课件24张PPT。新人教九年级数学下第二十八章 锐角三角函数28.2.1 解直角三角形小松中学 温光洪新人教九年级数学下学习目标1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
2、 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。学习重点直角三角形的解法学习难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用新人教九年级数学下（阅读本节课教材）1、直角三角形中，除直角外有几个元素？它们分别是什么元素？3、sinA= = 。
cosA= = 。
tanA= = 。2、直角三角形中两个锐角有什么数量关系?4、直角三角形中三边有什么关系（勾股定理）?预习导学∠A＋∠B＝90°5 ∠A，∠B，边AB，BC，AC问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？这样的问题怎么解决新人教九年级数学下由 得点拔：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长． 问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m。所以 BC≈6×0.97≈5.8由计算器求得 sin75°≈0.97新人教九年级数学下点拔：当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数由于利用计算器求得a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子 与地面所成的角大约是66°由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？新人教九年级数学下在图中的Rt△ABC中，（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？6=75°新人教九年级数学下在图中的Rt△ABC中，（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？62.4新人教九年级数学下事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．解直角三角形:由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知未知元素的过程．解直角三角形新人教九年级数学下 2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝30°，对Rt△ABC来说，未知元素有___个，分别是__ ____ __ __，若要解Rt△ABC，还需知一个________条件新人教九年级数学下寻疑之小测试 1、由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做_____ _ ___。 3、在△ABC中，∠C＝90°，且已知b和∠B，下列求c的表达式正确的是( )．A.c＝bcosB B.c＝bsinB C.c＝ D.c＝ 4、 在Rt△ABC中，∠C=900,∠B=450 b=3cm，求∠A，a，c (精确到0.01cm) 解：∠A＝450 a＝3cm c＝ 4.24cm 解直角三角形5边AB，BC，AC∠A，∠B边C例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
解这个直角三角形解：点拔：在解直角三角形的过程中，一般会用到以下关系。（1）边角之间的关系（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）三边之间的关系 （勾股定理） 新人教九年级数学下例2 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ， BC = 5， 试求AB的长。 分析：在直角三角形中，
已知一边和另两边的关系，
常用勾股定理方程思想解决.新人教九年级数学下例3 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°你还有其他方法求出c吗？尽量选择原始数据,避免累积错误新人教九年级数学下1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ AC＝ 则∠A的度数为( ) A. 900 B.600 C.450 D.3002．(4分)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是( )3、在Rt△ABC，∠C＝90°，已知BC＝12，AC＝4 解这个直角三角形. DC A．计算tanA的值求出 B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出 D．计算cosB的值求出新人教九年级数学下新人教九年级数学下4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝ ，则BC的长为( )。5、如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于( ) 6、如图，在△ABC中，若∠A＝75°，∠C＝45°，AB＝2，则AC的长等于( ) A．4 B． C． D．ACA．asin40°m B．acos40°m C．atan40° m D． mA． B． C． D．C新人教九年级数学下1、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为 若将△OAB逆时针旋转60°后，B点到达B′后，则B′点的坐标是 _ 。 2、在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为( ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm3、如图所示，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC＝( ) A．asinα＋bcosβ B．acosα＋bsinβ
C．asinα＋bsinβ D．acosα＋bcosβCB5、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整 为60°角(如图)，则梯子的顶端沿墙面升高了_ m新人教九年级数学下4、如图，将直角边长为5 cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是_ _cm2.6、如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，
垂足为D，CD＝1，则AB的长为 （ ）4题5题D新人教九年级数学下7、(2013·丽水)一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3 m．已知木箱高BE＝ 斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.新人教九年级数学下请谈谈你的收获小组合作讨论新人教九年级数学下1、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ．2、在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，AB＝8，则AB边上的高CD的长是_ _ ．2点拔：已知角和线段都不在直角三角形中，所以需分别延AD、BC,交于点E，从而解300 的直角三角形ABE即可.4、在四边形ABCD中，∠A= 600 ，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=20，CD=10，求AD，BC的长.（保留根号）E60°30°3、已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＋b＝3＋ ，则a等于( )A. B． C. D．3D新人教九年级数学下5、已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长。（结果保留根号）新人教九年级数学下新人教九年级数学下1、[2014·宜宾] 菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是________cm.2、[2014·新疆] 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝________(精确到整数)．3、[2014·白银] △ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝ ，cosB＝ ，则∠C＝________．60024新人教九年级数学下把知识留给自己，把困惑告诉老师和同学。共同帮助进步。作业：导学测评新人教九年级数学下锐角三角函数28.2.1解直角三角形同步练习
一、基础训练
1. 在Rt中， ， 若 ， 则的值是（?????）
A．
B．
C．
D．
2. 在离地面高度5米处拉线固定电线杆，拉线和地面成30°角，则拉线长为（???）
A．米
B．米
C．米
D．10米
3. 如图，在中， ， 则的长为
A．4
B．
C．
D．
4. 如图，在ABCD 中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF : BC="1" : 2，连接DF，EC.若AB=5，AD=8，sinB= ， 则DF的长等于? (? ) （A）???（B）??（C）??（D）21世纪教育网版权所有
5. 如图，若△ABC和△DEF的面积分别为、 ， 则
A．
B．
C．
D．
二、能力培优 ?
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，sinA= ， 则BC的长为??????????。www.21-cn-jy.com
7. 如图，把两块相同的含角的三角尺如图放置，若cm，则三角尺的最长边长为____________．2·1·c·n·j·y
8. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= ．
9. 在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 ????????? ．21·cn·jy·com
10. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 ， 则AB的长为??????????? ．
11. 已知：如图，四边形ABCD，AB=8，BC=6，CD=26，AD=24，且AB⊥BC。 求：四边形ABCD的面积。21·世纪*教育网
12. 如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC=300 ， 求BC的长。（结果保留根号）21cnjy.com
三、拓展提升 ?
13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90o，∠ABC=30o，BC= ， 以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD，连接BD． （1）求四边形ABCD的面积； （2）求BD的长．2-1-c-n-j-y
参考答案
2.知识点：锐角三角函数的定义、解直角三角形的应用 答案：D
3.知识点：解直角三角形 答案：A
4.知识点：勾股定理、平行四边形的性质、解直角三角形 答案：C 解析：试题分析：如图，过点D作DMBC于点M， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴DC=AB=5，BC=AD=8，AB//CD ∴∠1=∠B ∵CF : BC="1" : 2 ∴CF=4，∠1=∠B， ∵sinB= ∴sin∠1== ∴DM=4 ∴CM= ∴FM=1 ∴DF= 故选C 考点：1、平行四边形的性质；2、勾股定理；3、三角函数21教育网
5.知识点：解直角三角形 答案：D． 解析：试题分析：在两个图形中分别作BC、EF边上的高，求出、 ， 比较即可． 如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H， 在Rt△ABG中，AG="ABsinB=5×sin" 40°="5sin" 40°， 在Rt△DHE中，∠DEH=180°﹣130°=50°， DH=DEsin∠DEH="5sin" 40°， ∴AG=DH． ∵BC=8，EF=5， ∴ ． 故选D． 考点：解直角三角形． 21*cnjy*com
6.知识点：解直角三角形 答案：8cm
7.知识点：解直角三角形 答案：12
知识点：特殊角的三角函数值、解直角三角形 答案： 解析：试题分析：如图 ，
由勾股定理得AC=2 ， AD=4， cosA= ， 故答案为： ． 考点：1、勾股定理；2、三角函数【来源：21·世纪·教育·网】
当∠C=60°时，∠ABC=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠CBP=60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴CP=BC=6； 如图3： 当∠ABC=60°时，∠C=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°﹣30°=30°， ∴PC=PB， ∵BC=6， ∴AB=3， ∴PC=PB=； 如图4： 当∠ABC=60°时，∠C=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°+30°=90°， ∴PC=BC÷cos30°=4 ． 故答案为：6或2或4 ． 考点：解直角三角形www-2-1-cnjy-com
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形、勾股定理、解直角三角形 答案： 解析：试题分析：过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD， ∵∠A=30°，AC= ， ∴CD= ， ∴BD=CD= ， 由勾股定理得： ， ∴ ， 答：AB的长是 ． 考点：解直角三角形；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
11.知识点：解直角三角形 答案：144 解析：试题分析：解：连接AC，∵AB⊥BC，∴∠B=90°??????? 1分 ∴AC===10????????????? 2分 ∵?????? 3分 ∴⊿ACD为直角三角形??????????????????? 4分 ∴四边形ABCD的面积===144 考点：勾股定理 点评：本题属于对勾股定理的基本知识的理解和运用【来源：21cnj*y.co*m】
12.知识点：解直角三角形 答案：4
（2）过点D作DF⊥AB于F．先求出∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°，再解直角△ADF，得出AF=1，DF= ， 则BF=AF+AB=5，然后在直角△BDF中运用勾股定理即可求出BD的长度． 试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC= ， ∴AC=2，AB=4． ∴△ABC的面积=AC?BC=×2×= ． ∵△ACD为等边三角形， ∴AD=AC=2，∠DAC=60°． 过点D作DE⊥AC于E． 在△ADE中，∵∠AED=90°，∠DAE=60°，AD=2， ∴. ∴△ACD的面积=AC?DE=×2×=. ∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=. （2）过点D作DF⊥AB于F． ∵∠BAC=60°，∠DAC=60°， ∴∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°． 在△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=60°，AD=2， ∴AF=1，DF=. ∴BF=AF+AB=1+4=5， ∴. 考点：1.解直角三角形；2.等边三角形的性质；3.勾股定理．
新人教九年级数学下锐角三角函数28.2.1解直角三角形同步练习
一、基础训练
1. 在Rt中， ， 若 ， 则的值是（?????）
A．
B．
C．
D．
2. 在离地面高度5米处拉线固定电线杆，拉线和地面成30°角，则拉线长为（???）
A．米
B．米
C．米
D．10米
2.知识点：锐角三角函数的定义、解直角三角形的应用 答案：D
3. 如图，在中， ， 则的长为
A．4
B．
C．
D．
3.知识点：解直角三角形 答案：A
4. 如图，在ABCD 中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF : BC="1" : 2，连接DF，EC.若AB=5，AD=8，sinB= ， 则DF的长等于? (? ) （A）???（B）??（C）??（D）21教育网
4.知识点：勾股定理、平行四边形的性质、解直角三角形 答案：C 解析：试题分析：如图，过点D作DMBC于点M， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴DC=AB=5，BC=AD=8，AB//CD ∴∠1=∠B ∵CF : BC="1" : 2 ∴CF=4，∠1=∠B， ∵sinB= ∴sin∠1== ∴DM=4 ∴CM= ∴FM=1 ∴DF= 故选C 考点：1、平行四边形的性质；2、勾股定理；3、三角函数21cnjy.com
5. 如图，若△ABC和△DEF的面积分别为、 ， 则
A．
B．
C．
D．
5.知识点：解直角三角形 答案：D． 解析：试题分析：在两个图形中分别作BC、EF边上的高，求出、 ， 比较即可． 如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H， 在Rt△ABG中，AG="ABsinB=5×sin" 40°="5sin" 40°， 在Rt△DHE中，∠DEH=180°﹣130°=50°， DH=DEsin∠DEH="5sin" 40°， ∴AG=DH． ∵BC=8，EF=5， ∴ ． 故选D． 考点：解直角三角形．2·1·c·n·j·y
能力培优 ?
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，sinA= ， 则BC的长为??????????。21·世纪*教育网
6.知识点：解直角三角形 答案：8cm
7. 如图，把两块相同的含角的三角尺如图放置，若cm，则三角尺的最长边长为____________．www-2-1-cnjy-com
7.知识点：解直角三角形 答案：12
8. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= ．
知识点：特殊角的三角函数值、解直角三角形 答案： 解析：试题分析：如图，
由勾股定理得AC=2 ， AD=4， cosA= ， 故答案为： ． 考点：1、勾股定理；2、三角函数21世纪教育网版权所有
9. 在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 ????????? ．【来源：21·世纪·教育·网】
当∠C=60°时，∠ABC=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠CBP=60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴CP=BC=6； 如图3：2-1-c-n-j-y
当∠ABC=60°时，∠C=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°﹣30°=30°， ∴PC=PB， ∵BC=6， ∴AB=3， ∴PC=PB=； 如图4： 21*cnjy*com
当∠ABC=60°时，∠C=30°， ∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°+30°=90°， ∴PC=BC÷cos30°=4 ． 故答案为：6或2或4 ． 考点：解直角三角形【出处：21教育名师】
10. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 ， 则AB的长为??????????? ．
知识点：等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形、勾股定理、解直角三角形 答案： 解析：试题分析：过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD， ∵∠A=30°，AC= ， ∴CD= ， ∴BD=CD= ， 由勾股定理得： ， ∴ ， 答：AB的长是 ． 考点：解直角三角形；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
11. 已知：如图，四边形ABCD，AB=8，BC=6，CD=26，AD=24，且AB⊥BC。 求：四边形ABCD的面积。21·cn·jy·com
11.知识点：解直角三角形 答案：144 解析：试题分析：解：连接AC，∵AB⊥BC，∴∠B=90°??????? 1分 ∴AC===10????????????? 2分 ∵?????? 3分 ∴⊿ACD为直角三角形??????????????????? 4分 ∴四边形ABCD的面积===144 考点：勾股定理 点评：本题属于对勾股定理的基本知识的理解和运用【来源：21cnj*y.co*m】
12. 如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC=300 ， 求BC的长。（结果保留根号）【版权所有：21教育】
12.知识点：解直角三角形 答案：4
三、拓展提升 ?
13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90o，∠ABC=30o，BC= ， 以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD，连接BD． （1）求四边形ABCD的面积； （2）求BD的长．www.21-cn-jy.com
（2）过点D作DF⊥AB于F．先求出∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°，再解直角△ADF，得出AF=1，DF= ， 则BF=AF+AB=5，然后在直角△BDF中运用勾股定理即可求出BD的长度． 试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC= ， ∴AC=2，AB=4． ∴△ABC的面积=AC?BC=×2×= ． ∵△ACD为等边三角形， ∴AD=AC=2，∠DAC=60°． 过点D作DE⊥AC于E． 在△ADE中，∵∠AED=90°，∠DAE=60°，AD=2， ∴. ∴△ACD的面积=AC?DE=×2×=. ∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=. （2）过点D作DF⊥AB于F． ∵∠BAC=60°，∠DAC=60°， ∴∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°． 在△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=60°，AD=2， ∴AF=1，DF=. ∴BF=AF+AB=1+4=5， ∴. 考点：1.解直角三角形；2.等边三角形的性质；3.勾股定理．
