2023-2024学年人教A版数学选择性必修第一册同步测试2.5.1 直线与圆的位置关系（含解析）

第二章　直线和圆的方程
2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
一．选择题
1．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法判定
2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
3．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　)
A． B．±
C． D．±
4.(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程可能为(　　)
A．y＝x B．y＝－x
C．x＋y－4＝0 D．x－y＋4＝0
5．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
6．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．[－3,1]
7．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
8．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
9．(多选)如图A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下列结论正确的是(　　)
A．曲线W与x轴围成的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)
C. 所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1
D．过点(，1)且与相切的直线方程为x＋y－－1＝0
二、填空题
10．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则直线l的斜率为________．
11．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
12．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A且与圆O相切的直线方程为________，该直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
13．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为________．
三、解答题
14．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2.5 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？
15．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．
(1)求证：直线l过定点A(3,1)，且直线l与圆C相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程．
16．已知圆x2＋y2＝25，求：
(1)过点A(4，－3)的切线方程；
(2)过点B(－5,2)的切线方程．
17. 如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为(　　)
A．14米 B．15米
C. 米 D．2 米
18．设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
第二章　直线和圆的方程
2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
一．选择题
1．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．相切 D．无法判定
答案　C
解析　由圆的方程可得圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝＝1＝r，则直线与圆的位置关系为相切．故选C.
2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
答案　C
解析　将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C.
3．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　)
A． B．±
C． D．±
答案　D
解析　因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以圆心C(2,3)到直线的距离为d＝＝1，所以＝＝1，解得k＝±.故选D.
4.(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程可能为(　　)
A．y＝x B．y＝－x
C．x＋y－4＝0 D．x－y＋4＝0
答案　ABC
解析　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1，A，B正确；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)，C正确，D错误．故选ABC.
5．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案　B
解析　∵圆心到直线的距离d＝＝<1，又直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴直线与圆相交但直线不过圆心．
6．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．[－3,1]
答案　D
解析　将直线方程与圆方程联立消去y得2x2＋(2－2a)x＋a2－1＝0.因为直线与圆有公共点，所以Δ≥0，即(2－2a)2－4×2(a2－1)≥0，解得－3≤a≤1.故选D.
7．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
答案　B
解析　如图所示，设圆的圆心为M，则M(3,4)，半径r＝5.
当过点P的直线过圆心M时，对应的弦AC是最长的，此时，|AC|＝2r＝10；过点P的直线与MP垂直时，对应的弦BD最短，此时在Rt△MPD中，|MD|＝r＝5，|MP|＝1，
故|BD|＝2＝4.
此时四边形ABCD的面积为：S＝|AC|·|BD|＝20.
8．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　C
解析　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径为2，所以圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为＝<2，结合图形知满足条件的点有3个．
9．(多选)如图A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下列结论正确的是(　　)
A．曲线W与x轴围成的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)
C. 所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1
D．过点(，1)且与相切的直线方程为x＋y－－1＝0
答案　BCD
解析　曲线W与x轴围成的图形由以(0,1)为圆心，1为半径的半圆，加上以(1,0)为圆心，1为半径的圆，加上以(－1，0)为圆心，1为半径的圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为π＋π＋2＝2＋π≠2π，故A错误；曲线W上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)共5个整点，故B正确；是以(0,1)为圆心，1为半径的圆上一段圆弧，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；设过点(，1)且与相切的直线方程为y－1＝k(x－)(k<0)，即kx－y＋1－k＝0.由直线和圆相切的条件可得＝1，解得k＝－1，k＝0(舍去)，则所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即x＋y－－1＝0，故D正确．故选BCD.
二、填空题
10．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则直线l的斜率为________．
答案　±
解析　由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx，代入圆的方程化简得(1＋k2)x2－6x＋5＝0，因为直线l与圆C相切，所以判别式Δ＝36－20(1＋k2)＝0，解得k＝±.
11．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
答案　y＝2x
解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，即圆心为(1,2)，半径长为1.设所求直线的方程为y＝kx(由题意易得直线的斜率存在)，即kx－y＝0.
由于直线与圆相交所得弦的长为2，圆的半径长为1，所以圆心在直线kx－y＝0上，于是k－2＝0，即k＝2.
故所求直线的方程为y＝2x.
12．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A且与圆O相切的直线方程为________，该直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
答案　x＋2y－5＝0　
解析　由题意得点A在圆O上，可直接求出切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.易得直线在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为××5＝.
13．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为________．
答案　x－y＋5＝0
解析　由圆的一般方程可得圆心M(－1,2)．由圆的性质易知M，C两点的连线与弦AB垂直，故有kAB·kMC＝－1 kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
三、解答题
14．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2.5 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？
解　以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则半圆方程为x2＋y2＝16(y≥0)．
将x＝2.7代入x2＋y2＝16(y≥0)，
得y＝＝＞2.5.
因为在离中心线2.7 m处，隧道高度高于货车的高度，
所以货车能驶入这个隧道．
将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)，
得y＝，
所以货车要驶入该隧道，最大高度为 m.
15．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．
(1)求证：直线l过定点A(3,1)，且直线l与圆C相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程．
解　(1)证明：将点A(3,1)代入直线l的方程，得左边＝3(2m＋1)＋(m＋1)＝7m＋4＝右边，所以直线l过定点A.
因为|AC|＝＝＜5，所以点A在圆C内，所以对任意的实数m，直线l与圆C恒相交．
(2)由平面几何的知识可得，直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l与直径AC垂直，因为kAC＝＝－，所以此时直线l的斜率为kl＝2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.
16．已知圆x2＋y2＝25，求：
(1)过点A(4，－3)的切线方程；
(2)过点B(－5,2)的切线方程．
解　(1)∵点A(4，－3)在圆x2＋y2＝25上，
∴所求切线斜率为＝，
∴过点A的切线方程为y＋3＝(x－4)，
即4x－3y－25＝0.
(2)∵点B(－5,2)不在圆x2＋y2＝25上，
当过点B(－5，2)的切线斜率存在时，
设所求切线方程为y－2＝k(x＋5)，
即kx－y＋5k＋2＝0.由＝5，得k＝.
∴此时切线方程为21x－20y＋145＝0；
当过点B(－5，2)的切线斜率不存在时，结合图形可知，x＝－5也是切线方程．
综上所述，所求切线方程为21x－20y＋145＝0或x＝－5.
17. 如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为(　　)
A．14米 B．15米
C. 米 D．2 米
答案　D　
解析　以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，
则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，
即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.
将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，
所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，
当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，
可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，∴水面宽度|A′B′|＝2米．
18．设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
解　如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴，建立平面直角坐标系．
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为＋＝1(a>3，b>3)，即bx＋ay－ab＝0，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有
解得
所以乙向北前进3.75 km时，甲、乙两人相遇．