4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第4章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解n次方根与根式的概念，掌握根式的性质； 1.数学抽象素养.
2.利用根式的性质进行运算； 2.运算能力.
新知导入
问题1
(1)4的平方根是____= ；(2)4的算术平方根是____= ；
(3)8的立方根是____= ；(4)-8的立方根是____= .
2
2
-2
如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根. 由于25=32，所以2叫做32的5次方根.
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根. 其中n>1，且n∈N*.
新知探究
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号表示. 例如，
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方根用表示，负的n次方根用表示. 两者也可以合并成(a>0). 例如，
【3】 负数没有偶次方根.
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
新知形成
根式的概念
式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，可得：
性质1 ，
比如：
新知形成
探究 表示的n次方根，一定成立吗？
如果不成立，那么等于什么？
不一定
性质2
⑴当n为奇数时，
⑵当n为偶数时，
新知形成
是实数an的n次方根，不受a的正负限制. 但是受n的奇偶限制. 本质算法是先乘方，再开方. 结果不一定等于a，
当n为奇数时，；
当n为偶数时，
是实数的n次方，在有意义的前提下，实数a的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于a .
新知形成
【例1】计算下列各式的值：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ .
解：
(1) ；
(2) ；
(3)
(4)
新知讲解
根据n次方根的定义和运算，我们知道
___________________(a>0)
___________________(a>0)
也就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
思考 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
把根式表示为分数指数幂的形式，例如
, .
新知讲解
a>0,
于是，在条件a>0,m,n∈N ,n>1下,根式都可以写成分数指数幂的形式.
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定
例如，
规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
分数指数幂
注意：分数指数不能随意约分. 因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如约分后变成了，而在实数范围内无意义.
新知讲解
分数指数幂的运算性质
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
幂的乘方，底数不变，指数相乘
积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
注意：
①运算性质可以逆用；
②当a<0,b<0时运算法则不一定成立. 只有当a>0,b>0时运算法则才一定成立.
新知探求
【例2】求值：
（1） ； （2） .
解：
（1）方法；
方法；
（2）方法1.
方法2.
方法3.
新知探求
【例3】用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中a>0).
； .
解：
(1) ；
(2) .
新知探求
【例4】计算下式各式(式中字母均是正数).
⑴; ⑵ ;
⑶.
解：
⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]
⑵原式=
⑶原式==
初试身手
1.下列各式中, 不正确的序号是( ).
2.求下列各式的值.
①④
⑴-2；⑵9 ；⑶ ；⑷ .
初试身手
课本P107页练习1,2,3
⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ .
⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷.
初试身手
⑴ ; ⑵18 ; ⑶ ; ⑷1- .
课堂小结
1.根式定义
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号表示.
(2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个, 合写为.
负数没有偶次方根.
零的任何次方根都是零.
2.重要公式：⑴;
⑵当n为奇数时，;当n为偶数时，
3.分数指数幂及运算：
作业布置
作业：p109 习题4.1 1，3，4，5.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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