专题1.16丰富的图形世界 分层练习培优篇（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.16 丰富的图形世界（分层练习）（培优篇）
一、单选题
1．下列立体图形中，有六个面的是（ ）
A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
2．图中所示几何体从上面看，得到的平面图形为（ ）
A． B． C．D．
3．下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A． B． C．D．
4．一个正方体的截面不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．七边形
5．如图，该立体图形的左视图是（ ）
A． B．C． D．
6．如图是分别从正面、左面和上面看到的平面图形，那么这个几何体是（ ）
A． B．C．D．
7．图①是正方体的表面展开图，该正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体，在图①标注的顶点A、B、C、D中，与点P重合的顶点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
8．一个正方体，六个面上分别写着六个连续的整数，且每两个相对面上的两个数之和相等，如图你能看到的数为7、10、11，则这六个整数的和可能为（ ）．
A．51 B．53 C．55 D．57
9．棱长为3英寸的正方体是由27个单位小正方体组成的，其中有21个红色小正方体，6个白色小正方体，若让大正方体的表面尽可能少地出现白色，则大正方体表面积中白色部分占整个正方体表面积的（　　）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的有（　　）
①n棱柱有个顶点，条棱，个面（n为不小于3的正整数）；
②圆锥的侧面展开图是一个圆；
③用平面去截一个正方体，截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．“天空中的流星”，用数学知识解释为： ．
12．将正方体展开后的平面图如图所示，则在原正方体上“创”的对面是 ．
13．一个棱柱的面数为14，棱数是36，则其顶点数为 ．
14．将棱长为的正方体表面展开成平面图形，不考虑粘贴部分，则平面展开图的周长为 ．
15．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是
16．把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么把一个长为3cm，宽为2cm的长方形，绕它的一条边所在的直线旋转一周后，所得到的圆柱体的体积是 cm3．（结果保留π）
17．如图，一个几何体由若干大小相同的小立方体块搭成，下图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体是用 个小立方块搭成的．
18．如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，搭这个几何体最少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体．
三、解答题
19．（1）如图所示的这些基本图形你很熟悉吧，请你在括号内写出它们的名称；
（2）把这些几何体分类，并写出分类的理由．
20．我们所学的立体图形大致可分为柱、锥、球体，它们是否都可以展成平面图形？若不能，说明为什么；若能，说明展开图有何区别和联系．
21．如图，图①为一个长方体，，图②为图①的表面展开图，请根据要求回答问题：

(1)面“练”的对面是面“　　　”；
(2)图①中，为所在棱的中点，试在图②中画出点的位置，并求出图②中的面积．
22．按要求完成下列视图问题：
(1)如图①，它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后得到新的几何体，与原几何体的形状图相比，没有发生改变的形状图是从________看到的（直接填“正面”、“左面”、“上面”中的一个）；
(2)如图②，如果只保持从正面和左面看到的该几何体的形状图不变，则最多可以再添加________个小正方体（直接填空）；
(3)如图③，它是由几个小正方体组成的从上面看到的该几何体的形状图，小正方形上的数字表示该位置上的小正方体的个数，请你在下面的方格内分别画出从正面和左面看到的该几何体的形状图．
23．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
(1)根据要求填写表格
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 ______ 9 14
图2 6 8 ______
图3 7 ______ 15
(2)猜想f，v，e三个数量间有何关系．
(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2021个，棱数4041条，试求出它的面数．
24．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数 棱数（E）
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是　　．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　　．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
试卷第2页，共6页
试卷第1页，共6页
参考答案：
1．C
【分析】根据各项中几何体的上下底面和侧面综合进行判断即可．
【详解】解：三棱柱有5个面，故A错误；
圆锥有一个曲面和一个平面组成，故B错误；
四棱柱有6个面，故C正确；
圆柱有一个曲面和两个平面组成，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查几何体的特征，熟练掌握简单几何体的特征是解题的关键．
2．D
【分析】根据从上面可以看到三个矩形判断即可．
【详解】解：从上面看，可以看到三个矩形，如图,
故选：D．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，解题关键是建立空间想象能力．
3．C
【分析】根据三棱柱的构造可知展开图，即可解题．
【详解】解：∵三棱柱展开图有3个四边形，2个三角形，三角形在两头，
∴C选项不是三棱柱展开图，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握几何体的性质即可求展开图．
4．D
【分析】用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，据此判断即可．
【详解】用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形，
故选D．
【点睛】本题考查正方体的截面，正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形或者多于七边形．
5．D
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：该立体图形的左视图为D选项．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．C
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱.
【详解】解：主视图和左视图都是长方形，可以判定几何体为柱体，
又俯视图是一个三角形，所以此几何体为三棱柱.
故选C.
【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状.
7．B
【分析】先找出下面，然后折叠，找出正方形位于正方体的哪个面上，点P所在正方形位于正方体的哪个面上，即可找出与点P重合的顶点．
【详解】如图
以正方形1为下面，将正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体时，正方形位于正方形的上面，点P所在正方形在前面，点B与点P重合．
故选B
【点睛】本题考查正方形的展开图和空间想象能力，关键是找出或想象出折叠前后图形的关系．
8．D
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为7，8，9，10，11，12或6，7，8，9，10，11，然后分析符合题意的一组数即可．
【详解】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，
故六个整数可能为7，8，9，10，11，12，
或6，7，8，9，10，11；
且每个相对面上的两个数之和相等，
10＋9＝19，
11＋8＝19，
7＋12＝19，
故只可能为7，8，9，10，11，12其和为57．
故选：D．
【点睛】本题主要考查整数问题的综合运用和几何体的展开图的知识点，解答本题的关键是对几何图形的观察能力和空间想象能力．
9．A
【分析】想使大正方体的表面尽可能少的出现白色，可将8个红色单位正方体放在大正方体的8个顶点处，每个棱上放2个，剩下1个放在外层，再根据大正方体的表面积54，用1减去红色部分占整个表面积的多少即可求得结果．
【详解】解：根据题意：大正方体的表面尽可能少的出现白色，
将8个红色单位正方体放在大正方体的8个顶点处，每个棱的中间放1个，剩下1个放在外层，
∵大正方体的表面积为＝54
∴红色部分占整个表面积的，
∴白色部分占整个表面积的1．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的表面积，解决本题的关键是21个红色小正方体的摆放问题．
10．B
【分析】根据立体图形的特征，截几何体的方法进行判定是几边形．
【详解】解：①n棱柱有个顶点，条棱，个面（n为不小于3的正整数），故说法错误；
②圆锥的侧面展开图是一个扇形，故说法错误；
③用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形是正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查了立体图形的性质，几何体的特征，截面图形的边数，解题的关键是熟练掌握几何体的定义．
11．点动成线
【分析】流星是点，光线是线即可得出
【详解】∵流星是点，光线是线
∴点动成线
故答案为：点动成线
【点睛】本题考查点与线之间的关系，正确理解点、线、面、体之间的关系是关键
12．市
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】正方体的平面展开图中，
相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
所以在原正方体上“创”的对面是“市”．
故答案为：市．
【点睛】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是解题的关键．
13．24
【分析】利用简单多面体的顶点数V，面数F及棱数E之间的关系为：V+F-E=2，这个公式叫做欧拉公式，公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，进而得出答案．
【详解】∵简单多面体的顶点数V，面数F及棱数E之间的关系为：V+F-E=2，
一个棱柱的面数为14，棱数为36，
∴ 顶点数为：V+14-36=2，
解得：V=24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了欧拉公式，正确记忆公式是解题的关键；
14．
【分析】根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，可得出正方体表面展开要剪开的棱的条数，剪开1条棱，增加两个正方形边长，据此即可得到答案．
【详解】解：正方体有个表面，条棱，要展成一个平面图形必须条棱连接，
要剪的棱的数量为：条，
剪开1条棱，增加两个正方形边长，
平面展开图的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图的性质，根据展开图的性质得出一个平面图须有五条棱连接是解题关键．
15．7个或8个或9个或10个
【分析】截去正方体一角变成一个多面体，有三种情况：变成的多面体顶点的个数减少1；不变；增加1或2．
【详解】解：如图所示：
将一个正方体截去一个角，则其顶点的个数减少1；不变；增加1或2．
即顶点的个数是7个或8个或9个或10个．
故答案为：7个或8个或9个或10个．
【点睛】本题考查了截一个几何体，分类讨论是解题的关键．
16．12π或18π##18π或12π
【分析】分绕长边旋转和绕宽边旋转两种情况，分别求出对应圆柱的底面半径和高，再根据旋转的体积=底面积×高求解理解
【详解】解：若绕长边3cm旋转一周，则所得的圆柱的底面半径为2cm，高为3cm，
所以圆柱的体积为π·22×3=12π(cm3)；
若绕宽边2cm旋转一周，则所得的圆柱的底面半径为3cm，高为2cm，
所以圆柱的体积为π·32×2=18π(cm3)，
故答案为：12π或18π．
【点睛】本题考查平面图形旋转后所得的立体图形、圆柱体的体积，熟记圆柱的体积公式，利用分类讨论求解是解答的关键．
17．6或7或8
【分析】从上面看中可以看出最底层小立方块的个数及形状，从正面看可以看出每一层小立方块的层数和个数，进而可得答案．
【详解】解：最左边一列最多有块，中间一列有1块，右边间一列有1块，最多共有8块；
最左边一列最少有块，中间一列有1块，右边间一列有1块，最少共有6块；
∴几何体是用6或7或8个小立方块搭成的．
故答案为：6或7或8．
【点睛】本题考查由不同角度观看几何体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题
18． 10 15
【分析】根据从正面看和从上面看得到的图形在从上面看的图形上标上所有位置小正方体的个数，进行计算即可得答案．
【详解】个数最少时：如图（图不唯一，第二列一个位置有2个即可，第三列有一个位置有3个即可）；
；
个数最多时：如图：
；
故答案为：10；15．
【点睛】本题考查从不同方向看几何体，熟练掌握根据从上面看的图形确定位置，从正面看的图确定个数是解题的关键．
19．（1）球、圆柱、圆锥、长方体、三棱锥；（2）按柱体、锥体、球体划分：圆柱、长方体是柱体，圆锥、三棱锥为锥体，球是球体
【分析】（1）相应填写名称即可；（2）按椎、柱、球进行分类即可（方法不唯一）.
【详解】解：（1）从左向右依次是：球、圆柱、圆锥、长方体、三棱锥.
（2）按柱体、锥体、球体划分：
圆柱、长方体是柱体；圆锥、三棱锥为锥体；球是球体.
（或按组成面的平或曲划分，球、圆柱、圆锥为一类，组成它们的面中至少有一个是
曲的；长方体、三棱锥是一类，组成它们的各面都是平的.或按有无顶点划分，球、
圆柱是一类，无顶点；圆锥、长方体、三棱锥是一类，有顶点.）
【点睛】本题考查的简单几何体的识别，能够认识这些图形是解题的关键.
20．见解析
【分析】根据柱体、锥体、球体的表面展开图解答即可．
【详解】解：柱体：圆柱展开图是两个圆和长方形，
棱柱的展开图是长方形；
锥体：圆锥的展开图一个圆加扇形，
棱锥的展开图是底面的多边形和侧面的等腰三角形；
球体不能展开，没有展开图．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的展开图是解题的关键．
21．(1)同
(2)位置见详解，或者
【分析】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答；
（2）根据点M、N在与正方形相邻的两个面的边上确定出点M、N的位置即可；求出点N到的距离，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“练”与“同”是相对面，
“海”与“步”是相对面，
“瀚”与“案”是相对面，
答：面“练”的对面是面“同”．
（2）点M、N如图所示，

N点有、两个点，M点只有一个点，
当N点在时，
∵N是所在棱的中点，，
∴点到AB的距离为，
∴的面积；
当N点在时，
∵N是所在棱的中点，，
∴点到AB的距离为，
∴的面积，
故的面积为或者．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．解答时，注意N点有、两个点，需要分类讨论．
22．(1)左面
(2)3
(3)见解析
【分析】（1）根据从“正面”、“左面”、“上面”看到的平面图的形状，得出结论即可；
（2）根据从正面和左面看到的该几何体的形状图不变，可以在最左侧一列后面增加2个正方体，最右侧一列的前面增加1个正方体，即可得出答案；
（3）根据从正面看到有三列，左侧一列有3层，中间一列有2层，右侧一列有4列，总左面看到有三列，左侧一列有2层，中间一列有3层，右侧一列有4层，画出图形即可．
【详解】（1）解：将正方体①移走后从正面看到的图形少了一列，从上面看到图形少了一列，从左面看到的图形形状不变；
故答案为：左面；
（2）解：在最左侧一列后面增加2个正方体，最右侧一列的前面增加1个正方体，从正面和左面看到的该几何体的形状图不变，所以最多可以再添加个正方体；
故答案为：3．
（3）解：从正面和左面看到的图形，如图所示：
【点睛】本题主要考查了从不同方向看，解题的关键是，发挥空间想象能力，注意总正面和左面看到的正方体层数．
23．(1)7，12，10
(2)
(3)2022
【分析】（1）观察3个图形，直接填写表格，即可求解；
（2）根据（1）中的结果，即可得到f，v，e之间的数量关系；
（3）把，代入（2）中的结论，即可．
【详解】（1）解：根据题意，填写表格如下：
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 7 9 14
图2 6 8 12
图3 7 10 15
（2）解：根据图1得：，
根据图2得：，
根据图3得：，
由此猜想f，v，e三个数量间为；
（3）解：因为，，，
所以，
所以，
即它的面数是2022．
【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律
24．(1)表格见解析；
(2)12
(3)14
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）根据题意得到多面体的棱数，可求得面数即为x+y的值
【详解】（1）解：完成表格，如下：
多面体 顶点数 面数 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
根据表格得：顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是；
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
解得；
故答案为：12；
（3）解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
共有条棱，
那么，解得，
．
【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
答案第10页，共11页
答案第11页，共11页