课件25张PPT。新人教九年级数学下第二十八章 锐角三角函数小松中学 温光洪28.2.2 直角三角形的应用(1)新人教九年级数学下学习目标1、了解仰角、俯角的概念，能将实际问题转化为数学问题，学会通过解直角三角形解决实际问题。
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。学习重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决。学习难点实际问题转化成数学模型新人教九年级数学下（阅读本节课教材）1、从下往上看，视线与水平线的夹角叫做________；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做________。2、为测楼房BC的高，在距楼房30 m的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为________ m.3、在解决实际问题时，可以直接或通过作辅助线，构造出直角三角形，化归为解____ ____的问题来解决．4、如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路l的距离为________米．预习导学仰角俯角30tanα直角三角形 某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m 的山峰顶点B处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？
通过这节课的学习，相信你也行.新人教九年级数学下 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.新人教九年级数学下点拔:如图28-1， BD 表示点B 的海拔， AE 表示点A 的海拔， AC⊥BD， 垂足为点C. 先测量出海拔AE， 再测出仰角∠BAC， 然后用锐角三角函数的知识就可求出A，B两点之间的水平距离AC．通过仰角俯角的学习，你能把前面引入的问题转化为数学问题吗？画图说明.新人教九年级数学下∵ BD = 3500 m， AE = 1600 m，
AC⊥BD， ∠BAC = 40°， 因此， Ａ，B两点之间的水平距离AC约为2264 m.新人教九年级数学下 2、 [2014?济宁] 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为_______．新人教九年级数学下寻疑之小测试 1．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=300，OA=2,则BC长为（ ） 3、如图，从山顶A测得地面一目标B的俯角a=45°，若山高AC=680m，则山顶A到目标B的距离为__________m。 4、已知Rt△ABC中，∠C=90°，b= ，∠A的平分线 ,解这个直角三角形。B680例1： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km） 分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．新人教九年级数学下解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∴ PQ的长为 当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km新人教九年级数学下例2: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60° Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．仰角水平线俯角新人教九年级数学下解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．答：这栋楼高约为277.1m新人教九年级数学下1、如图，从热气球C处测得地面上A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是( ) A. 200米 B. C. D. 2、数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米．D新人教九年级数学下4.如图2，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE= _________ （根号保留）．3.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 m，则下面结论中正确的是（ ）
A．由楼顶望塔顶仰角为60°
B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30°
D．由楼顶望塔基俯角为30°C新人教九年级数学下5、如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．6、如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°
，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）． 新人教九年级数学下新人教九年级数学下2、如图2，小华同学在距离某建筑物6m的点A处测得广告牌B点,C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_ ．1、如图1，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机 上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到 目标B的距离AB为_ ． 3、如图3,从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是( )A图1图2图32400米3.5 mA． B． C． D．12米新人教九年级数学下4、如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C，B在同一条直线上，已知AC＝32米，CD＝16米，则荷塘宽BD为(取 结果保留整数)( )5、如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行.25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为_ _米．DA．36米 B．37米 C．38米 D．39米4题5题新人教九年级数学下6、(2014·河南)在中俄“海上联合－2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．(结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， ）新人教九年级数学下请谈谈你的收获小组合作讨论1、 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：棋杆的高度为15.2m.新人教九年级数学下2、 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角新人教九年级数学下新人教九年级数学下3、如图，两建筑物的水平距离BC为32.6 m，从A点测得D点的俯角为35°12′，测得C点的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高（tan35°12′≈0.71，tan43°24′≈0.95，结果保留小数点后一位)点拔:将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，当某些图形不是直角三角形时，可通过辅助线，把它分割成直角三角形或已学过的特殊四边形，然后解这个直角三角形．新人教九年级数学下[2014·钦州] 如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．(结果保留小数点后一位，参考数据： )[分析] 由题意可先过点A作AH⊥CD于点H.在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH＋HD＝CH＋AB，再在Rt△CED中求出CE的长．新人教九年级数学下新人教九年级数学下把知识留给自己，把困惑告诉老师和同学。共同帮助进步。作业：导学测评新人教九年级数学下锐角三角函数28.2.2解直角三角形的应用（1）同步练习
一、基础训练 ?
1. 某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆的高度是（???）
A．12m
B．11m
C．10m
D．9m
2. 在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（??）
A．
B．
C．
D．
3. 有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高为
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
4. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是 21cnjy.com
A．米
B．米
C．米
D．米
5. 如图，AC是电杆AB的一根拉线，现测得BC=6米，∠ABC=90°，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（????）米. 21·cn·jy·com
A．
B．
C．
D．
二、能力培优 ?
6. 如图，在水平地面上，由A点测得大树BC的顶端C的仰角为60°，A点到大树的距离AB＝10m，则大树的高BC为______m．www.21-cn-jy.com
7.. 一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家．到了家 门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm．你认为小明能拿进屋吗？??????? ．
8.. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，sinA= ， OA=10cm，则AB长为????????cm．2·1·c·n·j·y
9. 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为???????米(用含α的代数式表示)．21·世纪*教育网
10. 如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A，B两点间的距离为 ??? 米．
三、拓展提升 ?
11. “马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7）21教育网
12. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°． （1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米）。 （参考数据：sin39°≈0.6293，cos39°≈0.7771，tan39°≈0.8100）
参考答案
1.知识点：相似三角形的应用 答案：A
3.知识点：解直角三角形 答案：C
4.知识点：解直角三角形的应用 答案：B. 解析：试题分析：此题考查的是解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系式是解答此类题的关键．在Rt△ABC中，已知了直角边BC=24米，及∠ACB=30°，可根据∠ACB的正切函数求出AB=BC?tan30°=米.故选B. 考点：解直角三角形的应用．21世纪教育网版权所有
5.知识点：解直角三角形的应用 答案：C. 解析：试题分析：根据 ， 得出 ， 再把BC=6，∠ACB=52°代入即可．解：∵ ， ∴ ， ??? ∵BC=6米，∠ACB=52° ∴AC=?米； 故选C． 考点：解直角三角形的应用．www-2-1-cnjy-com
6.知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 答案：10
7.知识点：勾股定理的应用、解直角三角形的应用 答案：能
9.知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 答案：. 解析：试题分析：直接根据正切函数定义求解： ∵ ， AC＝7米，∴（米）. 考点：1.解直角三角形-仰角俯角问题；2.锐角三角函数定义【来源：21·世纪·教育·网】
10.知识点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形的应用-坡度坡角问题 答案：750. 解析：试题分析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°，AC=30×25=750（米）， ∴AD=AC?sin45°=375（米）. 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AB=2AD=750（米）. 考点：1.解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数?2-1-c-n-j-y
11.知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 答案：竖直高度CF约为1080米． 解析：试题分析：根据题意易得BC=CF，那么利用30°的正切值即可求得CF长． 试题解析：∵∠BDC=90°，∠DBC=45°， ∴BC=CF， ∵∠CAF=30°， ∴tan30°= ， 解得：CF=400+400≈400（1.7+1）=1080（米）． 答：竖直高度CF约为1080米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 21*cnjy*com
新人教九年级数学下锐角三角函数28.2.2解直角三角形的应用（1）同步练习
一、基础训练 ?
1. 某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆的高度是（???）
A．12m
B．11m
C．10m
D．9m
1.知识点：相似三角形的应用 答案：A
2. 在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（??）
A．
B．
C．
D．
3. 有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高为
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
3.知识点：解直角三角形 答案：C
4. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是 2·1·c·n·j·y
A．米
B．米
C．米
D．米
4.知识点：解直角三角形的应用 答案：B. 解析：试题分析：此题考查的是解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系式是解答此类题的关键．在Rt△ABC中，已知了直角边BC=24米，及∠ACB=30°，可根据∠ACB的正切函数求出AB=BC?tan30°=米.故选B. 考点：解直角三角形的应用．21·cn·jy·com
5. 如图，AC是电杆AB的一根拉线，现测得BC=6米，∠ABC=90°，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（????）米. 【来源：21·世纪·教育·网】
A．
B．
C．
D．
5.知识点：解直角三角形的应用 答案：C. 解析：试题分析：根据 ， 得出 ， 再把BC=6，∠ACB=52°代入即可．解：∵ ， ∴ ， ??? ∵BC=6米，∠ACB=52° ∴AC=?米； 故选C． 考点：解直角三角形的应用．21世纪教育网版权所有
二、能力培优 ?
6. 如图，在水平地面上，由A点测得大树BC的顶端C的仰角为60°，A点到大树的距离AB＝10m，则大树的高BC为______m．www.21-cn-jy.com
6.知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 答案：10
7.. 一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家．到了家 门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm．你认为小明能拿进屋吗？??????? ．
7.知识点：勾股定理的应用、解直角三角形的应用 答案：能
8.. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，sinA= ， OA=10cm，则AB长为????????cm．21cnjy.com
∵sinA= ， OA=10cm， ∴OC=6cm， ∴AC=cm， ∴AB=2AC=16cm 考点：1.切线的性质；2.垂径定理；3.解直角三角形．21·世纪*教育网
9. 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为???????米(用含α的代数式表示)．www-2-1-cnjy-com
9.知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 答案：. 解析：试题分析：直接根据正切函数定义求解： ∵ ， AC＝7米，∴（米）. 考点：1.解直角三角形-仰角俯角问题；2.锐角三角函数定义2-1-c-n-j-y
10. 如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A，B两点间的距离为 ??? 米．
10.知识点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形的应用-坡度坡角问题 答案：750. 解析：试题分析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°，AC=30×25=750（米）， ∴AD=AC?sin45°=375（米）. 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AB=2AD=750（米）. 考点：1.解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数?21教育网
三、拓展提升 ?
11. “马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7） 21*cnjy*com
11.知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 答案：竖直高度CF约为1080米． 解析：试题分析：根据题意易得BC=CF，那么利用30°的正切值即可求得CF长． 试题解析：∵∠BDC=90°，∠DBC=45°， ∴BC=CF， ∵∠CAF=30°， ∴tan30°= ， 解得：CF=400+400≈400（1.7+1）=1080（米）． 答：竖直高度CF约为1080米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【来源：21cnj*y.co*m】
12. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°． （1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米）。 （参考数据：sin39°≈0.6293，cos39°≈0.7771，tan39°≈0.8100）
