专题1.15丰富的图形世界 分层练习提升篇（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题1．15 丰富的图形世界（分层练习）（提升篇）
一、单选题
1．在下列几何体中，四棱锥是（ ）
A． B． C．D．
2．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图为几何体的平面展开图，则从左到右其对应的几何体名称分别为（ ）
A．正方体，三棱锥，圆锥，圆柱 B．正方体，四棱锥，圆锥，圆柱
C．正方体，四棱柱，圆锥，圆柱 D．正方体，三棱柱，圆锥，圆柱
4．如图的图形是（ ）正方体的展开图．
A． B． C． D．
5．用一个平面截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（ ）．
A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱锥 D．以上都可能
6．如图，一正方体截去一角后，剩下的几何体的面数和棱数分别为（ ）
A．6，14 B．7，15 C．7，14 D．6，15
7．下列图形，从三个方向看形状是一样的是（ ）
A． B． C． D．
8．圆柱与圆锥的体积之比为2：3，底面圆的半径相同，那么它们的高之比为（ ）
A．2：3 B．4：5 C．2：1 D．2：9
9．由4个相同的小正方体搭建了一个积木，从不同方向看积木，所得到的图形如图所示，则这个积木可能是（ ）
A． B． C． D．
10．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成个大小相等的小立方块，设其中仅有个面（，，）涂有颜色的小立方块的个数为，则，，之间的关系为( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．一个直棱柱有12条棱，则它是 棱柱．
12．在一张桌子上摆放着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这个桌子上的碟子共有 个．
13．如图，把一个高9dm的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了．原来这个圆柱的体积是 ．
14．如图是由若干个棱长为2的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 ．
15．正方体木块的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，如图是从不同方向观察这个正方体木块看到的数字情况，数字1和5对面的数字的和是 ．
16．如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ．
17．将一个长，宽的长方形绕它的长边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为 .
18．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要 个小立方块．
三、解答题
19．如图所示的几何体是有8块大小相同的小正方体搭成，在网格中画出从不同方向看到的图形．
20．图中哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？先想一想，再折一折．
21．将一个三角尺绕它的一直角边所在直线旋转一周，可以得到一个圆锥，如果绕它的斜边所在直线旋转一周，所得到的又是什么样的几何体？
22．如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
23．如图，一个边长为10 cm的无盖正方体可以展开成下面的平面图形．
(1)这个表面展开图的面积是 cm2；
(2)你还能在下面小方格中画出无盖正方体的其他不同形状的表面展开图吗？请画出所有可能的情形（把需要的小正方形涂上阴影）；
(3)将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开 条棱．
A．3 B．4 C．5 D．不确定
24．【读一读】
欧拉（Euler，1707~1783），是世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都作出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，并研究出了著名的欧拉公式．
(1)【数一数】观察下列多面体，并把表格补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 八面体
图形
顶点数
棱数
面数
(2)【想一想】分析表中的数据，你能发现，，之间有什么关系吗？请用一个等式表示出它们之间的数量关系： ．
试卷第4页，共5页
试卷第5页，共5页
参考答案：
1．B
【分析】根据常见几何体进行判断即可求解．
【详解】解：A.是三棱柱，不符合题意
B.是四棱锥，符合题意，
C.是三棱锥，不符合题意，
D.是长方形，不符合题意
故选B
【点睛】本题考查了简单几何体的识别，牢记简单几何体的名称是解题的关键．
2．A
【分析】由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题．
【详解】解：A不能围成棱柱，B可以围成五棱柱，C可以围成三棱柱，D可以围成四棱柱．
故选：A．
【点睛】本题考查了棱柱的折叠与展开，熟练掌握棱柱的侧面数等于底面的边数是解题的关键．
3．D
【分析】把每一个几何体的平面展开图经过折叠，再判断能围成什么几何体．
【详解】解：经过折叠后，这些几何体的平面展开图围成的几何体分别是：正方体，三棱柱，圆锥，圆柱，
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握每一个几何体的平面展开图的特征是解题的关键．
4．B
【分析】此图形为正方体展开图的“1 4 1”型，折成正方体，有空白圆与涂色圆的面相对，有两个涂色三角形的面相邻，且一个公共锐角顶点，有涂色圆的面与有两个涂色三角形的非涂色点为公共顶点，有空白圆的面与涂色三角形的两涂色点为公共顶点．据此解答即可．
【详解】解：如图：
是 的正方体展开图．
故选：B．
【点睛】解答此题的关键弄清该正方体展开图折成正方体后，各图案的位置关系．
5．D
【分析】根据圆柱、三棱柱、四棱锥的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．
【详解】解： A、用一个平面去截一个圆柱，可以得到四边形，
B、用一个平面去截一个三棱柱，可以得到四边形，
C、用一个平面去截一个四棱锥，可以得到四边形，
D、根据以上分析可得都有可能；
故选：
【点睛】本题考查了圆柱、三棱柱、四棱锥的几何特征，其中关键是熟练掌握相关旋转体的几何特征，培养良好的空间想像能力．
6．B
【分析】将一个正方体截去一个角，则其面数增加一个;直接数棱数即可.
【详解】将一个正方体截去一个角，则其面数增加一个,故面数为：6+1=7;直接数棱数可得15条棱.
故答案选：B
【点睛】此题考查了将一个正方体截去一个角后的面数及棱数，掌握数几何体的面数及棱数是解题的关键.
7．C
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：A．从上面看是一个圆，从正面和从左边看是一个矩形，故本选项不合题意；
B．从上面看是一个有圆心的圆，从正面和从左边看是一个等腰三角形，故本选项不合题意；
C．从三个方向看形状一样，都是圆形，故本选项符合题意；
D．从上面看是一个正方形，从正面和从左边看是一个长方形形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，从上面看到的图形是俯视图，从正面看到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，正确掌握所观看的方向不同，则所看到的图形也有差异是解题的关键．
8．D
【分析】利用圆柱、圆锥的体积公式，即可算出它们的高之比；
【详解】由题意可知，圆柱的体积=πh1，圆锥的体积=πh2，
∵圆柱与圆锥的体积之比为2：3，
∴，
∴=2：9．
故选：D．
【点睛】本题考查圆锥和圆柱的体积公式，熟练掌握圆锥和圆柱的体积公式计算是解决本题的关键．
9．B
【分析】从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．
【详解】解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层，则选项D不合题意；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，后面有两个，前面靠左侧位置一个，故只有选项B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有三视图判断几何体的组成，关键是熟练把握从各方面看可以得到的结论．
10．D
【分析】根据图示：在原正方体的个顶点处的个小正方体上，有个面涂有颜色；个面涂有颜色的小正方体有个，个面涂有颜色的小正方体有个．
【详解】解：根据以上分析可知：．
故选：D．
【点睛】本题考查立体图形的性质，根据已知得出涂有颜色不同的小立方体的个数是解题关键．
11．四
【分析】依据n棱柱有条棱进行求解即可．
【详解】解：设该棱柱为n棱柱，
根据题意得：．
解得：．
所以该棱柱为四棱柱，
故答案是：四．
【点睛】本题主要考查的是认识立体图形，掌握棱柱的棱的条数和棱柱的底面的边数之间的关系是解题的关键．
12．12
【分析】从俯视图中可以看出最底层碟子的个数及形状，从主视图可以看出碟子的层数和个数，从而算出总的个数．
【详解】解：由三视图可得三摞碟子数从左往右分别为5，4，3，
则这个桌子上共有5+4+3=12个碟子．
故答案为：12．
【点睛】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的个数．
13．
【分析】增加的面积等于底面半径乘以高，再乘以2，由此可以计算出圆柱的底面半径，进而可以算出圆柱的体积．
【详解】解：圆柱的底面半径为：36÷2÷9=2（分米），
故圆柱的体积为：（立方分米），
故答案：．
【点睛】本题考查圆柱的体积，长方形的面积，长方体的表面积，掌握圆周的体积公式是解决本题的关键．
14．40
【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数．
【详解】综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二层有1个小正方体，
因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个．
∴这个几何体的体积是2×2×2×5=40，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了三视图，利用三视图确定正方体的个数是解题的关键．
15．7
【分析】根据所给正方体以及从不同方向观察物体的特点可知，1对面的数字是3，5对面的数字是4，所以数字1和5对面的数字的和是3+4．
【详解】解：由图①知，1对面的数字可能是3，4，6，
再由图②③知，4和1相邻，6和1也相邻，则1对面的数字只可能是3，
同理，5对面的数字是4，
则3+4=7，
答：数字1和5对面的数字的和是7．
故答案为：7．
【点睛】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，是培养学生的观察能力．
16．2
【分析】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离．
【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键．
17．
【分析】长方形绕长边旋转一周以后，得到高为，半径为的圆柱，根据圆柱的体积公式：，即可求解．
【详解】∵长方形绕它的长边所在的直线旋转一周，
∴旋转后的图形为高为，半径为的圆柱，
∵圆柱的体积公式：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握旋转后得到的图形，根据体积公式，进行计算．
18．
【分析】根据三视图判断小立方块的数量，再求出搭成一个大正方体需要的最少数量，即可得到答案．
【详解】解：由三视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，那么共有个几何体组成．
若搭成一个大正方体，共需个小立方体，
所以还需个小立方体，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
19．见解析
【分析】分别从正面、左面和上面观察所给几何体，根据看到的形状作图即可．
【详解】
从正面看 从左面看 从上面看
【点睛】本题考查了从三个方向观察几何体，关键是培养学生的观察能力．
20．（1）不可以；（2）可以；（3）不可以
【分析】逐一对每个图形进行分析，看是否满足围成棱柱的条件即可．
【详解】第（1）个图中两个横截面在棱柱的同一端，而第（3）个中没有横截面，而第（2）个图形可以围成．
【点睛】本题主要考查棱柱，掌握棱柱的特点是关键．
21．见解析
【分析】根据题意作出图形，即可，绕其斜边旋转一周，则有2条直角边旋转，可以看作是斜边上的高将直角三角形分成了2个直角三角形，再由这两个直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周，则得到是2个同底面并且底面重合的圆锥体的组合体．
【详解】如果将一个三角尺绕它的斜边所在直线旋转一周，所得到的是2个同底面并且底面重合的圆锥体的组合体．
如图所示，
【点睛】本题考查了平面图形旋转后的立体图形，理解题意，了解基本简单立体图形是解题的关键．
22．(1)拼图存在问题，多了，图见解析
(2)12cm3
【分析】（1）根据长方体展开图判断．
（2）求出长方体的长，宽，高即可．
【详解】（1）解：拼图存在问题，多了，如图：
（2）解：由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为2cm，2cm，3cm，
∴体积为：2×2×3＝12（cm3）．
【点睛】本题考查几何体的展开图，掌握几何体特征，利用平面图形的长和宽或边长得到立体图形的长宽高是求解本题的关键．
23．(1)500
(2)见解析
(3)B
【分析】（1）根据正方形的面积求解即可；
（2）根据正方体的展开图画出表面展开图即可；
（3）根据题意可得，将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开4条棱
【详解】（1）
故答案为：
（2）如图所示，
（3）根据题意可得，将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开4条棱
故答案为：B
【点睛】本题考查了正方体展开图，掌握正方体的展开图是解题的关键．注意题干是无盖的正方体，所以展开图只有5个面．
24．(1)4；6；12
(2)V+F-E=12
【分析】（1）直接数出三棱锥、三棱柱、正方体、正八面体所要补充的顶点数、棱数和面数即可；
（2）根据表格中的数据归纳规律即可．
【详解】（1）填表如下：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
故答案为：4；6；12
（2）∵，
，
，
，
…，
∴．
即V、E、F之间的关系式为：．
【点睛】本题主要考查了欧拉公式以及图形规律题，通过表格归纳简单多面体顶点数、面数、棱数的规律成为解答本题的关键．
答案第6页，共9页
答案第7页，共9页