(共40张PPT)
第六章
6.1.3 基本初等函数的导数 6.1.4 求导法则及其应用
课程标准
1.熟记基本初等函数的导数公式,并能运用这些公式求基本初等函数的导数;
2.掌握导数的运算法则,并能运用法则求复杂函数的导数;
3.掌握复合函数的求导法则,会求复合函数的导数.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
基础落实·必备知识全过关
知识点1
基本初等函数的求导公式
C'= ,(xα)'= ,(ax)'= ,(logax)'= ,
(sin x)'= ,(cos x)'= .
名师点睛
特殊函数的导数:
(1)(ex)'=ex.
0
αxα-1
axln a
cos x
-sin x
C
2.已知f(x)=x2,则f'(3)=( )
A.0 B.2x C.6 D.9
C
解析 f'(x)=2x,∴f'(3)=6.
知识点2
求导法则
1.函数和(或差)的求导法则
设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)±g(x)]'= .即两个函数之和(或差)的导数,等于这两个函数的 .
2.函数积的求导法则
设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)g(x)]'= .即两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数.
由上述法则立即可以得出[Cf(x)]'=Cf'(x).即常数与函数之积的导数,等于常数乘以 .
f'(x)±g'(x)
导数之和(或差)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
函数的导数
3.函数的商的求导法则
=
名师点睛
正确理解函数的求导法则应注意以下几点:
(1)两个函数和(差)的求导法则可以推广到若干个函数和(差)的情形:即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).
(2)准确记忆公式形式,应注意:[f(x)g(x)]'≠f'(x)·g'(x)≠f'(x)g(x)-f(x)g'(x);
过关自诊
1.[2023河南三门峡灵宝校级月考]已知函数f(x)=3x+ ,则f'(1)=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
2.[人教A版教材习题]已知函数f(x)=xln x.
(1)求这个函数的导数;
(2)求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程.
解(1)f'(x)=(xln x)'=x'·ln x+x(ln x)'=ln x+1.
(2)因为k=f'(1)=ln 1+1=1,
所以切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.
知识点3
简单复合函数的求导法则
一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)·g'(x)=f'(g(x))g'(x).这一结论也可以表示为y'x=y'uu'x.
名师点睛
复合函数求导的主要步骤是:
(1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量.
(2)求每一层基本初等函数的导数.
(3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.
过关自诊
[北师大版教材例题]求函数y= 的导数.
u=φ(x)=3x+1复合而成的.
由复合函数的求导法则,可得
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数:
(4)∵y=5x,∴y'=5xln 5.
规律方法 简单函数求导的解题策略
(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.
(3)要特别注意“ 与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别.
其中正确的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
C
(2)[人教A版教材习题]求下列函数在给定点的导数:
①f(x)=x5在x=3处的导数;
②f(x)=ln x在x= 处的导数;
③f(x)=sin x在x=2π处的导数;
④f(x)=ex在x=0处的导数.
解①因为f'(x)=5x4,所以f'(3)=5×34=405;
③因为f'(x)=cos x,所以f'(2π)=cos 2π=1;
④因为f'(x)=ex,所以f'(0)=e0=1.
探究点二 利用导数的运算法则求导数
【例2】 [人教A版教材习题]求下列函数的导数:
(1)y=2x3-3x2-4;
(2)y=3cos x+2x;
(3)y=exln x;
解 y'=(2x3)'-(3x2)'-4'=6x2-6x;
解 y'=(3cos x)'+(2x)'=-3sin x+2xln 2;
(6)y=tan x.
规律方法 运用导数求导法则求导的解题策略
(1)对于函数求导问题,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,必须注意变换的等价性,避免不必要的运算错误.
(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三角公式对解析式进行化简与整理,然后套用公式求导.
变式训练2[2023河南模拟]已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=x2f'(1)+x+2,则f'(1)= .
-1
解析 因为f(x)=x2f'(1)+x+2,
则f'(x)=2xf'(1)+1,
故f'(1)=2f'(1)+1,解得f'(1)=-1.
探究点三 复合函数的求导
【例3】 求下列函数的导数:
(1)y=(3x-1)2;
(2)y=ln(5x+2);
解 设y=u2,u=3x-1.
则y'=y'u·u'x=2u·3=6(3x-1)=18x-6.
解 设y=ln u,u=5x+2,
(5)y=cos2x.
解 设y=u2,u=cos x,
则y'=y'u·u'x=2u·(-sin x)=-sin 2x.
规律方法 1.复合函数的求导法则如下:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux'(其中yx'表示y对x的导数).即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
2.复合函数的求导应注意以下几点:
(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.
(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导,而其中要特别注意的是中间变量的导数.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.
(4)复合函数的求导过程熟练后,中间步骤可以省略不写.
变式训练3(1)[北师大版教材习题]求下列函数的导数:
①y=e-x+2(2x+1)5;
②y=cos(3x-1)-ln(-2x-1);
③y=sin 2x+cos2x;
解①y'=-e-x+2×(2x+1)5+e-x+2×5(2x+1)4×2=(9-2x)(2x+1)4e-x+2;
③y'=2cos 2x-2cos xsin x;
(2)[北师大版教材习题]求曲线y=ln(3x-2)在x=1处的切线的方程.
所以切线方程为y-0=3(x-1),即3x-y-3=0.
探究点四 导数运算法则的应用
【例4】 (1)[2023山西晋城期末]有一机器人的运动方程为s(t)=t2+6t,t是时间,单位是秒,s是位移,单位是米,则该机器人在时刻t=2秒的瞬时速度为
( )
A.5 B.7 C.10 D.13
C
解析 ∵s(t)=t2+6t,∴s'(t)=2t+6,
∴s'(2)=2×2+6=10,故选C.
(2)已知函数f(x)=eax,设曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .
2
解析 曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.
因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
(3)[北师大版教材例题]求曲线f(x)= +2xln x在点(1,0)处的切线的方程.
解根据导数公式表及导数的四则运算法则,可得
规律方法 利用导数运算法则可快速求解f'(x0),分两步完成:(1)根据y=f(x)求y=f'(x);(2)代入x0.这就给我们求瞬时变化率和切线的斜率带来了方便.
变式训练4[北师大版教材习题]求曲线f(x)=x3+x-2与直线y=4x-1平行的切线的方程.
因为切线斜率k=4,所以当切点为(1,0)时,切线方程为y-0=4(x-1),即4x-y-4=0;
当切点为(-1,-4)时,切线方程为y-(-4)=4[x-(-1)],即4x-y=0.
成果验收·课堂达标检测
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1.下列各式正确的是( )
C.(3x)'=3x D.(3x)'=3x·ln 3
D
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2.已知函数f(x)=x+sin x+1,其导函数记为f'(x),则f(2 022)+f'(2 022)+
f(-2 022)-f'(-2 022)=( )
A.2 022 B.2 C.1 D.0
B
解析 因为f'(x)=1+cos x,所以f'(x)为偶函数,所以f'(2 022)-f'(-2 022)
=f'(2 022)-f'(2 022)=0,所以原式等价于f(2 022)+f(-2 022)=2 022+sin 2 022 +1+(-2 022-sin 2 022+1)=2,故选B.
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3.已知函数f(x)=4x-x3,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线的倾斜角是 .
解析 由f(x)=4x-x3,得f'(x)=4-3x2,
所以f'(1)=4-3=1,所以切线的斜率为k=1,
设切线的倾斜角为α,
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5.已知抛物线f(x)=ax2+bx-5(a≠0)在点(2,1)处的切线方程为y=-3x+7,求a,b的值.
解∵f'(x)=2ax+b,∴f'(2)=4a+b,
即4a+b=-3.
又点(2,1)在抛物线f(x)=ax2+bx-5上,
∴4a+2b-5=1,即4a+2b=6.(共26张PPT)
第六章
6.1.3 基本初等函数的导数 6.1.4 求导法则及其应用
A 级 必备知识基础练
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A
解析 f(x)=cos x,f'(x)=-sin x,
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2.[探究点二·2023新疆高三月考]函数y=x2sin x的导数为( )
A.y'=x2sin x+2xcos x
B.y'=2xsin x-x2cos x
C.y'=2xsin x+x2cos x
D.y'=x2sin x-2xcos x
C
解析 y'=(x2)'·sin x+x2·(sin x)'=2xsin x+x2cos x,故选C.
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3.[探究点四]某质点的运动方程为s(t)= (s的单位:米,t的单位:秒),则质点在t=3秒时的速度为( )
A.-4×3-4米/秒 B.-3×3-4米/秒
C.-5×3-5米/秒 D.-4×3-5米/秒
D
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4.[探究点一](多选题)[2023湖南郴州期末]下列选项正确的是( )
A.y=ln 2,则y'=0
ABD
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解析 对于选项A,若y=ln 2,则y'=0,A正确;
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5.[探究点三·2023江苏高二校联考阶段练习]已知函数f(x)=cos 2x,则
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6.[探究点四]曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
y=2x
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7.[探究点二·2023重庆九龙坡校级期末]已知函数f(x)=xln x+3x2-1,则f'(1)= .
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解析 因为f(x)=xln x+3x2-1,
所以f'(1)=ln 1+6+1=7.
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8.[探究点二、三]求下列函数的导数:
(2)y=ex(1+cos x)-2x;
(3)y=log3(5x-1).
(2)因为y=ex(1+cos x)-2x,
所以y'=ex(1+cos x-sin x)-2xln 2.
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9.[探究点四]设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
解 因为f(x)=x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=3x2+2ax+b.
令x=1,得f'(1)=3+2a+b,又f'(1)=2a,所以3+2a+b=2a,解得b=-3.
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B 级 关键能力提升练
10.[2023天津河东校级期末]下列求导运算正确的个数是( )
①若f(x)=x2e2x-1,则f'(x)=2xe2x-1(x+1);
A.1 B.2 C.3 D.4
C
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解析 ①若f(x)=x2e2x-1,则f'(x)=2xe2x-1+2x2e2x-1=2xe2x-1(x+1),故①正确;
③若f(x)=(2x-3)sin(2x+5),则f'(x)=2sin(2x+5)+2(2x-3)cos(2x+5),故③错误;
∴正确的个数是3.
故选C.
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11.已知函数f(x)=e-2x+1,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
A
解析 依题意,得f'(x)=e-2x·(-2)=-2e-2x,f'(0)=-2e-2×0=-2.
曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,
即y=-2x+2.
在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x
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12.曲线y= +1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为( )
A.y=x-1 B.y=x
C.y=x+1 D.y=x+2
C
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f'(x)>0, x>0,f'(x)>0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,
则f(x)≥f(0)=0,
故切点为(0,1),切线斜率为1,
所以切线方程为y=x+1.故选C.
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13.已知函数f(x)=ln(2x-1),曲线y=f(x)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是
( )
A
解析 由题意,曲线y=f(x)上与直线2x-y+3=0平行的切线的切点到直线
2x-y+3=0的距离最短.
设切点坐标为(x0,y0).
∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).
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14.(多选题)[2023天津高二课时练习]已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A.f(x)=x B.f(x)=ex
C.f(x)=tan x
AB
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解析 对于A,f(x)=x,则f'(x)=1,令f(x)=f'(x),则x=1,故f(x)有“巧值点”;
对于B,f(x)=ex,则f'(x)=ex,因为f(x)=f'(x)恒成立,故任意的x∈R,都是f(x)的“巧值点”;
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15.已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,则l在y轴上的截距为 .
1
解析 由f(x)=ax-ln x,可得 ,则切线的斜率为k=f'(1)=a-1,切点坐标为(1,a),切线方程l为y-a=(a-1)(x-1),
所以l在y轴上的截距为a+(a-1)(-1)=1.
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16.[2023山西模拟]已知函数f(x)=f'(1)ex-x,则f(0)= .
解析 f(x)=f'(1)ex-x,
则f'(x)=f'(1)ex-1,
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17.[2023广东清远阳山南阳中学月考]设函数 ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,则a= ,b= .
1
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因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,因此f'(1)=ae=e,a=1,f(1)=b=2,
所以a=1,b=2.
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18.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=ex(2x+1)+f(x),f(0)=-2,则不等式f(x)<4ex的解集为 .
(-3,2)
∵f(0)=-2,∴c=-2,∴f(x)=ex·(x2+x-2),
∴不等式f(x)<4ex的解集等价于x2+x-2<4,
解得-31
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19.[2023江苏高二月考]已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l与圆C:x2+y2= 相切,求a的值.
又f(1)=a+2ln 1=a,切线l的方程为y-a=2(a-1)(x-1),
即2x-y-a+2=0.
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C 级 学科素养创新练
解 (1)∵f(x)=eπxsin πx,
∴f'(x)=πeπxsin πx+πeπxcos πx=πeπx(sin πx+cos πx).
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(2)设切点的坐标为P(x0,y0),
由题意可知f'(x0)=0.
解得x0=0,此时y0=1.
即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.第六章6.1.3 基本初等函数的导数 6.1.4 求导法则及其应用
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]若f(x)=cos x,则f'()=( )
A.-1 B.1 C.0 D.
2.[探究点二·2023新疆高三月考]函数y=x2sin x的导数为( )
A.y'=x2sin x+2xcos x
B.y'=2xsin x-x2cos x
C.y'=2xsin x+x2cos x
D.y'=x2sin x-2xcos x
3.[探究点四]某质点的运动方程为s(t)=(s的单位:米,t的单位:秒),则质点在t=3秒时的速度为( )
A.-4×3-4米/秒 B.-3×3-4米/秒
C.-5×3-5米/秒 D.-4×3-5米/秒
4.[探究点一](多选题)[2023湖南郴州期末]下列选项正确的是( )
A.y=ln 2,则y'=0
B.f(x)=,则f'(3)=-
C.y=2x,则y'=2x
D.y=log2x,则y'=
5.[探究点三·2023江苏高二校联考阶段练习]已知函数f(x)=cos 2x,则f'= .
6.[探究点四]曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
7.[探究点二·2023重庆九龙坡校级期末]已知函数f(x)=xln x+3x2-1,则f'(1)= .
8.[探究点二、三]求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=ex(1+cos x)-2x;
(3)y=log3(5x-1).
9.[探究点四]设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
B级 关键能力提升练
10.[2023天津河东校级期末]下列求导运算正确的个数是( )
①若f(x)=x2e2x-1,则f'(x)=2xe2x-1(x+1);
②若f(x)=,则f'(x)=;
③若f(x)=(2x-3)sin(2x+5),则f'(x)=2sin(2x+5)+(2x-3)cos(2x+5);
④若f(x)=log2(3x-2),则f'(x)=.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知函数f(x)=e-2x+1,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.1
12.曲线y=+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为( )
A.y=x-1 B.y=x
C.y=x+1 D.y=x+2
13.已知函数f(x)=ln(2x-1),曲线y=f(x)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
A. B.2 C.3 D.0
14.(多选题)[2023天津高二课时练习]已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A.f(x)=x B.f(x)=ex
C.f(x)=tan x D.f(x)=
15.已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,则l在y轴上的截距为 .
16.[2023山西模拟]已知函数f(x)=f'(1)ex-x,则f(0)= .
17.[2023广东清远阳山南阳中学月考]设函数f(x)=aexln x+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,则a= ,b= .
18.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=ex(2x+1)+f(x),f(0)=-2,则不等式f(x)<4ex的解集为 .
19.[2023江苏高二月考]已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l与圆C:x2+y2=相切,求a的值.
C级 学科素养创新练
20.(1)已知f(x)=eπxsin πx,求f'(x)及f'.
(2)设函数f(x)=,在曲线y=f(x)上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.
6.1.3 基本初等函数的导数
6.1.4 求导法则及其应用
1.A f(x)=cosx,f'(x)=-sinx,
∴f'=-1.故选A.
2.C y'=(x2)'·sinx+x2·(sinx)'=2xsinx+x2cosx,故选C.
3.D 由s(t)=得s'(t)='=(t-4)'=-4t-5,得s'(3)=-4×3-5,故选D.
4.ABD 对于选项A,若y=ln2,则y'=0,A正确;
对于选项B,若f(x)=,则f'(x)=-,故f'(3)=-,B正确;
对于选项C,若y=2x,则y'=2xln2,C错误;
对于选项D,若y=log2x,则y'=,D正确.
故选ABD.
5.-1 f'(x)=-2sin2x,则f'=-2sin=-1.
6.y=2x 设切点坐标为(x0,y0).对y=lnx+x+1求导可得y'=+1.
由题意得,+1=2,解得x0=1,故y0=ln1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
7.7 因为f(x)=xlnx+3x2-1,
所以f'(x)=lnx+x·+6x=lnx+6x+1,
所以f'(1)=ln1+6+1=7.
8.解(1)因为y=(x≠0),所以y'=.
(2)因为y=ex(1+cosx)-2x,
所以y'=ex(1+cosx-sinx)-2xln2.
(3)因为y=log3(5x-1)x>,
所以y'=×5=.
9.解因为f(x)=x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=3x2+2ax+b.
令x=1,得f'(1)=3+2a+b,又f'(1)=2a,所以3+2a+b=2a,解得b=-3.
令x=2,得f'(2)=12+4a+b,又f'(2)=-b,所以12+4a+b=-b,解得a=-.
则f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=-.
又f'(1)=2×=-3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0.
10.C ①若f(x)=x2e2x-1,则f'(x)=2xe2x-1+2x2e2x-1=2xe2x-1(x+1),故①正确;
②若f(x)=,则f'(x)=,故②正确;
③若f(x)=(2x-3)sin(2x+5),则f'(x)=2sin(2x+5)+2(2x-3)cos(2x+5),故③错误;
④若f(x)=log2(3x-2),则f'(x)=,故④正确.
∴正确的个数是3.
故选C.
11.A 依题意,得f'(x)=e-2x·(-2)=-2e-2x,f'(0)=-2e-2×0=-2.
曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,
即y=-2x+2.
在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),
结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×.
12.C 由题得y'=,设切点为(x0,y0)(x0≥0),
则当x=x0时,y'=1,
则=cosx0-sinx0,
令f(x)=ex-cosx+sinx,
则f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+sinx+,
当00,而当x≥1时,ex≥e,sinx+cosx≥-,f'(x)>0, x>0,f'(x)>0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,
则f(x)≥f(0)=0,
所以方程=cosx0-sinx0只有一个实根x0=0,
代入原函数得y0=+1=1,
故切点为(0,1),切线斜率为1,
所以切线方程为y=x+1.故选C.
13.A 由题意,曲线y=f(x)上与直线2x-y+3=0平行的切线的切点到直线2x-y+3=0的距离最短.
设切点坐标为(x0,y0).
∵f'(x)=,∴f'(x0)==2,解得x0=1,
∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).
∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.
14.AB 对于A,f(x)=x,则f'(x)=1,令f(x)=f'(x),则x=1,故f(x)有“巧值点”;
对于B,f(x)=ex,则f'(x)=ex,因为f(x)=f'(x)恒成立,故任意的x∈R,都是f(x)的“巧值点”;
对于C,f(x)=tanx,则f'(x)=,令tanx=,整理得sin2x=2,方程无根,故f(x)=tanx没有“巧值点”;
对于D,f(x)=的定义域为{x|x>0},则f'(x)=-<0,而f(x)>0,
显然方程f(x)=f'(x)无实根,故f(x)=没有“巧值点”.
故选AB.
15.1 由f(x)=ax-lnx,可得f'(x)=a-,则切线的斜率为k=f'(1)=a-1,切点坐标为(1,a),切线方程l为y-a=(a-1)(x-1),
所以l在y轴上的截距为a+(a-1)(-1)=1.
16. f(x)=f'(1)ex-x,
则f'(x)=f'(1)ex-1,
令x=1,则f'(1)=ef'(1)-1,解得f'(1)=,
故f(x)=ex-x,
所以f(0)=.
17.1 2 函数f(x)=aexlnx+,求导得f'(x)=aex+lnx+bex-1,
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,因此f'(1)=ae=e,a=1,f(1)=b=2,
所以a=1,b=2.
18.(-3,2) 由题意,得=2x+1,
∴'=2x+1,
令=x2+x+c,其中c为常数,则f(x)=ex·(x2+x+c),
∵f(0)=-2,∴c=-2,
∴f(x)=ex·(x2+x-2),
∴不等式f(x)<4ex的解集等价于x2+x-2<4,
解得-319.解∵f'(x)=2ax-,∴f'(1)=2a-2.
又f(1)=a+2ln1=a,切线l的方程为y-a=2(a-1)(x-1),
即2x-y-a+2=0.
∵直线l与圆C:x2+y2=相切,
∴圆心(0,0)到直线l的距离为,
∴,解得a=.
20.解(1)∵f(x)=eπxsinπx,
∴f'(x)=πeπxsinπx+πeπxcosπx=πeπx(sinπx+cosπx).
∴f'=π=π.
(2)设切点的坐标为P(x0,y0),
由题意可知f'(x0)=0.
又f'(x)=,
∴f'(x0)==0.
解得x0=0,此时y0=1.
即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
