人教A版（2019）必修第一册4.2指数函数 同步练习（含解析）

4.2指数函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列可能是函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．e
5．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数是上的偶函数，，当时，，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．4是的一个周期
C．在上单调递减
D．：
8．已知函数，则（ ）
A． B．1516 C． D．1517
二、多选题
9．设函数，若表示不超过的最大整数，则的函数值可能是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
10．下列说法正确的有（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的既不充分也不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．函数的最小值为2
C．函数的最小值为6
D．若，则的最大值为4
12．已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为
C．函数在上单调递增
D．函数在上单调递减
三、填空题
13．函数的值域是 ．
14．设函数（为常数）．若为奇函数，则 ．
15．定义在上的奇函数，当时，，当时， ．
16．已知函数，则 ， .
四、解答题
17．已知函数.
(1)当时，是否存在实数，使得是奇函数；
(2)对于任意给定的非零实数与轴负半轴总有交点，求实数的取值范围.
18．已知函数的图象与轴交于点，且点在直线上
(1)求的值；
(2)求不等式的解集．
19．已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，．
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
20．已知是指数函数，且其图象经过点为奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.
21．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)试判断的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
22．设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，请判断函数的单调性，并用定义证明.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据函数定义域和特殊值可排除ABD.
【详解】函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D，
故选：C.
2．D
【分析】根据指数函数的单调性比较的大小，利用幂指数运算可比较大小，即得答案.
【详解】因为，且是R上的增函数，
故，又，
故．
故选：D
3．C
【分析】由复合函数单调性法则得，即，解不等式即可得出答案.
【详解】由且，得为单调递减函数，
由复合函数单调性法则得，
又，解得．
故选：C．
4．C
【分析】根据函数的奇偶性可以求出函数的周期，利用周期运用代入法进行求解即可.
【详解】为奇函数，即，
所以关于中心对称，则，
为偶函数，即，
所以，
故，即是周期为8的周期函数，
所以，
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的奇偶性求出函数的周期.
5．A
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合指数函数的单调性求解判断．
【详解】若，则，从而，故充分性成立，
若，则，但不一定成立，如取，故必要性不成立，
所以，“”是“”的充分而不必要条件．
故选：A．
6．B
【分析】由函数的值域求集合B，再求两个集合的交集.
【详解】函数的值域为，故，
又，所以.
故选：B.
7．A
【分析】易得为奇函数，利用函数的周期性与奇偶性结合选项逐个判断即可.
【详解】由题知，
因为函数是上的偶函数，
所以为奇函数，所以
对于A：因为
所以，从而
所以
所以的图象关于直线对称，A选项正确；
对于B：由A知
所以，从而
所以是以8为周期的函数，B选项错误；
对于C：当时，为增函数，
又因为为奇函数
所以在上单调递增，C选项错误；
对于D：因为
所以
又
因为在上单调递增
所以，D选项错误；
故选：A.
8．D
【分析】根据分段函数的周期性即可求出的值.
【详解】由题意，在中，
因为当时，，所以是以为周期的周期函数，
故，
，
所以.
故选：D.
9．AB
【分析】先得到函数的值域，从而得到的范围，结合条件即可求解.
【详解】因为，则，
所以函数的值域是，
则的范围是，
于是的函数值可能是或，
故选：.
10．BC
【分析】根据反例和幂函数、指数函数单调性一一分析即可.
【详解】对A，“”不能推出“”，“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分条件，所以A错误；
对B，函数是上的单调递增函数，所以，故B正确；
对C，，而，所以不能推出；
举例，但，则也不能推出，故C正确；
对D，函数是上的单调递增函数．所以，故D错误．
故选：BC．
11．ACD
【分析】利用均值不等式求出最值判断ACD；利用均值不等式结合等号成立条件判断B.
【详解】对于A，，，当且仅当，即时取等号，A正确；
对于B，令，则，而，当且仅当时取等号，
显然不能取到1，因此，B错误；
对于C，当，即时，，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，，即，解得，
当且仅当，即时取等号，因此的最大值为4，D正确.
故选：ACD
12．ABD
【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.
【详解】令，则，
对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确；
对于选项B：因为，的值域为，
所以函数的值域为，故B正确；
对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，
所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，
所以C不正确，D正确.
故选：ABD.
13．
【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，
【详解】
令则，
由于在单调递减,单调递增，
所以，故的值域为.
故答案为: .
14．
【分析】由奇函数的定义即可求解.
【详解】由题意函数为奇函数，
所以有，解得，
当时，有，显然此时的定义域为关于原点对称，
且有成立，故满足题意.
故答案为：.
15．
【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得.
【详解】因为函数为奇函数，所以，解得.
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
即当时，.
故答案为：
16．
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：；
17．(1)存在，
(2)答案见详解
【分析】（1）根据奇函数的定义和性质分析求解；
（2）根据题意可知：，分和两种情况，运算求解.
【详解】（1）当时，则，可知的定义域为，
若是奇函数，则，解得，
且当时，，
即，是奇函数，
综上所述：当时，是奇函数.
（2）令，可得，
因为，则，且，
当时，则；
当时，则；
综上所述：当时，实数的取值范围为；
当时，实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先求点坐标，代入可得；
（2）由化简整理得，所以，故.
【详解】（1）因为点在轴上，且在上所以点的坐标为，
所以，得
（2）因为，所以，
由，得，即，
整理得，即，
所以，
即，
因函数在上单调递增，所以，
故不等式的解集为
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用代入法得到关于的方程组，解之即可；
（2）利用恒成立问题的解决方法，结合复合函数与指数函数的单调性即可得解.
【详解】（1）把，代入，
得，结合且，解得，
所以.
（2）由（1）知可化为，
故在上恒成立，
则在上的最小值不小于.
由指数函数的单调性可知函数在上为减函数，
所以当时，有最小值2，故，
故的取值范围为.
20．(1)，；
(2)8.
【分析】（1）设出指数函数解析式即可求得，再利用奇函数的定义求出b即可.
（2）由（1）求出，再由恒成立的不等式换元分离参数，借助均值不等式求解即得.
【详解】（1）设，且，由的图象经过点，得，则，
函数的解析式为，于是，
因为为奇函数，因此，即，
整理得，解得，所以．
（2）由（1）知，，且，则，
由，得，
则，
不等式恒成立，即恒成立，
令，则，
则，可得在上恒成立，
因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
所以，即实数的最大值为8．
21．(1)；
(2)函数在上为增函数，证明见解析；
(3)不等式的解集为.
【分析】（1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值；
（2）函数在上为增函数，由单调性的定义和指数函数的单调性、不等式的性质可得证明；
（3）由奇函数在上为增函数，可将原不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求解集．
【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数，可得，即有，
即恒成立，
所以；
（2）由于，可得函数在上为增函数．
证明：任取，，且，
则，
因为，所以，又，
所以，即，
所以函数在上为增函数．
（3）由（2）得，奇函数在上为增函数，
不等式等价为，
即，
令，则，所以，解得．
即不等式的解集为.
22．(1)证明见解析；
(2)上的增函数，证明见解析.
【分析】（1）利用奇函数的定义可证得结论成立；
（2）任取，且，作差，因式分解并判断差值的符号，由此可证得函数为上的增函数.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，
由于，
所以函数是奇函数.
（2）当时，函数为上的增函数.
当时，，
任取，且，则
，
由，得，则，即，
所以函数为上的增函数.
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