2023-2024学年人教A版数学选择性必修第一册同步测试2.5.2 圆与圆的位置关系（含解析）

2．5.2　圆与圆的位置关系
一．选择题
1.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的公切线有且仅有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
2．(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系可能是(　　)
A．外切 B．相交
C．内切和内含 D．外离
3.半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2＋6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
4．已知半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
5.若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是(　　)
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
6.已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是(　　)
A．5 B．7
C．9 D．11
7．若圆(x＋1)2＋y2＝4和圆(x－a)2＋y2＝1相交，则a的取值范围是(　　)
A．0B．－4C．－4D．－28．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是(　　)
A．(0，－1) B．(0,1]
C．(0,2－] D．(0,2]
9．两圆相交于A(1,3)和B(m，－1)两点，且两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是(　　)
A．－1 B．2
C．3 D．0
10．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，且过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为(　　)
A．y2－2x＋2y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋8＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－4x＋4y＋8＝0
11．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有(　　)
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a
D．y1＋y2＝2b
二、填空题
12．与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4外切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程为________．
13．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦的长为________．
14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
15.如图所示，A，B是直线l上的两点，且|AB|＝2.两个半径长相等的动圆分别与l相切于点A，B，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的最大值是________．
三、解答题
16．求半径长为4，与圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
17.如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝PN.试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程．
18．已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y－a2＋5＝0与圆C2：x2＋y2－(2b－10)x－2by＋2b2－10b＋16＝0交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且＋＝0，求实数b的值．
2．5.2　圆与圆的位置关系
一．选择题
1.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的公切线有且仅有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案　D
解析　圆心距为3，半径长之和为2，故两圆外离，公切线的条数为4.
2．(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系可能是(　　)
A．外切 B．相交
C．内切和内含 D．外离
答案　BC
解析　因为圆心距d＝＝，且点(1，－3)在圆x2＋y2＝16内，但半径r大小不确定，所以两圆可能相交或内切或内含，故选BC.
3.半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2＋6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
答案　B
解析　已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，相切于原点，故所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称即为(－3，4)，可得所求圆为B.
4．已知半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
答案　D
解析　由题意，可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得 ＝5，所以a2＝16，所以a＝±4，故所求圆的方程是(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36.
5.若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是(　　)
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
答案　B
解析　由题意可得，两圆的公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心．两圆的公共弦所在直线方程为(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，将(－1，－1)代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.
6.已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是(　　)
A．5 B．7
C．9 D．11
答案　C
解析　由题意得圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2.圆C2的圆心为C2(1，－2)，半径长r2＝2，所以两圆的圆心距为＝5>r1＋r2，所以两圆相离，|MN|的最大值是5＋2＋2＝9.
7．若圆(x＋1)2＋y2＝4和圆(x－a)2＋y2＝1相交，则a的取值范围是(　　)
A．0B．－4C．－4D．－2答案　B
解析　由题意得两圆圆心C1(－1,0)和C2(a,0)，半径r1＝2，r2＝1，∵两圆相交，∴1<|C1C2|<3，∴1<|a＋1|<3，∴08．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是(　　)
A．(0，－1) B．(0,1]
C．(0,2－] D．(0,2]
答案　C
解析　由M∩N＝N得N M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，∴2－r≥，即0＜r≤2－.
9．两圆相交于A(1,3)和B(m，－1)两点，且两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是(　　)
A．－1 B．2
C．3 D．0
答案　C
解析　由题意知，直线AB与直线x－y＋c＝0相互垂直，则有×1＝－1，∴m＝5，∴AB中点为(3,1)．由圆的性质知，AB的中点在直线x－y＋c＝0上，即3－1＋c＝0，∴c＝－2，从而m＋c＝5－2＝3.
10．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，且过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为(　　)
A．y2－2x＋2y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋8＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－4x＋4y＋8＝0
答案　C
解析　因为圆x2＋y2＝1的圆心关于直线y＝x－1的对称点是(1，－1)，由题知它是圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心，所以a＝2.设点P(x，y)，则有＝|x|，即y2＋4x－4y＋8＝0.
11．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有(　　)
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a
D．y1＋y2＝2b
答案　ABC
解析　两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，故B正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入2ax＋2by＝a2＋b2，得2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2互相平分，∴x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确．故选ABC.
二、填空题
12．与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4外切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程为________．
答案　(x－5)2＋(y＋1)2＝1
解析　圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(2，－1)，则C，A所在直线的方程为y＝－1，所以可设所求圆的圆心为D(a，－1)．由|DA|＝a－4＝1，得a＝5.故所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.
13．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦的长为________．
答案　
解析　题中两圆方程相减，得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，∴圆x2＋y2＝5的圆心(0,0)到该直线的距离d＝＝.设公共弦的长为l，则l＝2＝.
14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
答案　
解析　可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2.圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．则≤2，整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.故k的最大值为.
15.如图所示，A，B是直线l上的两点，且|AB|＝2.两个半径长相等的动圆分别与l相切于点A，B，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的最大值是________．
答案　2－
解析　如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成的图形面积S取得最大值，此时四边形ABO2O1为矩形，且Smax＝2×1－×π×12×2＝2－.
三、解答题
16．求半径长为4，与圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心为A.又圆A与直线y＝0相切且半径长为4，
故圆心为A(a,4)或A(a，－4)．
圆C的圆心为C(2,1)，半径长r＝3.若两圆相切，
则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.作分类讨论：
当取A(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2，此时所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16；
当取A(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2，此时所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.
综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.
17.如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝PN.试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程．
解　如图，以O1O2所在直线为x轴，O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．
设动点P(x，y)．
由题意得|PM|2＝|O1P|2－|O1M|2＝(x＋2)2＋y2－1.
同理，可得|PN|2＝(x－2)2＋y2－1.
∵|PM|＝|PN|，∴|PM|2＝2|PN|2.
∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即x2＋y2－12x＋3＝0.
∴动点P的轨迹方程是x2＋y2－12x＋3＝0.
18．已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y－a2＋5＝0与圆C2：x2＋y2－(2b－10)x－2by＋2b2－10b＋16＝0交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且＋＝0，求实数b的值．
解　由＋＝0，整理得x＋y＝x＋y，所以|OA|＝|OB|(O为坐标原点)，于是两圆连心线C1C2必过原点，即C1(2，－1)，C2(b－5，b)，O(0,0)三点共线，所以＝－，解得b＝.