【精品解析】沪科版数学八年级上册第12章一次函数章节培优拓展练习

沪科版数学八年级上册第12章一次函数章节培优拓展练习
一、选择题
1．（2019八上·碑林期末）下列对一次函数y＝ax+4x+3a﹣2（a为常数，a≠﹣4）的图象判断正确的是（　　）
A．图象一定经过第二象限
B．若a＞0，则其图形一定过第四象限
C．若a＞0，则y的值随x的值增大而增大
D．若a＜4，则其图象过一、二、四象限
2．（2021八上·济南期末）定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（　　）
A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
3．（2022八上·历下期中）为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（　　）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6 B．6.4 C．6.8 D．7.2
4．（2022八上·怀宁期中）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（　　）
①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在A地时距地面的高度b为30米；③乙登山分钟时追上甲；④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2019八上·南岸期末）已知点A（-1，3），点B（-1，-4），若常数a使得一次函数y=ax+1与线段AB有交点，且使得关于x的不等式组 无解，则所有满足条件的整数a的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
6．（2019八上·包河期中）已知当 时，函数 （其中m为常量）的最小值为 ，则m=　 　．
7．（2021八上·包河期中）如果不论k为何值，一次函数y= 的图象都经过一定点， 则该定点的坐标是　 　 ．
8．（2022八上·历城期中）如图，直线与，交于，两点，在内依次向右作正方形，使一边在轴上，一个顶点在边上，作第1个正方形，点在轴上，从第2个正方形开始，第四个顶点在相邻较大正方形的边上，第2个正方形，第3个正方形 ，则第个正方形边长是　 　．
三、解答题
9．（2023七下·黄陂期末）“武汉梦时代”为全球最大的纯商业体，总建筑面积约万平方米，该商业体有甲、乙两商场，甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过a元后，超出a元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过b元后，超出b元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为x元（顾客只能选择一家商场）．
（1）若，，
①当时，到甲商场实际花费　 　元，到乙商场实际花费　 　元；
②若，那么当　 　时，到甲或乙商场实际花费一样；
（2）经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出a，b的值；
（3）若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，请直接写出的最大值　 　．
10．（2023八上·北京市开学考）已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点不重合，则称点为图形关于点的倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
（1）若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是　 　 ；
（2）点的坐标为，若在第一三象限的角平分线才存在正方形关于点的倍点，求的取值范围；
（3）已知点，，若线段上的所有点均可成为正方形关于其边上某一点的倍点，直接写出点的取值范围．
11．（2022七上·咸阳月考）如图，已知直线与轴交于点，将直线沿轴向上平移7个单位得到直线分别交轴、轴于点，且点的坐标为，点为线段BC上一点，连接OP.
（1）求点和点的坐标；
（2）是否存在点，使得OP将的面积分为1：2的两部分 若存在，求出A，P两点所在直线的函数表达式；若不存在，请说明理由.
12．（2022八上·大田期中）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图2.根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线表示　 　槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示　 　槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是　 　；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；
（3）若乙槽底面积为（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积.
13．（2022七下·大连期末）为了更好的做好疫情防控工作，区教育局准备为辖区内中小学及幼儿园购买一批立式红外线测温仪．已知购买3个A品牌测温仪和2个B品牌测温仪共需310元，购买2个A品牌测温仪和1个B品牌测温仪共需180元．
（1）求A、B两种品牌的立式红外线测温仪销售单价各是多少元？
（2）区教育局决定购进A、B两种品牌测温仪共50个．恰逢生产厂家对两种品牌测温仪的售价进行调整．A品牌测温仪售价提高了10%，B品牌测温仪按九折出售．如果区教育局准备购买A、B两种品牌测温仪的总费用不超过3250元，则至少购买A品牌测温仪多少个？
（3）在（2）的条件下，如果购买A品牌的测温仪不超过23个．求怎样购买总费用最低？最低费用多少元？
14．（2022七下·历下期末）小明从学校步行去美术馆，同时小红骑车从美术馆回学校，两人都沿同一条路直线运动，小红回到学校停留三分钟后又以同样的速度去美术馆，小明的速度是80米/分钟，如图是两人与学校的距离s（米）与小明的运动时间t（分钟）之间的关系图．
（1）学校与美术馆之间的距离为　 　米；
（2）求小红停留再出发后s与t的关系式；
（3）请直接写出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间．
15．（2022七下·莲池期末）有A、B两个港口，水由A流向B，水流的速度是3千米/时，甲船由顺流驶向B，乙船同时由B逆流驶向A，各自不停地在A、B之间往返航行．甲在静水中的速度是21千米/时，乙在静水中的速度是15千米/时；甲、乙同时出发，设行驶的时间为小时，甲船距B港口的距离为千米，乙船距B港口的距离为千米；如图为（千米）和（小时）关系的部分图像；
（1）A、B两港口的距离是　 　千米；
（2）求甲船在A、B两个港口之间往返一次（千米）和（小时）所对应的关系式；
（3）在图中画出乙船从出发到第一次返回B港口这段时间内，（千米）和（小时）的关系图象；
（4）直接写出甲、乙两船第二次相遇时距离B港口的距离是多少？
16．（2022七下·荔湾期末）在平面直角坐标系中，点满足关系式．
（1）求a、b的值；
（2）若点满足三角形的面积等于3，求n的值；
（3）点在x轴上，记三角形的面积为S，若，请直接写出m的取值范围．
17．（2022七下·仓山期末）在平面直角坐标系中，A(-2，0)，是轴负半轴上的一点，将线段平移到第一象限内，且，的对应点分别为C(1，t)，，连接交轴于点.
（1）若时，求三角形的面积；
（2）若三角形的面积为3，求点的坐标；（用含的式子表示）
（3）在（2）的条件下，求的取值范围.
四、综合题
18．（2023七下·越秀期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，表格列举的是直线l上的点的取值情况．
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 3 2 1 0 …
（1）观察表格，直接写出直线l上的点的横坐标x与纵坐标y之间的数量关系为　 　；
（2）若点在第一象限，且满足的面积为6，求点的横、纵坐标满足的数量关系；
（3）在（2）的条件下，直线与直线相交于点D，若三角形的面积不大于三角形的面积，求点的横坐标m的取值范围．
19．（2023七下·锦江期末）如图1，，两地之间有一条笔直的公路，地位于，之间，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地休息1分钟，继续按原速从地返回至地后停止；乙匀速步行从地前往地．甲、乙两人各自距地的路程、（米）与时间（分）之间的函数关系如图2所示，请结合图象解答下列问题：
图1 图2
（1）　 　；　 　；　 　；
（2）求甲、乙两人第一次相遇的时间；
（3）在甲从地返回地的过程中，当为何值时，甲、乙两人之间的距离200米．
20．（2023八上·宁波期末）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（-1，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（-1，0）为1宝点．
（1）如图①，在点A（2，0），B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，2宝点是点　 　．（填“A”“B”“C”或“D”）
（2）如图①，点M（4，0），T（0，3），若N为4宝点，求点N的坐标．
（3）如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标
（4）若一次函数图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．
21．（2023八上·温州期末）探究通过维修路段的最短时长．
素材1：如图1，某路段(A-B-C-D 段)需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通(仅设置红灯与绿灯)．
素材2：甲车先由A→D通行，乙车再由D→A通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为10s，10s，8s，它的路程y (m)与时间t(s)的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是10m/s．
素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．
[任务1]求A-B-C-D段的总路程和甲车经过BC段的速度．
[任务2]在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y(m)与时间t(s)之间的函数图象．
[任务3]丙车沿NM方向行驶，经DA段的车速与乙车经过时的速度相同，在DN段等红灯的车辆开始行驶后速度为8m/s，等红灯时车流长度每秒增加2m，问丙车在DN段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？
22．（2022七下·东丽期末）在平面直角坐标系 中，，，． 为长方形 内（不包括边界）一点，过点 分别作 轴和 轴的平行线，这两条平行线分长方形 为四个小长方形，若这四个小长方形中有一个长方形的周长等于 ，则称 为长方形 的长宽点，例如：如图中的 为长方形 的一个长宽点．
（1）在点，， 中，长方形 的长宽点是　 　．
（2）若 为长方形 的长宽点，求 的值．
（3）若一次函数 的图象上存在长方形 的长宽点，求 的取值范围．
23．（2022七下·西城期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点，，…，，若这k个点的横坐标的最大值为m，纵坐标的最大值为n，将记为，，…，，称为这k个点的“平面特征值”．如对于M（1，2），N（1，3），T（1）T＝　 　；
（2）已知F（0，b），过点F作直线l⊥y轴，直线l与直线AC交于点P，直线l与直线BD交于点Q．记T＝s．
①当b＝6时，s＝　 　；
②用含b的式子表示s，判断当点F在y轴上运动时，s是否存在最大值或最小值，如果存在，写出s的值以及相应点F的坐标．
24．（2022七下·重庆期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB=3.
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，若点C（ 2，2），求三角形ABC的面积；
（3）若点P是第一、三象限角平分线上一点，且三角形ABP的面积为 ，求点P坐标.
25．（2021八上·桐城期末）为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划，我决定从某地运送126箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小费车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为10箱/辆和6箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：
目的地 A村（元，辆-1） B村（元，辆-1）
大货车 800 900
小货车 500 700
（1）这15辆车中大、小货车各多少辆．
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前柱A，B两村总费用为y元，试求出y与x的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于78箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
26．（2022八上·慈溪期末）甲，乙两同学住在同一小区，是某学校的同班同学，小区和学校在一笔直的大街上，距离为2560米，在该大街上，小区和学校附近各有一个公共自行车取（还）车点，甲从小区步行去学校，乙比甲迟出发，步行到取车点后骑公共自行车去学校，到学校旁还车点后立即步行到学校（步行速度不变，不计取还车的时间）.设甲步行的时间为x（分），图1中的线段OM和折线分别表示甲、乙同学离小区的距离y（米）与x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人的距离s（米）与x（分）的函数关系的图象（一部分）.根据图1、图2的信息，解答下列问题：
（1）分别求甲、乙两同学的步行速度与乙骑自行车的速度；
（2）求乙同学骑自行车时，y与x的函数关系式和a的值；
（3）补画完整图2，并用字母标注所画折线的终点及转折点，写出它们的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ，
当 时， 图象经过第二、三、四象限.y的值随x的增大而减小.
当 时， 图象经过第一、三、四象限.y的值随x的增大而增大.
当 时， 图象经过第一、二、三象限.y的值随x的增大而增大.
综合分析，只有C符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先将函数解析式整理成一般形式，然后根据自变量的系数大于0，常数项大于0；自变量的系数大于0，常数项小于0；自变量的系数小于0，常数项小于0；自变量的系数小于0，常数项大于0，四种情况列出不等式组求解分别得出a的取值范围，再根据一次函数的系数、图象与性质的关系一一判断得出答案。
2．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；定义新运算；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵
解得或
∴．
∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
故答案为：B
【分析】分两种情况讨论：列出关于m的方程，求出m的值，结合图象即可求得m的取值范围。
3．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图可知，甲机器人用3分钟追上乙机器人，
甲机器人速度比乙机器人快（米/分钟），
分钟时，甲机器人在乙机器人前面（米，
设4到8分钟的解析式为，将，代入得：
，
解得，
，
当时，，
解得，
故答案为：B．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=6代入计算即可。
4．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：甲登山上升的速度是 （米/分钟），
乙提速后的速度为： （米/分钟），
，
，
故①②符合题意；
设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为 ，
∴ ，解得 ，
∴函数关系式为 ．
同理求得 段对应的函数关系式为 ，
当 时，解得： ，
∴乙登山 分钟时追上甲，故③不符合题意；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ．
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据速度等于高度除以时间可得出甲登山上升的速度，根据高度等于速度乘以时间可得出乙提速后的速度，根据函数图象和题意得出甲、乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；根据函数图象和题意得出登山多长时间时，甲、乙在距地面的高度差。
5．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一次函数的性质
【解析】【解答】解：把点A（﹣1，3）代入y＝ax+1得，3＝﹣a+1，解得a＝﹣2，
把点B（﹣1，﹣4）代入y＝ax+1得，﹣4＝﹣a+1，解得a＝5，
∵一次函数y＝ax+1与线段AB有交点，
∴﹣2≤a≤5，且a≠0，
解不等式组 得 ，
∵不等式组无解，
∴a﹣ ≤ ，
解得：a≤4，
则所有满足条件的整数a有：﹣2，﹣1，1，2，3，4.
故答案为：D.
【分析】将点A的坐标代入y＝ax+1算出a的值，再将点B的坐标代入y＝ax+1算出a的值，根据一次函数y＝ax+1与线段AB有交点，即可求出a的取值范围；将a作为常数解出不等式组中每一个不等式的解集，再根据该不等式组没有解集列出关于a的不等式，求解得出a的取值范围，综上所述即可求出满足上述所有条件的a的整数值。
6．【答案】48
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；一次函数的性质
【解析】【解答】解： ；
当 时，即当 时， ，不符合题意；
当 时，即当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 ，不符合 ．
当 时，即当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 ，符合 ﹔综合可得
故填：48.
【分析】根据绝对值的性质分情况去除绝对值，再结合 求出每种情况下 的最小值，再求解 即可.
7．【答案】（2，3）
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：将一次函数y= 变形为（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0，
由（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0，
得：（2x-y）k-（x+3y）=k-11．
不论k为何值，上式都成立．
所以2x-y=1，x+3y=11，
解得：x=2，y=3．
即不论k为何值，一次函数（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0的图象恒过（2，3）．
【分析】先求出（2x-y）k-（x+3y）=k-11，再求出2x-y=1，x+3y=11，最后求点的坐标即可。
8．【答案】
【知识点】正方形的性质；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】∵点、是直线与、轴的交点
∴，
∴
∴、、均是等腰直角三角形
∵四边形、均是正方形
∴
∴
当时，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意已知条件可推出，推出，以此类推，得出第n隔正方形的边长的值。
9．【答案】（1）285；286；280
（2）解：∵当时，到甲商场无优惠，
∴，
∵当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元，
∴．
∴．
∵当时，到甲或乙商场实际花费一样，
∴，
∴．
∴；
（3）40
【知识点】二元一次方程的应用；解一元一次不等式组；一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）① 甲商场实际花费：200+（300-200）×85%=285元，
乙商场实际花费：160+（300-160）×90%=286元，
② 若， 由题意得：200+（x-200）×85%=160+（x-160）×90%，
解得：x=280，
故答案为：280；
（3）由题意得：a+（180-a）×85%=b+（180-b）×90%，
∴b=1.5a-90，
∴a+b=a+（1.5a-90）=2.5a-90，
∵ ，
∴160≤2.5a-90≤235，
解得：100≤a≤130，
∴a-b=a-（1.5a-90）=-0.5a+90，
当a=100时，a-b有最大值，最大值为-0.5×100+90=40；
故答案为：40.
【分析】（1）①根据两商场的优惠方案分别求解即可；②根据甲、乙两商场实际花费一样建立方程并解之即可；
（2） 由于当x=120时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元 ，可求出a的范围及b值，再根据当x=200时，到甲或乙商场实际花费一样，建立方程并解之即可；
（3） 根据x=180时，到甲或乙商场实际花费一样 ，可得b=1.5a-90，从而得出a+b=2.5a-90，由，可得160≤2.5a-90≤235，求出100≤a≤130，由于a-b=a-（1.5a-90）=-0.5a+90，根据一次函数的性质即可求解.
10．【答案】（1），
（2）角平分线上的点到两边的距离相等，
故第一，三象限的角平分线经过点，，
设第一，三象限的角平分线的解析式为，
将代入，
解得：，
故第一，三象限的角平分线的解析式；
设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，
则 ，
解得：，
点在直线上，则，
即，
正方形上的点的坐标为，
且，，，，
，即，
解得：．
（3）-3≤b≤-2或2≤b≤3．
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；定义新运算；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设 是正方形 上一点，点 的坐标为 ，根据“倍点”定义，若 是图形 关于点 的倍点，
由题意可得： ，
解得： ，
在正方形 上，
是正方形 关于点 的倍点；
若 是图形 关于点 的倍点，
由题意可得： ，
解得： ，
不在正方形 上，
不是正方形 关于点 的倍点；
若 是图形 关于点 的倍点，
则有： ，
解得： ，
. 在正方形 上，
是正方形 关于点 的倍点；
故答案为： ， ．
（3）设直线 的解析式为 ，
由题意可得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
线段 上的所有点均可成为正方形 关于其边上某一点的倍点，
当线段 . 上的所有点是正方形 关于其边上点 的倍点时，当点 与点 重合时，正方形 上的点关于点 的倍点在如图四边形 上，
同理，当点 在正方形 的顶点上时，对应的倍点图形为：
当点 在正方形 的 边上时，正方形 上的点关于点 的倍点在如图四边形上，
同理，当点 在正方形 的四条边上时，对应的倍点图形为：
综上所述：正方形 关于其边上某一点的倍点所在范围为如图虚线框内减去 部分：
直线 的解析式为 ，故线段 上的所有点均可成为正方形 关于其边上某一点的倍点，如图所示：
∴点b的取值范围是 或 ．
【分析】（1）根据“倍点”的定义列方程组计算求解即可；
（2）利用待定系数法求出第一，三象限的角平分线的解析式，再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，再结合函数图象，利用“倍点”的定义计算求解即可。
11．【答案】（1）解：将直线 沿 轴向上平移7个单位得到直线 .
因为 ，令 ，得 ，
所以 ，所以直线 的函数表达式为 ，
所以直线 的函数表达式为 ，
所以
（2）解：因为 ，
所以 ，所以 .
设点 的横坐标为 ，则 .
①当 时， ，
所以 ，解得 ，
此时点 的坐标为 .
设此时 所在直线的函数表达式为 .
将点 代入，得
解得
所以此时 所在直线的函数表达式为 ；
②当 时， ，
所以 ，解得 ，
此时点 的坐标为 .
设此时 所在直线的函数表达式为 .
将点 代入，得
解得
所以此时 所在直线的函数表达式为 .
综上可知，存在点 ，使得 将 的面积分为 的两部分，
所在直线的函数表达式为 或 .
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，设平移后的函数解析式为y=-x+t+7，将点C的坐标代入可求出t的值，可得到l1和l2的函数解析式；由两函数解析式中y=0，分别求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标.
（2）利用点B，C的坐标可得到OB，OC的长，利用三角形的面积公式求出△OBC的面积；设点P的横坐标为m，分情况讨论：当S△COP：S△BOP=1：2时，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；然后利用待定系数法，由点A，P的坐标可求出直线AP的函数解析式；当S△COP：S△BOP=2：1时，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；然后利用待定系数法，由点A，P的坐标可求出直线AP的函数解析式；综上所述可得到直线AP的函数解析式.
12．【答案】（1）乙；甲；14
（2）解：设线段的解析式分别为，
经过点和，经过点和，
， ，
解得， ，
线段的解析式分别为和，
令，解得，
当注水时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；
（3）解：由图像知：当水槽中水面没有没过铁块时，水面上升了，即上升；
当水面没过铁块时，上升了，即上升，
设铁块的底面积为，则乙槽中不放铁块时水增加的体积为，
放了铁块时水增加的体积为，
，解得，
∴铁块的体积.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，槽中铁块的高度是，
故答案为：乙；甲；14；
【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；DE就是甲槽中水的深度与注水时间之间的关系 ；
（2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，联立两函数解析式组成方程组，求解即可；
（3）先求出若乙槽中没有铁块，乙槽水位上升高度，根据多升高的水的体积为铁块体积的76，即可求出乙槽中铁块体积．
13．【答案】（1）解：设A品牌售价为x元/个，B品牌售价为y元/个，则，解得．答：A品牌的售价为50元/个，B品牌的售价为80元/个．
（2）解：设购买A品牌m个，则．解得．∵m为整数，∴．答：至少购买A品牌21个．
（3）解：方法一：由（2）得．又∵A品牌不超过23个，∴，且m为整数，∴，22，23．∴共有三种方案，若A：21个，B：29个，则（元），若A：22个，B：28个，则（元），若A：23个，B：27个，则（元）．∵3209＜3226＜3243．∴购买A品牌23个，B品牌27时，总费用最低，为3209元．方法二：设购买总费用为w元，A品牌购买m个．则．．∴当m越大时，总费用w越小．∵．∴当时，总费用最低，此时（元）（个）答：购买A品牌23个、B品牌27个，总费用最低，最低费用为3209元．方法三：∵A品牌的实际售价为元/个．B品牌的实际售价为元/个．∵，∴A品牌越多，总费用越低．∵，∴A品牌购买23个．则B品牌购买27个时，总费用最低．（元）．答：A品牌购买23个、B品牌购买27个，总费用最低为3209元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A品牌售价为x元/个，B品牌售价为y元/个，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购买A品牌m个，根据题意列出不等式求解即可；
（3）设购买总费用为w元，A品牌购买m个，求出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可。
14．【答案】（1）1600
（2）解：根据题意得：小红回到美术馆的时间为5+2=7分钟，∴小红停留再出发后的函数图象过点（7，1600），（5，0），设小红停留再出发后s与t的关系式为，∴，解得：，∴小红停留再出发后s与t的关系式为；
（3）解：设小明出发后s与t的关系式为，把点（20，1600）代入得：，解得：，∴小明出发后s与t的关系式为；根据题意得：小红的速度为米/分钟，在小红骑车从美术馆回学校过程中，，解得：；在小红回到学校停留后去美术馆过程中，，解得：；综上所述，小明和小红在途中相遇时小明的运动时间为分钟或分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：学校与美术馆之间的距离为80×20=1600米；故答案为：1600
【分析】（1）结合图象，再利用路程=速度×时间计算即可；
（2）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（3）分两种情况，分别列出方程求解即可。
15．【答案】（1）72
（2）解：甲从A港口去B港口时，
（）；
甲从B港口返回A港口时，
（）；
∴；
（3）解：乙从B到A需要72÷（15-3）=6（小时），
乙从A到B需要72÷（15+3）=3（小时），
根据题意画图得：
（4）解：由题意得，F（3，0），D（6，72），E（9，0）
甲从B到A需要的时间为72÷（21-3）=3（小时）
∴C（7，72），
设直线FC解析式为s=kt+b，
则，
解得，
∴，
设直线DE解析式为s=mt+n，
则，
解得，
∴，
联立方程组
解得，
∴甲、乙两船第二次相遇时距离B港口的距离是千米．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解∶甲的顺流速度为21+3=24（千米/时），
则A、B两港口的距离是3×24=72（千米）．
故答案为：72；
【分析】（1）根据顺流速度=静水中的速度+水流的速度，可求出甲的顺流速度，根据A、B两港口的距离=甲的顺流速度×时间即可求解；
（2） 甲从A港口去B港口时，S1=A、B两港口的距离-行驶t小时所走的路程即得； 甲从B港口返回A港口时， S1=行驶t小时所走的路程-A、B两港口的距离，据此即可求出解析式；
（3） 先分别求出乙从B到A，乙从A到B需要的时间，再画出函数图形即可；
（4）分别求出直线FC、DE的解析式，然后联立解析式为方程组并解之，即得两直线的交点坐标，交点的纵坐标即为结论.
16．【答案】（1）解：∵，
∴，，
解得：，．
（2）解：过P作直线l垂直于x轴，延长AB交直线l于点Q，设Q的坐标为（3，m），过A作AH⊥l交直线l于点H，连接BP、BH，如图所示：
∵S△AHQ＝S△ABH＋S△BQH，
∴×4（m 1）＝×（3＋1）×（3 1）＋（m 1）（3 2），
解得m＝，
∴Q（3，），
∵S△ABP＝S△AQP S△BPQ＝PQ×（3＋1） PQ×（3 2）＝PQ，
又∵点P（3，n）满足△ABP的面积等于3，
∴|n |＝3，
解得：或．
（3）解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则C点坐标为（-1，0），D点坐标为（2，0）；
设直线AB的解析式为，把A（-1，1），代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线与x轴的交点为；
①当时，如图所示：
，
∵，
∴，
解得：，
当时，符合题意，
当时，符合题意，
∴此时m的取值范围是；
②当时，如图所示：
∵，
∴，
解得：，
当时，A、B、M在一条直线上，不符合题意，
∴此时m的取值范围是；
③当时，如图所示：
∵，
∴，
解得：；
④当时，如图所示：
∵，
∴，
解得：，
此时m的取值范围是；
综上分析可知，m的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）过P作直线l垂直于x轴，延长AB交直线l于点Q，设Q的坐标为（3，m），过A作AH⊥l交直线l于点H，连接BP、BH，利用S△AHQ＝S△ABH＋S△BQH，将数据代入可得×4（m 1）＝×（3＋1）×（3 1）＋（m 1）（3 2），求出m的值即可得到点Q的坐标，再利用S△ABP＝S△AQP S△BPQ＝PQ×（3＋1） PQ×（3 2）＝PQ，列出方程|n |＝3，求出n的值即可；
（3）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则C点坐标为（-1，0），D点坐标为（2，0），先求出直线AB的解析式，再分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别画出图象并求解即可。
17．【答案】（1）解：∵A(-2，0)，C(1，3)，
∴设直线AC的解析式为，
∴，解得：，
即直线AC的解析式为，
当x=0时，y=2，
∴E点坐标为(0，2)，
∴OE=2，
∵A(-2，0)，C(1，3)，
∴，
故△AOC的面积为3；
（2）解：∵A(-2，0)，C(1，t)，
∴设直线AC的解析式为，
∴，解得：，
即直线AC的解析式为，
当x=0时，，
∴E点坐标为(0，)，
∴OE=，
设B点坐标为(0，-a)，即a＞0，
∴则BE=，
∵ A(-2，0)，
∴OA=2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B点坐标为；
（3）解：在（2）中求得B点坐标为，
∵B点是y轴负半轴上的一点，
∴，
∴.
又∵C(1，t)在第一象限，
∴，
即t的取值范围：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线AC的解析式，令x=0，求出y的值，可得点E的坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）由（1）可得点E的坐标，表示出OE，设B(0，-a)，则BE=+a，根据三角形的面积公式表示出S△ABE，结合题意可得a，据此可得点B的坐标；
（3）由（2）可得点B的坐标，根据B是y轴负半轴上的点可得t的范围，根据点C在第一象限可得t的范围，取交集即可得到满足题意的t的范围.
18．【答案】（1）
（2）解：由表格可知，，
，
①点C在内部时，过作于E，于F，则，，，，
，
，，
，
．
②点C在外部时，过作轴交于，则，
在时，时，，
，
，
，
，
或；
（3）解：①中，
，
设，则，，
，
令得，，
，
，
，
，
同理，，
∴，
解得，；
②如图，
中，
，
设，则，，
，
令得，，
，
，
，
，
同理，，
∴，
解得，，
综上，当时，的面积不大于的面积
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；直角梯形
【解析】【解答】解：（1）观察表格可得：y=-x+4.
故答案为：y=-x+4.
【分析】（1）观察各个点的横、纵坐标即可得到得到x与y的关系式；
（2）由表格可得A（4，0），B（0，4），则OA=OB=4，然后根据三角形的面积公式求出S△AOB，当点C在△OAB内部时，过C1作C1E⊥OA，C1F⊥OB，则OE=C1F=m，C1E=OF=n，AE=4-m，BF=4-n，根据=S△OAB---结合三角形的面积公式就可得到m、n的关系；当点C在△OAB外部时，过C2作C2D1∥y轴交AB于点D2，则D2（m，-m+4），然后根据△ABC2的面积公式进行解答；
（3）①根据m+n的值表示出n，利用待定系数法可得直线OC1的解析式，联立y=-x+4可得x，得到点D1的坐标，然后根据三角形的面积公式可得、、，同理可得，据此求解.
19．【答案】（1）4；9；17
（2）解：由图可知，， ，
由（1）问可知，甲的速度为：（米/分），乙的速度为：（米/分），
甲、以两人第一次相遇的时间为：（分）．
故答案为：分．
（3）解：①甲出发到达地，返回地时，且甲在乙后边，
甲在地休息1分钟，乙继续行驶，
此时乙继续行驶的距离为：（米），
乙在地左边，且乙离地距离为：（米），
欲保证甲乙两人相距200米，
设分钟，甲与乙相距200米，
，
（分），
（分）．
②甲出发到达地，返回地时，甲乙两人第一次相距200米后，且甲在乙前边，
设分钟，甲与乙相距200米，
，
，
（分）．
综上所述，或．
答：当或时，甲乙两人之间的距离为200米．
故答案为：或．
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得a=5-1=4；
∴甲的速度为960÷4=240m/min，
∴甲从5到b花的时间为4min，
∴b=9，
由题意得乙的速度为60m/min，
∴乙从1到c花的时间为16min，
∴c=17；
故答案为：4；9；17
【分析】（1）根据题意即可得到a，进而结合函数图即可求出甲和乙的速度，从而即可求解；
（2）由图可知，， ，由（1）问可知，甲的速度为：（米/分），乙的速度为：（米/分），进而结合题意即可求解；
（3）根据题意分类讨论：①甲出发到达地，返回地时，且甲在乙后边；甲出发到达地，返回地时，甲乙两人第一次相距200米后，且甲在乙前边，进而设/t分钟，甲与乙相距200米， 再结合题意列出方程，进而即可求解。
20．【答案】（1）D
（2）解：如图，作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，
设直线AM为y=kx+b，
将点 M（4，0），T（0，3） 代入，
得
解得
∴直线MT为：，
∵HT⊥AM于点T
∴直线TH为：，
根据题意易得点N一定在直线HT上，设点N，
则可得，
解得a=±3，
∴当a=3时，，
当a=-3时，，
∴N（-3，-1）或N（3，7）.
（3）解：设2宝点为点A'
①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，如图所示：
∵A'是2的宝点，
∴
∴
∵
∴
∴ ，
设 ，则
∴
将 代入 得：
，解得 ，
∴ （2，4）
②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，如图所示：
同①可证明 （AAS），
∴ ，
设 ，则
∴A'（-n，n-2），
将 （-n，n-2）代入 得：
，解得
∴A'（0，-2）
综上所述， A点的坐标为（2，4）或（0，-2）；
（4）解：y=x+3；y=-x-3
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）如图，取点T（0，2），连接DT，AT，
∵D（ 2，0），A（2，0），T（0，2），
∴OT＝OD＝OA＝2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B（2， 2），C（0，1），D（ 2，0）中，2宝点是点D，
故答案为：D；
（4） 若一次函数y=kx+b（k≠0）图象上存在无数个3宝点，分类讨论：
①当k＞0时，如图，
∵N是3宝点，
∴∠MTN＝90°，MT＝NT，
∴∠NTF＝90° ∠MTO＝∠TMO，
∵∠NFT＝∠TOM＝90°，
∴△NFT≌△TOM（AAS），
∴TF＝MO＝3，NF＝OT，
设OT＝NF＝m，则OF＝OT＋TF＝m＋3，
∴N（m，m＋3），
∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
∴该一次函数的解析式为y＝x＋3；
②当k＜0时，如图，
同①可证明△MOT≌THN（AAS），
∴NH＝OT，TH＝OM＝3，
设NH＝OT＝n，则OH＝TH OT＝n 3，
∴N（ n，n 3），
∴该一次函数的解析式为y＝ x 3，
综上，该一次函数的所有解析式为y＝x＋3或y＝ x 3．
【分析】 （1）取点T（0，2），连接DT，AT，可得△ADT是等腰直角三角形，即知2宝点是点D；
若一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
（2）作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，利用待定系数法求出直线MT的解析式，根据互相垂直的直线中自变量的系数乘积为-1易得直线HT的解析式为，根据题干提供的信息可知点N一定在直线HT上，且满足TN=TM，设点N，据此结合两点间的距离公式建立方程，求解可得a的值，从而即可求出点N的坐标；
（3）①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，证明△A'FE≌△EOA（AAS），得EF＝AO＝2，A'F＝OE，设OE＝A'F＝m，则OF＝OE＋EF＝m＋2，则N（m，m＋2），将N（m，m＋2）代入y＝3x 2可得N（2，4）；②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，同理可得N（0， 2）；
（4）分两种情况：①当k＞0时，②当k＜0时，利用（2）的方法即可求解．
21．【答案】解：[任务1]由图象可知A-B-C-D段的总路程220m，BC段路程长为（140-60）m，甲车通过BC段的时间是10秒，
∴ 甲车经过BC段的速度 （140-60）÷10=8米每秒；
答： A-B-C-D段的总路程是220m，甲车经过BC段的速度是8米每秒；
[任务2]由图象可得AB段长为60m，BC段长为（140-60）=80m，CD段长为（220-140）=80m，乙车经过AB段的时间为60÷10=6秒，
补全函数图象如图
[任务3]设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待[114-（88-58）-x]秒，记丙车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，
则y=+84-x+26=x+110，
∵y随x的增大而减小，0≤x≤84，
∴当x=84时，y取得最小值，最小值为×84+110=47秒，
即丙车在DN段等待红灯至离开点A至少需要47秒钟.
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）任务1：根据图象提供的信息，读出图象最末点的纵坐标，就是A-B-C-D段的总路程；根据图象提供的信息找出BC段的长度，利用速度=路程除以时间即可求出甲车经过BC段的速度；
（2）任务2：根据图象提供的信息，分别找出AB段、BC段、CD段的路程，根据路程除以速度等于时间，算出乙车经过AB段的时间，进而即可补全图象；
（3）任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待[114-（88-58）-x]秒，丙车开过增加车流的长度需要的时间为秒，记丙车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，进而根据y=丙车等待时间+通过DA段的时间+丙车开过增加车流的长度需要的时间建立出函数关系式，进而根据所得函数的性质即可解决问题.
22．【答案】（1） 和
（2）解：∵ 为长方形的长宽点，
∴或，
解得 或．
（3）解：作的函数图象，如图1中，
由图可知，矩形 的长宽点只能在线段 ，，， 上（不包括端点），其中 ， ，，，，．
∵一次函数 的图象经过定点，
观察图象可知当直线与线段 ， 有交点时，
∴直线一次函数 的图象上存在长宽点，
当一次函数 的图象经过点 时，，
当一次函数 的图象经过点 时，，
当一次函数 的图象经过点 时，，
当一次函数 的图象经过点 时，，
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；矩形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴点D是长方形ABCO的长宽点；
∵，
∴点F是长方形ABCO的长宽点，
故答案为： 和 ．
【分析】（1）根据长宽点的定义逐一判断即可；
（2）根据长宽点的定义构建方程并解之即可；
（3） 由图可知，矩形 的长宽点只能在线段 ，，， 上（不包括端点），其中 ， ，，，， ，分别求出直线经过M、R、Q、E时的k值即可解决问题.
23．【答案】（1）8
（2）解：①10 ②当b≥8时，P（b-4，b），Q（4-b，b）， ∴s=b-4+b=2b-4， 当0≤b＜8时，s=4+b， 当b＜0时，P（4-b，b），Q（b-4，b）， ∴s=4-b+0=4-b， 综上：s=， ∵当b＞0时，s随b的增大而增大，当b＜0时，s随b的增大而减小， ∴b=0时，s存在最小值为4，此时F（0，4）．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：(1)∵A（-4，0），B（4，0），
∴E（0，8），D（-4，8），
∴T＜A，D，E＞=0+8=8，
故答案为：8；
(2)①如图，正方形ABCD的中心为M（0，4），
当F（0，6）时，FP=FQ=FM=2，
∴P（2，6），Q（-2，6），
∴T＜A，B，P，Q＞=4+6=10，
故答案为：10；
【分析】（1）根据 “平面特征值” 直接求解即可；
（2）①先求出P、Q的坐标，再根据“平面特征值”的定义求解即可；②分别求出当b≥8时，
当0≤b＜8时或当b＜0时，S的解析式，再根据一次函数的性质可得b=0时，s存在最小值为4，从而求出F的坐标.
24．【答案】（1）解：由OA=OB=3，可知：A（3，0），B（0，3）；
（2）解：设AC交y轴于点D，如图.
设直线AC的解析式为y=kx+b，代入点A、C坐标，得：
，
解得： ，
则直线AC解析式为y=- x+ .
令x=0，则y= ，BD=BO-DO=3- = ，
∴S△ABC=S△CBD+S△ABD= BD 2+ BD 3= × = ；
（3）解：由（2）可知：S△AOB= < ，
∴点P不在三角形ABO内部.
∵点P在第一、三象限角平分线上，
∴设点P（a，a）.如图.
①当P在第一象限时，
S△ABP=S△PAO+S△PBO-S△AOB
= OA yp+ OB xp- OA OB
= 3a+ 3a- ×3×3= .
∴a=8，
故P（8，8）；
②当P在第三象限时，
S△ABP'=S△P'AO+S△P'BO+S△AOB
= （ 3a）+ （ 3a）+ ×3×3= .
∴a=-5，
故P'（-5，-5），
综上，点P坐标为（8，8）或（-5，-5）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由OA＝OB＝3及x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，即可求解；
（2） 设AC交y轴于点D，如图；设直线AC的解析式为y=kx+b，用待定系数法可求得直线AC的解析式，令x=0可求得对应的y的值，从而即可得出点D的坐标，由线段的构成BD=OB-OD可求得BD的值，然后三角形面积的构成S△ABC=S△CBD+S△ABD可求解；
（3）由（2）可判断点P不在三角形ABO内部，根据点在象限平分线上的特点可设点P（a，a），于是可分两种情况：①当P在第一象限时，根据S△ABP=S△PAO+S△PBO-S△AOB可求出点P坐标；②当P在第三象限时，根据S△ABP'=S△P'AO+S△P'BO+S△AOB可求出点P坐标.
25．【答案】（1）解：设大货车用x辆，小货车用y辆，
根据题意得：
解得：．
∴大货车用9辆，小货车用6辆．
（2）解：设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（9-x）辆，前往A村的小货车为（10-x）辆，前往B村的小货车为[6-（10-x）]辆，
由题意得y=800x+900（9-x）+500（10-x）+700[6-（10-x）]=100x+10300．（4≤x≤9，且x为整数）．
（3）解：由题意得： ，
解得：x≥4.5，
又∵4≤x≤9，
∴5≤x≤9且为整数，
∵y=100x+10300，k=100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=5时，y最小，
最小值为y=100×5+10300=10800（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；4辆大货车、1辆小货车前往B村．最少运费为10800元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（9-x）辆，前往A村的小货车为（10-x）辆，前往B村的小货车为[6-（10-x）]辆，再根据题意直接列出函数解析式即可；
（3）利用一次函数的性质求解即可。
26．【答案】（1）解：根据题意可得，在PQ段时，乙同学在5-9分走了240m，
∴乙同学的步行速度为：240÷4=60m/min，
由RT段可知，乙同学从2800m走到2560m共走了240m，
∴用时为240÷60=4min，
∴m=29-4=25，
∴乙同学骑车的时间为25-9=16min，共骑了2800-240=2560m，
∴乙骑车的速度为：2560÷16=160m/min，由图2可知，在9min时，两人相距480m，
∵乙在9min时走了240m，
∴甲在9min时走了240+480=720m，
∴甲的步行速度为：720÷9=80m/min；
（2）解：由（1）得出m=25，
∴Q（9，240），R（25，2800），
设y与x的关系式为y=kx+b，
，
解得：，
∴关系式为：y=160x-1200，由（1）得，在9min时两人相距480m，甲的步行速度为80m/min，乙同学的骑行速度为160m/min，两人在amin时第一次相遇，
∴160（a-9）-80（a-9）=480，
解得a=15；
（3）解：图象如图所示：
在25min时，乙到了2800m处，甲走了80×25=2000m，两人相距2800-2000=800m，
∴A（25，80）；甲走完全程用时2560÷80=32min，
∴C（32，0）；在29min时，乙到了2560m时，甲走了80×29=2320m，两人相距2560-2320=240m，
∴B（29，240）；由（2）得a=15，
∴E（15，0）；由图可得D（9，480），由（1）得甲的步行速度为80m/min，前5min只有甲行走，乙不走，距离为：80×5=400m，
∴F（5，400）；
∴F（5，400），D（9，480），E（15，0），A（25，80），B（29，240），C（32，0）.
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可得，在PQ段时，乙同学在5 9分走了240m，由路程除以时间可得乙同学的步行速度；由RT段可知，乙同学从2800m走到2560m共走了240m，用时为240÷60＝4min，则m＝29 4＝25min，乙同学骑车的时间为25 9＝16min，共骑了2800 240＝2560m，由路程除以时间可得乙骑车的速度为：2560÷16＝160m/min；由图2可知，在9min时，两人相距480m，乙在9min时走了240m，所以甲在9min时走了240＋480＝720m，由路程除以时间可得，甲的步行速度为：720÷9＝80m/min；
（2）由（1）得出m＝25，Q（9，240），R（25，2800），设y与x的关系式为y＝kx＋b，将两点的坐标分别代入可得k、b的方程组，求解可得k、b的值，从而即可求出y关于x的函数关系式；由（1）得，在9min时两人相距480m，甲的步行速度为80m/min，乙同学的步行速度为60m/min，两人在a min时第一次相遇，所以160（a 9） 80（a 9）＝480，解之即可；
（3）在25min时，乙到了2800m处，甲走了80×25＝2000m，两人相距2800 2000＝800m，甲走完全程用时2560÷80＝32min，在29min时，乙到了2560m时，甲走了80×29＝2320m，两人相距2560 2320＝240m，由此可判断其他各点的坐标．
1 / 1沪科版数学八年级上册第12章一次函数章节培优拓展练习
一、选择题
1．（2019八上·碑林期末）下列对一次函数y＝ax+4x+3a﹣2（a为常数，a≠﹣4）的图象判断正确的是（　　）
A．图象一定经过第二象限
B．若a＞0，则其图形一定过第四象限
C．若a＞0，则y的值随x的值增大而增大
D．若a＜4，则其图象过一、二、四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ，
当 时， 图象经过第二、三、四象限.y的值随x的增大而减小.
当 时， 图象经过第一、三、四象限.y的值随x的增大而增大.
当 时， 图象经过第一、二、三象限.y的值随x的增大而增大.
综合分析，只有C符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先将函数解析式整理成一般形式，然后根据自变量的系数大于0，常数项大于0；自变量的系数大于0，常数项小于0；自变量的系数小于0，常数项小于0；自变量的系数小于0，常数项大于0，四种情况列出不等式组求解分别得出a的取值范围，再根据一次函数的系数、图象与性质的关系一一判断得出答案。
2．（2021八上·济南期末）定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（　　）
A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；定义新运算；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵
解得或
∴．
∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
故答案为：B
【分析】分两种情况讨论：列出关于m的方程，求出m的值，结合图象即可求得m的取值范围。
3．（2022八上·历下期中）为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（　　）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6 B．6.4 C．6.8 D．7.2
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图可知，甲机器人用3分钟追上乙机器人，
甲机器人速度比乙机器人快（米/分钟），
分钟时，甲机器人在乙机器人前面（米，
设4到8分钟的解析式为，将，代入得：
，
解得，
，
当时，，
解得，
故答案为：B．
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将y=6代入计算即可。
4．（2022八上·怀宁期中）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（　　）
①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在A地时距地面的高度b为30米；③乙登山分钟时追上甲；④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：甲登山上升的速度是 （米/分钟），
乙提速后的速度为： （米/分钟），
，
，
故①②符合题意；
设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为 ，
∴ ，解得 ，
∴函数关系式为 ．
同理求得 段对应的函数关系式为 ，
当 时，解得： ，
∴乙登山 分钟时追上甲，故③不符合题意；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ．
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据速度等于高度除以时间可得出甲登山上升的速度，根据高度等于速度乘以时间可得出乙提速后的速度，根据函数图象和题意得出甲、乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；根据函数图象和题意得出登山多长时间时，甲、乙在距地面的高度差。
5．（2019八上·南岸期末）已知点A（-1，3），点B（-1，-4），若常数a使得一次函数y=ax+1与线段AB有交点，且使得关于x的不等式组 无解，则所有满足条件的整数a的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一次函数的性质
【解析】【解答】解：把点A（﹣1，3）代入y＝ax+1得，3＝﹣a+1，解得a＝﹣2，
把点B（﹣1，﹣4）代入y＝ax+1得，﹣4＝﹣a+1，解得a＝5，
∵一次函数y＝ax+1与线段AB有交点，
∴﹣2≤a≤5，且a≠0，
解不等式组 得 ，
∵不等式组无解，
∴a﹣ ≤ ，
解得：a≤4，
则所有满足条件的整数a有：﹣2，﹣1，1，2，3，4.
故答案为：D.
【分析】将点A的坐标代入y＝ax+1算出a的值，再将点B的坐标代入y＝ax+1算出a的值，根据一次函数y＝ax+1与线段AB有交点，即可求出a的取值范围；将a作为常数解出不等式组中每一个不等式的解集，再根据该不等式组没有解集列出关于a的不等式，求解得出a的取值范围，综上所述即可求出满足上述所有条件的a的整数值。
二、填空题
6．（2019八上·包河期中）已知当 时，函数 （其中m为常量）的最小值为 ，则m=　 　．
【答案】48
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；一次函数的性质
【解析】【解答】解： ；
当 时，即当 时， ，不符合题意；
当 时，即当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 ，不符合 ．
当 时，即当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 ，符合 ﹔综合可得
故填：48.
【分析】根据绝对值的性质分情况去除绝对值，再结合 求出每种情况下 的最小值，再求解 即可.
7．（2021八上·包河期中）如果不论k为何值，一次函数y= 的图象都经过一定点， 则该定点的坐标是　 　 ．
【答案】（2，3）
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：将一次函数y= 变形为（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0，
由（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0，
得：（2x-y）k-（x+3y）=k-11．
不论k为何值，上式都成立．
所以2x-y=1，x+3y=11，
解得：x=2，y=3．
即不论k为何值，一次函数（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0的图象恒过（2，3）．
【分析】先求出（2x-y）k-（x+3y）=k-11，再求出2x-y=1，x+3y=11，最后求点的坐标即可。
8．（2022八上·历城期中）如图，直线与，交于，两点，在内依次向右作正方形，使一边在轴上，一个顶点在边上，作第1个正方形，点在轴上，从第2个正方形开始，第四个顶点在相邻较大正方形的边上，第2个正方形，第3个正方形 ，则第个正方形边长是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】∵点、是直线与、轴的交点
∴，
∴
∴、、均是等腰直角三角形
∵四边形、均是正方形
∴
∴
当时，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意已知条件可推出，推出，以此类推，得出第n隔正方形的边长的值。
三、解答题
9．（2023七下·黄陂期末）“武汉梦时代”为全球最大的纯商业体，总建筑面积约万平方米，该商业体有甲、乙两商场，甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过a元后，超出a元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过b元后，超出b元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为x元（顾客只能选择一家商场）．
（1）若，，
①当时，到甲商场实际花费　 　元，到乙商场实际花费　 　元；
②若，那么当　 　时，到甲或乙商场实际花费一样；
（2）经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出a，b的值；
（3）若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，请直接写出的最大值　 　．
【答案】（1）285；286；280
（2）解：∵当时，到甲商场无优惠，
∴，
∵当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元，
∴．
∴．
∵当时，到甲或乙商场实际花费一样，
∴，
∴．
∴；
（3）40
【知识点】二元一次方程的应用；解一元一次不等式组；一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）① 甲商场实际花费：200+（300-200）×85%=285元，
乙商场实际花费：160+（300-160）×90%=286元，
② 若， 由题意得：200+（x-200）×85%=160+（x-160）×90%，
解得：x=280，
故答案为：280；
（3）由题意得：a+（180-a）×85%=b+（180-b）×90%，
∴b=1.5a-90，
∴a+b=a+（1.5a-90）=2.5a-90，
∵ ，
∴160≤2.5a-90≤235，
解得：100≤a≤130，
∴a-b=a-（1.5a-90）=-0.5a+90，
当a=100时，a-b有最大值，最大值为-0.5×100+90=40；
故答案为：40.
【分析】（1）①根据两商场的优惠方案分别求解即可；②根据甲、乙两商场实际花费一样建立方程并解之即可；
（2） 由于当x=120时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元 ，可求出a的范围及b值，再根据当x=200时，到甲或乙商场实际花费一样，建立方程并解之即可；
（3） 根据x=180时，到甲或乙商场实际花费一样 ，可得b=1.5a-90，从而得出a+b=2.5a-90，由，可得160≤2.5a-90≤235，求出100≤a≤130，由于a-b=a-（1.5a-90）=-0.5a+90，根据一次函数的性质即可求解.
10．（2023八上·北京市开学考）已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点不重合，则称点为图形关于点的倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
（1）若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是　 　 ；
（2）点的坐标为，若在第一三象限的角平分线才存在正方形关于点的倍点，求的取值范围；
（3）已知点，，若线段上的所有点均可成为正方形关于其边上某一点的倍点，直接写出点的取值范围．
【答案】（1），
（2）角平分线上的点到两边的距离相等，
故第一，三象限的角平分线经过点，，
设第一，三象限的角平分线的解析式为，
将代入，
解得：，
故第一，三象限的角平分线的解析式；
设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，
则 ，
解得：，
点在直线上，则，
即，
正方形上的点的坐标为，
且，，，，
，即，
解得：．
（3）-3≤b≤-2或2≤b≤3．
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；定义新运算；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设 是正方形 上一点，点 的坐标为 ，根据“倍点”定义，若 是图形 关于点 的倍点，
由题意可得： ，
解得： ，
在正方形 上，
是正方形 关于点 的倍点；
若 是图形 关于点 的倍点，
由题意可得： ，
解得： ，
不在正方形 上，
不是正方形 关于点 的倍点；
若 是图形 关于点 的倍点，
则有： ，
解得： ，
. 在正方形 上，
是正方形 关于点 的倍点；
故答案为： ， ．
（3）设直线 的解析式为 ，
由题意可得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
线段 上的所有点均可成为正方形 关于其边上某一点的倍点，
当线段 . 上的所有点是正方形 关于其边上点 的倍点时，当点 与点 重合时，正方形 上的点关于点 的倍点在如图四边形 上，
同理，当点 在正方形 的顶点上时，对应的倍点图形为：
当点 在正方形 的 边上时，正方形 上的点关于点 的倍点在如图四边形上，
同理，当点 在正方形 的四条边上时，对应的倍点图形为：
综上所述：正方形 关于其边上某一点的倍点所在范围为如图虚线框内减去 部分：
直线 的解析式为 ，故线段 上的所有点均可成为正方形 关于其边上某一点的倍点，如图所示：
∴点b的取值范围是 或 ．
【分析】（1）根据“倍点”的定义列方程组计算求解即可；
（2）利用待定系数法求出第一，三象限的角平分线的解析式，再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，再结合函数图象，利用“倍点”的定义计算求解即可。
11．（2022七上·咸阳月考）如图，已知直线与轴交于点，将直线沿轴向上平移7个单位得到直线分别交轴、轴于点，且点的坐标为，点为线段BC上一点，连接OP.
（1）求点和点的坐标；
（2）是否存在点，使得OP将的面积分为1：2的两部分 若存在，求出A，P两点所在直线的函数表达式；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将直线 沿 轴向上平移7个单位得到直线 .
因为 ，令 ，得 ，
所以 ，所以直线 的函数表达式为 ，
所以直线 的函数表达式为 ，
所以
（2）解：因为 ，
所以 ，所以 .
设点 的横坐标为 ，则 .
①当 时， ，
所以 ，解得 ，
此时点 的坐标为 .
设此时 所在直线的函数表达式为 .
将点 代入，得
解得
所以此时 所在直线的函数表达式为 ；
②当 时， ，
所以 ，解得 ，
此时点 的坐标为 .
设此时 所在直线的函数表达式为 .
将点 代入，得
解得
所以此时 所在直线的函数表达式为 .
综上可知，存在点 ，使得 将 的面积分为 的两部分，
所在直线的函数表达式为 或 .
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，设平移后的函数解析式为y=-x+t+7，将点C的坐标代入可求出t的值，可得到l1和l2的函数解析式；由两函数解析式中y=0，分别求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标.
（2）利用点B，C的坐标可得到OB，OC的长，利用三角形的面积公式求出△OBC的面积；设点P的横坐标为m，分情况讨论：当S△COP：S△BOP=1：2时，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；然后利用待定系数法，由点A，P的坐标可求出直线AP的函数解析式；当S△COP：S△BOP=2：1时，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；然后利用待定系数法，由点A，P的坐标可求出直线AP的函数解析式；综上所述可得到直线AP的函数解析式.
12．（2022八上·大田期中）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图2.根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线表示　 　槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示　 　槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是　 　；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；
（3）若乙槽底面积为（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积.
【答案】（1）乙；甲；14
（2）解：设线段的解析式分别为，
经过点和，经过点和，
， ，
解得， ，
线段的解析式分别为和，
令，解得，
当注水时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；
（3）解：由图像知：当水槽中水面没有没过铁块时，水面上升了，即上升；
当水面没过铁块时，上升了，即上升，
设铁块的底面积为，则乙槽中不放铁块时水增加的体积为，
放了铁块时水增加的体积为，
，解得，
∴铁块的体积.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，槽中铁块的高度是，
故答案为：乙；甲；14；
【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；DE就是甲槽中水的深度与注水时间之间的关系 ；
（2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，联立两函数解析式组成方程组，求解即可；
（3）先求出若乙槽中没有铁块，乙槽水位上升高度，根据多升高的水的体积为铁块体积的76，即可求出乙槽中铁块体积．
13．（2022七下·大连期末）为了更好的做好疫情防控工作，区教育局准备为辖区内中小学及幼儿园购买一批立式红外线测温仪．已知购买3个A品牌测温仪和2个B品牌测温仪共需310元，购买2个A品牌测温仪和1个B品牌测温仪共需180元．
（1）求A、B两种品牌的立式红外线测温仪销售单价各是多少元？
（2）区教育局决定购进A、B两种品牌测温仪共50个．恰逢生产厂家对两种品牌测温仪的售价进行调整．A品牌测温仪售价提高了10%，B品牌测温仪按九折出售．如果区教育局准备购买A、B两种品牌测温仪的总费用不超过3250元，则至少购买A品牌测温仪多少个？
（3）在（2）的条件下，如果购买A品牌的测温仪不超过23个．求怎样购买总费用最低？最低费用多少元？
【答案】（1）解：设A品牌售价为x元/个，B品牌售价为y元/个，则，解得．答：A品牌的售价为50元/个，B品牌的售价为80元/个．
（2）解：设购买A品牌m个，则．解得．∵m为整数，∴．答：至少购买A品牌21个．
（3）解：方法一：由（2）得．又∵A品牌不超过23个，∴，且m为整数，∴，22，23．∴共有三种方案，若A：21个，B：29个，则（元），若A：22个，B：28个，则（元），若A：23个，B：27个，则（元）．∵3209＜3226＜3243．∴购买A品牌23个，B品牌27时，总费用最低，为3209元．方法二：设购买总费用为w元，A品牌购买m个．则．．∴当m越大时，总费用w越小．∵．∴当时，总费用最低，此时（元）（个）答：购买A品牌23个、B品牌27个，总费用最低，最低费用为3209元．方法三：∵A品牌的实际售价为元/个．B品牌的实际售价为元/个．∵，∴A品牌越多，总费用越低．∵，∴A品牌购买23个．则B品牌购买27个时，总费用最低．（元）．答：A品牌购买23个、B品牌购买27个，总费用最低为3209元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A品牌售价为x元/个，B品牌售价为y元/个，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购买A品牌m个，根据题意列出不等式求解即可；
（3）设购买总费用为w元，A品牌购买m个，求出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可。
14．（2022七下·历下期末）小明从学校步行去美术馆，同时小红骑车从美术馆回学校，两人都沿同一条路直线运动，小红回到学校停留三分钟后又以同样的速度去美术馆，小明的速度是80米/分钟，如图是两人与学校的距离s（米）与小明的运动时间t（分钟）之间的关系图．
（1）学校与美术馆之间的距离为　 　米；
（2）求小红停留再出发后s与t的关系式；
（3）请直接写出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间．
【答案】（1）1600
（2）解：根据题意得：小红回到美术馆的时间为5+2=7分钟，∴小红停留再出发后的函数图象过点（7，1600），（5，0），设小红停留再出发后s与t的关系式为，∴，解得：，∴小红停留再出发后s与t的关系式为；
（3）解：设小明出发后s与t的关系式为，把点（20，1600）代入得：，解得：，∴小明出发后s与t的关系式为；根据题意得：小红的速度为米/分钟，在小红骑车从美术馆回学校过程中，，解得：；在小红回到学校停留后去美术馆过程中，，解得：；综上所述，小明和小红在途中相遇时小明的运动时间为分钟或分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：学校与美术馆之间的距离为80×20=1600米；故答案为：1600
【分析】（1）结合图象，再利用路程=速度×时间计算即可；
（2）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（3）分两种情况，分别列出方程求解即可。
15．（2022七下·莲池期末）有A、B两个港口，水由A流向B，水流的速度是3千米/时，甲船由顺流驶向B，乙船同时由B逆流驶向A，各自不停地在A、B之间往返航行．甲在静水中的速度是21千米/时，乙在静水中的速度是15千米/时；甲、乙同时出发，设行驶的时间为小时，甲船距B港口的距离为千米，乙船距B港口的距离为千米；如图为（千米）和（小时）关系的部分图像；
（1）A、B两港口的距离是　 　千米；
（2）求甲船在A、B两个港口之间往返一次（千米）和（小时）所对应的关系式；
（3）在图中画出乙船从出发到第一次返回B港口这段时间内，（千米）和（小时）的关系图象；
（4）直接写出甲、乙两船第二次相遇时距离B港口的距离是多少？
【答案】（1）72
（2）解：甲从A港口去B港口时，
（）；
甲从B港口返回A港口时，
（）；
∴；
（3）解：乙从B到A需要72÷（15-3）=6（小时），
乙从A到B需要72÷（15+3）=3（小时），
根据题意画图得：
（4）解：由题意得，F（3，0），D（6，72），E（9，0）
甲从B到A需要的时间为72÷（21-3）=3（小时）
∴C（7，72），
设直线FC解析式为s=kt+b，
则，
解得，
∴，
设直线DE解析式为s=mt+n，
则，
解得，
∴，
联立方程组
解得，
∴甲、乙两船第二次相遇时距离B港口的距离是千米．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解∶甲的顺流速度为21+3=24（千米/时），
则A、B两港口的距离是3×24=72（千米）．
故答案为：72；
【分析】（1）根据顺流速度=静水中的速度+水流的速度，可求出甲的顺流速度，根据A、B两港口的距离=甲的顺流速度×时间即可求解；
（2） 甲从A港口去B港口时，S1=A、B两港口的距离-行驶t小时所走的路程即得； 甲从B港口返回A港口时， S1=行驶t小时所走的路程-A、B两港口的距离，据此即可求出解析式；
（3） 先分别求出乙从B到A，乙从A到B需要的时间，再画出函数图形即可；
（4）分别求出直线FC、DE的解析式，然后联立解析式为方程组并解之，即得两直线的交点坐标，交点的纵坐标即为结论.
16．（2022七下·荔湾期末）在平面直角坐标系中，点满足关系式．
（1）求a、b的值；
（2）若点满足三角形的面积等于3，求n的值；
（3）点在x轴上，记三角形的面积为S，若，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
解得：，．
（2）解：过P作直线l垂直于x轴，延长AB交直线l于点Q，设Q的坐标为（3，m），过A作AH⊥l交直线l于点H，连接BP、BH，如图所示：
∵S△AHQ＝S△ABH＋S△BQH，
∴×4（m 1）＝×（3＋1）×（3 1）＋（m 1）（3 2），
解得m＝，
∴Q（3，），
∵S△ABP＝S△AQP S△BPQ＝PQ×（3＋1） PQ×（3 2）＝PQ，
又∵点P（3，n）满足△ABP的面积等于3，
∴|n |＝3，
解得：或．
（3）解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则C点坐标为（-1，0），D点坐标为（2，0）；
设直线AB的解析式为，把A（-1，1），代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线与x轴的交点为；
①当时，如图所示：
，
∵，
∴，
解得：，
当时，符合题意，
当时，符合题意，
∴此时m的取值范围是；
②当时，如图所示：
∵，
∴，
解得：，
当时，A、B、M在一条直线上，不符合题意，
∴此时m的取值范围是；
③当时，如图所示：
∵，
∴，
解得：；
④当时，如图所示：
∵，
∴，
解得：，
此时m的取值范围是；
综上分析可知，m的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）过P作直线l垂直于x轴，延长AB交直线l于点Q，设Q的坐标为（3，m），过A作AH⊥l交直线l于点H，连接BP、BH，利用S△AHQ＝S△ABH＋S△BQH，将数据代入可得×4（m 1）＝×（3＋1）×（3 1）＋（m 1）（3 2），求出m的值即可得到点Q的坐标，再利用S△ABP＝S△AQP S△BPQ＝PQ×（3＋1） PQ×（3 2）＝PQ，列出方程|n |＝3，求出n的值即可；
（3）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则C点坐标为（-1，0），D点坐标为（2，0），先求出直线AB的解析式，再分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别画出图象并求解即可。
17．（2022七下·仓山期末）在平面直角坐标系中，A(-2，0)，是轴负半轴上的一点，将线段平移到第一象限内，且，的对应点分别为C(1，t)，，连接交轴于点.
（1）若时，求三角形的面积；
（2）若三角形的面积为3，求点的坐标；（用含的式子表示）
（3）在（2）的条件下，求的取值范围.
【答案】（1）解：∵A(-2，0)，C(1，3)，
∴设直线AC的解析式为，
∴，解得：，
即直线AC的解析式为，
当x=0时，y=2，
∴E点坐标为(0，2)，
∴OE=2，
∵A(-2，0)，C(1，3)，
∴，
故△AOC的面积为3；
（2）解：∵A(-2，0)，C(1，t)，
∴设直线AC的解析式为，
∴，解得：，
即直线AC的解析式为，
当x=0时，，
∴E点坐标为(0，)，
∴OE=，
设B点坐标为(0，-a)，即a＞0，
∴则BE=，
∵ A(-2，0)，
∴OA=2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B点坐标为；
（3）解：在（2）中求得B点坐标为，
∵B点是y轴负半轴上的一点，
∴，
∴.
又∵C(1，t)在第一象限，
∴，
即t的取值范围：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线AC的解析式，令x=0，求出y的值，可得点E的坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）由（1）可得点E的坐标，表示出OE，设B(0，-a)，则BE=+a，根据三角形的面积公式表示出S△ABE，结合题意可得a，据此可得点B的坐标；
（3）由（2）可得点B的坐标，根据B是y轴负半轴上的点可得t的范围，根据点C在第一象限可得t的范围，取交集即可得到满足题意的t的范围.
四、综合题
18．（2023七下·越秀期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，表格列举的是直线l上的点的取值情况．
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 4 3 2 1 0 …
（1）观察表格，直接写出直线l上的点的横坐标x与纵坐标y之间的数量关系为　 　；
（2）若点在第一象限，且满足的面积为6，求点的横、纵坐标满足的数量关系；
（3）在（2）的条件下，直线与直线相交于点D，若三角形的面积不大于三角形的面积，求点的横坐标m的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：由表格可知，，
，
①点C在内部时，过作于E，于F，则，，，，
，
，，
，
．
②点C在外部时，过作轴交于，则，
在时，时，，
，
，
，
，
或；
（3）解：①中，
，
设，则，，
，
令得，，
，
，
，
，
同理，，
∴，
解得，；
②如图，
中，
，
设，则，，
，
令得，，
，
，
，
，
同理，，
∴，
解得，，
综上，当时，的面积不大于的面积
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；直角梯形
【解析】【解答】解：（1）观察表格可得：y=-x+4.
故答案为：y=-x+4.
【分析】（1）观察各个点的横、纵坐标即可得到得到x与y的关系式；
（2）由表格可得A（4，0），B（0，4），则OA=OB=4，然后根据三角形的面积公式求出S△AOB，当点C在△OAB内部时，过C1作C1E⊥OA，C1F⊥OB，则OE=C1F=m，C1E=OF=n，AE=4-m，BF=4-n，根据=S△OAB---结合三角形的面积公式就可得到m、n的关系；当点C在△OAB外部时，过C2作C2D1∥y轴交AB于点D2，则D2（m，-m+4），然后根据△ABC2的面积公式进行解答；
（3）①根据m+n的值表示出n，利用待定系数法可得直线OC1的解析式，联立y=-x+4可得x，得到点D1的坐标，然后根据三角形的面积公式可得、、，同理可得，据此求解.
19．（2023七下·锦江期末）如图1，，两地之间有一条笔直的公路，地位于，之间，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地休息1分钟，继续按原速从地返回至地后停止；乙匀速步行从地前往地．甲、乙两人各自距地的路程、（米）与时间（分）之间的函数关系如图2所示，请结合图象解答下列问题：
图1 图2
（1）　 　；　 　；　 　；
（2）求甲、乙两人第一次相遇的时间；
（3）在甲从地返回地的过程中，当为何值时，甲、乙两人之间的距离200米．
【答案】（1）4；9；17
（2）解：由图可知，， ，
由（1）问可知，甲的速度为：（米/分），乙的速度为：（米/分），
甲、以两人第一次相遇的时间为：（分）．
故答案为：分．
（3）解：①甲出发到达地，返回地时，且甲在乙后边，
甲在地休息1分钟，乙继续行驶，
此时乙继续行驶的距离为：（米），
乙在地左边，且乙离地距离为：（米），
欲保证甲乙两人相距200米，
设分钟，甲与乙相距200米，
，
（分），
（分）．
②甲出发到达地，返回地时，甲乙两人第一次相距200米后，且甲在乙前边，
设分钟，甲与乙相距200米，
，
，
（分）．
综上所述，或．
答：当或时，甲乙两人之间的距离为200米．
故答案为：或．
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得a=5-1=4；
∴甲的速度为960÷4=240m/min，
∴甲从5到b花的时间为4min，
∴b=9，
由题意得乙的速度为60m/min，
∴乙从1到c花的时间为16min，
∴c=17；
故答案为：4；9；17
【分析】（1）根据题意即可得到a，进而结合函数图即可求出甲和乙的速度，从而即可求解；
（2）由图可知，， ，由（1）问可知，甲的速度为：（米/分），乙的速度为：（米/分），进而结合题意即可求解；
（3）根据题意分类讨论：①甲出发到达地，返回地时，且甲在乙后边；甲出发到达地，返回地时，甲乙两人第一次相距200米后，且甲在乙前边，进而设/t分钟，甲与乙相距200米， 再结合题意列出方程，进而即可求解。
20．（2023八上·宁波期末）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（-1，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（-1，0）为1宝点．
（1）如图①，在点A（2，0），B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，2宝点是点　 　．（填“A”“B”“C”或“D”）
（2）如图①，点M（4，0），T（0，3），若N为4宝点，求点N的坐标．
（3）如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标
（4）若一次函数图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．
【答案】（1）D
（2）解：如图，作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，
设直线AM为y=kx+b，
将点 M（4，0），T（0，3） 代入，
得
解得
∴直线MT为：，
∵HT⊥AM于点T
∴直线TH为：，
根据题意易得点N一定在直线HT上，设点N，
则可得，
解得a=±3，
∴当a=3时，，
当a=-3时，，
∴N（-3，-1）或N（3，7）.
（3）解：设2宝点为点A'
①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，如图所示：
∵A'是2的宝点，
∴
∴
∵
∴
∴ ，
设 ，则
∴
将 代入 得：
，解得 ，
∴ （2，4）
②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，如图所示：
同①可证明 （AAS），
∴ ，
设 ，则
∴A'（-n，n-2），
将 （-n，n-2）代入 得：
，解得
∴A'（0，-2）
综上所述， A点的坐标为（2，4）或（0，-2）；
（4）解：y=x+3；y=-x-3
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）如图，取点T（0，2），连接DT，AT，
∵D（ 2，0），A（2，0），T（0，2），
∴OT＝OD＝OA＝2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B（2， 2），C（0，1），D（ 2，0）中，2宝点是点D，
故答案为：D；
（4） 若一次函数y=kx+b（k≠0）图象上存在无数个3宝点，分类讨论：
①当k＞0时，如图，
∵N是3宝点，
∴∠MTN＝90°，MT＝NT，
∴∠NTF＝90° ∠MTO＝∠TMO，
∵∠NFT＝∠TOM＝90°，
∴△NFT≌△TOM（AAS），
∴TF＝MO＝3，NF＝OT，
设OT＝NF＝m，则OF＝OT＋TF＝m＋3，
∴N（m，m＋3），
∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
∴该一次函数的解析式为y＝x＋3；
②当k＜0时，如图，
同①可证明△MOT≌THN（AAS），
∴NH＝OT，TH＝OM＝3，
设NH＝OT＝n，则OH＝TH OT＝n 3，
∴N（ n，n 3），
∴该一次函数的解析式为y＝ x 3，
综上，该一次函数的所有解析式为y＝x＋3或y＝ x 3．
【分析】 （1）取点T（0，2），连接DT，AT，可得△ADT是等腰直角三角形，即知2宝点是点D；
若一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点，
（2）作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，利用待定系数法求出直线MT的解析式，根据互相垂直的直线中自变量的系数乘积为-1易得直线HT的解析式为，根据题干提供的信息可知点N一定在直线HT上，且满足TN=TM，设点N，据此结合两点间的距离公式建立方程，求解可得a的值，从而即可求出点N的坐标；
（3）①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，证明△A'FE≌△EOA（AAS），得EF＝AO＝2，A'F＝OE，设OE＝A'F＝m，则OF＝OE＋EF＝m＋2，则N（m，m＋2），将N（m，m＋2）代入y＝3x 2可得N（2，4）；②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，同理可得N（0， 2）；
（4）分两种情况：①当k＞0时，②当k＜0时，利用（2）的方法即可求解．
21．（2023八上·温州期末）探究通过维修路段的最短时长．
素材1：如图1，某路段(A-B-C-D 段)需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通(仅设置红灯与绿灯)．
素材2：甲车先由A→D通行，乙车再由D→A通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为10s，10s，8s，它的路程y (m)与时间t(s)的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是10m/s．
素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．
[任务1]求A-B-C-D段的总路程和甲车经过BC段的速度．
[任务2]在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y(m)与时间t(s)之间的函数图象．
[任务3]丙车沿NM方向行驶，经DA段的车速与乙车经过时的速度相同，在DN段等红灯的车辆开始行驶后速度为8m/s，等红灯时车流长度每秒增加2m，问丙车在DN段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？
【答案】解：[任务1]由图象可知A-B-C-D段的总路程220m，BC段路程长为（140-60）m，甲车通过BC段的时间是10秒，
∴ 甲车经过BC段的速度 （140-60）÷10=8米每秒；
答： A-B-C-D段的总路程是220m，甲车经过BC段的速度是8米每秒；
[任务2]由图象可得AB段长为60m，BC段长为（140-60）=80m，CD段长为（220-140）=80m，乙车经过AB段的时间为60÷10=6秒，
补全函数图象如图
[任务3]设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待[114-（88-58）-x]秒，记丙车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，
则y=+84-x+26=x+110，
∵y随x的增大而减小，0≤x≤84，
∴当x=84时，y取得最小值，最小值为×84+110=47秒，
即丙车在DN段等待红灯至离开点A至少需要47秒钟.
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）任务1：根据图象提供的信息，读出图象最末点的纵坐标，就是A-B-C-D段的总路程；根据图象提供的信息找出BC段的长度，利用速度=路程除以时间即可求出甲车经过BC段的速度；
（2）任务2：根据图象提供的信息，分别找出AB段、BC段、CD段的路程，根据路程除以速度等于时间，算出乙车经过AB段的时间，进而即可补全图象；
（3）任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待[114-（88-58）-x]秒，丙车开过增加车流的长度需要的时间为秒，记丙车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，进而根据y=丙车等待时间+通过DA段的时间+丙车开过增加车流的长度需要的时间建立出函数关系式，进而根据所得函数的性质即可解决问题.
22．（2022七下·东丽期末）在平面直角坐标系 中，，，． 为长方形 内（不包括边界）一点，过点 分别作 轴和 轴的平行线，这两条平行线分长方形 为四个小长方形，若这四个小长方形中有一个长方形的周长等于 ，则称 为长方形 的长宽点，例如：如图中的 为长方形 的一个长宽点．
（1）在点，， 中，长方形 的长宽点是　 　．
（2）若 为长方形 的长宽点，求 的值．
（3）若一次函数 的图象上存在长方形 的长宽点，求 的取值范围．
【答案】（1） 和
（2）解：∵ 为长方形的长宽点，
∴或，
解得 或．
（3）解：作的函数图象，如图1中，
由图可知，矩形 的长宽点只能在线段 ，，， 上（不包括端点），其中 ， ，，，，．
∵一次函数 的图象经过定点，
观察图象可知当直线与线段 ， 有交点时，
∴直线一次函数 的图象上存在长宽点，
当一次函数 的图象经过点 时，，
当一次函数 的图象经过点 时，，
当一次函数 的图象经过点 时，，
当一次函数 的图象经过点 时，，
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；矩形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴点D是长方形ABCO的长宽点；
∵，
∴点F是长方形ABCO的长宽点，
故答案为： 和 ．
【分析】（1）根据长宽点的定义逐一判断即可；
（2）根据长宽点的定义构建方程并解之即可；
（3） 由图可知，矩形 的长宽点只能在线段 ，，， 上（不包括端点），其中 ， ，，，， ，分别求出直线经过M、R、Q、E时的k值即可解决问题.
23．（2022七下·西城期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点，，…，，若这k个点的横坐标的最大值为m，纵坐标的最大值为n，将记为，，…，，称为这k个点的“平面特征值”．如对于M（1，2），N（1，3），T（1）T＝　 　；
（2）已知F（0，b），过点F作直线l⊥y轴，直线l与直线AC交于点P，直线l与直线BD交于点Q．记T＝s．
①当b＝6时，s＝　 　；
②用含b的式子表示s，判断当点F在y轴上运动时，s是否存在最大值或最小值，如果存在，写出s的值以及相应点F的坐标．
【答案】（1）8
（2）解：①10 ②当b≥8时，P（b-4，b），Q（4-b，b）， ∴s=b-4+b=2b-4， 当0≤b＜8时，s=4+b， 当b＜0时，P（4-b，b），Q（b-4，b）， ∴s=4-b+0=4-b， 综上：s=， ∵当b＞0时，s随b的增大而增大，当b＜0时，s随b的增大而减小， ∴b=0时，s存在最小值为4，此时F（0，4）．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：(1)∵A（-4，0），B（4，0），
∴E（0，8），D（-4，8），
∴T＜A，D，E＞=0+8=8，
故答案为：8；
(2)①如图，正方形ABCD的中心为M（0，4），
当F（0，6）时，FP=FQ=FM=2，
∴P（2，6），Q（-2，6），
∴T＜A，B，P，Q＞=4+6=10，
故答案为：10；
【分析】（1）根据 “平面特征值” 直接求解即可；
（2）①先求出P、Q的坐标，再根据“平面特征值”的定义求解即可；②分别求出当b≥8时，
当0≤b＜8时或当b＜0时，S的解析式，再根据一次函数的性质可得b=0时，s存在最小值为4，从而求出F的坐标.
24．（2022七下·重庆期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB=3.
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，若点C（ 2，2），求三角形ABC的面积；
（3）若点P是第一、三象限角平分线上一点，且三角形ABP的面积为 ，求点P坐标.
【答案】（1）解：由OA=OB=3，可知：A（3，0），B（0，3）；
（2）解：设AC交y轴于点D，如图.
设直线AC的解析式为y=kx+b，代入点A、C坐标，得：
，
解得： ，
则直线AC解析式为y=- x+ .
令x=0，则y= ，BD=BO-DO=3- = ，
∴S△ABC=S△CBD+S△ABD= BD 2+ BD 3= × = ；
（3）解：由（2）可知：S△AOB= < ，
∴点P不在三角形ABO内部.
∵点P在第一、三象限角平分线上，
∴设点P（a，a）.如图.
①当P在第一象限时，
S△ABP=S△PAO+S△PBO-S△AOB
= OA yp+ OB xp- OA OB
= 3a+ 3a- ×3×3= .
∴a=8，
故P（8，8）；
②当P在第三象限时，
S△ABP'=S△P'AO+S△P'BO+S△AOB
= （ 3a）+ （ 3a）+ ×3×3= .
∴a=-5，
故P'（-5，-5），
综上，点P坐标为（8，8）或（-5，-5）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由OA＝OB＝3及x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，即可求解；
（2） 设AC交y轴于点D，如图；设直线AC的解析式为y=kx+b，用待定系数法可求得直线AC的解析式，令x=0可求得对应的y的值，从而即可得出点D的坐标，由线段的构成BD=OB-OD可求得BD的值，然后三角形面积的构成S△ABC=S△CBD+S△ABD可求解；
（3）由（2）可判断点P不在三角形ABO内部，根据点在象限平分线上的特点可设点P（a，a），于是可分两种情况：①当P在第一象限时，根据S△ABP=S△PAO+S△PBO-S△AOB可求出点P坐标；②当P在第三象限时，根据S△ABP'=S△P'AO+S△P'BO+S△AOB可求出点P坐标.
25．（2021八上·桐城期末）为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划，我决定从某地运送126箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小费车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为10箱/辆和6箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：
目的地 A村（元，辆-1） B村（元，辆-1）
大货车 800 900
小货车 500 700
（1）这15辆车中大、小货车各多少辆．
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前柱A，B两村总费用为y元，试求出y与x的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于78箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
【答案】（1）解：设大货车用x辆，小货车用y辆，
根据题意得：
解得：．
∴大货车用9辆，小货车用6辆．
（2）解：设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（9-x）辆，前往A村的小货车为（10-x）辆，前往B村的小货车为[6-（10-x）]辆，
由题意得y=800x+900（9-x）+500（10-x）+700[6-（10-x）]=100x+10300．（4≤x≤9，且x为整数）．
（3）解：由题意得： ，
解得：x≥4.5，
又∵4≤x≤9，
∴5≤x≤9且为整数，
∵y=100x+10300，k=100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=5时，y最小，
最小值为y=100×5+10300=10800（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；4辆大货车、1辆小货车前往B村．最少运费为10800元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（9-x）辆，前往A村的小货车为（10-x）辆，前往B村的小货车为[6-（10-x）]辆，再根据题意直接列出函数解析式即可；
（3）利用一次函数的性质求解即可。
26．（2022八上·慈溪期末）甲，乙两同学住在同一小区，是某学校的同班同学，小区和学校在一笔直的大街上，距离为2560米，在该大街上，小区和学校附近各有一个公共自行车取（还）车点，甲从小区步行去学校，乙比甲迟出发，步行到取车点后骑公共自行车去学校，到学校旁还车点后立即步行到学校（步行速度不变，不计取还车的时间）.设甲步行的时间为x（分），图1中的线段OM和折线分别表示甲、乙同学离小区的距离y（米）与x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人的距离s（米）与x（分）的函数关系的图象（一部分）.根据图1、图2的信息，解答下列问题：
（1）分别求甲、乙两同学的步行速度与乙骑自行车的速度；
（2）求乙同学骑自行车时，y与x的函数关系式和a的值；
（3）补画完整图2，并用字母标注所画折线的终点及转折点，写出它们的坐标.
【答案】（1）解：根据题意可得，在PQ段时，乙同学在5-9分走了240m，
∴乙同学的步行速度为：240÷4=60m/min，
由RT段可知，乙同学从2800m走到2560m共走了240m，
∴用时为240÷60=4min，
∴m=29-4=25，
∴乙同学骑车的时间为25-9=16min，共骑了2800-240=2560m，
∴乙骑车的速度为：2560÷16=160m/min，由图2可知，在9min时，两人相距480m，
∵乙在9min时走了240m，
∴甲在9min时走了240+480=720m，
∴甲的步行速度为：720÷9=80m/min；
（2）解：由（1）得出m=25，
∴Q（9，240），R（25，2800），
设y与x的关系式为y=kx+b，
，
解得：，
∴关系式为：y=160x-1200，由（1）得，在9min时两人相距480m，甲的步行速度为80m/min，乙同学的骑行速度为160m/min，两人在amin时第一次相遇，
∴160（a-9）-80（a-9）=480，
解得a=15；
（3）解：图象如图所示：
在25min时，乙到了2800m处，甲走了80×25=2000m，两人相距2800-2000=800m，
∴A（25，80）；甲走完全程用时2560÷80=32min，
∴C（32，0）；在29min时，乙到了2560m时，甲走了80×29=2320m，两人相距2560-2320=240m，
∴B（29，240）；由（2）得a=15，
∴E（15，0）；由图可得D（9，480），由（1）得甲的步行速度为80m/min，前5min只有甲行走，乙不走，距离为：80×5=400m，
∴F（5，400）；
∴F（5，400），D（9，480），E（15，0），A（25，80），B（29，240），C（32，0）.
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可得，在PQ段时，乙同学在5 9分走了240m，由路程除以时间可得乙同学的步行速度；由RT段可知，乙同学从2800m走到2560m共走了240m，用时为240÷60＝4min，则m＝29 4＝25min，乙同学骑车的时间为25 9＝16min，共骑了2800 240＝2560m，由路程除以时间可得乙骑车的速度为：2560÷16＝160m/min；由图2可知，在9min时，两人相距480m，乙在9min时走了240m，所以甲在9min时走了240＋480＝720m，由路程除以时间可得，甲的步行速度为：720÷9＝80m/min；
（2）由（1）得出m＝25，Q（9，240），R（25，2800），设y与x的关系式为y＝kx＋b，将两点的坐标分别代入可得k、b的方程组，求解可得k、b的值，从而即可求出y关于x的函数关系式；由（1）得，在9min时两人相距480m，甲的步行速度为80m/min，乙同学的步行速度为60m/min，两人在a min时第一次相遇，所以160（a 9） 80（a 9）＝480，解之即可；
（3）在25min时，乙到了2800m处，甲走了80×25＝2000m，两人相距2800 2000＝800m，甲走完全程用时2560÷80＝32min，在29min时，乙到了2560m时，甲走了80×29＝2320m，两人相距2560 2320＝240m，由此可判断其他各点的坐标．
1 / 1