专题2.15有理数的减法 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.15 有理数的减法（知识梳理与考点分类讲解）
核心要点：有理数的减法；有理数减法的运用；
知识链接：有理数的减法．
【知识点】有理数减法法则
1.法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；
（1）用字母表示：a－b＝a＋（－b），其中a，b表示任意有理数；
（2）将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
【考点一】有理数的减法运算
【例1】
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【举一反三】
【变式1】
2．计算：
(1)
(2)；
(3)
(4)
【变式2】
3．在计算： 时，甲同学的做法如下：
(1)在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是
(2)请给出正确的解题过程
【考点二】有理数减法的实际运用
【例2】
4．某矿井下，，三处的海拔高度分别为米，米，米．
(1)求处比处高多少米？
(2)求处比处高出多少米？
【举一反三】
【变式1】
5．落实“双减”政策后，学生有了更多的时间进行自主支配．婷婷同学利用晚上的时间坚持阅读，她每天以阅读30分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．如表是她一周阅读情况的记录（单位：分钟）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与标准的差（分钟） 5 +10 10 +13 2 0 +8
(1)星期五婷婷读了 分钟；
(2)她读书时间最多的一天比最少的一天多多少分钟；
(3)求她这周平均每天读书的时间．
【变式2】
6．某自行车一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是每周的生产情况（超产为正，减产为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +4 -2 -5 +12 -12 +18 -9
(1)根据记录可知后三天共生产多少辆？
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？
(3)该厂实行计件工资，每生产一辆车可得60元，若当天超额完成，则超过部分每辆奖励15元；若当天没有完成生产计划，每少生产一辆则扣15元，那么这一周工厂工人的工资总额是多少？
【考点三】运用法则判断和差符号
【例3】
7．实数、在数轴上对应的点如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．
【举一反三】
【变式1】
8．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下面式子中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】
9．在数轴上有A、B两点，A点表示的数为，A点与B点之间的距离为5个单位长度，则B点表示的数的相反数是（ ）
A．3 B． C．或7 D．3或
【考点四】运用法解决数轴上两点之间距离
【例4】
10．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
(1)______；
(2)若，求的值；
(3)求的最小值．
【举一反三】
【变式1】
11．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
(1)请你根据图中（在与的正中间）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数是 ___________，是___________；
(2)结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
数轴上表示4和的两点之间的距离是 ___________，表示和两点之间的距离是 ___________，与点的距离为3的点表示的数是___________；
一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，即，那么___________．
【变式2】
12．同学们都知道表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，请你借助数轴进行以下探索：
(1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为______；
(3)如果，则x的值是______．
【考点五】有理数减法法则与绝对值综合
【例5】
13．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列关系式中正确的有 个．
①； ②； ③； ④．
【举一反三】
【变式1】
14．如图所示，数轴上点A、B对应的数分别为a、b，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
15．下列结论中不正确的是（ ）
A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．若a＜0，b＞0，则a－b＜0
C．若a＜0，b＜0，则a－(－b)＜0 D．若a＜0，b＜0，且＞ ，则a－b＞0
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，进行计算即可；
（2）异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此运算法则进行计算即可；
（3）根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，据此计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】此题考查了有理数的加减法运算，熟练掌握有理数的加法、减法运算法则是解答此题的关键．
2．(1)
(2)0
(3)
(4)
【分析】根据有理数减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，计算即可．
【详解】（1）解：原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝；
（4）原式＝．
【点睛】本题主要考查的是有理数减法运算，根据其法则将减法转化成加法运算，注意运算结果符号．
3．(1)①
(2)见解析
【分析】（1）根据添括号法则判断即可；
（2）根据有理数的加减运算法则计算即可．
【详解】（1）解：在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是①；
（2）正确的过程为：
=
=
=6
【点睛】本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解答本题的关键．
4．(1)米
(2)米
【分析】(1)根据在同一基准下，计算差值，将所对应的值直接相减即可；
(2)根据在同一基准下，计算差值，将所对应的值直接相减即可；
【详解】（1）解： 米，
答：处比处高米；
（2）米，
答：处比处高米．
【点睛】本题考查了有理数减法的应用，掌握有理数加减法法则是解题的关键．
5．(1)28
(2)23分钟
(3)32分钟
【分析】（1）列出算式，再求出即可；
（2）用其中最大的正整数减去最小的负整数即可；
（3）先求出读书的总时间，再除以7即可．
【详解】（1）解：302＝28（分钟），
即星期五婷婷读了28分钟；
故答案为：28；
（2）解：13（10）＝23（分钟），
即她读得最多的一天比最少的一天多了23分钟；
（3）解：5+1010+132+0+8＝14（分钟），
14÷7+30＝32（分钟），
答：她这周平均每天读书的时间为32分钟．
【点睛】本题考查了有理数的实际应用，准确读取题意，并求出相关量是解题的关键．
6．(1)后三天共生产597辆
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产30辆
(3)这一周工厂工人的工资总额是84450元
【分析】（1）根据记录可知，后三天共生产了200×3+（-12+18-9）辆自行车；
（2）用产量最多的一天减去产量最少的一天即可车；
（3）先计算超额完成几辆，然后再求算工资．
【详解】（1）解： 200×3+（-12+18-9）＝597 （辆）；
故后三天共生产597辆．
（2）解：18-（-12）＝30（辆）
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产30辆；
（3）解：+4-2-5+12-12+18-9＝6，
（1400+6）×60+6×15＝84450（元）．
答：这一周工厂工人的工资总额是84450元．
【点睛】本题考查正数和负数，有理数运算在实际生活中的应用，利用所学知识解答实际问题是我们应具备的能力，这也是今后中考的命题重点．认真审题，准确地列出式子是解题的关键．
7．D
【分析】根据图中的点的位置即可确定a、b的正负，即可判断．
【详解】解：根据数轴可知：、．
∴．故选项A错误；
．故选项B错误；
．故选项C错误；
．故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查数轴与实数对应关系、绝对值、有理数的加减法，乘除法知识，熟记运算法则是解题的关键．
8．C
【分析】分析数轴可知，，，再利用有理数的加减法逐一判断即可得到答案．
【详解】解：，
，A选项不符合题意，错误；
，，
，B选项不符合题意，错误；
，，
，C选项符合题意，正确；
，，
，D选项不符合题意，错误，
故选C．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减法，掌握绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题关键．．
9．C
【分析】根据题意得出两种情况：当点在表示的点的左边时，当点在表示的点的右边时，列出算式求出再求相反数即可．
【详解】解：分为两种情况：①当点在表示的点的左边时，数为；
②当点在表示的点的右边时，数为，
∴B点表示的数是3或，
则B点表示的数的相反数是或7；
故选：C．
【点睛】本题考查的是数轴的特点，即数轴上两点之间的距离等于两点坐标之差的绝对值．
10．(1)6；
(2)7或；
(3)3．
【分析】（1）根据两点间的距离求解即可；
（2）根据两点间的距离，分两种情况求解；
（2）根据两点间的距离求解即可．
【详解】（1）∵表示4和之间的距离，
∴．
故答案为：6；
（2）∵，
∴x和2两数在数轴上的对应点之间的距离为5，
∴或．
（3）由题意，可知表示数x到1和的距离之和．
当时，如图1：
此时，数x到1和的距离之和为3；
当时，如图2：
此时，数x到1和的距离之和大于3；
当时，如图3：
此时，数x到1和的距离之和大于3．
综上所述，的最小值为3．
【点睛】本题考查了两点间的距离，正确理解两点间距离的含义是解答本题的关键．
11．(1)1，
(2)6，2；和4，1或
【分析】（1）利用数轴知识填空；
（2）利用数轴知识填空；利用数轴知识、绝对值的定义、有理数的加减运算计算即可得到答案．
【详解】（1）解：有理数是1，有理数是，
故答案为：1，；
（2）解：数轴上表示4和的两点之间的距离是：，
表示和两点之间的距离是：，
令与点的距离为3的点表示的数是，则，解得：或，
与点的距离为3的点表示的数是：或4，
故答案为：6，2，或4；
，
，
或，
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了数轴和两点间的距离，解题的关键是掌握数轴知识和有理数的加减运算，绝对值的定义．
12．(1)7
(2)
(3)7或
【分析】（1）根据距离公式即可解答．
（2）根据距离公式即可解答．
（3）利用数轴求解即可．
【详解】（1）数轴上表示与两点之间的距离是：
故答案为：7．
（2）数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为：
故答案为：．
（3）∵
∴x在2的左侧或右侧，距离点2距离为5
x在2的左侧时，x表示的数是
x在2的右侧时，x表示的数是
故答案为：或．
【点睛】此题考查了数轴、有理数、绝对值、去绝对值以及理解绝对值的几何意义是解题的关键．
13．2
【分析】利用数轴上点位置确定出m，n的符号和它们绝对值的大小，再利用有理数的加减法法则解答即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴，．
∴①④正确，②③错误，
∴正确的有2个，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减法，绝对值的意义，数轴，利用数轴上点位置确定出m，n的符号和它们绝对值的大小是解题的关键．
14．D
【分析】根据图示，可得，而且，据此逐项判断即可．
【详解】解：根据图示，可得，且，
∴，，，，
故选D．
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，有理数加减运算法则以及绝对值的含义，解答此题的关键是判断出：，而且．
15．D
【分析】根据有理数的加法法则和减法法则逐一判断即可．
【详解】解：A、若a＞0，b＞0，则a＋b＞0，故本选项结论正确，不符合题意；
B、若a＜0，b＞0，则a－b＜0，故本选项结论正确，不符合题意；
C、若a＜0，b＜0，则a－(－b)＜0，故本选项结论正确，不符合题意；
D、若a＜0，b＜0，且＞ ，则a－b＜0，故本选项结论错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的加法，属于基础题型，熟练掌握加法法则是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页