专题1.8截一个几何体 分层练习（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.8 截一个几何体（分层练习）
一、单选题
1．用平面去截正方体，在所得的截面中，边数最多的截面是（　　）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
2．用一个平面去截下列几何体，截面不可能是长方形的是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体
3．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
4．如图，用一个水平平面分别去截下列水平放置的几何体，所截得的截面和另外三个不同的几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用一组水平的平面截这个物体时，得到了一组（自下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是（ ）
A．圆柱 B．棱柱 C．棱锥 D．圆锥
6．用一个平面将一个正方体截去一部分，其面数将（　　）
A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定
7．下列说法不正确的是（ ）
A．用一个平面去截正方体，截面可能是七边形
B．用一个平面去截一个球，截面一定是圆
C．棱柱的截面不可能是圆
D．用一个平面去截圆锥，截面可能是圆
8．如图，用一个平面去截左边的圆锥，不可能得到的截面是（　　）
A． B． C． D．
9．用平面去截一个几何体，如果截面是圆形，则原几何体可能是（ ）
A．正方体、球 B．圆柱、圆锥 C．圆锥、棱柱 D．球、长方体
10．用一个平面去截下列立体图形，截面可以得到三角形的立体图形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．下列说法正确的有（　　）
①n棱柱有个顶点，条棱，个面（n为不小于3的正整数）；
②圆锥的侧面展开图是一个圆；
③用平面去截一个正方体，截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．若将一根底面半径是5厘米的圆柱体木料锯成三段（每段都是圆柱体），则其表面积增加了（ ）
A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米
13．正三棱锥的截面中，边数最多的多边形是（　　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
14．下列说法中正确的是（ ）．
A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒
B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是②
C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形
D．以上说法都不对
15．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（ ）
A．7个 或8个 B．8个或9个
C．7个或8个或9个 D．7个或8个或9个或10个
二、填空题
16．用一个平面截圆锥，可以得到 、 及类似拱形形状．如图：
17．如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体有 条棱．
18．下列几何体的截面是 ．
19．在“长方体、圆柱、圆锥”三种几何体中，用一个平面分别去截三种几何体，则截面的形状可以截出三角形也可以截出圆形的几何体是 ．
20．如图所示，圆柱体的高为8，底面半径为2，则截面面积最大为 ．

21．用一个平面去截一个几何体，若截面（截出的面）的形状是四边形，则这个几何体可以是：①三棱柱；②三棱锥；③长方体；④圆柱，其中所有正确结论的序号是 ．
22．若用一个平面去截一个五棱柱，截面的边数最少是 ；最多是 ．
23．用过正方体上底面的对角线和下底面的一个顶点的平面去截这个正方体，则截面形状是 ．
24．如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，则 ．
25．用一个平面截一个几何体，所截出的面出现了如图所示的四种形式，试猜想，该几何体可能是 ．
26．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是
27．如图是一个五棱柱，用平面将其截成两个几何体，若其中一个几何体为三棱柱，则另一个几何体最少有 个面．
28．一块长方体的木块，从左面和右面分别裁去长为2厘米和5厘米的长方体，成为一个正方体后，表面积减少了84平方厘米，那么原来长方体的体积为 ．
29．如果用平面截掉一个长方体的一个角（即切去一个三棱锥），则剩下的几何体最多有 顶点，最少有 条棱．
30．一块方形蛋糕，一刀切成相等的两块，两刀最多切成4块，试问：五刀最多可切成 块蛋糕，十刀最多可切成 块（要求：竖切，不移动蛋糕）．
二、解答题
31．图中各几何体的截面分别是什么形状？
32．如图所示，在长方形ABCD中，，，现绕这个长方形的一边所在直线旋转一周得到一个几何体．请解决以下问题：
(1)说出旋转得到的几何体的名称？
(2)如果用一个平面去截旋转得到的几何体，那么截面有哪些形状（至少写出3种）？
(3)求旋转得到的几何体的表面积？（结果保留）
33．一个圆柱的底面半径是，高是，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．
(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
(3)怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你求出这个截面面积．
34．用平面截正方体，截面的形状可以是长方形吗？用平面截长方体，截面的形状可以是正方形吗？与同伴进行交流．
35．如图的圆柱体，它的底面半径为2cm，高为6cm
(1)该圆柱的截面图有几种？
(2)你能截出最大的长方形吗？
(3)截得的长方形面积的最大值是多少？
36．我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．
(1)请写出截面的形状；
(2)请直接写出四边形DECB的周长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此边数最少的截面是三角形．
【详解】解：∵用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
∴边数最多的截面是六边形，
故选A．
【点睛】本题主要考查正方体的截面，关键是掌握截面经过正方体的几个面，得到的截面形状就是几边形．
2．B
【分析】根据圆锥、圆柱、正方体、长方体的形状特点逐项判断即可得．
【详解】解：A、圆柱的截面可能是圆、长方形等，此项不符合题意；
B、圆锥的截面可能是圆、三角形，不可能为长方形，此项符合题意；
C、正方体的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形，可能为长方形，此项不符题意；
D、长方体的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形，可能为长方形，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的截面，熟练掌握几何体的形状特点是解题关键．
3．D
【分析】截去的几何体一定有一个面是截面，由于截去的几何体是一个三棱锥，三棱锥的各个面都是三角形，因此截面为三角形，
【详解】解：因为截去的几何体是一个三棱锥，而三棱锥的各个面都是三角形，
所以截面为三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查截一个几何体，理解截面的形状与原几何体的特征之间的关系是正确判断的前提．
4．D
【分析】观察四个几何体，分别用水平平面去截四个几何体，确定每个几何体的截面图形，最后即可得到答案．
【详解】.解：A、圆锥的截面为圆形．
B、球体的截面为圆形．
C、圆柱的截面为圆形．
D、三棱柱的截面为三角形．
故选：D．
【点睛】本题主要是考查了不同几何体的水平截面的形状，熟练掌握不同几何体的形状特点，是求解该题的关键．
5．D
【分析】通过观察可以发现：在长方体内部的三角形自下而上由大圆逐渐变成小圆、最后变成点，由此判定即可．
【详解】解：∵通过观察可以发现：在正方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、最后变成点，
∴这个长方体的内部构造可能是圆锥，故D正确．
故选：D．
【点睛】由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．
6．D
【分析】用一个平面将一个正方体截去一部分，有三种情况，分别画出示意图，即可得到答案．
【详解】解：如图，将一个正方体截去一个角，则其面数增加一个．
如图，将正方体截取右边长方体，此时其面数不变．
如图，将正方体截取外面柱体，此时其面数减小．
故选：D．
【点睛】本题结合截面考查正方体的相关知识．对于一个正方体：截去一部分，则其面数变化不定，利用数形结合的方法解题是关键．
7．A
【分析】根据用一个平面截一个几何体得到的面叫作几何体的截面，对选项进行判断即可．
【详解】解：A、用一个平面去截正方体，截面不可能是七边形，原说法错误，符合题意；
B、用一个平面去截一个球，截面一定是圆，原说法正确，不符合题意；
C、棱柱的截面不可能是圆，原说法正确，不符合题意；
D、用一个平面去截圆锥，截面可能是圆，原说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了截面的性质，截面的形状与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，对于这类问题，最好是动手动脑相结合，从中学会分析和归纳的思想方法．
8．D
【分析】根据圆锥的形状特点判断即可，也可用排除法．
【详解】解：如果用平面去截圆锥，平面过圆锥顶点时得到的截面图形是一个三角形；
如果不过顶点，竖直方向截取，得到的是B选项中的图形；
如果不过顶点，且平面与底面平行，那么得到的截面就是一个圆，如果不与底面平行得到的就是一个椭圆，但是不可能是正方形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
9．B
【分析】一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面．根据正方体、圆柱、圆锥，球、棱柱等的形状特点判断即可．
【详解】截图图形为圆形的常见几何体有：球、圆柱、圆锥、圆台，
根据选项只有B符合要求．
故选：B
【点睛】本题考查的是几何体的截面，解答本题的关键是认识几何体的截面只是几何体的其中一个方面的体现，同一个几何体可能会有不同的截面，不同的几何体也可能会有相同的截面．
10．C
【分析】根据截面与几何体的三个面相交，可得截面是三角形．
【详解】解：用一个平面去截一个几何体，如图：
可以得到三角形的截面的几何体有：圆锥，正方体，三棱柱，
故选：C．
【点睛】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
11．B
【分析】根据立体图形的特征，截几何体的方法进行判定是几边形．
【详解】解：①n棱柱有个顶点，条棱，个面（n为不小于3的正整数），故说法错误；
②圆锥的侧面展开图是一个扇形，故说法错误；
③用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形是正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查了立体图形的性质，几何体的特征，截面图形的边数，解题的关键是熟练掌握几何体的定义．
12．D
【分析】把圆柱锯成3段后，表面积比原来增加了个圆柱的底面积，由此根据圆柱的底面半径求出圆柱的底面积，再乘以4，即可解决问题．
【详解】解：把圆柱锯成3段后，表面积比原来增加了个圆柱的底面积，
表面积增加了：平方厘米，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆柱底面积计算，明确将圆柱锯成3段后，表面积比原来增加了4个圆柱的底面积是解题的关键．
13．B
【分析】正三棱锥的截面中，当截面经过三个面时截面为三角形，当截面经过四个面时截面为四边形．
【详解】解：用平面去截一个三棱锥，截面可能为三角形或四边形，边数最多的是四边形．
故选B．
【点睛】本题考查了截一个几何体：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面；一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形．
14．C
【分析】（1）A选项通过想象可以得出两个黑色实心圆在对面上
（2）B选项就要根据实际图形结合空间想象快速判断出旋转后的物体中间并不是一个点
（3）C选项考虑竖向切割，截面图形是一个四边形
【详解】A、两个黑色实心圆在对面，此选项错误；
B、如图所示：
C、如图所示：
故选：C．
【点睛】主要考查了图形折叠、旋转以及切割之后所得到的的立方图纸，解决这种题目的方法是要多做、多画．
15．D
【详解】如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点个数分别为：7个、8个、9个或10个.
故选D.
16． 圆 等腰三角形
【解析】略
17．12
【分析】观察图形，数剩下的几何体的棱数即可．
【详解】解：观察图形可知：剩下的几何体有12条棱，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了立体图形的认识，截面的形状，考查学生的空间观念，数出剩下的几何体的棱数是解题的关键．
18．长方形．
【分析】根据截面的形状，进行判断即可．
【详解】解：根据题意，截面的形状是长方形，
故答案是：长方形．
【点睛】考察截一个几何体截面的形状，读懂题意，熟悉相关性质是解题的关键．
19．圆锥
【分析】根据长方体、圆柱、圆锥的特点判断即可．
【详解】解：长方体截面形状不可能是圆； 圆柱截面形状可以是长方形也可以是圆形，不会是三角形；圆锥截面形状可能是三角形或圆形．
故答案为：圆锥．
【点睛】此题主要考查了截一个几何体，明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关是解题的关键．
20．32
【分析】过底面圆直径且垂直于底面的截面最大，据此作答即可．
【详解】∵圆柱体的高为8，底面半径为2，
∵过底面圆直径且垂直于底面的截面最大，
∴截面面积最大为，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了求解圆柱体截面面积的知识，得出过底面圆直径且垂直于底面的截面最大，是解答本题的关键．
21．
【分析】根据题目要求和截出的面的形状，即可判定
【详解】解：这个几何体可以是：①三棱柱，③长方体，④圆柱，
用一个平面去截三棱锥，截面的形状不能是四边形，
故答案为：．
【点睛】本题考查了截一个几何体，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
22． 3 7
【分析】根据五棱柱的截面形状判断即可．
【详解】解：用一个平面去截一个五棱柱，
截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，六边形，七边形，
故答案为：3，7．
【点睛】本题考查了截一个五棱柱，熟练掌握五棱柱的截面形状是解题的关键．
23．等边三角形
【分析】根据正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，据此解答即可．
【详解】解：用过正方体上底面的对角线和下底面一个顶点的平面去截这个正方体，则截面形状是等边三角形，如下图．
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查正方体的截面，注意：截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
24．21
【分析】根据截去正方体一个角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，棱数不变即可进行解答．
【详解】解：根据题意得：
，，
∴．
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了正方体的截面，熟练掌握正方体的面数和棱数是解题的关键．
25．圆柱
【分析】根据截面图可知，有圆形和长方形，则该几何体为圆柱．
【详解】平面倾斜竖截圆柱侧面和底面可得图①，平面倾斜竖截圆柱侧面截圆柱可得图②，平面经过两个底面截圆柱可得图③，平面平行与底面截圆柱可得图④，
故该几何体可能是圆柱．
【点睛】本题考查了由平面截几何体得到的平面图形猜测几何体的形状，根据截面为长方形和圆得到几何体是圆柱是解题的关键．
26．7个或8个或9个或10个
【分析】截去正方体一角变成一个多面体，有三种情况：变成的多面体顶点的个数减少1；不变；增加1或2．
【详解】解：如图所示：
将一个正方体截去一个角，则其顶点的个数减少1；不变；增加1或2．
即顶点的个数是7个或8个或9个或10个．
故答案为：7个或8个或9个或10个．
【点睛】本题考查了截一个几何体，分类讨论是解题的关键．
27．6
【分析】用一个平面将一个五棱柱截成两个几何体，其中有一个是三棱柱，根据截面位置的不同，另一个几何体有不同的情况，根据题意画出符合题意的图形，进行比较即可得答案．
【详解】用一个平面去截五棱柱，其中一个为三棱柱，有以下几种截取方法，如图所示：
图1中另一个几何体为四棱柱，有6个面，
图2中另一个几何体为五棱柱，有7个面，
图3中另一个几何体为六棱柱，有8个面，
所以另一个几何体最少有6个面，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了用一个平面截一个几何体，截取所得几何体的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．本题注意分情况讨论．
28．90立方厘米
【分析】设正方体棱长为厘米，根据题意列方程可求得x的值，进而得到原长方体的长、宽、高的值，再计算体积即可.
【详解】设正方体棱长为厘米，
依题意得，
解得，
则原长方体的宽为3厘米，高为3厘米，长为厘米，
则立方厘米．
【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，解题的关键是熟记公式．
29． 10， 12．
【分析】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个顶点、12条棱、7个面；当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个顶点、13条棱、7个面；当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点、14条棱、7个面；当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点、15条棱、7个面．
【详解】解：剩下的几何体可能有：7个顶点、12条棱、7个面；
或8个顶点、13条棱、7个面；
或9个顶点、14条棱、7个面；
或10个顶点、15条棱、7个面．
如图所示：则剩下的几何体最多有10顶点，最少有12条棱，
故答案为10，12．
【点睛】本题考查了截一个长方体一个角的问题，注意分情况讨论，做到不重复不遗漏，有一定的难度．
30． 16 56
【详解】当切1刀时，块数为1+1=2块；
当切2刀时，块数为1+1+2=4块；
当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；
…
当切n刀时，块数=1+（1+2+3…+n）=1+.
n=5代入公式得16,
n=10,代入公式得56.
点睛：找规律题需要记忆常见数列
1，2，3，4……n.
1，3，5，7……2n-1.
2，4，6，8……2n.
2，4，8，16，32……2n.
1，4，9，16，25……n2.
2，6，12，20……n(n+1).
学会常见数列的变形，才能具体问题找到规律.
31．（1）三角形；（2）圆；（3）五边形；（4）长方形
【分析】根据被截的几何体和截面的角度和方向求解即可．
【详解】解：（1）几何体是正方体，是沿一角切割，截面是三角形；
（2）几何体是圆锥，截面与底面平行，截面是圆形；
（3）几何体是五棱柱，截面与底面平行，截面是五边形；
（4）沿圆柱的高线切割，截面是长方形．
【点睛】此题考查了截一个几何体，解题的关键是熟练掌握截一个几何体的方法．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
32．(1)圆柱
(2)长方形、圆形或梯形
(3)平方厘米或平方厘米
【分析】（1）由图形旋转性质可知旋转后得到的几何体是圆柱；
（2）用一个平面截圆柱，从不同角度截取的形状不同；
（3）分情况讨论，找出圆柱的底面半径和高，即可求解．
【详解】（1）解：由图形旋转性质可知，绕长方形的一边所在直线旋转一周后所得立方体为柱体、底面为圆，因此得到的几何体是圆柱．
故答案为圆柱．
（2）解：用一个平面截圆柱，截面形状可能为长方形、圆形或梯形．
（3）解：分情况讨论，若绕边旋转，则所得圆柱的表面积为：
平方厘米；
若绕边旋转，则所得圆柱的表面积为：
平方厘米．
故旋转得到的几何体的表面积为平方厘米或平方厘米．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，截几何体，圆柱的表面积计算等知识点，解题关键是理解点动成线、线动成面、面动成体．
33．(1)所得的截面是圆
(2)所得的截面是长方形
(3)360cm2
【分析】(1)用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；
(2)用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；
(3)求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积．
【详解】（1）解：所得的截面是圆．
（2）解：所得的截面是长方形．
（3）解：当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，
这时，长方形的一边等于圆柱的高，长方形的另一边等于圆柱的底面直径，
这个长方形的面积为:10×2×18=360(cm2) ．
答：这个截面面积是360 cm2．
【点睛】本题考查认识立体图形和截几何体，掌握立体图形的特征和截面的形状是得出正确答案的关键．
34．可以；可以
【分析】根据题意进行相应的操作，根据操作所得结果判断即可．
【详解】解：如图，将平面沿着正方体的上下底面的对角线截取，所得的截面为长方形，
∴用平面截正方体，截面的形状可以是长方形；
如图，将平面竖直截取长方体，若所得截面的底边长和高相等，则所得的截面为正方形，
∴用平面截长方体，截面的形状可以是正方形．
【点睛】本题考查正方体与长方体的截面，认真观察所得截面是解题的关键．
35．(1)5；
(2)能；
(3)24．
【分析】（1）根据圆柱的几何特点从不同的角度去截取可以得出5种不同的图形；
（2）过上下底面圆的直径得到的截面图形为面积最大的长方形；
（3）根据长方形的面积公式即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1所示，可得出以下5种图形；
（2）解：如图2，截面最大的长方形，长为6cm，宽是4cm；
（3）解：截面长方形的面积最大是：；
故截得的长方形面积最大为．
【点睛】此题考查了几何体被截能得到的形状，主要根据截面的形状不仅与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，得出截面最大的长方形是要经过上下底面圆的直径是解决本题的关键．
36．(1)长方形
(2)9
【分析】（1）依据大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱，即可得到截面的形状；
（2）依据△ADE是周长为3的等边三角形，△ABC是周长为10的等边三角形，即可得到四边形DECB的周长．
【详解】（1）由题可得，截面的形状为长方形．
（2）∵△ADE是周长为3的等边三角形，
∴DE＝AD＝1，
又∵△ABC是周长为10的等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴DB＝EC，
∴四边形DECB的周长＝19．
【点睛】本题考查了正三棱柱的截面，底面周长的计算，正确理解正三棱柱的截面是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页