条件是什么
笔记：我们得到，对于直线l1: y=k1x+b1, l2: y=k2x+b2.
类型三 根据直线的斜截式方程判断直线平行与垂直
例4 已知直线l1: y=k1x+b1，l2: y=k2x+b2，试讨论:
(1) l1//l2的条件是什么
(2) l1⊥l2的条件是什么
结论：我们得到，对于直线l1: y=k1x+b1, l2: y=k2x+b2.
类型三 根据直线的斜截式方程判断直线平行与垂直
练习 当a为何值时
(1)直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
类型三 根据直线的斜截式方程判断直线平行与垂直
(2)直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
跟踪训练2 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2，
解得a＝－1，
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，
∵l1⊥l2，
例5 已知直线l1：y＝ 和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
类型三 根据直线的斜截式方程判断直线平行与垂直
类型三 求直线方程
课本67页
当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
当m＝0时，l1与l2垂直.
课堂练习
1.若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
A.k>0，b>0 B.k>0，b<0
C.k<0，b>0 D.k<0，b<0
课堂小结
形式 条件 直线方程 应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k
斜截式 在y轴上的截距为b,且斜率为k
注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解.
不含与x轴垂直的直线
不含与x轴垂直的直线