2023-2024学年人教A版数学选择性必修第一册同步测试2.4.1 圆的标准方程（含解析）

第二章　直线和圆的方程
2．4　圆的方程
2.4.1　圆的标准方程
一．选择题
1．已知一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为(　　)
A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2
C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2
2．方程(x－1) ＝0所表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两个点
C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆
3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C． D．
4．若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，5)
C．(0,5) D．[0,5]
5．点(sin30°，cos30°)与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　)
A．在圆上 B．在圆内
C．在圆外 D．不能确定
6．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
7．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．6 B．4
C．3 D．2
8．方程|x－1|＝表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两个半圆
C．两个圆 D．半圆
9．(多选)如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上，则下列说法正确的是(　　)
A．AD边所在直线的方程为3x＋y＋2＝0
B．以线段AM为直径的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝8
C．矩形ABCD外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝8
D．点T在矩形ABCD外接圆的内部
二、填空题
10．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________．
11．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程为________．
12．过两点A(1,0)，B(2,1)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是________．
13．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
三、解答题
14．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
15．点P是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9,0)的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR，求|QR|的最小值与最大值．
16．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．
17．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的标准方程．
第二章　直线和圆的方程
2．4　圆的方程
2.4.1　圆的标准方程
一．选择题
1．已知一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为(　　)
A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2
C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2
答案　D
解析　由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，知圆心为(a，b)，半径为r，易知答案为D．
2．方程(x－1) ＝0所表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两个点
C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆
答案　D
解析　(x－1)＝0可化为x－1＝0或x2＋y2＝3，因此该方程表示一条直线和一个圆.
3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C． D．
答案　A
解析　因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2 ＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－14．若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，5)
C．(0,5) D．[0,5]
答案　C
解析　由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，∴05．点(sin30°，cos30°)与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　)
A．在圆上 B．在圆内
C．在圆外 D．不能确定
答案　C
解析　∵sin230°＋cos230°＝1>，∴点(sin30°，cos30°)在圆外．
6．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
答案　A
解析　圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆心C(2，－1)，故圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
7．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．6 B．4
C．3 D．2
答案　B
解析　|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径长．因为圆的圆心为(3，－1)，半径长为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.
8．方程|x－1|＝表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两个半圆
C．两个圆 D．半圆
答案　A
解析　方程|x－1|＝两边平方得|x－1|2＝[]2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，所以方程表示的曲线为一个圆．故选A．
9．(多选)如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上，则下列说法正确的是(　　)
A．AD边所在直线的方程为3x＋y＋2＝0
B．以线段AM为直径的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝8
C．矩形ABCD外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝8
D．点T在矩形ABCD外接圆的内部
答案　AC
解析　对于A，因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以AD边所在直线的斜率为－3.又点T(－1,1)在AD边所在直线上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0，A正确；对于B，以线段AM为直径的圆的圆心为线段AM的中点，由解得点A的坐标为(0，－2)，所以AM的中点为(1，－1)，AM的长为＝2，所以以线段AM为直径的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，故B错误；对于C，因为矩形ABCD的两条对角线的交点为M(2,0)，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又外接圆的半径长r＝|AM|＝2，所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝8，故C正确；对于D，因为(－1－2)2＋12＝10>8，所以点T在矩形ABCD外接圆的外部，故D错误．故选AC．
二、填空题
10．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________．
答案　(x－2)2＋y2＝10
解析　设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
则解得
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
11．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程为________．
答案　x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20
解析　令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝2.即直线与两坐标轴的交点为A(0,4)和B(2,0)．以点A为圆心，过点B的圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝20；以点B为圆心，过点A的圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝20.
12．过两点A(1,0)，B(2,1)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是________．
答案　(x－1)2＋(y－1)2＝1
解析　线段AB的中点为，A，B所在直线的斜率为1，所以直线AB的垂直平分线的方程为y－＝－，化简得y＝－x＋2，联立x－y＝0，解得圆心坐标为(1,1)，半径r＝＝1，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
13．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
答案　x2＋(y－1)2＝1
解析　由点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，得所求圆的圆心为(0,1)，又圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
三、解答题
14．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
解　(1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又a>0，可得a＝.
(2)由两点间距离公式可得|PN|＝＝，
|QN|＝＝3.
因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，
又3<，所以3即a的取值范围是(3，)．
15．点P是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9,0)的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR，求|QR|的最小值与最大值．
解　设点P的坐标是(x，y)，
则点Q的坐标是(18－x，－y)．
∵线段OR由OP绕原点逆时针旋转90°得到，
设R(x1，y1)，则·＝－1，∴＝－.
由平面几何知识得，点R的坐标为(－y，x)，
由|QR|＝
＝·.
∵P(x，y)为圆(x－5)2＋(y－5)2＝r2上的点，
∴的几何意义为点M(9，－9)到圆上的点P(x，y)的距离(如图)．
当|PM|最小时，|QR|也最小；当|PM|最大时，|QR|也最大．
又|PM|min＝||MC|－r|
＝|－r|＝|2－r|，
|PM|max＝||MC|＋r|＝2＋r.
∴|QR|min＝|2－r|，|QR|max＝(2＋r)．
16．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．
解　解法一(几何法)：设点C为圆心，
∵点C在直线x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
∵该圆经过A，B两点，
∴|CA|＝|CB|，
∴＝，
解得a＝－2，
∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径长r＝.
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题设条件知
解得
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解法三(几何法)：线段AB的中点的坐标为(0，－4)，
直线AB的斜率kAB＝＝，
∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2，
∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，
即y＝－2x－4.
又圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点，
由得
∴圆心坐标为(－1，－2)，
∴圆的半径长r＝＝，
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
17．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的标准方程．
解　设圆心为(a，b)，半径长为r，依题意，得
消去r，得2b2－a2＝1.(*)
圆心到直线l的距离d＝，设a－2b＝k，
则a＝2b＋k，代入(*)式，
得2b2＋4bk＋k2＋1＝0.
判别式Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1，
当|k|＝1时，dmin＝.
当k＝1时，a＝b＝－1，
圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当k＝－1时，a＝b＝1，
圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.