北京市重点大学附中2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2020·北京模拟）如图，用三角板作 的边 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·北京）正五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
3．（2023八上·北京市开学考）如图，是的平分线，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·北京市开学考）已知二元一次方程，用含的代数式表示，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·西城期末）以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．且
C． D．且
6．（2017·邵阳模拟）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC
C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
7．（2023八上·北京市开学考）年国家统计局公布了年国民经济和社会发展统计公报公报显示了全国年至年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局年发布的相关信息，绘制了如下的统计图根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（ ）
与年相比，年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；
从年到年，进口额最多的是年；
年进口额年增长率持续下降；
与年相比，年出口额增加了万亿元．
A． B． C． D．
8．（2023·北京）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9．（2023八上·北京市开学考）已知关于的不等式的解集如图所示，那么的值是 ．
10．（2023八上·北京市开学考）计算： ．
11．（2021·遂宁）已知关于x，y的二元一次方程组 满足 ，则a的取值范围是 .
12．（2023八上·北京市开学考）已知，，则用含的式子表示为 ．
13．（2023八上·北京市开学考）如图，在中，，，，平分则的度数为 ．
14．（2023八上·北京市开学考）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交于点若，．
（1）则的度数为 ；
（2）若中有两个角相等，则 ．
15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 度．
16．（2023八上·北京市开学考）某陶艺工坊有和两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．
尺寸 数量个 款式 大 中 小
烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．
某批次需要生产个大尺寸陶艺品，个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品．
（1）烧制这批陶艺品，款电热窑至少使用 次；
（2）若款电热窑每次烧制成本为元，款电热窑每次烧制成本为元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八上·北京市开学考）计算：
（1）解不等式组：；
（2）已知方程，当时，当时，求和的值．
18．（2023八上·北京市开学考）已知如图所示，
（1）画出中边上的高线，在内部作射线使得，交边于点，请你依题意补全图形；
（2）判断与之间的关系，并说明理由．
19．（2023八上·北京市开学考）如图，点，，，在直线上之间不能直接测量，点，在异侧，测得，，求证：．
20．（2023八上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的；
（3）在（2）的条件下，点在直线上，若，直接写出点的坐标；
（4）在（2）的条件下，已知，点，点，所围成的区域内包括边界恰有个整点，求的取值范围．
21．（2021八上·隆安期中）如图，中，，，E点为射线上一动点，连结，作且．
（1）如图1，过F点作交于D点，求证：；
（2）如图2，连结交于G点，若，，求证：E点为中点．
（3）当E点在射线上，连结与直线交于G点，若，，则 ．（直接写出结果）
22．（2023八上·北京市开学考）已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点不重合，则称点为图形关于点的倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
（1）若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是 ；
（2）点的坐标为，若在第一三象限的角平分线才存在正方形关于点的倍点，求的取值范围；
（3）已知点，，若线段上的所有点均可成为正方形关于其边上某一点的倍点，直接写出点的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项不符合题意；
B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项符合题意；
C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项不符合题意；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】任意多边形的外角和都为 ，与边数无关
故答案为：B．
【分析】根据多边形的外角和定理即可得．
3．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵∠DAE=60°，
∴∠BAD=120°，
∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=60°，
∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°=60°，
∵∠B=35°，
∴∠D=180°-（∠BAC+∠CAD）-∠B=180°-120°-35°=25°，
∴∠ACB=∠CAD+∠D=60°+25°=85°，
故答案为：C.
【分析】先利用角平分线的定义求出∠CAD=∠BAD=60°，再利用角的运算求出∠D的度数，最后求出∠ACB的度数即可.
4．【答案】B
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】将x当作常数，再利用一元一次方程的解法求解即可.
5．【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：l1=OB+AB，l2=OC+CD+AD∴l1＞l2，
∵将线段EF平移可得到线段BG，将线段FG平移可得到线段BE，
∴BE=FG，EF=BG，
∴l3=OE+EF+FG+AG=OE+BE+BG+AG=OB+BA=l1，
综上所述： ，，的大小关系为： 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出l1＞l2，再根据平移求出BE=FG，EF=BG，最后判断求解即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，A不符合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，B不符合题意；
C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，C符合题意；
D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由条件可得AC=AC，再结合AB=AD，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可得到所求结论．
7．【答案】A
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】①由条形图与折线图可知，2018的进口额为14.1万亿元，进口额的年增长率为12.8%，2019的进口额 为14 3万亿元，进口额的年增长率为1 .4%，所以与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升，∴①结论正确，符合题意；
②由条形图可知，从2018年到2022年，进口额最多的是 2022年，为18. 1万亿元，∴②结论正确，符合题意；
③由折线图可知，2018-2022年进口额年增长率先下降再上升再下降，∴③结论错误，不符合题意；
④由条形图可知，与2021年相比，2022年 出口额增加了24.0-21.7=2.3万亿元，∴④结论正确，符合题意；
综上，正确的结论是，
故答案为：A.
【分析】根据条形统计图与折线统计图中的数据逐项判断即可.
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴a＞1，-a＜-1，
∴，
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质结合题意即可求解。
9．【答案】1
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】∵，
∴x≤a-2，
∵不等式的解集在数轴上为，
∴x≤-1，
∴a-2=-1，
解得：a=1，
故答案为：1.
【分析】先求出不等式的解集为x≤a-2，再结合数轴可得x≤-1，即可得到a-2=-1，再求出a的值即可.
10．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】利用二次根式的加减法的计算方法求解即可.
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
①-②，得
∵
∴ ，
解得 ，
故答案为： .
【分析】利用方程组的特点：两个方程中x，y的系数都相差1，因此由①-②，可求出x-y的值；再根据x-y＞0，建立关于a的不等式，求出不等式的解集.
12．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】∵，
∴a=3c-2b，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先求出，再将b当作常数求出c的值即可.
13．【答案】45°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】∵∠1是△ACD的外角，
∴∠1=∠C+∠3，
∵，，
∴∠3=∠1-∠C=100°-80°=20°，
∵，
∴，
∴∠ABC=180°-（∠C+∠BAC）=180°-（∠C+∠2+∠3）=180°-（80°+10°+20°）=70°，
∵平分
∴∠ABE=∠ABC=×70°=35°，
∴∠4=∠2+∠ABE=10°+35°=45°，
故答案为：45°.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠3的度数，再求出∠2的度数，再利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，利用角平分线的定义求出∠ABE的度数，最后利用三角形的外角求出∠4的度数即可.
14．【答案】20°,30
（1）20°
（2）30
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）∵，∠C+∠B=90°，
∴∠C=70°，∠B=20°，
故答案为：20°；
（2）∵∠BAD=x°，
∴∠ADF=∠B+∠BAD=（20+x）°，
∴∠ADB=∠ADE=180-∠ADF=（160-x）°，
∴∠FDE=∠ADE-∠ADF=（140-2x）°，
∵∠B=∠E=20°，
∴∠DFE=180°-∠E-∠FDE=（2x+20）°，
①当∠EDF=∠DFE时，140-2x=2x+20，解得：x=30；
②当∠DFE=∠E=20°时，2x+20=20，解得：x=0，∵0③当∠EDF=∠E=20°时，140-2x=20，解得：x=60；∵0综上，当x=30时，中有两个角相等，
故答案为：30°.
【分析】（1）联立方程组，再求出∠B的度数即可；
（2）先分别求出∠ADF，∠ADB和∠FDE的度数，再分类讨论求解即可.
15．【答案】108
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：如图
，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°﹣108°=72°，
∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，
故答案为：108
【分析】根据正多边形的性质得出∠1=∠2=∠3=∠4=108°，根据邻补角的定义即可得出∠5、∠6的度数，再根据三角形的内角和即可算出∠7的度数，最后根据周角的定义即可算出答案。
16．【答案】2,135
（1）2
（2）135
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】（1）设烧制这批陶艺品需使用A款电热窑x次，
根据题意得： 8x≥10，
解得： x≥，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为2，
∴A款电热窑至少使用2次，
故答案为： 2；
（2）当使用4款电热窑烧制2次时，将第2次的5个大尺寸陶艺品位置替换成10个中尺寸陶艺品，1个大尺寸陶艺品位置替换成6个小尺寸陶艺品，
∴还需烧制中尺寸陶艺品50-15×2-10=10 (个)，小尺寸陶艺品76一25×2-6=20 (个)，
∵B款电热窑一次可烧制10个中尺寸陶艺品，20个小尺寸陶艺品，
∴还需使用B款电热窑烧制一次，
∴此方案所需成本为55×2 + 25=135 (元).
当A款电热窑使用3次时，所需成本为55×3=165 (元)
∵165> 135，
∴烧制这批陶艺品成本最低为135元.
故答案为：135.
【分析】（1）设烧制这批陶艺品需使用A款电热窑x次，根据题意列出不等式 8x≥10，再求解即可；
（2）根据题意列出算式求解并比较大小即可.
17．【答案】（1）解：，
解不等式，得，
解不等式，得．
故不等式组的解集是；
（2）解：由题意得，，
，得，
解得，
把代入，得，，
解得．
故，．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可；
（2）先列出方程组，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可.
18．【答案】（1）解：以为圆心，任意长为半径作弧交于，，作线段的垂直平分线交于，作线段的垂直平分线交于，作射线，如图：
线段即为中边上的高线，射线即为所求；
（2）解：，理由如下：
是高，
，
，
，
，
，即．
【知识点】直角三角形的性质；作图-垂线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1） 以为圆心，任意长为半径作弧交于，，作线段的垂直平分线交于，作线段的垂直平分线交于，作射线即可；
（2）先利用角的运算可得，再结合并利用等量代换可得.
19．【答案】证明：，
，
在与中
，
≌，
．
，即．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先利用平行线性质可得，再利用“ASA”证出△ABC≌△DEF，可得BC=EF，再利用线段的和差及等量代换求出即可.
20．【答案】（1）解：如图，
（2）如图：即为所求；
（3）点在直线上，若，
设点的坐标为，
当点在之间时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
当点在点下方时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
（4）如图，
点，点，且，
点与点关于直线对称，
若所围成的区域内包括边界恰有个整点，则需要两点之间恰好有个整点，
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
故当点，点分别在，之间时不包含，满足要求；
的取值范围是．
【知识点】点的坐标；两点间的距离；作图﹣平移；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）分类讨论：设点的坐标为，①当点在之间时，②当点在点下方时，再分别列出方程求出a的值即可；
（4）分类求解：①当，时，②当，时，再分别求出，，可得的取值范围是．
21．【答案】（1）解：证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）证明：作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）或
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，.
故答案为：或.
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠DFA=∠CAE，由垂直的概念可得∠ADF=∠ECA=90°，结合AF=AE，利用AAS证明△AFD≌△EAC，得到DF=AC，然后结合AC=BC可得结论；
（2）作FD⊥AC于D，由（1）得：FD=AC=BC，AD=CE，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG=1，则AD=2，CE=2，BC=AC=AG+CG=4，据此证明；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，根据全等三角形的性质可得CG=GD，AD=CE=7，则CG=DG=1.5，据此求解；同理可得当点E在线段BC上时对应的值.
22．【答案】（1），
（2）角平分线上的点到两边的距离相等，
故第一，三象限的角平分线经过点，，
设第一，三象限的角平分线的解析式为，
将代入，
解得：，
故第一，三象限的角平分线的解析式；
设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，
则 ，
解得：，
点在直线上，则，
即，
正方形上的点的坐标为，
且，，，，
，即，
解得：．
（3）-3≤b≤-2或2≤b≤3．
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；定义新运算；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设 是正方形 上一点，点 的坐标为 ，根据“倍点”定义，若 是图形 关于点 的倍点，
由题意可得： ，
解得： ，
在正方形 上，
是正方形 关于点 的倍点；
若 是图形 关于点 的倍点，
由题意可得： ，
解得： ，
不在正方形 上，
不是正方形 关于点 的倍点；
若 是图形 关于点 的倍点，
则有： ，
解得： ，
. 在正方形 上，
是正方形 关于点 的倍点；
故答案为： ， ．
（3）设直线 的解析式为 ，
由题意可得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
线段 上的所有点均可成为正方形 关于其边上某一点的倍点，
当线段 . 上的所有点是正方形 关于其边上点 的倍点时，当点 与点 重合时，正方形 上的点关于点 的倍点在如图四边形 上，
同理，当点 在正方形 的顶点上时，对应的倍点图形为：
当点 在正方形 的 边上时，正方形 上的点关于点 的倍点在如图四边形上，
同理，当点 在正方形 的四条边上时，对应的倍点图形为：
综上所述：正方形 关于其边上某一点的倍点所在范围为如图虚线框内减去 部分：
直线 的解析式为 ，故线段 上的所有点均可成为正方形 关于其边上某一点的倍点，如图所示：
∴点b的取值范围是 或 ．
【分析】（1）根据“倍点”的定义列方程组计算求解即可；
（2）利用待定系数法求出第一，三象限的角平分线的解析式，再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，再结合函数图象，利用“倍点”的定义计算求解即可。
1 / 1北京市重点大学附中2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2020·北京模拟）如图，用三角板作 的边 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项不符合题意；
B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项符合题意；
C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项不符合题意；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
2．（2020·北京）正五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】任意多边形的外角和都为 ，与边数无关
故答案为：B．
【分析】根据多边形的外角和定理即可得．
3．（2023八上·北京市开学考）如图，是的平分线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵∠DAE=60°，
∴∠BAD=120°，
∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=60°，
∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°=60°，
∵∠B=35°，
∴∠D=180°-（∠BAC+∠CAD）-∠B=180°-120°-35°=25°，
∴∠ACB=∠CAD+∠D=60°+25°=85°，
故答案为：C.
【分析】先利用角平分线的定义求出∠CAD=∠BAD=60°，再利用角的运算求出∠D的度数，最后求出∠ACB的度数即可.
4．（2023八上·北京市开学考）已知二元一次方程，用含的代数式表示，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】将x当作常数，再利用一元一次方程的解法求解即可.
5．（2023七下·西城期末）以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：l1=OB+AB，l2=OC+CD+AD∴l1＞l2，
∵将线段EF平移可得到线段BG，将线段FG平移可得到线段BE，
∴BE=FG，EF=BG，
∴l3=OE+EF+FG+AG=OE+BE+BG+AG=OB+BA=l1，
综上所述： ，，的大小关系为： 且 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出l1＞l2，再根据平移求出BE=FG，EF=BG，最后判断求解即可。
6．（2017·邵阳模拟）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC
C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，A不符合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，B不符合题意；
C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，C符合题意；
D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由条件可得AC=AC，再结合AB=AD，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可得到所求结论．
7．（2023八上·北京市开学考）年国家统计局公布了年国民经济和社会发展统计公报公报显示了全国年至年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局年发布的相关信息，绘制了如下的统计图根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（ ）
与年相比，年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；
从年到年，进口额最多的是年；
年进口额年增长率持续下降；
与年相比，年出口额增加了万亿元．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】①由条形图与折线图可知，2018的进口额为14.1万亿元，进口额的年增长率为12.8%，2019的进口额 为14 3万亿元，进口额的年增长率为1 .4%，所以与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升，∴①结论正确，符合题意；
②由条形图可知，从2018年到2022年，进口额最多的是 2022年，为18. 1万亿元，∴②结论正确，符合题意；
③由折线图可知，2018-2022年进口额年增长率先下降再上升再下降，∴③结论错误，不符合题意；
④由条形图可知，与2021年相比，2022年 出口额增加了24.0-21.7=2.3万亿元，∴④结论正确，符合题意；
综上，正确的结论是，
故答案为：A.
【分析】根据条形统计图与折线统计图中的数据逐项判断即可.
8．（2023·北京）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴a＞1，-a＜-1，
∴，
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质结合题意即可求解。
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9．（2023八上·北京市开学考）已知关于的不等式的解集如图所示，那么的值是 ．
【答案】1
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】∵，
∴x≤a-2，
∵不等式的解集在数轴上为，
∴x≤-1，
∴a-2=-1，
解得：a=1，
故答案为：1.
【分析】先求出不等式的解集为x≤a-2，再结合数轴可得x≤-1，即可得到a-2=-1，再求出a的值即可.
10．（2023八上·北京市开学考）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】利用二次根式的加减法的计算方法求解即可.
11．（2021·遂宁）已知关于x，y的二元一次方程组 满足 ，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
①-②，得
∵
∴ ，
解得 ，
故答案为： .
【分析】利用方程组的特点：两个方程中x，y的系数都相差1，因此由①-②，可求出x-y的值；再根据x-y＞0，建立关于a的不等式，求出不等式的解集.
12．（2023八上·北京市开学考）已知，，则用含的式子表示为 ．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】∵，
∴a=3c-2b，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先求出，再将b当作常数求出c的值即可.
13．（2023八上·北京市开学考）如图，在中，，，，平分则的度数为 ．
【答案】45°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】∵∠1是△ACD的外角，
∴∠1=∠C+∠3，
∵，，
∴∠3=∠1-∠C=100°-80°=20°，
∵，
∴，
∴∠ABC=180°-（∠C+∠BAC）=180°-（∠C+∠2+∠3）=180°-（80°+10°+20°）=70°，
∵平分
∴∠ABE=∠ABC=×70°=35°，
∴∠4=∠2+∠ABE=10°+35°=45°，
故答案为：45°.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠3的度数，再求出∠2的度数，再利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，利用角平分线的定义求出∠ABE的度数，最后利用三角形的外角求出∠4的度数即可.
14．（2023八上·北京市开学考）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交于点若，．
（1）则的度数为 ；
（2）若中有两个角相等，则 ．
【答案】20°,30
（1）20°
（2）30
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）∵，∠C+∠B=90°，
∴∠C=70°，∠B=20°，
故答案为：20°；
（2）∵∠BAD=x°，
∴∠ADF=∠B+∠BAD=（20+x）°，
∴∠ADB=∠ADE=180-∠ADF=（160-x）°，
∴∠FDE=∠ADE-∠ADF=（140-2x）°，
∵∠B=∠E=20°，
∴∠DFE=180°-∠E-∠FDE=（2x+20）°，
①当∠EDF=∠DFE时，140-2x=2x+20，解得：x=30；
②当∠DFE=∠E=20°时，2x+20=20，解得：x=0，∵0③当∠EDF=∠E=20°时，140-2x=20，解得：x=60；∵0综上，当x=30时，中有两个角相等，
故答案为：30°.
【分析】（1）联立方程组，再求出∠B的度数即可；
（2）先分别求出∠ADF，∠ADB和∠FDE的度数，再分类讨论求解即可.
15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 度．
【答案】108
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：如图
，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°﹣108°=72°，
∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，
故答案为：108
【分析】根据正多边形的性质得出∠1=∠2=∠3=∠4=108°，根据邻补角的定义即可得出∠5、∠6的度数，再根据三角形的内角和即可算出∠7的度数，最后根据周角的定义即可算出答案。
16．（2023八上·北京市开学考）某陶艺工坊有和两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．
尺寸 数量个 款式 大 中 小
烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．
某批次需要生产个大尺寸陶艺品，个中尺寸陶艺品，个小尺寸陶艺品．
（1）烧制这批陶艺品，款电热窑至少使用 次；
（2）若款电热窑每次烧制成本为元，款电热窑每次烧制成本为元，则烧制这批陶艺品成本最低为 元
【答案】2,135
（1）2
（2）135
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】（1）设烧制这批陶艺品需使用A款电热窑x次，
根据题意得： 8x≥10，
解得： x≥，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为2，
∴A款电热窑至少使用2次，
故答案为： 2；
（2）当使用4款电热窑烧制2次时，将第2次的5个大尺寸陶艺品位置替换成10个中尺寸陶艺品，1个大尺寸陶艺品位置替换成6个小尺寸陶艺品，
∴还需烧制中尺寸陶艺品50-15×2-10=10 (个)，小尺寸陶艺品76一25×2-6=20 (个)，
∵B款电热窑一次可烧制10个中尺寸陶艺品，20个小尺寸陶艺品，
∴还需使用B款电热窑烧制一次，
∴此方案所需成本为55×2 + 25=135 (元).
当A款电热窑使用3次时，所需成本为55×3=165 (元)
∵165> 135，
∴烧制这批陶艺品成本最低为135元.
故答案为：135.
【分析】（1）设烧制这批陶艺品需使用A款电热窑x次，根据题意列出不等式 8x≥10，再求解即可；
（2）根据题意列出算式求解并比较大小即可.
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八上·北京市开学考）计算：
（1）解不等式组：；
（2）已知方程，当时，当时，求和的值．
【答案】（1）解：，
解不等式，得，
解不等式，得．
故不等式组的解集是；
（2）解：由题意得，，
，得，
解得，
把代入，得，，
解得．
故，．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可；
（2）先列出方程组，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可.
18．（2023八上·北京市开学考）已知如图所示，
（1）画出中边上的高线，在内部作射线使得，交边于点，请你依题意补全图形；
（2）判断与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：以为圆心，任意长为半径作弧交于，，作线段的垂直平分线交于，作线段的垂直平分线交于，作射线，如图：
线段即为中边上的高线，射线即为所求；
（2）解：，理由如下：
是高，
，
，
，
，
，即．
【知识点】直角三角形的性质；作图-垂线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1） 以为圆心，任意长为半径作弧交于，，作线段的垂直平分线交于，作线段的垂直平分线交于，作射线即可；
（2）先利用角的运算可得，再结合并利用等量代换可得.
19．（2023八上·北京市开学考）如图，点，，，在直线上之间不能直接测量，点，在异侧，测得，，求证：．
【答案】证明：，
，
在与中
，
≌，
．
，即．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先利用平行线性质可得，再利用“ASA”证出△ABC≌△DEF，可得BC=EF，再利用线段的和差及等量代换求出即可.
20．（2023八上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的；
（3）在（2）的条件下，点在直线上，若，直接写出点的坐标；
（4）在（2）的条件下，已知，点，点，所围成的区域内包括边界恰有个整点，求的取值范围．
【答案】（1）解：如图，
（2）如图：即为所求；
（3）点在直线上，若，
设点的坐标为，
当点在之间时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
当点在点下方时，，，
，
解得：，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
（4）如图，
点，点，且，
点与点关于直线对称，
若所围成的区域内包括边界恰有个整点，则需要两点之间恰好有个整点，
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
当，时，两点之间恰好有个整点，此时；
故当点，点分别在，之间时不包含，满足要求；
的取值范围是．
【知识点】点的坐标；两点间的距离；作图﹣平移；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）分类讨论：设点的坐标为，①当点在之间时，②当点在点下方时，再分别列出方程求出a的值即可；
（4）分类求解：①当，时，②当，时，再分别求出，，可得的取值范围是．
21．（2021八上·隆安期中）如图，中，，，E点为射线上一动点，连结，作且．
（1）如图1，过F点作交于D点，求证：；
（2）如图2，连结交于G点，若，，求证：E点为中点．
（3）当E点在射线上，连结与直线交于G点，若，，则 ．（直接写出结果）
【答案】（1）解：证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）证明：作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）或
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，.
故答案为：或.
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠DFA=∠CAE，由垂直的概念可得∠ADF=∠ECA=90°，结合AF=AE，利用AAS证明△AFD≌△EAC，得到DF=AC，然后结合AC=BC可得结论；
（2）作FD⊥AC于D，由（1）得：FD=AC=BC，AD=CE，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG=1，则AD=2，CE=2，BC=AC=AG+CG=4，据此证明；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，根据全等三角形的性质可得CG=GD，AD=CE=7，则CG=DG=1.5，据此求解；同理可得当点E在线段BC上时对应的值.
22．（2023八上·北京市开学考）已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点不重合，则称点为图形关于点的倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
（1）若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是 ；
（2）点的坐标为，若在第一三象限的角平分线才存在正方形关于点的倍点，求的取值范围；
（3）已知点，，若线段上的所有点均可成为正方形关于其边上某一点的倍点，直接写出点的取值范围．
【答案】（1），
（2）角平分线上的点到两边的距离相等，
故第一，三象限的角平分线经过点，，
设第一，三象限的角平分线的解析式为，
将代入，
解得：，
故第一，三象限的角平分线的解析式；
设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，
则 ，
解得：，
点在直线上，则，
即，
正方形上的点的坐标为，
且，，，，
，即，
解得：．
（3）-3≤b≤-2或2≤b≤3．
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；定义新运算；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设 是正方形 上一点，点 的坐标为 ，根据“倍点”定义，若 是图形 关于点 的倍点，
由题意可得： ，
解得： ，
在正方形 上，
是正方形 关于点 的倍点；
若 是图形 关于点 的倍点，
由题意可得： ，
解得： ，
不在正方形 上，
不是正方形 关于点 的倍点；
若 是图形 关于点 的倍点，
则有： ，
解得： ，
. 在正方形 上，
是正方形 关于点 的倍点；
故答案为： ， ．
（3）设直线 的解析式为 ，
由题意可得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
线段 上的所有点均可成为正方形 关于其边上某一点的倍点，
当线段 . 上的所有点是正方形 关于其边上点 的倍点时，当点 与点 重合时，正方形 上的点关于点 的倍点在如图四边形 上，
同理，当点 在正方形 的顶点上时，对应的倍点图形为：
当点 在正方形 的 边上时，正方形 上的点关于点 的倍点在如图四边形上，
同理，当点 在正方形 的四条边上时，对应的倍点图形为：
综上所述：正方形 关于其边上某一点的倍点所在范围为如图虚线框内减去 部分：
直线 的解析式为 ，故线段 上的所有点均可成为正方形 关于其边上某一点的倍点，如图所示：
∴点b的取值范围是 或 ．
【分析】（1）根据“倍点”的定义列方程组计算求解即可；
（2）利用待定系数法求出第一，三象限的角平分线的解析式，再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，再结合函数图象，利用“倍点”的定义计算求解即可。
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