专题1.4展开与折叠 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.4 展开与折叠（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】正方体的展开与折叠
正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图
【例1】
1．下列图形中不能折叠成正方体的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
2．如图，点，是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点，在正方体上的位置标记正确的是（ ）

A． B． C． D．
【知识点2】柱体的展开与折叠
柱形的展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的。
常见的棱柱展开图有以下几种：
【例2】
3．下列图形中，经过折叠不能得到三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
4．如图，是某一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A．五棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
【知识点3】圆柱、圆锥的展开与折叠
圆柱侧面展开图 圆锥侧面展开图
【例3】
5．如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．三棱柱 D．圆锥
【变式】
6．如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
【题型一】正方体的展开图
【例1】
7．下列展开图中，是正方体展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
8．如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【题型二】带图案的正方体展开图
【例2】
9．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（　　）
A． B．C． D．
【变式】
10．如下图的正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A． B． C． D．
【题型三】正方体展开图相对面的识别
【例3】
11．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 ．
【变式】
12．有一个正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，如图是我们能看到的三种情况，如果记6的对面数字为a，2的对面数字为b，那么a+b的值为 ．
【题型四】利用侧面展开图求表面积和体积
【例4】
13．如图是一个食品包装盒的表面展开图．
(1)请写出这个包装盒的形状的名称；
(2)根据图中所标的尺寸，计算此包装盒的表面积和体积．
【变式】
14．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为，长方形的长为，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.
【题型五】求展开图两点折叠后的距离
【例5】
15．某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线．
解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线．
问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线．
【变式】
16．地上有一个正方体物块，一只蜘蛛在正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，现在蜘蛛想尽快捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的？在图上画出来.这样的最短路线有几条？
【题型六】补一个面使图形围成正方体
【例6】
17．如图，某同学在制作正方体模型时，在方格纸上画出几个小正方形图中阴影部分，但由于疏忽少画了一个，请你用两种不同的方法，在下面两个方格纸上分别用阴影补上，使之可以折叠成正方体．
【变式】
18．如（1）（2）（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面．
试卷第6页，共6页
试卷第5页，共6页
参考答案：
1．D
【分析】根据立方体的展开图判断即可．
【详解】A选项的图形可以折叠成正方体；
B选项的图形可以折叠成正方体；
C选项的图形可以折叠成正方体；
D选项的图形不能折叠成正方体；
故选D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
2．C
【分析】根据正方体展开图直接判断即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
，在相对的两面，且与相邻正方形顶点重合，故，在同一条棱上，
故选C；
【点睛】本题考查正方体展开图，解题的关键是熟练掌握展开图的相对相邻面及相邻棱之间的关系．
3．C
【分析】根据平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特点进行逐一判断即可．
【详解】解：A、可以折叠成三棱柱，不符合题意；
B、可以折叠成三棱柱，不符合题意；
C、不可以折叠成三棱柱，符合题意；
D、可以折叠成三棱柱，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查立体图形的展开图，熟记常见立体图形的表面展开图的特征是解决此类问题的关键．
4．D
【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
5．D
【分析】根据各几何体的展开图，进行判断即可．
【详解】解：∵圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，
∴这个几何体是圆锥．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握各几何体的展开图是解本题的关键．
6．C
【分析】由圆锥展开图的特点判断即可.
【详解】因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．
故选：C
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握圆锥的展开图特点是关键.
7．C
【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，A，D是“田”型，对折不能折成正方体，B是“凹”型，不能围成正方体，由此可进行选择．
【详解】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方体的平面展开图．关键是掌握正方体展开图特点．
8．A
【分析】根据正方体展开图分析即可求解．
【详解】根据正方体展开图分析，
①的对面是⑤，不能裁掉①
故选A
【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．
9．B
【分析】根据图中三角形，圆，正方形所处的位置关系即可直接选出答案．
【详解】三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项A与此不符，所以错误；
三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项C与此也不符，
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B．
故选B．
【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体，同学们可以动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．
10．D
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】解：观察图形可知，正方体纸巾盒的平面展开图是：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
11．路
【分析】先由图1分析出：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，再由图2结合空间想象得出答案．
【详解】解：由图1可知：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，
再由图2可知，1、2、3、4、5分别对应的面是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，
所以第5格朝上的字是“路”．
所以答案是路．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，用空间想象去解决正方体的滚动是解题的关键．
12．7
【分析】从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到对面的数字，即可求得结果．
【详解】一个正方体已知1，4，6，第二个正方体已知1，2，3，第三个正方体已知2，5，6，且不同的面上写的数字各不相同，可求得1的对面数字为5，6的对面数字为3，2的对面数字为4
∴a+b=7
故答案为：7．
【点睛】本题考查正方体相对两个面的数字，根据相邻的面确定出对面上的数字是解题的关键．
13．(1)此包装盒是一个长方体
(2)此包装盒的表面积为：，体积为：．
【分析】（1）根据图示可知有四个长方形和2个正方形组成，故可知是长方体；
（2）根据长方体的表面积公式和体积公式分别进行计算即可．
【详解】（1）由展开图可以得出：此包装盒是一个长方体．
（2）此包装盒的表面积为：2×b2+4×ab=2b2+4ab；
体积为b2×a=ab2．
【点睛】此题考查了几何体的展开图，用到的知识点是长方体的表面积公式和体积公式，解题的关键是找出长方体的长、宽和高．
14．（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm2；体积为：200cm3．
【分析】（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；
（2）根据表面积=四个长方形的面积+两个正方形的面积，体积=底面积×高分别列式计算即可得解．
【详解】解：（1）多余一个正方形，如图所示：
（2）表面积为：，
体积为：
【点睛】本题考查了几何体的展开图以及长方体的表面积、体积的求法，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．
15．最短路线有2条，作图见解析．
【分析】
要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：将正方体的面展开，作出线段AM，
经过测量比较可知，最短路线有2条，
如图所示：
【点睛】
此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．
16．
这样的最短线路一共有6条.
【分析】求从点A到点B的最短路线，在立体图形中难以解决，可以考虑把正方体展开成平面图形来考虑．如图所示，我们都有这样的实际经验，在两点之间，走直线路程最短，因而沿着从点A到点B的虚线走，路程最短，然后再把展开图折叠起来．
【详解】解：所走的最短路线是正方体平面展开图中从点A到点B的连线．
在正方体上，像这样的最短路线一共有六条，如图所示．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短的应用，主要考查学生的空间想象能力和观察图形的能力．
17．详见解析
【分析】根据正方形的展开图的11种形式解答即可．
【详解】解：如图所示；
【点睛】考查了作图应用与设计作图，几何体的展开图，熟记正方体展开图的常见的11种形式是解题的关键．
18．见解析
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：如图，添加一个正方形，折叠后才能围成一个正方体，
【点睛】本题考查展开图折叠成几何体的知识，注意掌握只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
答案第2页，共6页
答案第3页，共6页