人教A版（2019）必修第一册4.3对数 同步练习（含解析）

4.3对数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．若，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列各式的值等于1的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知一容器中有两种菌，为菌的个数，为菌的个数，且在任何时刻两种菌的个数均满足．若分别用和来表示菌、菌个数的指标，则当时，（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．0 B．2 C．－3 D．3
6．（ ）
A． B．3 C． D．
7．设函数则等于（ ）
A． B． C．4 D．10
8．在某次电学物理实验中，经过电流计等相关仪器的测量近似得到：电流I（mA）随时间t（m/s）的变化关系为，其中，T称为电路的时间常数．若在微型秒表的记录下该电路电流从减少到的时间间隔为6（m/s），则该电路的时间常数约为（ ）参考数据：，结果精确到1m/s
A．10m/s B．15m/s C．20m/s D．30m/s
二、多选题
9．已知实数，则下列不等式中一定正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则下列选项中正确的是（ ）
A．关于对称 B．是周期为4的函数
C． D．
11．已知，若，则实数的值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．
12．对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（ ）
真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000
真数 11 12 13 14 15 16 17 18 19
（近似值） 1.041 1.079 1.114 1.146 1.176 1.204 1.230 1.255 1.279
A．在区间内
B．是15位数
C．若，则
D．若是一个35位正整数，则
三、填空题
13．已知函数是定义域为的奇函数，则实数的值为 ．
14．已知，则 ．
15．已知满足，，则 ．
16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急．约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，，则 ， ．
四、解答题
17．利用对数的换底公式计算：
(1)；
(2)．
18．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．已知对应关系.
(1)若，求的值；
(2)若对于区间内的任意一个数，在区间内都存在唯一确定的数和它对应，求实数的取值范围.
20．已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)是否存在常数，使得对于任意的，只要，就有.若存在，写出一个满足要求的实数的值，若不存在，请说明理由.
21．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年.
(1)当森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
(2)为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？
（参考数据：，）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】先由指数化为对数，再由对数的运算可得答案.
【详解】∵，∴，
∴，，
∴.
故选：B.
2．B
【分析】由指数函数和对数函数的性质即可得出答案.
【详解】因为，，
，
所以.
故选：B.
3．B
【分析】将指数化为对数，然后利用对数运算性质及换底公式求解即可.
【详解】因为，所以，所以，，
所以.
故选：B.
4．D
【分析】由题意结合对数运算以及指数幂运算即可求解.
【详解】由题可知，则，
又，所以，．
故选：D.
5．A
【分析】结合题意，利用奇函数的性质，先确定函数的一个周期为，再按照函数的周期性计算即可.
【详解】因为函数满足，且为上的奇函数，
所以，
所以，即的一个周期为4，
所以.
故选：A.
6．C
【分析】根据对数的运算可求得答案.
【详解】原式
.
故选：C.
7．C
【分析】运用分段函数求函数值，代入对应函数段的解析式即可.
【详解】由题意知，.
故选：C.
8．C
【分析】设该电路电流是时是时间，电路电流是时是时间，利用可求得．
【详解】设该电路电流是时是时间，电路电流是时是时间，
依题意，得，两边取对数，得．
由，解得，
所以，解得．
故选：C．
9．BD
【分析】A选项，举出反例；B选项，根据不等式的基本性质得到；CD选项，作差法比较出大小关系.
【详解】A选项，当时，，A错误；
B选项，因为，所以，又，故，
从而，B正确；
C选项，，
因为，所以，故，
故，C错误；
D选项，
，
因为，故，
所以，即，D正确.
故选：BD
10．BC
【分析】由奇偶函数的定义，推导的最小正周期为4及对称性，从而判断AB，运用对数的运算性质和已知区间的解析式计算判断C，根据周期性求和判断D.
【详解】定义在上的函数满足：为奇函数，为偶函数，可得，
即，所以函数关于对称，
从而，故，可得的最小正周期为4，
故选项A错误，B正确；
由于，则，，
当时，，
所以，
则，
故选项C正确；
因为，，所以，，，
又的最小正周期为4，所以每个周期的和，
所以，
故选项D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称.
11．ACD
【分析】令求出的值，即可得到或，再根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得.
【详解】因为，若，则或，
解得或，
因为，所以或，
所以或或或，解得或或.
故选：ACD
12．ACD
【分析】根据，分别求出各个选项中N的常用对数的值，对照所给常用对数值判断.
【详解】解：因为，，所以，故A正确；
因为，所以是24位数，故B错误；
因为，所以，又，则，故C正确；
，因为是一个35位正整数，所以，即，即，则，故D正确.
故选：ACD
13．9
【分析】由函数是定义域为的奇函数，利用函数奇偶性的定义，建立方程进行求解即可．
【详解】函数是定义域为的奇函数，
必有，
则，
当时，，上式成立；
当时，上式可化简为
即，
即,
即，则
解得.
故答案为：9.
14．
【分析】先根据指数运算求出的值，根据对数运算的知识求得值，代入求出的值.
【详解】因为，所以，
所以
，
即，所以，
所以．
故答案为：.
15．
【分析】由对数的运算性质，化简得到，设，得到，又由，得到，结合的单调性，得到，进而求得的值．
【详解】由，可得，即，
且，可得，
设，则，原式化为，即，
又由，可得，
令函数，显然为增函数，所以，
则，所以．
故答案为：.
16． 2 3
【分析】利用对数运算求得正确答案.
【详解】，
所以.
，
所以.
故答案为：；
17．(1)
(2)
【分析】根据换底公式和对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）
；
（2）
.
18．(1)
(2)10
(3)5
(4)
【分析】根据指数式和对数式的互换及对数运算公式解方程即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
19．(1)6；
(2).
【分析】（1）把代入，借助指数式与对数式的互化关系计算得解.
（2）根据给定条件，结合函数的定义得是从到的一个函数，再转化为函数不等式恒成立求解.
【详解】（1）若，则，
所以.
（2）依题意，为从区间到区间的一个函数，其定义域为，值域为的子集，
因此问题转化为时，有恒成立，
令，即当时，恒成立，于是对一切恒成立，
而当时，，当且仅当，即时取等号，从而，
所以实数的取值范围是.
20．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用对数的运算，化简得，易解出值域.
（2）根据任意性的定义，任意的，只要，就有中，，则即可，对在的单调性进行分类讨论，可求出函数的解析式，再求该函数的最值即可.
【详解】（1）因为.
故的值域为；
（2）当时，记，则只要，就有，则即可，
①当时，在上单调递增，
，
；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，，，
当时，有
，解得
时，，
时，，
则，
当时，，，
即在上的值域为，所以无最大值，
综上所述，无最大值，不存在常数.
21．(1)5
(2)26
【分析】（1）根据题意，设出增长率，列出指数方程求解增长率，设出植树造林的年限，列出指数方程，求解即可；
（2）根据（1）中所求，设出植树造林的年限，列出指数不等式，结合换底公式求解即可.
【详解】（1）设森林面积的年增长率为，根据题意可得：，即，则，
故.故森林面积的年增长率为，
设该地已经植树造林年，则，所以，解得，
故该地已经植树造林5年.
（2）设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，
所以，所以，
所以，即取26，故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林26年.
答案第1页，共2页
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