专题2.9绝对值 分层练习提升篇（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.9 绝对值（分层练习）（提升篇）
一、单选题
1．2022的相反数的倒数是（ ）
A．2022 B． C． D．
2．如图，数轴上两点，表示的数互为相反数，则点表示的数为（ ）

A．6 B． C．0 D．
3．对于任意有理数，下列结论正确的是（　　）
A．是正数 B．是负数 C．是负数 D．不是正数
4．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则，，三个数中绝对值最大的数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
6．点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
7．若a是最大的负整数，b是相反数等于它本身的数，c的绝对值是1，则a+b﹣c＝（　　）
A．﹣1或0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．﹣1
8．如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么x﹣2y+z的值是（　　）
A．1 B．4 C．7 D．9
9．数轴上A、B、C三点，其中点A、B表示的数分别为﹣4，1，若BC＝2，则线段AC等于（ ）
A．7 B．5 C．3或5 D．3或7
10．a，b，c的大小关系如图所示，则的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
二、填空题
11．已知，的相反数为，则 ．
12．比较大小： ．
13．在数轴上到原点的距离小于的整数个数为 个.
14．点A、B在数轴上对应的数分别为，满足，点P在数轴上对应的数为，当= 时，．
15．当x＝ 时，代数式2x+1与5x﹣6的值互为相反数．
16．大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是 ．
17．我们知道，糖水加点糖变得更甜了，那么当，五个数中，最大数是 ，最小数是 ．
18．表示小于的最大整数，如，，则下列判断：
①；
②有最大值是；
③有最小值是；
④．
其中正确的是 （填编号）．
三、解答题
19．（1）在数轴把下列各数表示出来，并比较它们的相反数的大小：－3，0，－，，0.25
（2）比较下列各组数的大小
①与 ②与
20．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成：
(1)________．
(2)计算：．
21．一个水池安装有五根水管，有的专门放水，有的专门进水，如果用两根水管同时工作，将空池注满所用的时间如下表所示．(单位:小时)
如果用一根水管进水，要尽快把空池注满，那么应选用哪一根水管 请写明推理过程．
22．a，b，c在数轴上的位置如图所示：
(1)求_______
(2) 、、c在数轴上的位置如图所示，则：化简：；
(3)求的最大值，并求出此时x的范围．
23．阅读材料：
定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为–1，0，2，且满足，则点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
(1)基础巩固：在A，B，C三点中，点_____________是点M，N的“倍分点”．
(2)尝试应用：若数轴上点M是点A，D的“倍分点”，则点D在数轴上对应的数有_____________个．
(3)灵活运用：若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点Р在点N的右侧，求此时点Р在数轴上表示的数．
24．阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求数列﹣2，7，1的价值；
(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；
(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】根据和为零的两个数互为相反数，利用乘积为1的两个数互为倒数计算．
【详解】∵2022的相反数是-2022，
∴-2022的倒数是，
故选B．
【点睛】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，倒数即乘积为1的两个数，熟练掌握定义，灵活计算是解题的关键．
2．A
【分析】直接根据相反数的定义，结合数轴求解即可．
【详解】解：∵数轴上两点，表示的数互为相反数，点表示的数为，
∴点表示的数为．
故选：．
【点睛】此题考查相反数，熟练掌握相反数和数轴上表示相反数是解题的关键．
3．D
【分析】根据绝对值非负数对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、时，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
B、是负数时，是正数，故本选项错误；
C、时，，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
D、不是正数，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质，举反例排除更简便．
4．A
【分析】根据，确定原点的位置，根据绝对值的意义即可求解．
【详解】解：∵，
∴原点在中间位置，而到原点的距离相等，
∴到原点的距离最大，
∴的绝对值最大，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，相反数的应用，确定数轴原点的位置是解题的关键．
5．A
【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据绝对值的几何意义列绝对值方程解答即可．
【详解】解：由题意得：|2a+1|=3
当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1
当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2
所以a的值为1或-2．
故答案为A．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据题意a是最大的负整数，a是-1；b=0；c的绝对值是1，c=±1。
【详解】解：由题意得：a＝﹣1，b＝0，c＝±1，
∴a+b﹣c
＝﹣1+0±1
＝0或﹣2，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相反数和绝对值等知识，熟记最大负整数是-1，相反数的定义，绝对值的定义是解题的关键。
8．A
【分析】将展开图还原成立体图，再结合相反数的概念即可求解．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“x”与“﹣8”是相对面，
“y”与“﹣2”是相对面，
“z”与“3”是相对面，
∵相对面上所标的两个数互为相反数，
∴x＝8，y＝2，z＝﹣3，
∴x﹣2y+z＝8﹣2×2﹣3＝1．
故答案是：A
【点睛】本题主要考查正方体展开图和空间想象能力、相反数的概念，属于基础题型，难度不大．解题的关键是空间想象能力，即将展开图还原成立体图形．注意：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．
9．D
【分析】根据点C的位置，分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵B表示的数为1，BC＝2，
∴当点C在点B的右侧时，点C表示的数是3，此时AC＝|3﹣（﹣4）|＝7，
当点C在点B的左侧时，点C所表示的数为﹣1，此时AC＝|﹣1﹣（﹣4）|＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴、绝对值的意义，分类讨论解答是解题的关键．
10．B
【分析】先根据数轴分别判断出的符号，然后根据绝对值的性质去绝对值，化简即可．
【详解】解：由数轴可知∶ ，，，
∴
=
=
=
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是数轴的比较大小和去绝对值，掌握利用数轴比较大小和绝对值的性质是解决此题的关键．
11．或
【分析】先根据绝对值意义和相反数的概念求出和的值，再分别代入即可求解．
【详解】解：因为||，
所以或，
因为的相反数为，
所以，则或．
故答案为：或
【点睛】本题涉及绝对值和相反数的定义，在解决绝对值问题时要注意考虑全面，避免造成漏解．
12．
【分析】利用绝对值的性质去掉绝对值符号，再根据正数大于负数可得答案．
【详解】解：，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的化简以及有理数大小比较，熟记正数大于负数是解题的关键．
13．7
【分析】根据数轴表示数的意义解题即可．
【详解】解：在数轴上到原点的距离小于的整数有：，，，，，，，共个
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
14．或
【分析】由绝对值和完全平方的非负性可得 ，则可计算出A、B对应的数，然后分三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：， ， ，
则可得：，
解得： ，
，
①当P在A点左侧时，
，
，
则可得： ，
解得：
②当P在B点右侧时，
，
，
则可得： ，
解得： ，
③当P在A、B中间时，
则有 ，
∴P点不存在．
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，数轴上两点间的距离：a，b是数轴上任意不同的两点，则这两点间的距离=右边的数-左边的数，掌握数轴上两点距离和分情况讨论是本题的关键．
15．
【分析】因为代数式2x+1与5x﹣6互为相反数，则2x+1与5x﹣6的和为0，即可求得．
【详解】∵代数式2x+1与5x﹣6互为相反数
∴2x+1+5x﹣6=0
解得x=
故答案为：
【点睛】本题考查相反数，掌握互为相反数的两数和为0是解题关键．
16．表示a的点与表示-5的点之间的距离
【分析】利用绝对值的意义即可求解．
【详解】解：因为，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离，
所以式子在数轴上的意义是表示a的点与表示-5的点之间的距离．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．
17．
【分析】设是原来糖水的质量，是原来糖水中糖的质量，是新加或从糖水中减少的质量，根据糖水加糖变甜，减糖，甜味减小，进行判断即可．
【详解】解：设是原来糖水的质量，是原来糖水中糖的质量，是新加或从糖水中减少的质量，根据糖水加糖变甜，减糖，甜味减小，可知：，，
∵，
∴，，
∴；
∴最大数为：，最小数为：；
故答案为：，；
【点睛】本题考查分数比较大小．解题的关键是能结合生活常识，加糖糖水变甜，比较分数的大小．
18．③④##④③
【分析】根据有理数的大小关系解决此题．
【详解】解：①，故此判断错误；
②当不是整数时，，
当是整数时，，
∴
∴有最小值是，没有最大值，故此判断错误；
③由②知，，得有最小值是，故此判断正确；
④由②知，，得，故此判断正确．
综上所述，正确的有③④．
故答案为：③④．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小关系是解题的关键．
19．（1）数轴见详解；；（2）①；②
【分析】（1）由数轴的定义画出数轴并标出各数，然后写出它们的相反数并比较大小；
（2）由比较大小的法则进行比较，即可得到答案．
【详解】解：（1）数轴如图所示：
由题意，的相反数是3；0的相反数是0；的相反数是；的相反数是；0.25的相反数是；
∴；
（2）①∵，
∴；
②，，
∴；
【点睛】本题考查了数轴的定义，相反数的定义，比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
20．(1)
(2)0.9
【分析】（1）因为，所以根据当时，，直接写出结果即可；
（2）先根据当时，；当时，，计算绝对值，再进行加减运算．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，注意读懂题意，是解决本题的关键．
21．D最快，详见解析
【分析】分别比较各列的注水速度可得，即可进行判断．
【详解】解:比较第一列与第三列得注水速度:;
比较第一列与第五列得注水速度:;
比较第二列与第五列得注水速度:;
比较第二列与第四列得注水速度:;
较第三列与第四列得注水速度:．
所以，注水速度:最快．
【点睛】本题考查了有理数大小比较的实际应用，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．
22．(1)-1
(2)
(3)b-a，x≥b
【分析】（1）根据数轴上的位置可得a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果；
（2）根据a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果；
（3）分x＜a，a≤x≤b，x＞b三种情况进行讨论，综合讨论结果可得．
【详解】（1）解：由数轴可知：a＜b＜0＜c，
；
（2）∵a＜b＜0＜c，
∴
=
=
（3）当x＜a时，
==＜0，
当a≤x≤b时，
==，
∴，
当x＞b时，
==＞0，
综上：的最大值为，
此时x的范围是：x≥b．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，数轴，解题的关键是能根据绝对值的性质化简式子，同时更好的理解题意，将困难的问题分开讨论．
23．(1)B
(2)4
(3)①；②或24
【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；
（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；
（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴点B是点M，N的“倍分点”．
故答案为：B．
（2）解：设点D在数轴上所表示的数为x．
根据题意，得．
①当时，．
∴．解得或．
②当时，．
∴．解得或．
综上所述，点在数轴上对应的数有4个．
故答案为：4．
（3）解：根据题意，得，
①当时，．
∵点Р在点N的右侧，
∴此时点Р在数轴上表示的数为．
②当时，．
∵点Р在点N的右侧，
∵此时点Р在数轴上表示的数为24．
综上所述，点Р在数轴上表示的数为或24．
【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．
24．(1)2
(2)最小值是，最大值是2
(3)2或9
【分析】（1）根据新定义，即可求解；
（2）根据题意可得由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，然后分别求出每个数列的价值，即可求解；
（3）根据题意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根据这些数列的价值的最小值为1，即可求解．
【详解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，
∴数列﹣2，7，1的价值为2；
（2）解：由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下：
数列﹣2，7，1；
数列﹣2，1，7；
数列7，﹣2，1；
数列7，1，﹣2；
数列1，7，﹣2；
数列1，﹣2，7；
由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2；
∵|﹣2|＝2，，，
∴数列﹣2，1，7的价值是 ；
同理可求：
数列7，﹣2，1的价值是2；
数列7，1，﹣2的价值是2；
数列1，7，﹣2的价值是1；
数列1，﹣2，7的价值是；
综上可知，这些数列的价值的最小值是，最大值是2；
（3）解：若这些数列的价值的最小值为1，
则或或，且a＞1，
解得：a＝5或9或2或8，
当a＝5时，，
∴a＝5不符合，舍去；
当a＝8时，则，
∴a＝8，不符合，舍去；
综上，a的值为2或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页