《整式的运算》 回顾与思考教案(一)(浙江省台州市)

●课 题
§回顾与思考(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.整式的概念及其加减混合运算.
2.幂的运算性质(即同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、零指数幂和负整数指数幂).
3.整式的乘法运算(即包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式).
4.整式的除法运算(即单项式除以单项式，多项式除以单项式).
(二)能力训练要求
1.以“问题情景——数学模型——求解模型”为主要线索，经历从问题情景中寻求数量关系，发展符号感，并用符号运算解决一些问题.
2.回顾整式的运算法则的探究过程，发展推理能力和表达能力，培养学生“观察——归纳——概括”的思维方法和策略.
3.回顾从面积的角度解释多项式乘法、平方差公式、完全平方公式等内容，并直观上认识和解释它们.
4.回顾整式运算的每一步算理，重视幂的意义的作用和乘方分配律的作用，渗透转化、类比的思想.
(三)情感与价值观要求
1.在回顾与思考的过程中，培养学生应“用数学”的意识和信心.
2.在用符号表示现实情景中问题时，体会数学的简捷美，培养对学习数学的兴趣.
●教学重点
在回顾与思考本章重要内容的同时，建立本章的知识结构网络图.
●教学难点
灵活运用所学知识解决问题.
●教学方法
启发引导法
以问题的形式帮助学生总结本章的内容，在学生充分思考、交流的基础上，引导学生梳理本章的结构框架.
●教具准备
投影片三张
第一张：问题串(一)，记作(§1.10.1 A)
第二张：问题串(二)，记作(§1.10.1 B)
第三张：问题串(三)，记作(§1.10.1 C)
●教学过程
Ⅰ.创设情景，引入新课
［师］这一章，我们学习了整式的概念及整式的运算.
这一节课，我们一起回顾与反思这一章的重要内容.
Ⅱ.讲述新课，建立本章知识结构框架图
出示投影片§1.10.1 A
1.举例说明什么是整式.
2.说说如何进行整式的加减运算.
［师］请同学们针对上面的两个问题，然后再作回答.
［生］例如：一件夹克标价为a元，现按标价的7折出售，则售价用代数式表示为0.7a元.
再例如：3月12日是植树节，七年级一班和二班的同学参加了植树活动，一班种了a棵树，二班种的比一班的2倍还多b棵，两个班一共种了(3a+b)棵树.
我们把像0.7a这样表示数字与字母的乘积的代数式叫做单项式；像(3a+b)表示的是几个单项式的和的代数式叫做多项式，单项式和多项式统称为整式.
［师］0是整式吗？
［生］是.因为单独的一个数或一个字母也是单项式，所以所有的有理数都是单项式.
［师］关于单项式和多项式还有什么规定？
［生］单项式的次数是这个单项式中所有字母的指数和.单独的一个非零数的次数是0.
一个多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.
例如7n的次数是1，x－by3的次数是4.
［师］我们来回顾一下第2个问题的内容？你能举例说明吗？
［生］进行整式的加减时，如果遇到有括号先去括号，然后再合并同类项.例如
(5mn－2m+3n)－(7m+7mn)
=5mn－2m+3n－7m－7mn(去括号)
=－2mn－9m+3n(合并同类项)
［师］接下来，我们再来一块回顾幂的运算性质，并回答下面两个问题(出示投影片§1.10.1 B)
3.说一说如何进行幂的运算，每一步的依据是什么？
4.用2、3、4组成一个算式，使得运算结果最大.
［生］幂的运算性质，包括有同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底幂的除法，我们会结合下列表格说明如何进行幂的运算，及其每一步的依据(学生自我展示，用实物投影仪).
同时我们还由同底数幂的除法得出了零指数幂和负整数指数幂的定义：
当m=n时，am÷an=am－n=a0=1(m、n是正整数，a≠0);
当mam÷an
=
==am－n.
即=am－n(a≠0,m、n是正整数)
令n－m=p,
则m－n=－p.
所以a－p=(a≠0,p是正整数)
［师生共析］我们知道乘方运算可以使数增长的速度飞快.用2、3、4组成的算式，为使运算结果尽量大，于是我们想到了用2、3、4组成幂的形式，而且幂的指数也是幂的形式，可以使数尽量大.由这三个数可组成6个尽量大的算式.即.
比较它们的大小，有计算器的同学借助于计算器，没有可计算、估测一下.例如和，由于34=81，43=64，所以=281，=264，所以>.……
把它们从大到小的顺序排列为
>==>>.
所以，运算结果最大的一个算式应该是.
［师］接下来，我们来看第5、6个问题(出示投影片§1.10.1 C)
5.说一说如何做整式的乘法.有关整式的乘法公式有哪些？
6.举例说明如何进行单项式除以单项式，多项式除以单项式运算.
［生］整式的乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式(包含乘法公式).
例如(a2b3)·(－15a2b2c3)
=［×(－15)］·(a2·a2)·(b3·b2)·c3－5a4b5c3
由此看出单项式与单项式相乘，是利用乘法的交换律、结合律把它们的系数、相同字母的幂相乘,其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
［生］例如xy2(x2y－6xy)
=(xy2)·(x2y)+ xy2·(－6xy)
单项式与多项式相乘， 就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
［生］也就是说，单项式与多项式相乘可根据乘法分配律转化成单项式与单项式的乘法.
［师］多项式与多项式该如何乘？
［生］多项式与多项式的乘法也可以利用乘法分配律，把其中的一个多项式看成一个整体，转化成单项式与多项式相乘的方法运算.
例如：(m+b)(m+a)=m(m+a)+b(m+a)=m2+ma+bm+ab
［生］在多项式与多项式相乘中，还有特殊的多项式乘法即乘法公式，利用乘法公式进行计算，必须抓住其公式的特点.
平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2,其中a、b可以是数，也可以是整式.它表示两个数和与差的积等于它们的平方差.
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,其中a、b可以是数，也可以是整式，它表示两数和(差)的平方等于它们的平方和加上(减去)它们积的2倍.
同时我们还可以利用拼图做出上述两个公式的几何解释.
［生］6.单项式除以单项式，例如：a4b2c2d÷(ab2c)=(1÷)·(a4÷a)·(b2÷b2)·(c2÷c)·d=2a3cd.
即单项式除以单项式，把系数、同底的幂分别相除后作为商的一个因式；只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
多项式除以单项式.例如：
(4a3b－6a2b2+12ab3)÷(2ab)
=(4a3b)÷(2ab)－(6a2b2)÷(2ab)+(12ab3)÷(2ab)
=2a2－3ab+6b2
即多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.其实，多项式除以单项式，是利用乘法分配律转化成为单项式除以单项式来运算的.
Ⅲ.建立本章的知识框架图
［师］同学们通过反思本章的内容，可以交流一下，本章的框架图应如何建立.
［师生共析］本章的框架图如下：
Ⅳ.课时小结
本节课我们结合具体实例，回顾与反思了知识间的内在联系，师生共建了本章的知识结构框架图.
Ⅴ.课后作业
课本P44，复习题A组
Ⅵ.活动与探究
求图1－27中阴影部分的面积.
图1－27
［过程］求图中阴影部分的面积遵循一个原则即把一个几何图形分成若干个基本图形，再计算它的面积.
［结果］解法①：长是a、宽是b的长方形(外长方形)的面积是ab.长是(a－2x),宽是(b－2x)的长方形(内长方形)的面积是(a－2x)·(b－2x).所以阴影部分的面积是ab－(a－2x)(b－2x)=ab－［ab－2ax－2bx+4x2］=2ax+2bx－4x2
解法②：把阴影部分的面积看成长为(2a+2b－4x)、宽是x的长方形的面积，则阴影部分的面积是x(2a+2b－4x)=2ax+2bx－4x2.
解法③:把阴影部分分割成：两个长为a,宽为x的长方形和两个长为b,宽为x的长方形，再去掉多考虑的四个边长为x的小正方形.于是阴影部分的面积是2ax+2bx－4x2.
解法④：把阴影部分分割成两个长为(a－2x),宽为x的长方形和两个长为(b－2x),宽为x的长方形及四个边长为x的正方形，则阴影部分面积为2x(a－2x)+2x·(b－2x)+4x2=2ax+2bx－4x2.
●板书设计
§1.10.1 回顾与思考(一)
●备课资料
一、正确认识(a+b)2与a2+b2
正确认识(a+b)2与a2+b2的不同：
1.读法不同：(a+b)2读作“a与b两数的和的平方”；a2+b2读作“a与b两数的平方和”.
图1－28
2.运算顺序不同：(a+b)2是先求和然后平方；而a2+b2是先平方再求和.
3.几何意义不同：如图1－28中大正方形的面积是(a+b)2,而图1－28中阴影部分的面积是a2+b2.
4.项数不同：(a+b)2是二项式的平方和，它的展开式a2+2ab+b2是一个二次三项式；a2+b2是二次二项式，有a2+b2=(a+b)2－2ab.当a=0或b=0时，有a2+b2=(a+b)2.
正确应用(a+b)2与a2+b2的关系：
等式a2+b2=(a+b)2－2ab是一个公式的重要变形，在解题中应用很广.
例如：已知(a+b)6=125,ab=2,求a2+b2的值.
解：∵(a+b)6=125,
∴(a+b)2=5,
∴a2+b2=(a+b)2－2ab
=5－4=1.