2023-2024学年人教A版数学选择性必修第一册同步测试+2.3.3点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离（含解析）

2．3.3　点到直线的距离公式
2．3.4　两条平行直线间的距离
一．选择题
1．若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为(　　)
A．－1 B．5
C．－1或5 D．－3或3
2．(多选)若过点P(1,2)引直线，使点A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程可以是(　　)
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0
C．2x＋3y－7＝0 D．3x＋2y－7＝0
3．两条平行直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0间的距离是(　　)
A． B．
C． D．
4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　)
A．0或－ B．或－6
C．－或 D．0或
5．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　)
A．8 B．2
C． D．16
6．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－11＝0和l2：x＋y－1＝0上移动，则AB中点M所在直线的方程为(　　)
A．x－y－6＝0 B．x＋y＋6＝0
C．x－y＋6＝0 D．x＋y－6＝0
7．直线2x＋3y－4＝0关于点(2,1)对称的直线方程是(　　)
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y＋6＝0
C．3x－2y－10＝0 D．2x＋3y－10＝0
8．(多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
二、填空题
9．如果已知两点O(0,0)，A(4，－1)到直线mx＋m2y＋6＝0的距离相等，那么m可取不同实数值的个数为________．
10．直线l在x轴上的截距为1，又点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为________．
11．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则点A到点B距离的最小值为________，AB的中点M到原点距离的最小值为________．
12．一直线过点P(2,0)，且点Q到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________．
13．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则l的方程为________．
14．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则的最小值为________．
三、解答题
15．已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0.
(1)若b＝0且l1⊥l2，求实数a的值；
(2)当b＝3且l1∥l2时，求直线l1与l2间的距离．
16．过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴的正半轴于点A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．
17. 已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到l2的位置，若l1，l2和两坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程(如图)．
18．当m取何值时，直线l1：5x－2y＋3m(3m＋1)＝0与l2：2x＋6y－3m(9m＋20)＝0的交点到直线l3：4x－3y－12＝0的距离最短？这个最短距离是多少？
2．3.3　点到直线的距离公式
2．3.4　两条平行直线间的距离
一．选择题
1．若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为(　　)
A．－1 B．5
C．－1或5 D．－3或3
答案　C
解析　由点到直线的距离公式得＝，∴a＝－1或5.
2．(多选)若过点P(1,2)引直线，使点A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程可以是(　　)
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0
C．2x＋3y－7＝0 D．3x＋2y－7＝0
答案　AD
解析　因为kAB＝－4，所以过点P(1,2)且与AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0，此直线符合题意．因为线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)和线段AB的中点C(3，－1)的直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0，此直线符合题意．故所求直线方程可以是4x＋y－6＝0,3x＋2y－7＝0.故选AD．
3．两条平行直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0间的距离是(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由两直线平行，得m＝6，所以mx－8y＋5＝0可化成3x－4y＋＝0，因此两条平行线间的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3－\f(5,2))),)＝，故选A．
4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　)
A．0或－ B．或－6
C．－或 D．0或
答案　B
解析　依题意得＝，即|3m＋5|＝|m－7|，∴(3m＋5)2＝(m－7)2，展开合并同类项得8m2＋44m－24＝0，即2m2＋11m－6＝0，解得m＝或m＝－6.
5．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　)
A．8 B．2
C． D．16
答案　A
解析　由题知所求即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，即＝＝8.故选A．
6．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－11＝0和l2：x＋y－1＝0上移动，则AB中点M所在直线的方程为(　　)
A．x－y－6＝0 B．x＋y＋6＝0
C．x－y＋6＝0 D．x＋y－6＝0
答案　D
解析　由题意，得点M所在的直线与直线l1，l2平行，所以设为x＋y＋n＝0，此直线到直线l1和l2的距离相等，所以＝，解得n＝－6，所以所求直线的方程为x＋y－6＝0.故选D．
7．直线2x＋3y－4＝0关于点(2,1)对称的直线方程是(　　)
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y＋6＝0
C．3x－2y－10＝0 D．2x＋3y－10＝0
答案　D
解析　设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知＝.∴C＝－4(舍去)或C＝－10，故所求直线的方程为2x＋3y－10＝0.
8．(多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
答案　BC
解析　对于A，d＝＝3>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；对于B，d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；对于C，d＝＝4，直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；对于D，d＝＝>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”．故选BC．
二、填空题
9．如果已知两点O(0,0)，A(4，－1)到直线mx＋m2y＋6＝0的距离相等，那么m可取不同实数值的个数为________．
答案　3
解析　解方程＝(m≠0)，
得m＝6或m＝－2或m＝4.
10．直线l在x轴上的截距为1，又点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为________．
答案　x－y－1＝0或x＝1
解析　显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1.设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
∵点A，B到l的距离相等，
∴＝，
∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.
11．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则点A到点B距离的最小值为________，AB的中点M到原点距离的最小值为________．
答案　　3
解析　点A到点B距离的最小值，即直线l1与l2间的距离，为＝.由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，∴点M所在的直线方程为x＋y－6＝0，∴点M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.
12．一直线过点P(2,0)，且点Q到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________．
答案　90°或30°
解析　当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°；当过点P的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在，且为k，则过点P的直线为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，由d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2k－\f(4\r(3),3)－2k)),)＝4，解得k＝，此时直线的倾斜角为30°.
13．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则l的方程为________．
答案　2x－y＋1＝0
解析　设所求的直线方程为2x－y＋c＝0(c≠3，c≠－1)，因为直线l与直线l1和直线l2距离相等，所以＝，解得c＝1，故直线l的方程为2x－y＋1＝0.
14．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则的最小值为________．
答案　
解析　因为是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝＝.
三、解答题
15．已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0.
(1)若b＝0且l1⊥l2，求实数a的值；
(2)当b＝3且l1∥l2时，求直线l1与l2间的距离．
解　(1)当b＝0时，l1：ax＋1＝0，
由l1⊥l2知a－2＝0，解得a＝2.
(2)当b＝3时，l1：ax＋3y＋1＝0，
当l1∥l2时，联立解得a＝3，
此时，l1的方程为3x＋3y＋1＝0，
l2的方程为x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0，则
它们之间的距离为d＝＝.
16．过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴的正半轴于点A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．
解　设直线AB的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
∴A(a,0)，B(0，b)．
∵MA⊥MB，∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0，
即a＝10－2B．∵a＞0，b＞0，∴0＜b＜5,0＜a＜10.
∵直线AB的一般式方程为bx＋ay－ab＝0，
∴点M到直线AB的距离d＝.
∴△MAB的面积S1＝d|AB|＝|2b＋4a－ab|＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20，△OAB的面积S2＝ab＝5b－b2.
∵直线AB平分四边形OAMB的面积，
∴S1＝S2，可得2b2－13b＋20＝0，
解得或
∴所求直线AB的方程为x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0.
17. 已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到l2的位置，若l1，l2和两坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程(如图)．
解　∵l1∥l2，可设l2的方程为x＋y－m＝0.l2与x轴、y轴分别交于B，C，l1与x轴、y轴分别交于A，D，得A(1,0)，D(0,1)，B(m，0)，C(0，m)．
∵l2在l1的上方，∴m>1.
|AD|＝＝，
|BC|＝＝m.
直线l1到直线l2的距离为＝.
S梯形ABCD＝×(＋m)×＝＝4，
解得m＝3或m＝－3(舍去)．
故所求直线的方程为x＋y－3＝0.
18．当m取何值时，直线l1：5x－2y＋3m(3m＋1)＝0与l2：2x＋6y－3m(9m＋20)＝0的交点到直线l3：4x－3y－12＝0的距离最短？这个最短距离是多少？
解　设l1与l2的交点为M，
则由
解得M.
设M到l3的距离为d，则
d＝
＝，
故当m＝－时，距离最短，且dmin＝.