2023-2024学年人教版八年级数学上册第13章轴对称 单元达标测试题（含解析）

2023-2024学年人教版八年级数学上册《第13章轴对称》单元达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（3，5）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（﹣3，﹣5）
3．在等腰△ABC中，∠A＝55°，∠B＝70°，当AB＝4时，BC的长为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠BAD＝40°，∠ADC＝110°，下列结论错误的是（　　）
A．∠B＝70° B．△ABD为等腰三角形
C．△ADC为等腰三角形 D．∠B﹣∠CAD＝30°
5．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　）
A．12 B．8 C．15 D．13
6．如图，在等边△ABC中，AO平分∠BAC，过点O作OP∥AC交AB于点P，则图中与OC相等的线段有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，在线段AC的延长线上取点D，使得CD＝CE，连接DE，CF是△CDE的中线，若∠FCE＝52°，则∠A的度数为（　　）
A．38° B．34° C．32° D．28°
8．如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则CP+EP的最小值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二．填空题（共7小题，满分28分）
9．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a，b），则ab＝　 　．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，对角线AC与BD相互垂直平分，则图中的轴对称图形共有 　 　对．
11．如图，在等边△ABC中，AC＝9，AO＝3，点P是AB上一动点，OP＝OD，∠POD＝60°，则AP＝　 　．
12．△ABC是等边三角形，点D与点A在BC的同侧，连接DB、CD，△DBC是等腰直角三角形，则∠ADB的度数为 　 　．
13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝30°，则∠CDE的度数为 　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，当△PBF周长的最小值为7时，此时△ABC的面积是 　 　．
15．在数学实践课上，老师带领同学们通过折纸计算数学问题：将直角三角形纸片ABC按照如图所示方式折叠，使点B，C均与BC上的点D重合，AC翻折后与AB交于点P，折痕分别为GH，EF．已知∠B＝30°，EP的长为6cm，则△DEP的周长为 　 　cm．
三．解答题（共6小题，满分60分）
16．如图，△ABC的顶点A（1，4），B（4，2），C（3，5），按下列要求作图．
（1）将△ABC向下平移两个单位得到△A'B'C'；
（2）将△A'B'C'沿y轴进行翻折得到△A″B″C″，并写出A″，B″，C″的坐标．
17．已知：如图，已知△ABC．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1．
（2）在y轴上找到一点P，使点P到点B、点C距离最短，画出图形，写出点P坐标．
18．在△ABC中，AB＝AC，AD是AC右侧的线段，且AD＝AC，如图，∠CAD的平分线AE与BD交于点E，BD与AC交于点F．
（1）证明：∠BAC＝∠BEC；
（2）若∠ABC＝60°，则线段AE，CE，BE之间存在怎样的数量关系，并写出你的理由．
19．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，P为BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F，BD⊥AC．
（1）求证：BD＝PE+PF；
（2）若AB＝5，BC＝8，求PE+PF的值．
20．△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，从点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数；
（2）点F是BE上一点，且FE＝BD．取DF的中点H，请问AH⊥BE吗？试说明理由．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB＝DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．
（1）求证：∠BAC+∠EBD＝90°；
（2）若∠BAC＝∠DAF，求证：AE＝CD．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A，B，C中的图不是轴对称图形，故不符合题意；
D中的图是轴对称图形，故符合题意．
故选：D．
2．解：点P（3，5）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣5）．
故选：B．
3．解：∵∠A＝55°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝55°，
∴∠A＝∠C＝55°，
∴AB＝BC＝4，
故选：B．
4．解：A、∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB，
∵∠BAD＝40°，∠ADC＝110°，
∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝70°，
故A不符合题意；
B、∵∠BAD＝40°，∠B＝70°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴AD＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，
故B不符合题意；
C、∵AD是∠BAC的平分线，∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，
∵∠ADC＝110°，
∴∠C＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝30°，
∴∠CAD≠∠C≠∠ADC，
∴△ACD不是等腰三角形，
故C符合题意；
D、∵∠CAD＝40°，∠B＝70°，
∴∠B﹣∠CAD＝30°，
故D不符合题意；
故选：C．
5．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BEC周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，
∵腰长AB＝8，
∴AC＝AB＝8，
∴△BEC周长＝8+5＝13．
故选：D．
6．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC，
∵AO平分∠BAC，
∴BO＝OC＝BC，
∵OP∥AC，
∴∠BOP＝∠C＝60°，∠BPO＝∠BAC＝60°，
∴△BPO是等边三角形，
∴BP＝OB＝OP，
∴BP＝AB，
∴BP＝AP，
∴OC＝OB＝BP＝OP＝AP，
∴图中与OC相等的线段有4条，
故选：D．
7．解：∵CE＝CD，FE＝FD，
∴∠ECF＝∠DCF＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣104°＝76°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝76°，
∴∠A＝180°﹣152°＝28°，
故选：D．
8．解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
CP+EP的最小值是8．
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分）
9．解：∵已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a，b），
∴a＝﹣3，b＝﹣1，
∴ab＝﹣3×（﹣1）＝3．
故答案为：3．
10．解：∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，对角线AC与BD相互垂直平分，
∴图中的轴对称图形有：△AOD和△COD，△AOD和△AOB，△COB和△COD，△AOB和△COB，△ADC和△ABC，△ABD和△CBD共6对．
故答案为：6．
11．解：在等边三角形中，
∠A＝∠C，
∵∠POD＝60°，
∴∠AOP+∠COD＝∠COD+∠CDO＝120°，
∴∠AOP＝∠CDO，
在△AOP与△COD中，
∴△AOP≌△COD（AAS）
∴AP＝OC
∵AC＝9，AO＝3，
∴OC＝6，
∴AP＝6，
故答案为：6
12．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，
如图，当CD为斜边时，BD＝BC，∠CBD＝90°，
∴BD＝AB，∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝30°，
∴；
如图，当BC为斜边时，∠DBC＝45°，BD＝CD，则∠ABD＝60°﹣45°＝15°，
∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝135°；
如图，当BD为斜边时，∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，BC＝CD，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵AC＝BC，
∴AC＝CD，
∴，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝30°．
综上所述，∠ADB的度数为75°或135°或30°．
故答案为：75°或135°或30°．
13．解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+30°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C+∠CDE，
∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∴∠C+∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE＝∠B+30°﹣∠CDE，
解得∠CDE＝15°．
故答案为：15°．
14．解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP＝PB，
∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，
∵△PBF周长的最小值为7，
∴△PBF周长＝AF+FB＝7，
∵F为BC边的中点，AB＝AC，BC＝4，
∴AF⊥BC，BF＝CF＝2，
∴AF＝7﹣2＝5，
∴S△ABC＝×BC×AF＝＝10，
故答案为：10．
15．解：由折叠的性质知，DE＝BE，∠PDB＝90°，
∴∠B＝∠EDB＝30°，
∴∠PED＝60°，
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝60°，
∴∠DPE＝60°，
∴△DPE是等边三角形，
∵EP＝6cm，
∴△DEP的周长为18cm，
故答案为：18．
三．解答题（共6小题，满分60分）
16．解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，△A″B″C″即为所求．A″（﹣1，2），B″（﹣4，0），C″（﹣3，3）．
17．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，点P为所作，P点坐标为（0，﹣3）．
18．（1）证明：∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE＝∠DAE，
又∵AD＝AC，AE＝AE，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴∠D＝∠ACE，
又∵AD＝AC，AB＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠ACE，
又∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠BAC＝∠BEC；
（2）解：BE＝AE+CE．
理由：在BE上截取CE＝EM，
∵∠ABC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠BEC＝60°，
又∵CE＝EM，
∴△CEM为等边三角形，
∴CF＝CE，∠ECF＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCM＝∠ACE，
∵BC＝AC，
∴△BCM≌△ACE（SAS），
∴BM＝AE，
∴BE＝BM+ME＝AE+CE．
19．（1）证明：过P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，PG⊥BD，
∴PG∥DF，GD∥PF，
∴四边形PGDF是平行四边形，
又∵∠GDF＝90°，
∴四边形PGDF是矩形，
∴PF＝GD，
∴PG∥AC，
∴∠BPG＝∠C，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠BPG＝∠ABC，
在△BPE与△PBG中，
，
∴△BPE≌△PBG（AAS），
∴PE＝BG，
∴PE+PF＝BG+GD，
即BD＝PE+PF；
（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，BC＝8，
∴BH＝CH＝BC＝4，
∵AB＝5，
∴AH＝＝3，
∵S△ABC＝BC AH＝AC BD，
∴BD＝＝＝，
∵PE+PF＝BD，
∴PE+PF＝．
20．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝35°，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CBD＝35°；
（2）在△ABD和△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（SAS），
∴AD＝AF，
∵点H是DF的中点，
∴AH⊥BE．
21．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴∠BDE＝180°﹣2∠ABC，
∴∠BAC＝∠BDE，
∵BE⊥AD，
∴∠BDE+∠DBE＝90°，
∴∠BAC+∠EBD＝90°；
（2）过C作CG⊥BD，与AD交于点G，
∵∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠CAG，
∵∠BAC＝∠BDE，
∴∠DAF＝∠BDE，
∵∠AFB＝∠DAF+90°，∠AGC＝∠BDE+90°，
∴∠AFB＝∠AGC，
∵AB＝AC，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF＝CG，
∵F是BE的中点，
∴BF＝EF＝CG，
∵∠AEF＝∠DCG＝90°，∠EAF＝∠CDG，
∴△AEF≌△DCG（AAS），
∴AE＝CD．