11、公式变形与字母系数方程
【知识精读】
含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。
公式变形实质上是解含有字母系数的方程
对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程型，讨论如下：
（1）当时，此时方程为关于x的一元一次方程，解为：
（2）当时，分以下两种情况：
<1>若，原方程变为，为恒等时，此时x可取任意数，故原方程有无数个解；
<2>若，原方程变为，这是个矛盾等式，故原方程无解。
含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。
下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程
【分类解析】
1. 求含有字母系数的一元一次方程的解
例1. 解关于x的方程
分析：将x以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。
解：去分母得：
移项，得
2. 求含字母系数的分式方程的解
例2. 解关于x的方程
分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。
解：若a、b全不为0，去分母整理，得
对是否为0分类讨论：
（1）当，即时，有，方程无解。
（2）当，即时，解之，得
若a、b有一个为0，方程为，无解
若a、b全为0，分母为0，方程无意义
检验：当时，公分母，所以当时，是原方程的解。
说明：这种字母没给出条件的方程，首 ( http: / / www.21cnjy.com )先讨论方程存在的隐含条件，这里a、b全不为0时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解。当a、b中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当a、b全为0时，方程不存在。最后对字母条件归纳，得出方程的解。
3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件
例3. 如果关于x的方程有唯一解，确定a、b应满足的条件。
分析：显然方程存在的条件是：且
解：若且，去分母整理，得
当且仅当，即时，解得
经检验，是原方程的解
应满足的条件：且
说明：已知方程有唯一 ( http: / / www.21cnjy.com )解，显然方程存在的隐含条件是a、b全不为0，然后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件。因为是分式方程，需验根后确定唯一解的条件。
4. 在其它学科中的应用（公式变形）
例4. 在物理学中我们学习了公式，其中所有的字母都不为零。已知S、、t，试求a。
分析：利用字母系数方程完成公式 ( http: / / www.21cnjy.com )变形，公式变形时要分清哪个量是被表示的量，则这个量就是未知数，其它的量均视为已知量，然后按解字母系数方程求解。
解：
5、中考点拨
例1. 填空：在中，已知且，则________。
解：
例2. 在公式中，已知P、F、t都是正数，则s等于（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
解：
，故选A
说明：以上两题均考察了公式变形。
6、题型展示：
例1. 解关于x的方程
解：原方程化为：
即
说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式。若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法。
例2. 解关于x的方程。
解：去括号：
说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。
例3. 已知，求z。（）
分析：本题是求z，实质上是解含有字母系数的分式方程，应确定已知量和未知量，把方程化归为的形式，便可求解。
解：
又
【实战模拟】
1. 解关于x的方程，其中。
2. 解关于x的方程。
3. a为何值时，关于x的方程的解等于零？
4. 已知关于x的方程有一个正整数解，求m的取值范围。
5. 如果a、b为定值，关于x的一次方程，无论取何值，它的根总是1，求a、b的值。
【试题答案】
1. 解：去分母，得
2. 解：原方程变为
即
（1）当且时，得
（2）当时，原方程变为
为任意数，即原方程有无数个解
（3）当时，原方程为，此时原方程无解。
3. 解：去分母，得
当时，方程有唯一解，
设，则
综上所述，当时，原方程的解为0。
4. 分析：解分式方程综合了分式的运算，整式方程等知识，除此之外，分式方程一般还可能应用代数式的恒等变形的知识。
解：
原方程有解，不能为增根
，即
又方程解为正整数
，则
当且时，原方程有正整数解
5. 分析：原方程是关于x的一元一次方程，由题意把根代入原方程转化为解关于k的方程。
解：
由题意得代入上式得：
有无数解，
解得6、分式的概念、分式的基本性质
【知识精读】
分式的概念要注意以下几点：
（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；
（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；
（3）分式有意义的条件是分母不能为0。
分式的基本性质类 ( http: / / www.21cnjy.com )似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M“不为零”的条件。
下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。
【分类解析】
例1. 已知为有理数，要使分式的值为非负数，应满足的条件是（ ）
A. B.
C. D. ，或
分析：首先考虑分母，但可以等于0，由，得，或故选择D。
例2. 当x为何值时，分式的值为零？
分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。
解：由题意得，得，而当时，分母的值为零。
当时，分式的值为零。
例3. 已知，求的值（ ）
A. B. C. D.
分析：，将分式的分母和分子都除以，得
，故选择C。
例4. 已知，求的值。
分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。
解：
原式
例5. 已知：，求的值。
解一：由得，等式两边同除以x得：
，即
解二：由已知得：，两边平方得：
两边平方得：
中考点拨：
1.若代数式的值为零，则x的取值范围应为（ ）
A. 或 B. C. D.
解：由已知得：
解得： 故选D
简析：在求解分式值为零的题目时，考虑到分子为零，但不要忽略了分母不为零这一条件。
2. 已知：，求的值。
解：设，则
题型展示：
1. x为何值时，成立？
解：
当且时，分式与都有意义。
当时，由分式的基本性质知：
解不等式组：
得：
当时，
说明：利用分式的基本性质解决恒 ( http: / / www.21cnjy.com )等变形问题是基本性质的灵活运用，注意分式的基本性质所适用的条件是分式有意义，做题时应考虑分母不为零的条件。
2. 把分式化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与分式的乘积等于多少？
解：原式
说明：利用因式分解、分式的基本性质可以化简分式。
【实战模拟】
1. 在下列有理式中，分式的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 如果分式的值为零，则a的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 且 D. 0
3. 填空题：
（1）
（2）当_______时，分式的值等于零；
当_______时，分式无意义。
4. 化简分式：
5. 已知：，求的值。
6. 已知：，求的值。
【试题答案】
1. 简析：判断一个有理式是否为分式，关键在于看分母中是含有字母，故选D。
2. B
说明：分式值为0的条件：
3. （1）
（2）当时，的值为0。
当或时，无意义。
4. 解：原式
说明：利用因式分解把分子、分母恒等变形，再约分。
5. 解：
说明：变形已知条件，先消元，再化简求值。
6. 解：
原式9、分式方程及其应用
【知识精读】
1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
2. 解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根：把整式方程的根代 ( http: / / www.21cnjy.com )入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解析】
例1. 解方程：
分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根
解：方程两边都乘以，得
例2. 解方程
分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：
方程两边通分，得
经检验：原方程的根是
例3. 解方程：
分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：
即
例4. 解方程：
分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。
解：原方程变形为：
约分，得
方程两边都乘以
注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。
5、中考题解：
例1．若解分式方程产生增根，则m的值是（ ）
A. B.
C. D.
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D。
例2. 甲、乙两班同学参加“绿 ( http: / / www.21cnjy.com )化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？
分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，
由题意得：
答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。
说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6、题型展示：
例1. 轮船在一次航 ( http: / / www.21cnjy.com )行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时
由题意，得
答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。
例2. m为何值时，关于x的方程会产生增根？
解：方程两边都乘以，得
整理，得
说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
【实战模拟】
1. 甲、乙两地相距S ( http: / / www.21cnjy.com )千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ）
A. B. C. D.
2. 如果关于x的方程
A. B. C. D. 3
3. 解方程：
4. 求x为何值时，代数式的值等于2？
5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
【试题答案】
1. 由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为千米。
又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为
2. 把方程两边都乘以
若方程有增根，则
3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用裂项，即用“互为相反数的和为0”将原方程化简
解：原方程可变为
（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法
解：
因为其中的
经检验：是原方程的根。
4. 解：由已知得
的值等于2。
5. 设：乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需天。
由题意，得
经检验
答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。13、分式总复习
【知识精读】
【分类解析】
1. 分式有意义的应用
例1. 若，试判断是否有意义。
分析：要判断是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断与零的关系。
解：
即
或
中至少有一个无意义。
2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。
例2. 计算：
分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。
解：原式
例3. 解方程：
分析：因为，，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于故可得如下解法。
解：
原方程变为
经检验，是原方程的根。
3. 在代数求值中的应用
例4. 已知与互为相反数，求代数式
的值。
分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因为，，利用非负数及相反数的性质可求出a、b的值。
解：由已知得，解得
原式
把代入得：原式
4. 用方程解决实际问题
例5. 一列火车从车站开出，预计行程 ( http: / / www.21cnjy.com )450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。
解：设这列火车的速度为x千米/时
根据题意，得
方程两边都乘以12x，得
解得
经检验，是原方程的根
答：这列火车原来的速度为75千米/时。
5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。
例6. 已知，试用含x的代数式表示y，并证明。
解：由，得
6、中考原题：
例1．已知，则M＝__________。
分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。
解：
例2．已知，那么代数式的值是_________。
分析：先化简所求分式，发现把看成整体代入即可求的结果。
解：原式
7、题型展示：
例1. 当x取何值时，式子有意义？当x取什么数时，该式子值为零？
解：由
得或
所以，当和时，原分式有意义
由分子得
当时，分母
当时，分母，原分式无意义。
所以当时，式子的值为零
例2. 求的值，其中。
分析：先化简，再求值。
解：原式
【实战模拟】
1. 当x取何值时，分式有意义？
2. 有一根烧红的铁钉，质量是m，温度是，它放出热量Q后，温度降为多少？（铁的比热为c）
3. 计算：
4. 解方程：
5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日期是多少天？
6. 已知，求的值。
【试题答案】
1. 解：由题意得
解得且
当且时，原式有意义
2. 解：设温度降为t，由已知得：
答：温度降为。
3. 分析：此题的解法要比将和后两个分 ( http: / / www.21cnjy.com )式直接通分计算简便，它采用了逐步通分的方法。因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。
解：原式
4. 解：原方程化为
方程两边通分，得
化简得
解得
经检验：是原方程的根。
说明：解分式方程时，在掌握一般方法的基础上，要注意根据题目的特点，选用简便的方法，减少繁琐计算。
5. 分析：设规定日期是x天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，工作总量为1
解：设规定日期为x天
根据题意，得
解得
经检验是原方程的根
答：规定日期是6天。
6. 解：
由(1)(2)解得7、分式的运算
【知识精读】
1. 分式的乘除法法则
；
当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法
（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：
①取各分母系数的最小公倍数；
②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；
③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则
（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则
（n为正整数）
4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：
（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；
（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；
（3）运算中及时约分、化简；
（4）注意运算律的正确使用；
（5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】
例1：计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
分析：原式
故选C
说明：先将分子、分母分解因式，再约分。
例2：已知，求的值。
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。
解：原式
例3：已知：，求下式的值：
分析：本题先化简，然后代入求值。 ( http: / / www.21cnjy.com )化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。
解：
故原式
例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？
分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解：由已知条件得：
所以
即
又因为
所以
例5：化简：
解一：原式
解二：原式
说明：解法一是一般方法，但遇 ( http: / / www.21cnjy.com )到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。
例1、计算：
解：原式
说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。
例2、已知：，则_________。
解：
说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。
中考点拨：
例1：计算：
解一：原式
解二：原式
说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。
例2：若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
解：原式
故选A
【实战模拟】
1. 已知：，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，求的值。
3. 计算：
4. 若，试比较A与B的大小。
5. 已知：，求证：。
【试题答案】
1. 解：
故选B
2. 解：
说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。
3. 解：原式
说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。
4. 解：设，则
5. 证明：
，即
又
均不为零
