4.5函数的应用（二）同步练习（含解析）

4.5函数的应用（二）同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某厂1995年的产值为万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2007年的产值（万元）是（ ）
A． B． C． D．
2．对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，函数的零点为、
B．函数一定有两个零点
C．函数可能无零点
D．函数的零点个数是1或2
3．函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是函数的一个零点，则（ ）
A． B． C． D．
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足：．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A． B． C． D．
7．已知函数，，，，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（ ）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
二、多选题
9．已知函数有两个不同零点，则（ ）
A．
B．且
C．若，则
D．函数有四个零点或两个零点
10．已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则（ ）
A．震级为2级的地震释放能量为焦耳
B．释放能量为焦耳的地震震级为3级
C．9级地震释放能量是8级地震释放能量的10倍
D．释放能量之比为的两场地震的震级相差2级
12．下列命题为假命题的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．“”是“”的充分必要条件
C．二次函数的零点为和
D．“”是“”的必要不充分条件
三、填空题
13．已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围是 ．
14．已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ．
15．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度．假设在室内温度为的情况下，一杯饮料由降低到需要，则此饮料从降低到需要 min ．
16．若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间 ；（2）若函数存在共鸣区间，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．设，，．令，．
(1)请分别化简下列各式：①；②；③；
(2)结合（1）中的化简结果，谈谈你对对数函数、幂函数、指数函数变化的感受．
18．设函数是偶函数．
(1)求k的值；
(2)设函数，若不等式对任意的恒成立．求实数n的取值范围；
(3)设，当m为何值时，关于x的方程有实根．
19．已知函数，．
(1)若为奇函数，求实数a的值；
(2)在（1）的条件下，当时，函数存在零点，求实数m的取值范围；
(3)定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界．若函数在上是以为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
20．已知集合且，是定义在上的一系列函数，满足.
(1)求的解析式.
(2)若为定义在上的函数，且.
①求的解析式;
②若关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围.
21．近日，随着假期来临，常州市政府积极制定政策，决定政企联动，决定为某制衣有限公司在假期间加班生产提供（万元）的专项补贴．该制衣有限公司在收到市政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时该制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
(1)求该制衣有限公司假期间，加班生产所获收益（万元）关于专项补贴（万元）的表达式，并求当加班生产所获收益不低于35万元时，实数的取值范围；
(2)常州市政府的专项补贴为多少万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益（万元）最大？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】指数函数的实际应用，解答本题只需要从1995年向后写几年就可以得到规律.
【详解】∵某厂1995年的产值为万元，预计产值每年以5%递增，
∴该厂到1996年的产值(万元)为,
该厂到1997年的产值(万元)为,
该厂到1998年的产值(万元)为,
∴该厂到2007年的产值(万元)为.
故选：C．
2．D
【分析】由零点的定义判断A；讨论、确定对应的零点个数判断B、C、D.
【详解】由函数的零点是时对应值，而不是坐标，A错；
若时，显然只有一个零点，
若，，此时函数有两个零点，
所以B、C错，D对.
故选：D
3．A
【分析】分别令、、，根据函数定义域可得的范围，从而求出的范围可得答案.
【详解】令，可得，因为，所以，，
可得，所以；
令，可得，因为，所以，，
可得，所以；
令，可得，因为，所以，，
可得，所以；
综上，.
故选：A.
4．D
【分析】有2个零点，则函数与函数的图象有2个交点，利用函数图象判断实数a的取值范围.
【详解】时，，函数在上单调递减，，
令可得，作出函数与函数的图象如图所示：

由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是．
故选：D．
5．B
【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.
【详解】函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，
故函数在区间上单调递减，
又，.
故选：B
6．C
【分析】根据给定的表达式，代入，解得，根据指对互化，即可求解.
【详解】由，，得，即，
解得，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.6.
故选：C
7．A
【分析】设出代入不等式，化简组成方程组，用和求解即可
【详解】设，且是方程的两实根，则，
所以
.
由题意知，对任意，,
又，，
或，
又，，
方程，即，即，
所以，，
所以，
解得或.
故选：A.
8．A
【分析】判断函数和的图象关于点对称，即可判断曲线与曲线有且只有的两个交点关于点对称，结合函数图象交点与函数零点的关系，可得函数的零点之和.
【详解】由题意定义域为的函数满足，
则的图象关于点成中心对称，
函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到，
故的图象关于点成中心对称，
又曲线与曲线有且只有两个交点，
则这两个交点关于对称，故这两个交点的横坐标之和为2，
而函数的零点即为曲线与曲线交点的横坐标，
故函数的零点之和是2，
故选：A
9．AC
【分析】根据函数零点与方程根的关系可判断A，根据一元二次方程韦达定理可判断BC，根据特殊情况可判断D.
【详解】函数有两个不同零点可知：，故，故A正确；
由韦达定理可得，由于，故可正可负可为0，因此无法判断的正负，故B错误；
当时，则，故C正确；
由，当时，令，可得，此时有3个零点，故D错误，
故选：AC
10．ACD
【分析】作出函数的图象，可判断，结合对数函数性质即可判断A；结合图象可知得，，利用函数图象的对称性可判断B；利用二次函数性质可判断C；利用图象的对称性可推出，从而可得的表达式，结合图象可得参数的范围，即可判断D.
【详解】由题意作出函数的图象如图，

对于A，由题意结合图象可知，
因为，所以，即，
所以，A选项正确；
当时，，所以.
又结合图象得，，所以，
即所以，B选项错误；
因为当时，，
所以当时，的图象关于直线对称，
所以，
又，此时在上单调递增，所以，C选项正确；
因为与，与关于直线对称，所以.
又与关于直线对称，所以，
所以，所以.
结合图象可知，所以，D选项正确，
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：根据题意可作出函数的图象，由此可判断的范围，结合各选项，数形结合，即可求解.
11．BD
【分析】利用给定的关系式，逐项计算判断即可得解.
【详解】对于A，当时，，解得，A错误；
对于B，当时，，解得，B正确；
对于C，令9级地震释放能量为，8级地震释放能量为，
则，于是，C错误；
对于D，释放的能量为，对应的震级为，释放的能量为，对应的震级为，
则，且，两式相减得，解得，D正确.
故选：BD
12．ABC
【分析】根据命题的否定的定义判断A，根据充分性和必要性的概念判断BD，根据函数零点的定义解方程判断C即可.
【详解】选项A：命题“”的否定是“”， A为假命题；
选项B：由基本不等式可知当时，，当且仅当时等号成立，故充分性成立，
当时，满足，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，B为假命题；
选项C：由解得或，所以二次函数的零点为和，C为假命题；
选项D：若，则或，充分性不成立，若，则，必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，D为真命题，
故选：ABC
13．
【分析】作出图象，令，可知方程有个不等实根，采用数形结合的方式可确定的取值范围，结合二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果.
【详解】作出函数的图象如下图所示，

令，
关于的方程有个不同的实根，
方程有个不同的实根，
，解得：或；
与与共有个交点，
不妨令，又，
或，
设，
当时，，解得：；
当时，，不等式组无解；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题的基本思路是通过换元法和数形结合的方式，将问题转化为一元二次方程根的分布的问题，通过两根的范围，结合二次函数零点分布的知识来构造不等式组求解.
14．
【分析】本题即求方程的所有根的集合，先解方程，得到，然后再解方程，可得所求．
【详解】函数的零点，即方程的所有根，
令，根据函数，方程的解是，
则方程的根，即为方程的根，
当时，，由，，
当时，，由，，
综上，函数所有零点构成的集合是.
故答案为：.
15．60
【分析】由给定函数模型及已知求得，再求饮料从降低到需要的时间即可.
【详解】由题设，
所以.
故答案为：60
16． 或或（三个写其中任何一个都可以）
【分析】第一空：设是区间上的共鸣区间，由可得结果；第二空：根据题意转化为方程在上有两个不等的实根，令转化为在上有两个不等的实根，令，利用二次函数的性质列式可得答案.
【详解】设区间为函数的共鸣区间，
因为在上单调递增，且在上的值域也为，
所以，即，因为，
解得，或，或，
所以的共鸣区间为或或（三个写其中任何一个都可以）；
因为函数在上单调递增，
若存在共鸣区间，则，
即，也就是方程在上有两个不等的实根，
令，得，
所以在上有两个不等的实根，
令，所以在上有两个不等的实根，
则，解得，
则实数的取值范围是，即.
故答案为：或或（三个写其中任何一个都可以）；.
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键点是利用等价转化思想将问题转化为二次函数的零点问题求解.
17．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）将，分别带入①②③中的各表达式，由指数和对数运算法则即可化简得出结果；
（2）根据（1）中化简得出的结果可知，当自变量的增量相同时，不同函数的增长速度各不相同.
【详解】（1）①将，代入可得；
②将，代入可得；
③将，代入可得
（2）结合（1）中的化简结果可知，
对数函数、幂函数、指数函数都会随着的增大而增大，但是它们的增长速度不同，
当自变量的增量相同时可知，对数函数的增长速度越来越慢，
幂函数、指数函数的增长速度越来越快，且的增长速度大于.
18．(1)2
(2)
(3)答案见详解
【分析】（1）利用偶函数的定义即可求出的值；
（2）结合（1）可得的解析式，从而可得的解析式，进而可将原不等式可转化为在上恒成立，再求的最小值即可；
（3）利用换元法令，得到，将原问题转化为关于的一元二次方程的解的个数即可．
【详解】（1）由函数是定义域在R上的偶函数，
则对于，都有，即，
即对于，都有，得．
（2）结合（1）可得，
则，
令，
由在R上单调递增，在R上单调递减，
所以在上单调递增，得，
则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立，
所以即可，
又，
由对勾函数的性质可得当时，取得最小值，
所以的最小值为，即，
所以实数n的取值范围为．
（3）令，，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值，
所以，则，
令，则，
由对勾函数的图象和性质可得，
当时，关于的方程有1个解；
当时，关于的方程有2个解，
则原问题转化为关于的方程的根的个数，
令，则表示开口向上的抛物线，
又，
当，即时，无解，
当时，由解得，关于的方程有1个解；
当时，则，
又的对称轴，
所以有唯一解，且，即其关于的方程有2个解；
当时，有两不等实根，，
因为的对称轴，且，
所以有1个正数解，即关于的方程有2个解；
当时，有两不等实根，，
因为的对称轴，
所以当，即时，有两不相等的正数解，此时关于的方程有4个解；
当，即时，有一个零解，一个正数解，此时关于的方程有3个解；
当，即时，有一个正数解，此时关于的方程有2个解；
综上所述，
当时，方程无实数根；
当时，方程有1个根；
当或时，方程有2个根；
当时，方程有3个根；
当时，方程有4个根．
【点睛】思路点睛：本题的难点在于需利用换元法将复杂的问题转化为一元二次函数的形式，第（3）问注意换元后关于的方程需有非负根，可利用对称轴和韦达定理分析根的符号情况，降低计算难度．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义即可化简求解，
（2）利用换元法以及二次函数的性质即可求解最值，
（3）利用对勾函数的单调性，分别利用函数单调性求解，的最值即可求解.
【详解】（1）因为为奇函数，所以对定义域内的x，有恒成立，
即，即，解得，
经检验，不合题意，故；
（2）由（1）得，
令，则，由，所以，
当时，，当时，，
所以值域为，
又因为函数存在零点，等价于方程有解，
所以实数m的取值范围是；
（3）由已知，在上恒成立，即在上恒成立，
令，由，所以，得，
即在上恒成立，记，，
易得在上单调递增，所以，
由于，当且仅当时取等号，故，
因此实数a的取值范围是．
20．(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）根据计算即可；
（2）①根据，分别令，利用方程组法即可得解；
②由①得，分离参数可得，令，，则转化为在上仅有一个实根，再结合函数图象即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
，
；
（2）①由（1）得①，
又，
则②，
③，
由得④，
由得，
所以；
②由①得，
即，
即，
即，
当时，不成立，
所以，
故，
令，
因为，故，
所以在上仅有一个实根，
令，
则，
即在上仅有一个实根，
如图所示，画出函数的图象，
由图可知，或，
所以或.
【点睛】关键点点睛：令，利用方程组法是求解函数得解析式得关键.
21．(1)，
(2)3万元
【分析】（1）根据题意写出解析式，解不等式可得实数的取值范围；
（2）化简解析式，利用均值不等式求最值即可得解.
【详解】（1）由题意可得．
因为，所以．
由，得，即，
所以，又，
所以实数的取值范围是．
（2）因为 ．
又因为，所以，
所以（当且仅当时取“=”），
所以，即当万元时，取最大值36万元．
答：常州市政府的专项补贴为3万元时，该制衣有限公司假期间加班生产所获收益最大．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页