专题2.10绝对值 分层练习培优篇（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.10 绝对值（分层练习）（培优篇）
一、单选题
1．的绝对值和相反数分别为（　　）
A．， B．， C．， D．，
2．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣|﹣7|和+（﹣7） B．+（﹣10）和﹣（+10）
C．﹣（﹣43）和﹣（+43） D．+（﹣54）和﹣（+54）
3．满足的整数共有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知 是正实数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的个数有（ ）①已知且则数在数轴上距离原点较近的是②若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数；③一定是负数；④若则是非正数．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如果有理数和它的相反数的差的绝对值等于，则（　　）
A． B． C． D．任意有理数
7．数轴上点A表示的数是3，与点A的距离小于5的点表示的数x应满足( )
A．08或x<－2
8．已知整数、、、、…满足下列条件：，，，，…，（为正整数）依此类推，则的值为（）
A．－1009 B．－2019 C．－1010 D．－2020
9．若满足方程，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法：① 平方等于64的数是8；② 若a，b互为相反数，ab≠0,则；③ 若，则的值为负数；④ 若ab≠0，则的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是0.正确的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．用“”，“”号连接下列各组数：
12．若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ．
13．下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有 ．
14．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是 ．
15．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，将A、B之间的距离记作，定义，若，设点P在数轴上对应的数是x，当相差2时，则x的值为 ．
16．已知，，，…，依此类推，则 ．
17．代数式，当时，可化简为 ；若代数式的最大值为与最小值为，则的值 ．
18．满足的非负整数有 对．
三、解答题
19．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且
(1)若，求a的值．
(2)用“”把a，，b，c连按越来．
20．已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为，，．
(1)填空：，之间的距离为______，，之间的距离为______．
(2)化简：．
21．已知点A在数轴上的对应的数为a，点B对应的数为b，且满足．
(1)点A到点B的距离为_________；
(2)如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即），求点P在数轴上对应的数．
22．一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下：
1 2 3 4 5 6
0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2
（1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度；
（2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？
23．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
24．观察、理解与应用．
题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在处，B点在2处，C点在原点处．
(1) ，表示的意义是 ；
(2)，，即用字母表示线段长，，猜想： ，设P、Q在数轴上分别表示的数为和220，则线段 ；
(3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为，，则线 ；
(4)应用：若动点P，Q分别从点和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问：
①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答）
②t为 秒时P，Q两点之间的距离为2？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据绝对值和相反数的概念逐个求解即可．
【详解】解：∵的绝对值是，的相反数是，
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值和相反数的概念，属于基础题．
2．C
【分析】化简后，根据相反数的定义判断即可．
【详解】A．﹣|﹣7|=﹣7，+（﹣7）=﹣7，所以它们不互为相反数；
B．+（﹣10）=﹣10，﹣（+10）=﹣10，所以它们不互为相反数；
C．﹣（﹣43）=43，﹣（+43）=﹣43，所以它们互为相反数；
D．+（﹣54）=﹣54，﹣（+54）=﹣54，所以它们不互为相反数；
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的化简，相反数的定义，熟练进行化简，灵活运用相反数的定义是解题的关键．
3．D
【分析】根据绝对值的性质化简即可求出答案．
【详解】当时，，
令，解得：；
当时，，恒为4，
此时整数；
当时，，
令，解得：
综上，整数可能为、、、0、1，共有5个．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义及性质，利用绝对值的性质解题是关键．
4．B
【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案.
【详解】解：
当时，有最小值.
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思.
5．B
【分析】①根据已知条件判断出a，b的符号及绝对值的大小即可；
②通过绝对值的性质即可求解；
③本题可通过特殊值法求解；
④通过绝对值的性质即可求解．
【详解】解：①∵a+b＜0且a＞0，b＜0，
∴|a|＜|b|，
∴数a、b在数轴上距离原点较近的是a，故①正确；
②正数和0的绝对值等于它本身，负数小于它的绝对值，故②正确；
③a=0时，-|a|=0，故③错误；
④若|a|+a=0，则a是非正数，故④正确．
故选B．
【点睛】本题考查的是数轴和绝对值，理解绝对值的性质、熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键．绝对值的性质：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．
6．A
【分析】根据绝对值的定义即可解决问题．
【详解】解：由题意，得，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查绝对值的定义以及性质，相反数，有理数减法运算，解题的关键是熟练掌握基本概念及其应用．
7．B
【详解】根据数轴上点的距离，可知|3-x|＜5，解得x-3＜5且x-3＞-5，解得-2＜x＜8.
故选B.
点睛：此题主要考查了数轴上点之间的距离，利用数轴的特点，明确符合条件的点有两个，然后根据绝对值的意义列不等式求解即可.
8．C
【分析】依次计算、、、、…，得到规律性答案，即可得到的值.
【详解】，
=-1，
=-2，
=-2，
，
，
，
由此可得：每两个数的答案是相同的，结果为-（n为偶数），
∴，
∴的值为－1010，
故选：C.
【点睛】此题考查代数式规律探究，计算此类题的关键是依次计算得出答案的规律并总结出答案与序数间的关系式，由此来解答问题.
9．D
【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答.
【详解】当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
所以
故选D
【点睛】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.
10．B
【分析】根据平方、相反数的定义、绝对值的性质依次判定各项后即可解答.
【详解】① 平方等于64的数是±8；
② 若a，b互为相反数，ab≠0,则；
③ 若，可得a≥0，则的值为负数或0；
④ 若ab≠0，当a>0，b>0时，=1+1=2；当a>0，b<0时，=1-1=0；当a<0，b>0时，=-1+1=0；当a<0，b<0时，=-1-1=-2；所以的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是1.
综上，正确的结论为②，故选B.
【点睛】本题考查了平方的计算、相反数的定义及绝对值的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
11．
【分析】首先将题中所给数化简，，再根据有理数性质正数大于负数即可得到答案．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数大小比较，根据题意，将数化简，熟记有理数性质比较大小是解决问题的关键．
12． ； ．
【分析】（1）依据绝对值非负性可得，求解不等式即可；
（2）依据，且，可得．
【详解】解：（1），
，
即：；
（2），且，
．
【点睛】本题考查了绝对值的意义；解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性．
13．②④
【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案．
【详解】解：①a-b与-a-b=-（a+b），不是互为相反数，
②a+b与-a-b，是互为相反数，
③a+1与1-a，不是相反数，
④-a+b与a-b，是互为相反数．
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了互为相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．
14．
【分析】根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得答案．
【详解】解：∴，
∴，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴上两点间距离，掌握线段上的点与线段两端点的距离的和最小是解题的关键．
15．或
【分析】先利用绝对值的非负性，求出点A、点B所对应的数分别为，，再根据数轴上的两点之间的距离的定义得到或 ，然后针对x的取值范围进行分类讨论即可．
【详解】解：，
，
即 ，
相差2，
或，
当时，
时，，无解；
时，，解得，
时，，无解；
当时，
时，，无解，
时，，解得，
时，，无解；
综上所述，x的值为：或 ，
故答案为：或 ．
【点睛】本题考查了绝对值的性质和绝对值的几何意义，解决本题的关键是会进行分类讨论．
16．
【分析】根据题意，可以得出这一组数的规律，分为为奇数和偶数两种情况讨论即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
为奇数时，，为偶数时，，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数运算的规律，含有绝对值的计算，掌握有理数运算的规律是解题的关键．
17． 3 -9
【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．
【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0，
∴，
当时，，
当x＞1时，
∵当时，，
∴代数式的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，
∴ab=-9，
故答案为：3，-9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．
18．3
【分析】先根据绝对值的非负性得出的取值范围，再根据非负整数的特性分类讨论即可．
【详解】
即，解得
为非负整数
，且也为整数
的可能取值为
因此，分以下五种情况：
（1）当时，即或
若，则，解得或（舍去）
若，则，解得或（舍去）
因此，此时满足条件的非负整数有2对，即和
（2）当时，则
此时，即没有满足条件的非负整数
（3）当时，则或
若，则，即不满足条件
若，则，即不满足条件
（4）当时，则或
若，则，即不满足条件
若，则，即不满足条件
（5）当时，则或或
若，则，即不满足条件
若，则，满足条件
若，则，即不满足条件
此时，满足条件的非负整数有1对，即
综上，满足条件的非负整数共有3对
故答案为：3．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性的应用，利用非负整数的特性得出的所有可能的取值是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得到，根据得到，结合已知条件得到，即；
（2）根据，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数与数轴，灵活运用所学知识是解题的关键．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，求出距离即可；
（2）根据数轴可以得出，即有，，，进而有，去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）∵数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，
∴A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，
故答案为：，；
（2）由图，根据数轴可得：，
∴，，，
∴，
∴
，
∴值为．
【点睛】本题考查了根据点在数轴上的位置判定式子的正负，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．
21．(1)8
(2)3或9
【分析】（1）根据，可以求得a、b的值，从而可以求得点A、B表示的数；
（2）分两种情况：①当点P在线段上时；②当点P在线段延长线上时；分别 求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
即点A表示的数是，点B表示的数是5，
∴
（2）解：分两种情况：①点P在线段之间时，如图，
由 (1)知: ，
∵，,
∴，
∴，
∴点P在数轴上对应的数是3；
②点P在点B右侧时，如图，
由 (1)知: ，
∵，,
∴，
∴，
∴点P在数轴上对应的数是9．
综上所述：点P对应的数为3或9．
【点睛】本题考查数轴、非负数性质，线段和差倍分计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题，注意分类讨论思想的应用．
22．（1）1号的直径最大，最大直径是200.2（mm）；3号的直径最小，最小直径是199.7（mm）；（2）质量最好的是5号，质量最差的是3号．
【分析】（1）先比较表格中6个数据的大小，然后根据最大的数据和最小的数据即为直径最大和最小解答即可；
（2）与规定质量差的绝对值最小的就是质量最好的，与规定质量差的绝对值最大的就是质量最差的，据此解答即可．
【详解】解：（1）由﹣0.3＜﹣0.2＜﹣0.1＜0＜0.1＜0.2知：1号的直径最大，最大直径是200+0.2=200.2（mm）；
3号的直径最小，最小直径是200﹣0.3=199.7（mm）；
（2）由于，
所以质量最好的是5号，质量最差的是3号．
【点睛】本题考查了正负数在实际中的应用、有理数的大小比较以及绝对值的实际应用，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．
23．(1)，1，
(2)或3
(3)
【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；
（2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可；
（3）个正数，负数有个，式子中有个正1，个，相加得答案．
【详解】（1）解：，，，
故答案为：，1，．
（2），
，，
，，的正负性可能为：
①当为正数，，为负数时：原式；
②当为正数，，为负数时，原式；
③当为正数，，为负数时，原式，
原式或3．
（3）∵有个正数，负数的个数为，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题．
24．(1)3，数轴上表示的点到原点的距离
(2)5，320
(3)
(4)①3；②3或7
【分析】（1）根据绝对值的几何意义进行解答即可得出答案；
（2）根据题目所给的例题，根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；
（3）根据（2）中的结论进行解答即可得出答案；
（4）①根据题意先计算出为2秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据（3）结论进行计算即可得出答案；②设经过秒，点表示的数为，点表示的数为，根据（3）中的结论可得，化简得，根据绝对值的性质可得或，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：，表示的意义是数轴上表示的点到原点的距离；
故答案为：3，数轴上表示的点到原点的距离；
（2），；
故答案为：5，320；
（3）根据题意可得：；
故答案为：；
（4）①根据题意可得，
为2秒时，点表示的数为，点表示的数为，
；
②设经过秒，点表示的数为，点表示的数为，
则，
化简得，
可得或，
解得：或．
故答案为：3或7．
【点睛】本题主要考查了绝对值，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法意义绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页