2023-2024学年人教A版数学选择性必修第一册同步测试2.3.2两点间的距离公式（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教A版数学选择性必修第一册同步测试2.3.2两点间的距离公式（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 140.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-12 11:03:33 | ||
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文档简介
2．3 直线的交点坐标与距离公式
2．3.2 两点间的距离公式
一．选择题
1．一条平行于x轴的线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是( )
A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－4)或(2,6)
C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－5)或(2,5)
2．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B．
C． D．
3. 如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
A．2 B．6
C．3 D．2
4．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,7)，则BC边上的中线AM的长为( )
A． B．
C． D．2
5．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B．
C．2 D．不确定
6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4
C．2 D．2
7．在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使点P到A(2,3)的距离为，则点P的坐标是 ( )
A．(5,5) B．(－1,1)
C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1)
8．设x，y为实数，则 ＋的最小值为( )
A．3 B．5
C． D．
二、填空题
9．两直线l1：3ax－y－2＝0和l2：(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|＝________.
10．已知A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，则四边形ABCD的形状为________．
11．已知A(1,6)，B(5,2)，点P在x轴上，则|AP|＋|BP|的最小值为________，此时点P的坐标为________．
12．已知M(1,0)，N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为___．
三、解答题
13．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程．
14．在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
15．已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
16．求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则连接对角线交点与一边中点的线段长等于圆心到该边对边中点的距离．
2．3 直线的交点坐标与距离公式
2．3.2 两点间的距离公式
一．选择题
1．一条平行于x轴的线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是( )
A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－4)或(2,6)
C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－5)或(2,5)
答案 A
解析 因为AB平行于x轴，所以B点的纵坐标为1.因为线段的长度为5，所以B点的横坐标为7或－3.
2．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B．
C． D．
答案 D
解析 由题意知解得∴点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
3. 如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
A．2 B．6
C．3 D．2
答案 A
解析 由题意知，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2.故选A．
4．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,7)，则BC边上的中线AM的长为( )
A． B．
C． D．2
答案 D
解析 设点M(x，y)．∵点M是线段BC的中点，∴x＝＝1，y＝＝3，即点M的坐标为(1,3)．由两点间的距离公式，得|AM|＝＝2.∴BC边上的中线AM的长为2.
5．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B．
C．2 D．不确定
答案 B
解析 由题意可知直线AB的斜率与y＝x＋m的相同，∴＝1，∴b－a＝1，∴|AB|＝＝.
6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4
C．2 D．2
答案 C
解析 设A(a,0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，解得a＝4，b＝－2，∴|AB|＝＝2.
7．在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使点P到A(2,3)的距离为，则点P的坐标是 ( )
A．(5,5) B．(－1,1)
C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1)
答案 C
解析 设点P(x，y)，则y＝.由|PA|＝，得(x－2)2＋2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，
∴点P的坐标是(－1,1)或(5,5)．
8．设x，y为实数，则 ＋的最小值为( )
A．3 B．5
C． D．
答案 C
解析 由平面内两点间的距离公式，知原式表示动点P(x，y)到定点A(0,2)和B(3,1)的距离之和．由“两点之间线段最短”，得点P(x，y)在线段AB上时，＋取得最小值，最小值为|AB|＝＝.
二、填空题
9．两直线l1：3ax－y－2＝0和l2：(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|＝________.
答案
解析 直线l1：y＝3ax－2过定点A(0，－2)，直线l2：a(2x＋5y)－(x＋1)＝0过定点即B.由两点间的距离公式得|AB|＝.
10．已知A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，则四边形ABCD的形状为________．
答案 正方形
解析 ∵kAB＝，kCD＝，kBC＝－2，kAD＝－2，
∴AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，
∴四边形ABCD为矩形．
又|AB|＝＝，
|BC|＝＝，
∴|AB|＝|BC|，故四边形ABCD为正方形．
11．已知A(1,6)，B(5,2)，点P在x轴上，则|AP|＋|BP|的最小值为________，此时点P的坐标为________．
答案 4 (4,0)
解析 ∵A(1,6)关于x轴的对称点为A′(1，－6)，则|AP|＝|A′P|，当P点为A′B与x轴的交点时，|AP|＋|BP|取得最小值，最小值为|A′B|＝＝4.A′B的方程为＝，即2x－y－8＝0，令y＝0，得x＝4，∴点P的坐标为(4,0)．
12．已知M(1,0)，N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为___．
答案
解析 设P的坐标为(t,2t－1)，则|PM|2＋|PN|2＝(t－1)2＋(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－1)2＝10t2－8t＋4＝102＋≥，所以|PM|2＋|PN|2的最小值为.
三、解答题
13．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程．
解 ∵点B在直线l1上，∴设B(x0,6－2x0)．
∵|AB|＝5，
∴＝5，
整理，得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5，
∴点B的坐标为(1,4)或(5，－4)．
∴直线l2的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
14．在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
解 解法一：设P点坐标为(x，y)，
由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组
解得∴P点坐标为(0,1)．
解法二：设P(x，y)，两点A(1，－1)，B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0，①
又3x－y＋1＝0，②
解由①②组成的方程组得
所以所求的点为P(0,1)．
15．已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)如图，△ABC为直角三角形，下面进行验证：
解法一：∵|AB|＝
＝＝2，
|AC|＝＝，
|BC|＝
＝＝5，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
解法二：∵kAB＝＝－2，
kAC＝＝，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
(2)∵∠A＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，
∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝5.
16．求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则连接对角线交点与一边中点的线段长等于圆心到该边对边中点的距离．
证明 以两条对角线的交点为原点O、对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．
设A(－a,0)，B(0，－b)，C(c,0)，
D(0，d)，分别取CD和AB的中点E，F，圆心为M，
∴E，F.
设M(x，y)，∵点M到点A，C的距离相等，
∴＝，∴x＝.
又点M到点B，D的距离相等，
∴＝，∴y＝，
即M.
∴|OF|＝＝，
|ME|＝＝，
∴|OF|＝|ME|.
2．3.2 两点间的距离公式
一．选择题
1．一条平行于x轴的线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是( )
A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－4)或(2,6)
C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－5)或(2,5)
2．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B．
C． D．
3. 如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
A．2 B．6
C．3 D．2
4．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,7)，则BC边上的中线AM的长为( )
A． B．
C． D．2
5．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B．
C．2 D．不确定
6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4
C．2 D．2
7．在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使点P到A(2,3)的距离为，则点P的坐标是 ( )
A．(5,5) B．(－1,1)
C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1)
8．设x，y为实数，则 ＋的最小值为( )
A．3 B．5
C． D．
二、填空题
9．两直线l1：3ax－y－2＝0和l2：(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|＝________.
10．已知A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，则四边形ABCD的形状为________．
11．已知A(1,6)，B(5,2)，点P在x轴上，则|AP|＋|BP|的最小值为________，此时点P的坐标为________．
12．已知M(1,0)，N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为___．
三、解答题
13．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程．
14．在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
15．已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
16．求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则连接对角线交点与一边中点的线段长等于圆心到该边对边中点的距离．
2．3 直线的交点坐标与距离公式
2．3.2 两点间的距离公式
一．选择题
1．一条平行于x轴的线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是( )
A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－4)或(2,6)
C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－5)或(2,5)
答案 A
解析 因为AB平行于x轴，所以B点的纵坐标为1.因为线段的长度为5，所以B点的横坐标为7或－3.
2．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B．
C． D．
答案 D
解析 由题意知解得∴点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
3. 如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是( )
A．2 B．6
C．3 D．2
答案 A
解析 由题意知，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2.故选A．
4．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,7)，则BC边上的中线AM的长为( )
A． B．
C． D．2
答案 D
解析 设点M(x，y)．∵点M是线段BC的中点，∴x＝＝1，y＝＝3，即点M的坐标为(1,3)．由两点间的距离公式，得|AM|＝＝2.∴BC边上的中线AM的长为2.
5．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B．
C．2 D．不确定
答案 B
解析 由题意可知直线AB的斜率与y＝x＋m的相同，∴＝1，∴b－a＝1，∴|AB|＝＝.
6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4
C．2 D．2
答案 C
解析 设A(a,0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，解得a＝4，b＝－2，∴|AB|＝＝2.
7．在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使点P到A(2,3)的距离为，则点P的坐标是 ( )
A．(5,5) B．(－1,1)
C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1)
答案 C
解析 设点P(x，y)，则y＝.由|PA|＝，得(x－2)2＋2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，
∴点P的坐标是(－1,1)或(5,5)．
8．设x，y为实数，则 ＋的最小值为( )
A．3 B．5
C． D．
答案 C
解析 由平面内两点间的距离公式，知原式表示动点P(x，y)到定点A(0,2)和B(3,1)的距离之和．由“两点之间线段最短”，得点P(x，y)在线段AB上时，＋取得最小值，最小值为|AB|＝＝.
二、填空题
9．两直线l1：3ax－y－2＝0和l2：(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|＝________.
答案
解析 直线l1：y＝3ax－2过定点A(0，－2)，直线l2：a(2x＋5y)－(x＋1)＝0过定点即B.由两点间的距离公式得|AB|＝.
10．已知A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，则四边形ABCD的形状为________．
答案 正方形
解析 ∵kAB＝，kCD＝，kBC＝－2，kAD＝－2，
∴AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，
∴四边形ABCD为矩形．
又|AB|＝＝，
|BC|＝＝，
∴|AB|＝|BC|，故四边形ABCD为正方形．
11．已知A(1,6)，B(5,2)，点P在x轴上，则|AP|＋|BP|的最小值为________，此时点P的坐标为________．
答案 4 (4,0)
解析 ∵A(1,6)关于x轴的对称点为A′(1，－6)，则|AP|＝|A′P|，当P点为A′B与x轴的交点时，|AP|＋|BP|取得最小值，最小值为|A′B|＝＝4.A′B的方程为＝，即2x－y－8＝0，令y＝0，得x＝4，∴点P的坐标为(4,0)．
12．已知M(1,0)，N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为___．
答案
解析 设P的坐标为(t,2t－1)，则|PM|2＋|PN|2＝(t－1)2＋(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－1)2＝10t2－8t＋4＝102＋≥，所以|PM|2＋|PN|2的最小值为.
三、解答题
13．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程．
解 ∵点B在直线l1上，∴设B(x0,6－2x0)．
∵|AB|＝5，
∴＝5，
整理，得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5，
∴点B的坐标为(1,4)或(5，－4)．
∴直线l2的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
14．在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
解 解法一：设P点坐标为(x，y)，
由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组
解得∴P点坐标为(0,1)．
解法二：设P(x，y)，两点A(1，－1)，B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0，①
又3x－y＋1＝0，②
解由①②组成的方程组得
所以所求的点为P(0,1)．
15．已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)如图，△ABC为直角三角形，下面进行验证：
解法一：∵|AB|＝
＝＝2，
|AC|＝＝，
|BC|＝
＝＝5，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
解法二：∵kAB＝＝－2，
kAC＝＝，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
(2)∵∠A＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，
∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝5.
16．求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则连接对角线交点与一边中点的线段长等于圆心到该边对边中点的距离．
证明 以两条对角线的交点为原点O、对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．
设A(－a,0)，B(0，－b)，C(c,0)，
D(0，d)，分别取CD和AB的中点E，F，圆心为M，
∴E，F.
设M(x，y)，∵点M到点A，C的距离相等，
∴＝，∴x＝.
又点M到点B，D的距离相等，
∴＝，∴y＝，
即M.
∴|OF|＝＝，
|ME|＝＝，
∴|OF|＝|ME|.