1.1空间向量及其运算
一．选择题（共4小题）
1．若，，，1，，，，则的最小值为
A．0 B．2 C．3 D．6
2．已知向量分别是空间三条不同直线，，的方向向量，则下列命题中正确的是
A．
B．
C．，，平行于同一个平面，，使得
D．，，共点，，使得
3．在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为
A． B． C． D．
4．已知，，，，2，，，，，且，则的最小值是
A．6 B． C．8 D．
二．填空题（共4小题）
5．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是 ．
6．在空间直角坐标系中，经过点，1，且与直线垂直的平面方程为 ．
7．已知球是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是 ．
8．已知四面体，，，，，则 ．
三．解答题（共2小题）
9．如图，已知向量，，，可构成空间向量的一个基底，若，，，，，，，，，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，，，显然的结果仍为一个向量，记作．
（1）求证：向量为平面的法向量；
（2）求证：以，为边的平行四边形的面积等于；
（3）将四边形按向量平移，得到一个平行六面体，是判断平行六面体的体积与的大小．
10．棱锥中，四边形为平行四边形，、、两两垂直，，，，为的中点，在上，且．
（1）用向量，，表示向量．
（2）求．
1.1空间向量及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．若，，，1，，，，则的最小值为
A．0 B．2 C．3 D．6
【分析】由，，列方程组得：，令，得到，由此能求出的最小值．
【解答】解：，，，1，，，，
，
整理得：，
令，则，且，，，
，
当时，．
的最小值为0．
故选：．
【点评】本题考查空间直角坐标的运算，考查解不等式等基础知识，渗透化归与转化思想、函数与方程思想，关注对数学运算、直观想象等数学核心素养的考查，是中档题．
2．已知向量分别是空间三条不同直线，，的方向向量，则下列命题中正确的是
A．
B．
C．，，平行于同一个平面，，使得
D．，，共点，，使得
【分析】利用共面向量基本定理和共线定理、空间向量基本定理即可判断出．
【解答】解：．由，，可得与共面，但是不一定共线，因此不正确；
．由，，可得，，与不共线，因此不正确；
．，，平行于同一个平面，，共面，，使得，因此正确；
．，，共点．可知，，不一定共面，因此，，不一定共面，故推不出：点，，使得，因此不正确．
综上可知：只有正确．
故选：．
【点评】本题考查了共面向量基本定理和共线定理、空间向量基本定理，属于难题．
3．在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为
A． B． C． D．
【分析】由点在直线上运动，可得存在实数使得，，，利用数量积可得，再利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：点在直线上运动，存在实数使得，，，
，．
，
当且仅当时，上式取得最小值，
．
故选：．
【点评】熟练掌握向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性等是解题的关键．
4．已知，，，，2，，，，，且，则的最小值是
A．6 B． C．8 D．
【分析】首先由向量垂直得到关于，，的等式，得到定值，利用基本不等式求最小值．
【解答】解：由已知，，，，2，，，，，且，
所以即，
所以；
当且仅当等号成立；
故选：．
【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标运算以及基本不等式求最值；注意基本不等式成立的条件．
二．填空题（共4小题）
5．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是 8 ．
【分析】先算出内切球的半径，为正四面体的棱长），然后再利用向量数量积进行运算．
【解答】解：由正四面体棱长为，得其内切圆的半径为1，
由题意，，是直径的两端点，可得，，
则，
当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为9，
则的最大值为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算．
6．在空间直角坐标系中，经过点，1，且与直线垂直的平面方程为 ．
【分析】由题意可得，两个平面的法向量分别为，，，，，设平面的法向量为，，，则由得到一法向量为，，，得到所求平面方程．
【解答】解：由题意可得，两个平面的法向量分别为，，，，，，
设平面的法向量为，，，则由得到一法向量为，，，
所以与直线垂直的平面方程为，
整理得，
故答案为：．
【点评】本题考查了由向量的坐标求平面方程；关键是求出与两条直线垂直的向量坐标．
7．已知球是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是 ．
【分析】设球的半径为，则，解得．可得．
【解答】解：设球的半径为，则，解得．
．
．
故答案为：．
【点评】本题考查了正八面体及其内切球的性质、等边三角形与直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．已知四面体，，，，，则 5 ．
【分析】根据题意，由空间向量的数量积计算公式可得，代入数据计算可得答案．
【解答】解：根据题意，四面体，，，，，
则
；
则；
故答案为：5．
【点评】本题考查空间向量数量积的计算，涉及向量模的计算，关键是掌握空间向量数量积的计算公式．
三．解答题（共2小题）
9．如图，已知向量，，，可构成空间向量的一个基底，若，，，，，，，，，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，，，显然的结果仍为一个向量，记作．
（1）求证：向量为平面的法向量；
（2）求证：以，为边的平行四边形的面积等于；
（3）将四边形按向量平移，得到一个平行六面体，是判断平行六面体的体积与的大小．
【分析】（1）由题意，得，，由此能证明为平面的法向量．
（2）设，夹角为，，，由此能证明．
（3）向量在面法向量上的投影，的几何意义是，由此能求出．
【解答】（1）证明：由题意，得，，，
因为，
所以，
同理得，
因为，且平面，
所以为平面的法向量．
（2）证明：设，夹角为，
，
所以．
（3）向量在面法向量上的投影，
的几何意义是，
是底面积，
在法向量上投影
．
【点评】本题考查向量为平面的法向量的证明，考查以，为边的平行四边形的面积等于的证明，考查平行六面体的体积与的大小的判断，解题时要注意向量的数量积的合理运用．
10．棱锥中，四边形为平行四边形，、、两两垂直，，，，为的中点，在上，且．
（1）用向量，，表示向量．
（2）求．
【分析】（1）以为坐标原点，以为轴，以这轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．
（2）由，能求出．
【解答】解：（1）、、两两垂直，
以为坐标原点，
以为轴，以这轴，以为轴，
建立空间直角坐标系，
，，，
为的中点，在上，且，
，0，，，0，，，2，，
，0，，，2，，，，，，1，，
，0，，
，2，，
，
．
（2），
．
第1页（共1页）1.2空间向量基本原理
一．选择题（共5小题）
1．已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为
A． B． C． D．1
2．如图，，分别是四面体的边，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则
A． B．
C． D．
3．设，，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，，线性无关，否则称它们线性相关．若，1，，，0，，，，线性相关，则
A．9 B．7 C．5 D．3
4．如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则，，为
A． B． C． D．
5．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
6．已知向量其中，现有以下命题：
（1）向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与，无关；
（2）的最大值为；
（3）的夹角）的最大值为；
（4）若定义，则的最大值为．
其中正确的命题有 ．（写出所有正确命题的序号）
7．已知是平行六面体，设是底面中与的交点，是侧面对角线上的点，且，设，则、、的值分别为 ．
8．如图，在正方体中，和相交于点，若，则 ．
三．解答题（共2小题）
9．如图，已知平行六面体．
若为的重心，，设，用向量、、表示向量；
若平行六面体各棱长相等，且平面，为中点，，求证：平面．
10．如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底，，表示以下向量：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
1.2空间向量基本原理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为
A． B． C． D．1
【分析】令，，，，问题等价于求的最小值，讨论在平面，，平面内三种情况，分别计算得到答案．
【解答】解：令，，，
故原式等价于
，
令，
因为，，
所以在平面内，即平面内，
为，，平面内任意一点，
所以问题等价于求的最小值，显然取在各平面内的射影时最小，
可分三种情况求解：
①当在平面内时，作的垂面，作，
为投影在上投影，得，作的平面图，
△，此时，，，
所以，
所以，
所以当在点时的最小值为．
同理②当在平面内时，在上，可得平面图：
此时，，，，
所以．
同理③当在平面内时，，，，
当时，最小，
所以，，，
综上：的最小值为．
故选：．
【点评】本题主要考查了向量模的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，空间想象能力，以及运用了分类讨论与数形结合的思想．
2．如图，，分别是四面体的边，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则
A． B．
C． D．
【分析】如图所示，连接．由，分别是四面体的边，的中点，是的中点，利用三角形法则、平行四边形法则即可得出．
【解答】解：如图所示，连接
，分别是四面体的边，的中点，是的中点，
，，，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形法则、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．设，，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，，线性无关，否则称它们线性相关．若，1，，，0，，，，线性相关，则
A．9 B．7 C．5 D．3
【分析】三个向量线性相关，得存在不全为0的实数，，，使得成立；
列出方程组，用代替、，化简求得的值．
【解答】解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数，，，使得成立；
即
由
得，，
代入，
得；
由于，，不全为0，
所以，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是中档题．
4．如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则，，为
A． B． C． D．
【分析】利用三角形重心的性质以及向量的几何运算将用，，表示，然后根据空间向量基本定理可得．
【解答】解：，，
即，根据空间向量基本定理可得，
故选：．
【点评】本题考查了空间向量基本定理，三角形重心的性质，属中档题．
5．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为
A． B． C． D．
【分析】利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，用、和表示出即可．
【解答】解：取的中点，连接、，如图所示；
为的中点，
，，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，是基础题．
二．填空题（共3小题）
6．已知向量其中，现有以下命题：
（1）向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与，无关；
（2）的最大值为；
（3）的夹角）的最大值为；
（4）若定义，则的最大值为．
其中正确的命题有 （1）（3）（4） ．（写出所有正确命题的序号）
【分析】（1）取轴的正方向单位向量，求出与的夹角即可判断命题正确；
（2）计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；
（3）利用数量积求出与夹角的最大值，即可判断命题正确；
（4）根据定义求出的最大值即可判断命题正确．
【解答】解：（1）取轴的正方向单位向量，0，，
则，，
向量与轴正方向的夹角恒为定值，命题正确；
（2），
当且仅当，时取等号，因此的最大值为1，命题错误；
（3）由（2）可得：，，
，，
，的最大值是，命题正确；
（4）由（3）可知：，，
，，，，
，，命题正确．
综上可知：正确的命题序号是（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，也考查了推理与计算能力，属于难题．
7．已知是平行六面体，设是底面中与的交点，是侧面对角线上的点，且，设，则、、的值分别为 ，， ．
【分析】如图所示，由，且，可得，，代入即可得出．
【解答】解：如图所示，
，且，
，
，
，
又，
则，，．
故答案为：，，．
【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．如图，在正方体中，和相交于点，若，则 ．
【分析】由，，，．代入化简整理即可得出．
【解答】解：，，，．
，与比较，可得：，，则．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量基本定理，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
三．解答题（共2小题）
9．如图，已知平行六面体．
若为的重心，，设，用向量、、表示向量；
若平行六面体各棱长相等，且平面，为中点，，求证：平面．
【分析】利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将用基底表示，再在△中，将用基底表示；
连接，，由已知证明△为等腰三角形，从而，同理可证明，最后由线面垂直的判定定理证明结论
【解答】解：依题意，
为的重心，
又
证明：连接，，
平行六面体各棱长相等且平面
，
△为等腰三角形
为的中点，
同理可证
，
平面．
【点评】本题考查了空间向量的基本定理及其应用，向量加法的三角形法则，重心的性质及线面垂直的判定定理．
10．如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底，，表示以下向量：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】利用向量的平行四边形法则和向量的共线定理即可得出．
【解答】解：如图所示，
（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
．
【点评】熟练掌握向量的平行四边形法则和向量的共线定理是解题的关键．
第1页（共1页）1.3空间向量及其运算的坐标表示
一．选择题（共5小题）
1．在空间直角坐标系中，，，为坐标原点，满足，，则下列结论中不正确的是
A．的最小值为 B．的最大值为10
C．最大值为 D．最小值为1
2．如图三棱柱中，侧面是边长为2菱形，，交于点，侧面，且△为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为
A． B． C． D．
3．平行六面体中，向量、、两两的夹角均为，且，，，则等于
A．5 B．6 C．4 D．8
4．从点，，沿向量，9，的方向取线段长，则点的坐标为
A．，17， B．，， C． D．
5．如图，是四面体，是的重心，是上一点，且，则
A． B．
C． D．
二．填空题（共3小题）
6．对任意实数的最小值为 ．
7．如图，平面，为垂足，，，与平面所成的角为，，则的长等于 ．
8．在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，则点到的重心的距离为 ．
三．解答题（共2小题）
9．已知直角梯形，，，，，为的中点，，如图（1），沿直线折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图（2）．
（1）求异面直线与所成角的大小．
（2）求过、、、、这五个点的球的表面积．
10．在空间直角坐标系中，已知，0，，，，，，1，．
（1）求的长度；
（2）写出、两点经此程序框图执行运算后的对应点，的坐标，并求出在方向上的投影．
（进阶篇）2021-2022学年上学期高中数学人教版新版高二同步分层作业1.3空间向量及其运算的坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．在空间直角坐标系中，，，为坐标原点，满足，，则下列结论中不正确的是
A．的最小值为 B．的最大值为10
C．最大值为 D．最小值为1
【分析】设，，，，则，从而的最小值为，的最大值为6；，，，，，从而，从而最大值为，最小值为1．
【解答】解：在空间直角坐标系中，
，，为坐标原点，满足，，
设，，，，
在中，
，
当，，的最小值为，故正确；
在中，
，
，时，的最大值为6，故错误；
在中，，，，，，
，
时，的最大值为，故正确；
在中，
，
令，
则，
当时取等号，
故取最小值1．故正确．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积、向量的模、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
2．如图三棱柱中，侧面是边长为2菱形，，交于点，侧面，且△为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为
A． B． C． D．
【分析】过作平面，垂足是，连结，，则，，，由此能求出点的坐标．
【解答】解：三棱柱中，侧面是边长为2菱形，，
交于点，侧面，且△为等腰直角三角形，
如图建立空间直角坐标系，
过作平面，垂足是，连结，，
则，，，
点的坐标为，1，．
故选：．
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3．平行六面体中，向量、、两两的夹角均为，且，，，则等于
A．5 B．6 C．4 D．8
【分析】由题设知，故，由此能求出．
【解答】解：如图，平行六面体中，
向量、、两两的夹角均为，
且，，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题以平行六面体为载体考查向量在立体几何中的应用，解题时要认真审题，关键是利用条件向量、、两两的夹角均为，进行合理转化．
4．从点，，沿向量，9，的方向取线段长，则点的坐标为
A．，17， B．，， C． D．
【分析】根据题意设，利用求出的值，再求出的坐标表示，即可得出点的坐标．
【解答】解：设（其中，
，，
，
，18，，
又，，，
点坐标为，17，．
故选：．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与应用问题，解题时应类比平面向量进行计算，是基础题目．
5．如图，是四面体，是的重心，是上一点，且，则
A． B．
C． D．
【分析】利用空间向量加法法则求解．
【解答】解：是四面体，是的重心，是上一点，且，
．
故选：．
【点评】本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
二．填空题（共3小题）
6．对任意实数的最小值为 6 ．
【分析】设，5，，利用两点之间的距离公式及三角形两边大于第三边的性质，解出即可得出．
【解答】解：表示点，，到原点，0，的距离，
，表示点，，到，5，的距离，
任意实数，
当且仅当点，，在线段上时取等号．
故答案为：6．
【点评】本题考查了空间两点之间的距离公式、不等式的性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．如图，平面，为垂足，，，与平面所成的角为，，则的长等于 ．
【分析】由，利用已知条件能求出的长．
【解答】解：平面，为垂足，，，
与平面所成的角为，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
8．在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，则点到的重心的距离为 ．
【分析】由题意画出图形，建立空间直角坐标系，确定的坐标，利用空间两点间的距离公式求出即可．
【解答】解：，，两两垂直，以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，且，，，
所以，0，，，0，，，2，，，0，，
的重心的坐标为，
．
点到的重心的距离是．
故答案为：．
【点评】本题考查空间两点间距离公式的应用，三角形的重心坐标的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
三．解答题（共2小题）
9．已知直角梯形，，，，，为的中点，，如图（1），沿直线折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图（2）．
（1）求异面直线与所成角的大小．
（2）求过、、、、这五个点的球的表面积．
【分析】（1）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小．
（2）连结，取中点为，连结，，，，，得到长为所求球的半径，由此能求出过、、、、这五个点的球的表面积．
【解答】解：（1）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，
，1，，，，，
设异面直线与所成角为，
则，
，
异面直线与所成角的大小为．
（2）连结，取中点为，连结，，，，，
由已知得，
所以长为所求球的半径，
，，，，
．
过、、、、这五个点的球的表面积：
．
【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查球的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
10．在空间直角坐标系中，已知，0，，，，，，1，．
（1）求的长度；
（2）写出、两点经此程序框图执行运算后的对应点，的坐标，并求出在方向上的投影．
【分析】（1）根据空间向量长度的公式直接进行计算即可．
（2）根据空间向量的投影的定义进行求解即可得到结论．
【解答】解：（1），，，，1，．
．
（2），，满足
输出，，
，1，不满足
，1，不满足
，1，满足
输出，1，
，，，，1，
在方向上的投影等于
【点评】本题主要考查空间向量的有关概念和运算，利用程序框图是解决本题的关键．要求熟练掌握向量投影的概念．
第1页（共1页）1.4空间向量的应用
一．选择题（共5小题）
1．如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是
A． B． C． D．
2．已知直角梯形满足：，，且为正三角形．将沿着直线翻折至△，且，二面角、、的平面角大小分别为，，，直线，，与平面所成角分别是，，，则
A．， B．，
C．， D．，
3．已知点是正方体上底面上的一个动点，记面与面所成的锐二面角为，面与面所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是
A．
B．
C．，，
D．，，
4．已知正方体的棱长为3，为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为
A． B． C． D．
5．如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则
A．当增大时，先增大后减小 B．当增大时，先减小后增大
C．当增大时，先增大后减小 D．当增大时，先减小后增大
二．填空题（共4小题）
6．已知菱形的边长为2，．现将菱形沿对角线折成空间几何体．设空间几何体的外接球为球，若球的表面积为，则二面角的余弦值为 ．
7．如图，在多面体中，已知棱，，两两平行，底面，，四边形为矩形，，底面内（包括边界）的动点满足，与底面所成的角相等．记直线与底面的所成角为，则的取值范围是 ．
8．如图，，平面外有一点，，点到角的两边，的距离都等于，则与平面所成角的正切值为 ．
9．如图，三棱锥中，，，，，，．点在棱上且，则直线与平面所成的角是 ．
三．解答题（共3小题）
10．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
已知等腰三角和正方形，_____，，平面平面，是否存在点，满足，使直线与平面所成角为？
11．如图，将边长为4的等边三角形沿与边平行的直线折起，使得平面平面，为的中点．
（1）求平面与平面所成角的余弦值；
（2）若平面，试求折痕的长；
（3）当点到平面距离最大时，求折痕的长．
12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．
如图，在阳马中，侧棱底面，，，为棱的中点，为棱上一点，，连接，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，连接，判断四面体是否为鳖臑、若是，写出其每个面的直角；若不是，写出其不是直角三角形的面；
（Ⅲ）延长，交于点，连接，若二面角的大小为，求．
1.4空间向量的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是
A． B． C． D．
【分析】过作的延长线，垂足为，连接，，取的中点，连接，过点作，垂足为，由已知证明就是直线与平面所成角，再证明，可得点的轨迹是平面内以线段为直径的圆点除外），设，由已知可得，，，当且仅当，即是圆的切线时，角有最大值，有最大值，再由求得的最大值．
【解答】解：如图，过作的延长线，垂足为，
连接，，取的中点，连接，
过点作，垂足为，
平面平面，且平面平面，平面，，
，平面，
在平面上的射影就是直线，故就是直线与平面所成角，
即，
，，
又，，平面，则．
点的轨迹是平面内以线段为直径的圆点除外）．
，且，
，设，则，从而．
，
当且仅当，即是圆的切线时，角有最大值，有最大值．
的最大值为．
故选：．
【点评】本题考查空间中直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属难题．
2．已知直角梯形满足：，，且为正三角形．将沿着直线翻折至△，且，二面角、、的平面角大小分别为，，，直线，，与平面所成角分别是，，，则
A．， B．，
C．， D．，
【分析】由题意得到平面图以及翻折的立体示意图，点，分别为，的中点，为与的交点，可知点在平面上的投影在上，由，判断投影点在的位置，根据投影点到，，的距离判断二面角的大小关系，再设的高为，由，即可得到线面角的大小关系．
【解答】解：由题意可知，若，则，，
如图所示，点，分别为，的中点，为与的交点，
所以，，
则，
则旋转过程中，点在平面上的投影在上，
当点的投影为点时，则，
当点的投影在上时，则，
当点的投影在上时，则，
当点投影为点时，则，
故要使，则点的投影在点，两点之间，
此时投影点到，，的距离为，
所以二面角最大，其次为二面角，而二面角最小，
故；
设三棱锥的高为，
则，
因为，，，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了空间翻折问题，二面角的平面角的定义的理解与应用，线面角的定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于较难题．
3．已知点是正方体上底面上的一个动点，记面与面所成的锐二面角为，面与面所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是
A．
B．
C．，，
D．，，
【分析】结合正方体的几何特征，面与面所成的锐二面角为，面与面所成的锐二面角为，，判断点所在的大致位置，利用正方体的特点，判断点接近于点时，，故可判断选项，，因为，则，由，故，即可判断选项，．
【解答】解：如图，取正方体的下底面的各边中点，，，，上底面的中心为，下底面的中心为，
面与面所成的锐二面角为，面与面所成的锐二面角为，且，
等价于点到的距离比到的距离大，
所以点在如图所示的范围内，
在和中，，为公共边，为公共的中点，
，的大小由与，所成的角的大小所确定，
所成的角越小，则对应的角越大，
因为与和所成的角的大小关系不确定，
当点在靠近时，与直线所成的角较小，与直线所成的角接近，
此时，
同样当点接近于点时，，
故选项错误，选项错误；
与的大小关系看点是在的左侧还是右侧，
若是在左侧，则，
若是在右侧，则，
若是在上，则；
同样，点在的前面，则，
点在上，则，
点在的后面，则，
所以当点在内时，，，，，
，，，，
因为，
则，
因为，
故，
故选项正确，选项错误；
根据对称性可知，在其余范围内，具有相同的结论．
故选：．
【点评】本题考查了空间角的理解与应用，二面角的平面角的应用，解题的关键是从正方体的几何特征出发，利用题中信息判断点的大致区域，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于较难题．
4．已知正方体的棱长为3，为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为
A． B． C． D．
【分析】建系，，3，，根据平面与平面和平面所成的角相等得到，进而求的最小值．
【解答】解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，3，，设，3，，
则，
由正方体的性质可知平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，
所以，又因为平面与平面和平面所成的角相等，
所以，即，
又即，即或，
①当，即，
因为，，所以，，又，，所以，
此时，
②当，即，
因为，，所以，，又因为，，所以，
此时
当时，不等式取等号．综上所述，的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查面面夹角，考查空间向量的应用，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．
5．如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则
A．当增大时，先增大后减小 B．当增大时，先减小后增大
C．当增大时，先增大后减小 D．当增大时，先减小后增大
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式表示出，再利用导数研究函数单调性，分析判断．
【解答】解：由题意，以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方体的棱长为3，则，，，，0，，
设直线与，交于点，，
则，
所以，
，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
则，
对于，，令，则，
显然函数在时为减函数，即减小，则增大，故选项，错误；
对于，，当时，则
，
令，
则，
因为，令，则，
所以当时，，则函数单调递减，即减小，增大，
当时，，则函数单调递增，即增大，减小，
故当增大时，先增大后减小，故选项正确，错误．
故选：．
【点评】本题考查了二面角的理解和应用，利用导数研究函数的单调性，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，考查了逻辑推理了与运算能力，属于难题．
二．填空题（共4小题）
6．已知菱形的边长为2，．现将菱形沿对角线折成空间几何体．设空间几何体的外接球为球，若球的表面积为，则二面角的余弦值为 ．
【分析】确定多面体外接球球心的一般思路：过两个相交平面的外心分别做该平面的垂线，垂线的交点即为球心．根据折叠过程的对称性，及题意所求的二面角，分别找到过等边，等边△’ 的外心的垂线，交点为球心，再结合平面几何知识求解即可．
【解答】解：设球的半径为，由表面积，得．如图（1），设、△的外心分别为，，
过，分别做平面，平面的垂线，两条垂线的交点即为球心．
如图（2），设中点为，由对称性知，设为，则为二面角所成平面角的大小．
由正弦定理得，所以，
所以，．
故答案为．
【点评】考查多面体的外接球问题的求法，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于难题．
7．如图，在多面体中，已知棱，，两两平行，底面，，四边形为矩形，，底面内（包括边界）的动点满足，与底面所成的角相等．记直线与底面的所成角为，则的取值范围是 ．
【分析】根据题设中的线面角相等转换成斜线在底面上的投影长度之比为2，然后在底面内建立坐标系，判断出点在底面的轨迹是一段弧，然后根据所给几何体的性质判断出直线与底面的所成角最小、最大值时点的位置，通过计算即可得出所求角的正切的取值范围．
【解答】解：由题意，动点满足，与底面所成的角相等．底面，
连接，，可得，又，可得，
以原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则．，，则
，整理得，
令，解得或3，令，解得，即此圆底面内（包括边界）交于一段弧，弧的端点分别为距近的线段的三等分点及上距点距离为处，
设此两点分别是，，如图：
根据图形可知，当点与点重合时，直线与底面的所成角最小，当点与点重合时，直线与底面的所成角最大，
在直角三角形中，可得，，
故，即，整理得，即的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，圆的方程，考查了转化的思想，培养构造情景解题的能力，涉及到的知识点多，综合性强，较难．
8．如图，，平面外有一点，，点到角的两边，的距离都等于，则与平面所成角的正切值为 ．
【分析】根据题设条件作辅助线面于点，连接，，，得出即与平面所成角，然后求出两个直角边的长度，即可得出线面角的正切值．
【解答】解：由题意，过点做面于点，连接，，，则即与平面所成角，
点到角的两边，的距离，都等于
由面可得，又到角的边的距离，可得，
面，所以，同理可证得，
又由题设条件可得，从而可得，故是角平分线，
在中，，，由公股定理得，
在中，，所以
又，解得，在中，由公股定理解得，
，
故答案为．
【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，解答的关键是作出线面角，然后根据题设条件解出线面角所在直角三角形的两边的长度，从而通过三角函数的定义求出线面角的正切值，本题属于疑难题．
9．如图，三棱锥中，，，，，，．点在棱上且，则直线与平面所成的角是 ．
【分析】由已知结合勾股定理可得与垂直，把底面补形为矩形，连接，证明底面，找出与底面所成角，求解三角形得答案．
【解答】解：由，，，可得，
，，，，即，
把底面补形为矩形，连接，
由，，，得平面，
平面，则，
，，，，
在中，由，，得，
则，即，可得平面，
在平面中，过作，则平面，
连接，则为直线与平面所成的角．
，且，，
，
，得直线与平面所成的角是．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，构造底面矩形是关键，难度较大．
三．解答题（共3小题）
10．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
已知等腰三角和正方形，_____，，平面平面，是否存在点，满足，使直线与平面所成角为？
【分析】本题考查线面角的位置关系，借助空间直角坐标系来求解，根据①②③不同的条件得到不同的等量关系，同时用表示了点的坐标来求得线面角满足各个条件，看是否存在，来求解．
【解答】解：
若选①，则三角形为等边三角形，取的中点，
连接，则，又平面平面，
平面平面，
所以平面，
以为原点，直线为轴，直线为轴，
建立如下直角坐标系，
则，0，，，1，，，1，，，0，，
，，，，0，，，
，
设是平面的一个法向量，
则，
令，得，
是平面的一个法向量，
由直线与平面所成的角为，
得，
即，
，
解得，
存在点与重合，即时满足条件，或点为中点，即时满足条件；
若选2，则三角形为等腰直角三角形，
取的中点，连接，则，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
以为原点，直线为轴，直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，1，，，0，，
，
设是平面的一个法向量，
则，
令，则，，
是平面的一个法向量，
由直线与平面所成的角为，
得，
即，
，
△，
所以方程无解，
即不存在，满足，使直线与平面所成的角为，
若选3，则，过点点作，垂足为，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
以为原点，直线为轴，直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
，
，
设是平面的一个法向量，
则，
令，得，，
是平面的一个法向量，
由直线与平面所成的角为，
得，
即，
，
△，
方程无解，
即不存在，满足，使直线与面所成角为．
【点评】本题主要考查利用空间问量法求线面角问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题．
11．如图，将边长为4的等边三角形沿与边平行的直线折起，使得平面平面，为的中点．
（1）求平面与平面所成角的余弦值；
（2）若平面，试求折痕的长；
（3）当点到平面距离最大时，求折痕的长．
【分析】（1）取的中点，连接，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可；
（2）由线面垂直的性质可得，，即则，利用向量垂直的坐标表示，列式求解，求出的值，即可得到答案．
（3）由点到面的距离公式求出点到面的距离为，再用均值不等式求出其取最大值时的值即可．
【解答】解：（1）取的中点，连接，
由题意可知，四边形是等腰梯形，则，
由已知可得，平面，平面，
则，
以点为坐标原点建立空间直角坐系如图所示，
设，
则，0，，，0，，，0，，，，，，，，
所以，0，，，，，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则，，
故，，，
又平面的一个法向量为，1，，
所以，
由图形可知，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为；
（2）因为平面，且平面，
所以，即，
因为，，，，，，
则，
又，
解得，所以．
（3）设平面的一个法向量为，
又，，，，，，
，即，
，
，，0，，
点到平面的距离为，
，
当且仅当，即时取等号，所以．
故答案为：（1）；（2）；（3）．
【点评】本题考查了二面角的求解以及空间线段的求解，涉及了线面垂直的性质的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于难题．
12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．
如图，在阳马中，侧棱底面，，，为棱的中点，为棱上一点，，连接，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，连接，判断四面体是否为鳖臑、若是，写出其每个面的直角；若不是，写出其不是直角三角形的面；
（Ⅲ）延长，交于点，连接，若二面角的大小为，求．
【分析】（Ⅰ）根据题意，利用线面垂直的性质与判断定理即可平面；
（Ⅱ）利用线面垂直的性质定理，可得．因此可得平面，根据鳖臑的定义，即可判断四面体是鳖臑，并写出每个面的直角．
（Ⅲ）建系，写坐标，分别求得平面和的法向量，根据夹角公式，即可求得答案．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为底面，所以，
由地面为长方形，有，
而，所以平面．
而平面，所以，
又，点是的中点，所以．
而，
所以平面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，而平面，所以．
又，，所以平面．
由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，，，．
（Ⅲ）由题意可知，以为坐标原点，射线，射线，射线分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，则，
由题意可知，二面角即为平面与平面所成的角，
则，0，，，，2，，，0，，，1，，设，，，，则，所以，即，
则，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，所以，
又平面的法向量为，
因此，，
整理得，解得，
所以．
【点评】本题考查立体几何中线面垂直的判定与性质定理，考查空间向量求二面角，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
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