2023年湖北省襄阳市数学中考试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023年湖北省襄阳市数学中考试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-13 15:26:03 | ||
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文档简介
2023年湖北省襄阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2023 襄阳）下面四个有理数中，最小的是
A． B． C．0 D．1
2．（3分）（2023 襄阳）下列各式中，计算结果等于的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2023 襄阳）先贤孔子曾说过“鼓之舞之“，这是“鼓舞“一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是
A． B．
C． D．
4．（3分）（2023 襄阳）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
5．（3分）（2023 襄阳）五边形的外角和等于
A． B． C． D．
6．（3分）（2023 襄阳）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数
A． B． C． D．
7．（3分）（2023 襄阳）如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是
A． B． C． D．
8．（3分）（2023 襄阳）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是
A．平分 B． C． D．
9．（3分）（2023 襄阳）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是
A． B．
C． D．
10．（3分）（2023 襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）
11．（3分）（2023 襄阳）5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2023 襄阳）古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是 ．
13．（3分）（2023 襄阳）点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”
14．（3分）（2023 襄阳）如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则 度．
15．（3分）（2023 襄阳）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；
②篮球出手点距离地面的高度为．
16．（3分）（2023 襄阳）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2023 襄阳）化简：．
18．（6分）（2023 襄阳）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：，，，，．
①八年级学生成绩在组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 ；
（2）频数分布直方图中，组的频数是 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数 ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八” ；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 人．
19．（6分）（2023 襄阳）在襄阳市诸感亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，．
20．（6分）（2023 襄阳）如图，是菱形的对角线．
（1）作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
21．（7分）（2023 襄阳）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
22．（8分）（2023 襄阳）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
23．（10分）（2023 襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为元支，肉串的成本为元支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）
次数 数量（支 总成本（元
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求、的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串支，店主获得海鲜串的总利润为元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求的最大值．
24．（11分）（2023 襄阳）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，．
①填空： ；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．
25．（12分）（2023 襄阳）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．
（1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
②时，的最小值为2，求的值；
③当时．动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
（2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为．当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为．若，直接写出的取值范围．
2023年湖北省襄阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2023 襄阳）下面四个有理数中，最小的是
A． B． C．0 D．1
【分析】首先对负数、正数和零判断出负数最小，然后再对和进行判断，的绝对值大，所以它最小．
【解答】，故选：．
【点拨】本题考查了有理数的大小比较，关键用绝对值的大小来判断负数之间的大小比较．
2．（3分）（2023 襄阳）下列各式中，计算结果等于的是
A． B． C． D．
【分析】根据同底数幂乘除法的计算方法，同类项、合并同类项法则逐项进行判断即可．
【解答】解：．，因此选项不符合题意；
．，因此选项符合题意；
．与不是同类项，不能合并，因此选项不符合题意；
．与不是同类项，不能合并，因此选项不符合题意．
故选：．
【点拨】本题考查同底数幂的乘除法，同类项以及合并同类项，掌握同底数幂乘除法的计算法则以及同类项、合并同类项法则是正确解答的前提．
3．（3分）（2023 襄阳）先贤孔子曾说过“鼓之舞之“，这是“鼓舞“一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是
A． B．
C． D．
【分析】画出这个几何体的主视图即可．
【解答】解：这个立体图形的主视图为：
故选：．
【点拨】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答的前提．
4．（3分）（2023 襄阳）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件以及确定事件的定义结合具体问题情境进行判断即可．
【解答】解：明天襄阳某地下雨的可能性是，是说“明天襄阳某地下雨”的可能性较大，但也不一定会下雨，因此是随机事件，
故选：．
【点拨】本题考查随机事件，理解随机事件、必然事件、不可能事件以及确定事件的定义是正确判断的前提．
5．（3分）（2023 襄阳）五边形的外角和等于
A． B． C． D．
【分析】根据多边形的外角和等于解答．
【解答】解：五边形的外角和是．
故选：．
【点拨】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是．
6．（3分）（2023 襄阳）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数
A． B． C． D．
【分析】依题意得：，，再根据平行线的性质得，然后即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
依题意得：，，
，
又，
，
．
故选：．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
7．（3分）（2023 襄阳）如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法即可得出答案．
【解答】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是，
故选：．
【点拨】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法是正确解答的前提．
8．（3分）（2023 襄阳）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是
A．平分 B． C． D．
【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．
【解答】解：由矩形的对角线相交于点，
根据矩形的对角线相等，
可得．
故选：．
【点拨】本题主要考查了矩形的对角线相等，关键是注意矩形与菱形性质的区别．
9．（3分）（2023 襄阳）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】设宽为步，长为步，列方程即可．
【解答】解：设宽为步，长为步，
根据题意列方程，
故选：．
【点拨】本题主要考查了列一元一次方程解决问题，关键是找相等关系．
10．（3分）（2023 襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，可分为两种情况进行讨论：①当时，一次函数经过第一、二、三象限；反比例函数的图象在第一、三象限；②当时，一次函数经过第二、三、四象限；反比例函数的图象在第二、四象限；据此可得出答案．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①当时，一次函数经过第一、二、三象限；反比例函数的图象在第一、三象限；
②当时，一次函数经过第二、三、四象限；反比例函数的图象在第二、四象限；
一次函数与反比例函数的图象可能是．
故选：．
【点拨】此题主要考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，熟练掌握一次函数得图象、反比例函数图象与系数的关系是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）
11．（3分）（2023 襄阳）5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 ．
【分析】首先用科学记数法确定的值为2.27，然后再右移动六位，才能得到原数，所以答案为．
【解答】解：2270000用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了用科学记数法表示较大的数，关键要确定的值．
12．（3分）（2023 襄阳）古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是 ．
【分析】根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：古隆中、米公祠、水镜庄、习家池这4处有代表性的旅游景点，被抽到的可能性是均等的，共有4种等可能出现的结果，而选择古隆中的只有1种，
所以选择古隆中的概率是，
故答案为：．
【点拨】本题考查概率的计算，理解概率的定义，掌握概率的计算方法是解决问题的前提．
13．（3分）（2023 襄阳）点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”
【分析】根据反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小判断即可．
【解答】解：点，在反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小，准确判断是关键．
14．（3分）（2023 襄阳）如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则 140 度．
【分析】首先根据圆内接四边形的性质得，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出的度数．
【解答】解：四边形内接于，，
，
．
故答案为：140．
【点拨】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键．
15．（3分）（2023 襄阳）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 ① （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；
②篮球出手点距离地面的高度为．
【分析】先求的顶点为，再求时的值即可判断．
【解答】解：由的顶点为，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；
由当时，，即②不正确；
故答案为：①．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的应用，充分利用函数表达式是关键．
16．（3分）（2023 襄阳）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点，，则的长为 ．
【分析】取中点，连接，作，，设，由折叠的性质得到，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．
【解答】解：取中点，连接，过点作于点，于点．
设，，则．
，
，，．
又由折叠得，，
，
，即 ，
，
解得：，
，
是中点，，
是的中位线，
，
，
由折叠知，，
在和中，
，
，
．
，
，
．
又，且，
，
，
四边形 是正方形，
，
．
在 中，，
，
解得：，
，，即，，
在 中，．
【点拨】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2023 襄阳）化简：．
【分析】根据分式的加减乘除混合运算法则，主要运算准确即可．
【解答】解：原式
．
【点拨】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，关键是准确应用法则．
18．（6分）（2023 襄阳）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：，，，，．
①八年级学生成绩在组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 50 ；
（2）频数分布直方图中，组的频数是 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数 ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八” ；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 人．
【分析】（1）由样本容量的定义即可得出答案；
（2）根据各组频数之和等于样本容量50进行计算即可；
（3）根据中位数的定义和计算方法进行计算即可；
（4）由七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论；
（5）求出样本中，八年级学生成绩不低于95分的学生所占的百分比，估计总体中所占的百分比，根据频率进行计算即可．
【解答】解：（1）由于“随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析”因此本次抽取八年级学生的样本容量是50，
故答案为：50；
（2）频数分布直方图中，组的频数为（人，
故答案为：13；
（3）将抽取的50名八年级学生成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为（分，因此本次抽取八年级学生成绩的中位数是93分，即，
故答案为：93；
（4）样本中七年级学生成绩的方差为57.4，而八年级学生成绩的方差为49.2，由于，
因此八年级学生成绩比较整齐，
故答案为：八；
（5）（名，
答：该校八年级400名学生中，成绩不低于95分的学生大约有160名．
【点拨】本题考查频数分布直方图，样本容量，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计算方法，理解方差的定义以及样本估计总体的方法是解决问题的前提．
19．（6分）（2023 襄阳）在襄阳市诸感亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，．
【分析】根据题意，找准直角三角形及三角函数即可．
【解答】解：矩形中有，，
，
，
，即，
，
，
，
．
答：铜像的高度为．
【点拨】本题主要考查了三角函数的应用，关键是找准三角函数．
20．（6分）（2023 襄阳）如图，是菱形的对角线．
（1）作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【分析】（1）按照尺规作图的要求作出边的垂直平分线即可；
（2）由菱形的性质得，，则，由线段的垂直平分线的性质得，所以，则．
【解答】（1）作法：1．分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，交于点、点，
2．作直线交于点，交于点，
直线、点、点就是所求的图形．
（2）解：连接，
四边形是菱形，
，，
，
垂直平分，点在上，
，
，
，
的度数是．
【点拨】此题重点考查基本作图“作线段的垂直平分线”、菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段的垂直平分线的性质等知识与方法，按照尺规作图的要求正确地作出线段的垂直平分线是解题的关键．
21．（7分）（2023 襄阳）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围；
（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值．
【解答】解：（1），
有两个不相等的实数，
，
解得：；
（2）方程的两个根为，，
，
，
解得：，（舍去）．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式，关键运用代入法来求值．
22．（8分）（2023 襄阳）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，由此可得，进而根据切线的判定可得出结论；
（2）过点作于点，先证和全等得，进而得，再证和全等得，然后在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后根据弧长公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接，过点作于点，如图：
，点是的中点，
为的平分线，
与相切于点，是的直径，
为的半径，
，
又，
，
即为的半径，
是的切线；
（2）解：过点作于点，如图：
点为的圆心，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，点是的中点，
，，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
，
锐角，
由（1）可知：，
，
又，
为等边三角形，
，，
的长．
【点拨】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．
23．（10分）（2023 襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为元支，肉串的成本为元支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）
次数 数量（支 总成本（元
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求、的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串支，店主获得海鲜串的总利润为元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求的最大值．
【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出、的值；
（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润每支利润数量”分别列出代数式即可求出与的函数关系式，注意写出自变量的取值范围；
（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令．先根据题意列出关于的关系式，再写出关于的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．
【解答】解：（1）根据表格可得：
，
解得，
的值为3，的值为2；
（2）当时，店主获得海鲜串的总利润；
当时，店主获得海鲜串的总利润；
；
（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令．
，
，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，的值最小，
由题意可得：，
，
即，
解得：，
的最大值是0.5．
【点拨】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解决问题的关键．
24．（11分）（2023 襄阳）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，．
①填空： 1 ；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．
【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案；
②方法一：利用证明即可；方法二：过点分别作于，于，利用证明即可；
（2）方法一：过点作交于，证明，利用相似三角形性质即可得出答案；方法二：过点分别作于，于，证明，可得，再证得，即证得结论；
（3）过点作交于，作于，作于，利用证得，可得：，，再证得，可得，同理可得：，推出，进而可得，令，则，，，利用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）①解：将的直角顶点与点重合，
，
故答案为：1；
②证明：
方法一：四边形是正方形，
，，，
，
即，
，
．
方法二：过点分别作于，于，如图1，
则，
四边形是正方形，
，平分，
，，
，
即，
，
．
（2）解：．理由如下：
方法一：过点作交于，如图，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
即，
，
．
方法二：过点分别作于，于，如图，
则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
．
（3）过点作交于，作于，作于，如图3，
则，
，
即，
，
由（2）和已知条件可得：，，
，
，
，，
，，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
令，则，，，
，
，
．
【点拨】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
25．（12分）（2023 襄阳）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．
（1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
②时，的最小值为2，求的值；
③当时．动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
（2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为．当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为．若，直接写出的取值范围．
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；②分三种情况：当，即时，随增大而减小，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可；③把，代入，可得，设点，可得，利用二次函数的性质即可求得答案；
（2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得，，，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，可得，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，同理可求得答案．
【解答】解：（1）抛物线经过原点，
，
解得：或，
，
，
①抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为，；
②当，即时，随增大而减小，
由题意得：，
解得：，（舍去），
的值为，
当时，则若时，的最小值为，不符合题意，
当时，随增大而增大，
由题意得：，
解得：（舍去），，
的值为1，
综上所述，的值为或1；
③由题意得：当时，经过点，，
，
，
，
设点，且，
轴，
，，
，
，，
当时，取得最大值；
（2），
，
直线经过点、，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，得，
，
联立方程得：，
解得：，，
当时，，
，，
当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图，
则，，
，
，
即，
，
化简得：，
令，
解得：（舍去），，
，
，
，
；
当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图，
则，，
，
，
即，
，
化简得：，
令，
解得：，（舍去），
，
，
，
；
综上所述，的取值范围为或．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点等，涉及知识点多，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键．
第1页（共1页）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2023 襄阳）下面四个有理数中，最小的是
A． B． C．0 D．1
2．（3分）（2023 襄阳）下列各式中，计算结果等于的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2023 襄阳）先贤孔子曾说过“鼓之舞之“，这是“鼓舞“一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是
A． B．
C． D．
4．（3分）（2023 襄阳）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
5．（3分）（2023 襄阳）五边形的外角和等于
A． B． C． D．
6．（3分）（2023 襄阳）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数
A． B． C． D．
7．（3分）（2023 襄阳）如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是
A． B． C． D．
8．（3分）（2023 襄阳）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是
A．平分 B． C． D．
9．（3分）（2023 襄阳）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是
A． B．
C． D．
10．（3分）（2023 襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）
11．（3分）（2023 襄阳）5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2023 襄阳）古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是 ．
13．（3分）（2023 襄阳）点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”
14．（3分）（2023 襄阳）如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则 度．
15．（3分）（2023 襄阳）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；
②篮球出手点距离地面的高度为．
16．（3分）（2023 襄阳）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2023 襄阳）化简：．
18．（6分）（2023 襄阳）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：，，，，．
①八年级学生成绩在组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 ；
（2）频数分布直方图中，组的频数是 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数 ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八” ；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 人．
19．（6分）（2023 襄阳）在襄阳市诸感亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，．
20．（6分）（2023 襄阳）如图，是菱形的对角线．
（1）作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
21．（7分）（2023 襄阳）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
22．（8分）（2023 襄阳）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
23．（10分）（2023 襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为元支，肉串的成本为元支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）
次数 数量（支 总成本（元
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求、的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串支，店主获得海鲜串的总利润为元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求的最大值．
24．（11分）（2023 襄阳）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，．
①填空： ；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．
25．（12分）（2023 襄阳）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．
（1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
②时，的最小值为2，求的值；
③当时．动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
（2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为．当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为．若，直接写出的取值范围．
2023年湖北省襄阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2023 襄阳）下面四个有理数中，最小的是
A． B． C．0 D．1
【分析】首先对负数、正数和零判断出负数最小，然后再对和进行判断，的绝对值大，所以它最小．
【解答】，故选：．
【点拨】本题考查了有理数的大小比较，关键用绝对值的大小来判断负数之间的大小比较．
2．（3分）（2023 襄阳）下列各式中，计算结果等于的是
A． B． C． D．
【分析】根据同底数幂乘除法的计算方法，同类项、合并同类项法则逐项进行判断即可．
【解答】解：．，因此选项不符合题意；
．，因此选项符合题意；
．与不是同类项，不能合并，因此选项不符合题意；
．与不是同类项，不能合并，因此选项不符合题意．
故选：．
【点拨】本题考查同底数幂的乘除法，同类项以及合并同类项，掌握同底数幂乘除法的计算法则以及同类项、合并同类项法则是正确解答的前提．
3．（3分）（2023 襄阳）先贤孔子曾说过“鼓之舞之“，这是“鼓舞“一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是
A． B．
C． D．
【分析】画出这个几何体的主视图即可．
【解答】解：这个立体图形的主视图为：
故选：．
【点拨】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答的前提．
4．（3分）（2023 襄阳）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件以及确定事件的定义结合具体问题情境进行判断即可．
【解答】解：明天襄阳某地下雨的可能性是，是说“明天襄阳某地下雨”的可能性较大，但也不一定会下雨，因此是随机事件，
故选：．
【点拨】本题考查随机事件，理解随机事件、必然事件、不可能事件以及确定事件的定义是正确判断的前提．
5．（3分）（2023 襄阳）五边形的外角和等于
A． B． C． D．
【分析】根据多边形的外角和等于解答．
【解答】解：五边形的外角和是．
故选：．
【点拨】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是．
6．（3分）（2023 襄阳）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数
A． B． C． D．
【分析】依题意得：，，再根据平行线的性质得，然后即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
依题意得：，，
，
又，
，
．
故选：．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
7．（3分）（2023 襄阳）如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法即可得出答案．
【解答】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是，
故选：．
【点拨】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法是正确解答的前提．
8．（3分）（2023 襄阳）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是
A．平分 B． C． D．
【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．
【解答】解：由矩形的对角线相交于点，
根据矩形的对角线相等，
可得．
故选：．
【点拨】本题主要考查了矩形的对角线相等，关键是注意矩形与菱形性质的区别．
9．（3分）（2023 襄阳）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】设宽为步，长为步，列方程即可．
【解答】解：设宽为步，长为步，
根据题意列方程，
故选：．
【点拨】本题主要考查了列一元一次方程解决问题，关键是找相等关系．
10．（3分）（2023 襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，可分为两种情况进行讨论：①当时，一次函数经过第一、二、三象限；反比例函数的图象在第一、三象限；②当时，一次函数经过第二、三、四象限；反比例函数的图象在第二、四象限；据此可得出答案．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①当时，一次函数经过第一、二、三象限；反比例函数的图象在第一、三象限；
②当时，一次函数经过第二、三、四象限；反比例函数的图象在第二、四象限；
一次函数与反比例函数的图象可能是．
故选：．
【点拨】此题主要考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，熟练掌握一次函数得图象、反比例函数图象与系数的关系是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）
11．（3分）（2023 襄阳）5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 ．
【分析】首先用科学记数法确定的值为2.27，然后再右移动六位，才能得到原数，所以答案为．
【解答】解：2270000用科学记数法表示为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了用科学记数法表示较大的数，关键要确定的值．
12．（3分）（2023 襄阳）古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是 ．
【分析】根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：古隆中、米公祠、水镜庄、习家池这4处有代表性的旅游景点，被抽到的可能性是均等的，共有4种等可能出现的结果，而选择古隆中的只有1种，
所以选择古隆中的概率是，
故答案为：．
【点拨】本题考查概率的计算，理解概率的定义，掌握概率的计算方法是解决问题的前提．
13．（3分）（2023 襄阳）点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”
【分析】根据反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小判断即可．
【解答】解：点，在反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小，准确判断是关键．
14．（3分）（2023 襄阳）如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则 140 度．
【分析】首先根据圆内接四边形的性质得，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出的度数．
【解答】解：四边形内接于，，
，
．
故答案为：140．
【点拨】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键．
15．（3分）（2023 襄阳）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 ① （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；
②篮球出手点距离地面的高度为．
【分析】先求的顶点为，再求时的值即可判断．
【解答】解：由的顶点为，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；
由当时，，即②不正确；
故答案为：①．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的应用，充分利用函数表达式是关键．
16．（3分）（2023 襄阳）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点，，则的长为 ．
【分析】取中点，连接，作，，设，由折叠的性质得到，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．
【解答】解：取中点，连接，过点作于点，于点．
设，，则．
，
，，．
又由折叠得，，
，
，即 ，
，
解得：，
，
是中点，，
是的中位线，
，
，
由折叠知，，
在和中，
，
，
．
，
，
．
又，且，
，
，
四边形 是正方形，
，
．
在 中，，
，
解得：，
，，即，，
在 中，．
【点拨】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2023 襄阳）化简：．
【分析】根据分式的加减乘除混合运算法则，主要运算准确即可．
【解答】解：原式
．
【点拨】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，关键是准确应用法则．
18．（6分）（2023 襄阳）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：，，，，．
①八年级学生成绩在组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 50 ；
（2）频数分布直方图中，组的频数是 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数 ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八” ；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 人．
【分析】（1）由样本容量的定义即可得出答案；
（2）根据各组频数之和等于样本容量50进行计算即可；
（3）根据中位数的定义和计算方法进行计算即可；
（4）由七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论；
（5）求出样本中，八年级学生成绩不低于95分的学生所占的百分比，估计总体中所占的百分比，根据频率进行计算即可．
【解答】解：（1）由于“随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析”因此本次抽取八年级学生的样本容量是50，
故答案为：50；
（2）频数分布直方图中，组的频数为（人，
故答案为：13；
（3）将抽取的50名八年级学生成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为（分，因此本次抽取八年级学生成绩的中位数是93分，即，
故答案为：93；
（4）样本中七年级学生成绩的方差为57.4，而八年级学生成绩的方差为49.2，由于，
因此八年级学生成绩比较整齐，
故答案为：八；
（5）（名，
答：该校八年级400名学生中，成绩不低于95分的学生大约有160名．
【点拨】本题考查频数分布直方图，样本容量，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计算方法，理解方差的定义以及样本估计总体的方法是解决问题的前提．
19．（6分）（2023 襄阳）在襄阳市诸感亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，．
【分析】根据题意，找准直角三角形及三角函数即可．
【解答】解：矩形中有，，
，
，
，即，
，
，
，
．
答：铜像的高度为．
【点拨】本题主要考查了三角函数的应用，关键是找准三角函数．
20．（6分）（2023 襄阳）如图，是菱形的对角线．
（1）作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【分析】（1）按照尺规作图的要求作出边的垂直平分线即可；
（2）由菱形的性质得，，则，由线段的垂直平分线的性质得，所以，则．
【解答】（1）作法：1．分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，交于点、点，
2．作直线交于点，交于点，
直线、点、点就是所求的图形．
（2）解：连接，
四边形是菱形，
，，
，
垂直平分，点在上，
，
，
，
的度数是．
【点拨】此题重点考查基本作图“作线段的垂直平分线”、菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段的垂直平分线的性质等知识与方法，按照尺规作图的要求正确地作出线段的垂直平分线是解题的关键．
21．（7分）（2023 襄阳）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围；
（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值．
【解答】解：（1），
有两个不相等的实数，
，
解得：；
（2）方程的两个根为，，
，
，
解得：，（舍去）．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式，关键运用代入法来求值．
22．（8分）（2023 襄阳）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，由此可得，进而根据切线的判定可得出结论；
（2）过点作于点，先证和全等得，进而得，再证和全等得，然后在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后根据弧长公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接，过点作于点，如图：
，点是的中点，
为的平分线，
与相切于点，是的直径，
为的半径，
，
又，
，
即为的半径，
是的切线；
（2）解：过点作于点，如图：
点为的圆心，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，点是的中点，
，，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
，
锐角，
由（1）可知：，
，
又，
为等边三角形，
，，
的长．
【点拨】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．
23．（10分）（2023 襄阳）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为元支，肉串的成本为元支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）
次数 数量（支 总成本（元
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求、的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串支，店主获得海鲜串的总利润为元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求的最大值．
【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出、的值；
（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润每支利润数量”分别列出代数式即可求出与的函数关系式，注意写出自变量的取值范围；
（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令．先根据题意列出关于的关系式，再写出关于的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．
【解答】解：（1）根据表格可得：
，
解得，
的值为3，的值为2；
（2）当时，店主获得海鲜串的总利润；
当时，店主获得海鲜串的总利润；
；
（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令．
，
，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，的值最小，
由题意可得：，
，
即，
解得：，
的最大值是0.5．
【点拨】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解决问题的关键．
24．（11分）（2023 襄阳）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，．
①填空： 1 ；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．
【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案；
②方法一：利用证明即可；方法二：过点分别作于，于，利用证明即可；
（2）方法一：过点作交于，证明，利用相似三角形性质即可得出答案；方法二：过点分别作于，于，证明，可得，再证得，即证得结论；
（3）过点作交于，作于，作于，利用证得，可得：，，再证得，可得，同理可得：，推出，进而可得，令，则，，，利用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）①解：将的直角顶点与点重合，
，
故答案为：1；
②证明：
方法一：四边形是正方形，
，，，
，
即，
，
．
方法二：过点分别作于，于，如图1，
则，
四边形是正方形，
，平分，
，，
，
即，
，
．
（2）解：．理由如下：
方法一：过点作交于，如图，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
即，
，
．
方法二：过点分别作于，于，如图，
则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
．
（3）过点作交于，作于，作于，如图3，
则，
，
即，
，
由（2）和已知条件可得：，，
，
，
，，
，，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
令，则，，，
，
，
．
【点拨】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
25．（12分）（2023 襄阳）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．
（1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
②时，的最小值为2，求的值；
③当时．动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
（2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为．当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为．若，直接写出的取值范围．
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；②分三种情况：当，即时，随增大而减小，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可；③把，代入，可得，设点，可得，利用二次函数的性质即可求得答案；
（2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得，，，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，可得，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，同理可求得答案．
【解答】解：（1）抛物线经过原点，
，
解得：或，
，
，
①抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为，；
②当，即时，随增大而减小，
由题意得：，
解得：，（舍去），
的值为，
当时，则若时，的最小值为，不符合题意，
当时，随增大而增大，
由题意得：，
解得：（舍去），，
的值为1，
综上所述，的值为或1；
③由题意得：当时，经过点，，
，
，
，
设点，且，
轴，
，，
，
，，
当时，取得最大值；
（2），
，
直线经过点、，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，得，
，
联立方程得：，
解得：，，
当时，，
，，
当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图，
则，，
，
，
即，
，
化简得：，
令，
解得：（舍去），，
，
，
，
；
当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图，
则，，
，
，
即，
，
化简得：，
令，
解得：，（舍去），
，
，
，
；
综上所述，的取值范围为或．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点等，涉及知识点多，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键．
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