专题1.13丰富的图形世界 全章知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.13 丰富的图形世界（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形．
【知识点2】点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形．
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线．
面：包围着体的是面，分为平面和曲面．
体：几何体也简称体．
（2）点动成线，线动成面，面动成体．
【知识点3】生活中的立体图形
生活中的立体图形：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……
（按名称分）
球体：由球面围成的（球面是曲面）
圆柱：圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成．
圆锥：圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成．
【知识点4】棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱．
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱．
棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形
根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……
长方体和正方体都是四棱柱．
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点．
【知识点5】正方体的平面展开图：11种
1-4-1型：6种
2-3-1型：3种
2-2-2型：1种
3-3型：1种
【知识点6】截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形．
【知识点7】三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图．
主视图：从正面看到的图，叫做主视图．
左视图：从左面看到的图，叫做左视图．
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图．
【题型一】生活中的立体图形
【例1】
1．如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的．
【例2】
2．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
四面体棱数是 ；正八面体顶点数是 ．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
【变式】
3．一个六棱柱的顶点个数、棱的条数、面的个数分别是（　　）
A．6、12、6 B．12、18、8
C．18、12、6 D．18、18、24
【例3】
4．探究：有一长6，宽4的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
(1)请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
(2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？
【变式】
5．下列图形旋转一周，能得到如图几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【题型二】展开与折叠
【例4】
6．如图是一个长方体纸盒的展开图，如果长方体相对面上的两个数字之和相等，求的值．
【变式】
7．如图正方体纸盒，展开图可以得到（ ）
A． B．
C． D．
【例5】
8．如图所示，图1为一个棱长为8的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：
（1）如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则______，______．
（2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是______（填“x”或“y”或“2”）
（3）图1中，点M为所在棱的中点，在图2中找点M的位置，直接写出图2中△ABM的面积．
【变式】
9．图是边长为的六个小正方形组成的图形，它可以围成图的正方体，则在图中，小虫从点沿着正方体的棱长爬行到点的长度为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5】
10．如图是一个立体图形的展开图，每个面上都标注了数字（图示立体图形的面为立体图形的外表面），请根据要求回答问题：
（1）如果面1在立体图形的顶部，那么哪一面会在下面？
（2）如果面3在前面，从左面看是面2，那么哪一面会在上面？
（3）如果面5在后面，从右面看是面4，那么哪一面会在下面？
【变式】
11．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　）
A． B．
C． D．
【题型三】截一个几何体
【例5】
12．将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为 ．
【变式1】
13．如图中几何体的截面分别是 ．
【变式2】
14．如图①②③是将正方体截去一部分后得到的几何体．
（1）根据要求填写表格：
图 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
①
②
③
（2）猜想f，v，e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个几何体有2021个顶点，4035条棱，试求出它的面数．
【题型四】从三个方向看物体的形状
【例6】
15．画出下面由11个小正方体搭成的几何体从不同角度看得到的图形．
(1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．
(2)小立方体的棱长为3cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
(3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有______种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形．
【变式1】
16．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体，请画出这个几何体的从正面看，从左面看和从上面看的平面图形．（用阴影表示）
【变式2】
17．用小立方块搭一个几何体，如图是从正面和上面看到的几何体的形状图，最少需要 个小立方块，最多需要 个小立方块．
【变式3】
18．如图，6个边长为1的正方体组成一个几何体，从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图的面积之和是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．见解析．
【分析】根据生活中常见的几何体的特征进行求解即可得到答案．
【详解】解：图①是由底面完全重合的圆锥和圆柱组合而成的；
图②是由底面完全重合的两个圆锥组合而成的；
图③是由完全相同的四个正方体组合而成的．
【点睛】本题主要考查了立体图形中的几何体，解题的关键在于能够熟练掌握常见的几何体的特征．
2．(1)6；6；V+F-E=2
(2)12
(3)a+b=14．
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为a+b的值．
【详解】（1）解：四面体的棱数为6；
正八面体的顶点数为6；
关系式为：V+F-E=2；
故答案为：6；6；V+F-E=2；
（2）解：∵一个多面体的面数比顶点数小8，
∴V=F+8，
∵V+F-E=2，且E=30，
∴F+8+F-30=2，
解得F=12；
故答案为：12；
（3）解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F-36=2，
解得F=14，
∴a+b=14．
【点睛】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
3．B
【分析】一个六棱柱是由两个六边形的底面和6个长方形的侧面组成，根据其特征进行填空即可．
【详解】一个六棱柱的顶点个数是12，棱的条数是18，面的个数是8．
故选B．
【点睛】此题主要考查了认识立体图形，利用n棱柱有2n个顶点，有（n+2）个面，有3n条棱得出是解题关键．
4．(1)按方案一方法构造的圆柱体积大；
(2)将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为144 cm3或96 cm3
【分析】（1）分别按方案一，方案二转法，根据体积公式找出半径与高，代入计算即可；
（2）分两种情况，按长方形长边所在的直线为轴旋转360°，绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，确定半径与高代入体积公式计算即可．
【详解】（1）解：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=3cm，
体积为：cm3，
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=2cm，
体积为：cm3，
按方案一方法构造的圆柱体积大；
（2）解：分两种情况
绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，得到的圆柱体积为cm3;
绕长方形绕长边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为cm3，
综合将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为144 cm3或96 cm3．
【点睛】本题考查基本图形旋转得到的体积问题，掌握解决旋转半径与圆柱体的高是解题关键．
5．A
【分析】根据面动成体，判断出各个选项旋转得到的立体图，即可得出结论．
【详解】A．旋转一周可得本题的几何体，故选项正确，符合题意；
B．旋转一周为两个圆锥结合体，故选项错误，不符合题意；
C．旋转一周为圆锥和圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；
D．旋转一周为两个圆锥和一个圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了面动成体，解题的关键是要有空间想象能力，熟悉并判断出旋转后的立体图形．
6．16
【分析】分别找到x与y相对的数字即可求解．
【详解】因为这是长方体纸盒的展开图，
所以“4”与“10”相对，“”与“2”相对，“6”与“”相对，
所以，
所以，，
所以．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，正确找出相对面是解题的关键．
7．A
【分析】根据折叠后圆、等于符号及小于符号所在的面的位置进行判断即可.
【详解】解：A.圆、等于符号及小于符号所在的面折叠后互为邻面，且小于符号的开口与等于符号开口一致，符合题意；
B.小于符号与等于符号的面折叠后是对面，不符合题意;
C.折叠后，小于符号的开口方向与等于符号开口方向不同，不符合题意;
D.折叠后，小于符号开口没有指向圆，不符合题意.
故答案选A.
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图,明白对面相隔不相邻这一原则以及正确区分折叠后图形的相对位置是解题的关键.
8．（1）12；8（2）2；（3）16或80
【分析】（1）正方体展开图中，相对的两个面之间必然隔着一个正方形，由此知道“2”与“x”是相对面，“4”与“10”是相对面，“6”与“y”是相对面，由相对面两个数之和相等，列式计算即可；
（2）由相邻面和相对面的关系，分析判断即可得到答案；
（3）由点M所在的棱为两个面共用，可以判断得到点M的位置，根据三角形面积公式，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵正方体相对面上的两个数字之和相等
∴，
∴，
故答案为：12；8
（2）若面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是“2”
（3）因为点M所在的棱为两个面共用，所以它的位置有两种情况，第一种情况如下图：
设点M左边的顶点为点D，则
第二种情况如下图：
综上所述，的面积为：16或80
【点睛】本题考查正方体的展开图，能够准确区分展开图的相对面和相邻面是解题的关键．
9．B
【分析】将图1折成正方体，然后判断出A、B在正方体中的位置关系，从而可得到AB之间的距离．
【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出AB=1，
则小虫从点A沿着正方体的棱长爬行到点B的长度为1．
故选B．
【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键．
10．（1）面3会在下面.（2）面4会在上面.（3）面3会在下面.
【分析】把图中所示的展开图折叠成立体图形，标有数字1的面与标有数字3的面相对，标有数字2的面与标有数字5的面相对，标有数字6的面与标有数字4的面相对.
【详解】根据题意和图示：
（1）面3会在下面；（2）面4会在上面；（3）面3会在下面.
【点睛】本题考查了学生的空间想象能力及推理判断能力.
11．B
【分析】根据正方形展开图的特征，判断各个面的对面、邻面的特征即可．
【详解】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符，
只有B折叠后符合，
故选：B．
【点睛】此题考查的是正方体的展开图，掌握利用正方形展开图的特征判断各个面的对面、邻面的特征是解决此题的关键．
12．15条或14条或12条或13条
【分析】根据长方体的特征：长方体有12条棱．在顶点处截去一个角就多出三条棱，但是长方体原本的12条棱少了几条要画图分类讨论．
【详解】①
（条）；
②
（条）；
③
（条）；
④
（条）；
答：所得立体图形的棱的条数为15条或14条或12条或13条
故答案为：15条或14条或12条或13条
【点睛】本题考查了长方体的特征和截长方体，明确在顶点处截去一个角就多出3条棱是解题关键．
13．长方形，等腰三角形
【详解】试题解析：①中几何体的截面是矩形，②中几何体的截面是等腰三角形，
14．（1）7；9；14；6；8；12；7；10；15；（2）f＋v－e＝2；（3）2016
【分析】（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出f+v-e=2．
（3）代入f+v-e=2求出即可．
【详解】解：（1）图①，面数f=7，顶点数v=9，棱数e=14，
图②，面数f=6，顶点数v=8，棱数e=12，
图③，面数f=7，顶点数v=10，棱数e=15，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）f+v-e=2．
（3）∵v=2021，e=4035，f+v-e=2
∴f+2021-4035=2，
f=2016，
即它的面数是2016．
【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律．
15．(1)见解析；
(2)315cm2 ；
(3)2
【分析】（1）根据三视图的画法，画出这个简单组合体的三视图即可；
（2）分别求出最上层，中间层和最下面一层需要涂色的面，即可求解；
（3）根据再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：由题意可知，几何体的最上层一共有5个面需要涂色，中间一层一共有12个面需要涂色，最小面一层一共有18个面需要涂色，
∴一共用12+18+5=35个面需要涂色，
∴涂上颜色部分的总面积
（3）解：如图所示，一共有2种添加方法．
【点睛】本题主要考查了画简单几何体的三视图，简单组合体的表面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．
16．见解析
【分析】画出从正面、左面、上面看到的形状即可．
【详解】解：如图所示
【点睛】本题考查了从不同方向看到的几何体．应注意“长对正、宽相等、高平齐”．
17． 9 13
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加即可；
【详解】解：搭这样的几何体最少需要个小正方体，
最多需要个小正方体；
故答案为：9，13．
【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
18．13
【分析】先画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图，确定小正方形的和，乘以面积1即可
【详解】∵几何体从三个方向看的几何体的形状图如下：
∴从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图的面积之和是（5+4+4）×1×1=13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了从正面、左面、上面看几何体的形状图，正确画出形状图是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页