2023-2024学年人教A版数学选择性必修第一册同步测试第二章 直线和圆的方程（含解析）

第二章第二章　直线和圆的方程　
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是(　　)
A．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90°
C．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180°
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，1)
C. D．
3．若实数m，n满足2m－n＝1，则直线mx－3y＋n＝0必过定点(　　)
A. B．
C. D．
4．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　　)
A.∪
B.
C.
D.∪
5．直线x＋y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)
A．直线与圆相切
B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离
D．直线过圆心
6．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lg x图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD(　　)
A．平行 B．垂直
C．不确定 D．相交
7．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为 (　　)
A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0
C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0
8．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．下列四个结论中正确的为(　　)
A．若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个
B．若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有2个
C．若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个
D．若p＝q，则点M的轨迹是一条过O点的直线
10．已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(　　)
A．(0，) B．(1，－1)
C．(，0) D．(－1,1)
11．S＝，下列结论中正确的是(　　)
A．当θ＝时，S中直线的斜率为－
B．S中所有直线均经过同一个定点
C．当m≥n时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2n
D．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
12．设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　)
A．不论k如何变化，圆心Ck始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．存在一条定直线始终与圆Ck相切
D．若k∈，则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．直线＋＝t被两坐标轴截得的线段长度为1，则t＝________.
14．若直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为________．
15．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则交点坐标为________，点(m，n)到原点的距离的最小值为________．
16．当且仅当a0)上有两点到直线3x＋4y－15＝0的距离是2，则以(a，b)为圆心，且和直线4x－3y＋1＝0相切的圆的方程为__________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知Rt△ABC的顶点坐标A(－3,0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边所在直线的方程．
18．(本小题满分12分)点M(x1，y1)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x1∈[2,5]时，求的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
20．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.
(1)求证：对任意的m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．
21．(本小题满分12分)设直线l经过点(－1,1)，此直线被两平行直线l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．
22．(本小题满分12分)有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的2倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品？
第二章第二章　直线和圆的方程　
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是(　　)
A．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90°
C．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180°
答案　B
解析　∵k＝2＞1，即tanα＞1，∴45°＜α＜90°.
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，1)
C. D．
答案　A
解析　由(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜.
3．若实数m，n满足2m－n＝1，则直线mx－3y＋n＝0必过定点(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　由已知得n＝2m－1，代入直线mx－3y＋n＝0得mx－3y＋2m－1＝0，即(x＋2)m＋(－3y－1)＝0，由解得所以此直线必过定点，故选D.
4．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　　)
A.∪
B.
C.
D.∪
答案　B
解析　直线ax＋y＋2＝0过定点C(0，－2)，kAC＝－，kBC＝.由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a的取值范围为－＜－a＜，解得a∈.
5．直线x＋y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)
A．直线与圆相切
B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离
D．直线过圆心
答案　A
解析　直线x＋y＝0的斜率为－，倾斜角为150°，绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线的倾斜角为120°，斜率为－，所以直线方程为x＋y＝0.圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2,0)到直线x＋y＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．
6．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lg x图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD(　　)
A．平行 B．垂直
C．不确定 D．相交
答案　D
解析　易知A(2,1)，B(4,2)，原点O(0,0)，∴kOA＝kOB＝，∴直线AB过原点，同理，C(2，lg 2)，D(4，2lg 2)，kOC＝kOD＝≠，∴直线CD过原点，且与AB相交．
7．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为 (　　)
A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0
C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0
答案　B
解析　设P(x0,0)，Q(0，y0)．∵M(1，－2)为线段PQ的中点，∴x0＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为＋＝1，即2x－y－4＝0.故选B.
8．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
答案　B
解析　设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，得
解得对称圆的半径长不变，所以圆C2的半径长为1，故圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选B.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．下列四个结论中正确的为(　　)
A．若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个
B．若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有2个
C．若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个
D．若p＝q，则点M的轨迹是一条过O点的直线
答案　ABC
解析　若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，A正确；若pq＝0，且p＋q≠0，则p，q中有且只有一个为0.当p＝0，q≠0时，l1上满足到l2的距离为q的点有2个，且关于点O对称；当p≠0，q＝0时，l2上满足到l1的距离为p的点有2个，且关于点O对称．上述两种情况不能同时存在，故满足题意的点有且仅有2个，B正确；若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个，如图所示，C正确；若p＝q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为两个交角的平分线所在的直线，因此D不正确．故选ABC.
10．已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(　　)
A．(0，) B．(1，－1)
C．(，0) D．(－1,1)
答案　AC
解析　设点A的坐标为(t，－t)，当AP，AQ均为圆的切线时，∠PAQ＝90°，此时四边形PAQO为正方形，则|OA|＝，即t2＋(－t)2＝2，解得t＝0或t＝，故点A的坐标为(0，)或(，0)．故选AC.
11．S＝，下列结论中正确的是(　　)
A．当θ＝时，S中直线的斜率为－
B．S中所有直线均经过同一个定点
C．当m≥n时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2n
D．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
答案　AC
解析　当θ＝时，sinθ＝cosθ，S中直线的斜率为－，A正确；根据x＋y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确；当m≥n时，S中的两条平行直线间的距离为d＝≥2n，即最小值为2n，C正确；∵(0,0)不满足方程，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确．故选AC.
12．设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　)
A．不论k如何变化，圆心Ck始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．存在一条定直线始终与圆Ck相切
D．若k∈，则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1
答案　ABCD
解析　圆心在直线y＝x上，A正确；若(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，Δ＝36－40＝－4<0，无解，B正确；存在定直线y＝x±2始终与圆Ck相切，C正确；圆Ck上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x2＋y2＝1与圆Ck有两个交点，则k∈∪，D正确．故选ABCD.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．直线＋＝t被两坐标轴截得的线段长度为1，则t＝________.
答案　±
解析　直线与x，y轴的交点分别为(3t,0)和(0,4t)，所以线段长为＝1，解得t＝±.
14．若直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为________．
答案　[－2，2 ]
解析　若∠APB＝60°，则|OP|＝2，直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，等价于直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，由点到直线的距离公式可得≤2，解得m∈[－2，2 ]．
15．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则交点坐标为________，点(m，n)到原点的距离的最小值为________．
答案　(1,2)　
解析　由解得
∴交点坐标为(1,2)．
把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，
∴m＝－5－2n，∴点(m，n)到原点的距离
d＝＝＝≥，
当n＝－2时等号成立，此时m＝－1.
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.
16．当且仅当a0)上有两点到直线3x＋4y－15＝0的距离是2，则以(a，b)为圆心，且和直线4x－3y＋1＝0相切的圆的方程为__________．
答案　(x－1)2＋(y－5)2＝4
解析　因为圆心(0,0)到直线3x＋4y－15＝0的距离d＝＝3，结合图形可知，圆x2＋y2＝r2(r>0)上有两点到直线3x＋4y－15＝0的距离为2，等价于|r－3|<2，即1＝2，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－5)2＝4.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知Rt△ABC的顶点坐标A(－3,0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边所在直线的方程．
解　(1)解法一：依题意，Rt△ABC的直角顶点坐标为B(－1，－2)，
∴AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1.
又∵A(－3,0)，∴kAB＝＝－，
∴kBC＝－＝，
∴边BC所在的直线的方程为y＋2＝(x＋1)，
即x－y－3＝0.
∵点C在x轴上，由y＝0，得x＝3，即C(3,0)．
解法二：设点C(c,0)，由已知可得kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，
解得c＝3，∴点C的坐标为(3,0)．
(2)由B为直角顶点，
知AC为直角三角形ABC的斜边．
∵A(－3,0)，C(3,0)，
∴斜边所在直线的方程为y＝0.
18．(本小题满分12分)点M(x1，y1)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x1∈[2,5]时，求的取值范围．
解　＝的几何意义是过M(x1，y1)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
点M在直线y＝－2x＋8的线段AB上运动，其中A(2，4)，B(5，－2)．
∵kNA＝，kNB＝－，
∴－≤≤，
∴的取值范围为.
19．(本小题满分12分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
解　(1)联立两直线方程
解得则两直线的交点为P(－2,2)．
∵直线x－2y－1＝0的斜率为k1＝，直线l垂直于直线x－2y－1＝0，∴直线l的斜率k＝－＝－2，
∴直线l的方程为y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0.
(2)对于方程2x＋y＋2＝0，令y＝0，则x＝－1，则直线与x轴交点坐标为A(－1,0)，
令x＝0，则y＝－2，则直线与y轴交点坐标为B(0，－2)，
直线l与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB，
∴S＝|OA||OB|＝×1×2＝1.
20．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.
(1)求证：对任意的m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．
解　(1)证明：因为直线l：mx－y＋1＝0恒过定点N(0，1)，且点N(0,1)在圆C：x2＋(y－2)2＝5的内部，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)由题知C(0,2)，设动点M(x，y)，
当x＝0时，M(0,1)；
当x≠0时，由垂径定理，知MN⊥MC，
所以·＝－1(y≠1且y≠2)，
整理得x2＋2＝(y≠1且y≠2)，又当x＝0时，M(0，1)满足方程x2＋2＝，
所以弦AB的中点M的轨迹方程是x2＋2＝(y≠2)．
21．(本小题满分12分)设直线l经过点(－1,1)，此直线被两平行直线l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．
解　设直线x－y－1＝0与l1，l2的交点分别为C(xC，yC)，D(xD，yD)，
则
解得∴C(1,0)，D.
则C，D的中点坐标为，即直线l经过点.
又直线l经过点(－1,1)，由两点式得直线l的方程为
＝，即2x＋7y－5＝0.
22．(本小题满分12分)有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的2倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品？
解　以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/千米，则从B地运货到P地的运费为a元/千米．
若P地居民选择在A地购买此商品，
则2a＜a，
整理得2＋y2＜2.
即点P在圆C：2＋y2＝2的内部．
也就是说，圆C内的居民应在A地购买，圆C外的居民应在B地购买，圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购买．