(共28张PPT)
第六章
6.2.1 导数与函数的单调性
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一]设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是( )
D
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解析 根据导函数图象,y=f(x)的单调递增区间为(-3,-1),(0,1),单调递减区间为(-1,0),(1,3),观察选项可得D符合,故选D.
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2.[探究点二·2023山西吕梁期末]函数f(x)=2ln x-x的单调递增区间为( )
A.(-∞,2) B.(-2,2) C.(0,2) D.(2,+∞)
C
所以0
故选C.
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3.[探究点三]已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是( )
B
解析 f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)内恒成立,且不恒为0,
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4.[探究点三]若函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是 .
解析 f(x)=(-x2+ax)ex,则f'(x)=ex(-x2+ax-2x+a),
函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)内存在单调递减区间,
只需-x2+ax+a-2x≤0在区间(-1,1)内有解,
g(-1)=-1-(a-2)+a=1>0,
只需g(1)<0,
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5.[探究点二·2023江苏淮安期末]已知定义在区间(0,π)内的函数
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6.[探究点三·2023河南新乡长垣月考]若函数f(x)=(x2+mx+1)ex在区间[-1,1]上单调递减,则实数m的取值范围为 .
(-∞,-2]
解析 f'(x)=[x2+(m+2)x+m+1]ex=(x+m+1)(x+1)ex.
由题意得f'(x)=(x+m+1)(x+1)ex≤0在[-1,1]上恒成立.
因为(x+1)ex≥0,所以x+m+1≤0在[-1,1]上恒成立,
即m≤-x-1在[-1,1]上恒成立.
设g(x)=-x-1,x∈[-1,1],只需m≤g(x)min,易知g(x)=-x-1在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=-2,
所以m≤-2,即m的取值范围是(-∞,-2].
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7.[探究点二、三·2023四川成都外国语学校校考阶段练习]已知函数
f(x)= x2-ax-2ln x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.
令f'(x)>0,得x>2,令f'(x)<0,得0从而,函数f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).
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g(x)min=g(1)=-1.
从而a≤g(x)min,即a≤-1.
所以实数a的取值范围是(-∞,-1].
B 级 关键能力提升练
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8.[2023河北张家口期末]已知函数f(x)为偶函数,定义域为R,当x>0时,f'(x)<0,则不等式f(x2-x)-f(x)>0的解集为( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,1) D.(-2,2)
B
解析 因为当x>0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,
又函数f(x)是偶函数,所以当自变量取值的绝对值越小时,函数值越大.
由f(x2-x)-f(x)>0,得f(x2-x)>f(x),
所以|x2-x|<|x|,显然x≠0,所以可化简为|x-1|<1,则-1故选B.
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9.[2023山东聊城高二校考阶段练习]设函数f(x)=2x- -aln x在(1,2)内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.[4,5] B.(5,+∞) C.[4,+∞) D.[5,+∞)
D
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所以h'(x)>0在(1,2)内恒成立,所以h(x)在(1,2)内单调递增,所以h(x)则实数a的取值范围是[5,+∞).
故选D.
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10.(多选题)[2023广西梧州龙圩校级期末]已知正实数x,y满足
BC
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对于B,若x对于C,x1,必有ln(y-x+1)>0,C正确;
对于D,x故选BC.
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CD
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12.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c= .
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解析 由题意f'(x)=3x2+2bx+c,
所以3x2+2bx+c=0的两根为-1和3,
所以b=-3,c=-9,b+c=-12.
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13.已知 在(-1,+∞)内单调递减,则实数b的取值范围是 .
(-∞,-1]
解析 由题意,可知f'(x)=-x+ ≤0在x∈(-1,+∞)内恒成立,
即b≤x(x+2)在x∈(-1,+∞)内恒成立,
令f(x)=x(x+2)=x2+2x,x∈(-1,+∞),
∴f(x)>-1,∴要使b≤x(x+2),则b≤-1,
故实数b的取值范围为(-∞,-1].
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14.已知函数y=f(x)的定义域为 ,且y=f(x)的图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式x·f'(x)<0的解集是 .
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当x>0时,y=f(x)在(0,1)内单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0成立;
y=f(x)在(1,3)内单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0不成立,
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15.[2023江苏苏州模拟改编]已知函数f(x)=(x+1)ln x-2(x-1),讨论f(x)的单调性.
令g'(x)<0,解得0令g'(x)>0,解得x>1,则g(x)在(1,+∞)内单调递增,
所以g(x)≥g(1)=0,当且仅当x=1时等号成立,
所以f'(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立,
故f(x)在(0,+∞)内单调递增.
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16.[2023重庆高二月考]已知函数f(x)=x-(a+2)ln x- a>0).
(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,求切线l的方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
因为曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,
所以f'(1)=1,即1-(a+2)+2a=1,解得a=2.
所以f(x)=x-4ln x- ,所以f(1)=-3,
所以f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程为y+3=x-1,即x-y-4=0.
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当a>2时,当x>a或00,当2所以函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;
当02或00,当a所以函数f(x)在(0,a)和(2,+∞)内单调递增,在(a,2)内单调递减,
综上所述,当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当a>2时,函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;
当01
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17.[2023重庆渝中校级一模]已知奇函数f(x)的定义域为R,当x>0时, 2f(x)+xf'(x)>0,且f(2)=0,则不等式f(x)>0的解集为 .
C 级 学科素养创新练
(-2,0)∪(2,+∞)
解析 设g(x)=x2f(x),x∈R.
∵f(x)为R上的奇函数,
∴易得g(x)为R上的奇函数.
∵g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)],
又当x>0时,2f(x)+xf'(x)>0,
∴当x>0时,g'(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)内单调递增,又g(x)为R上的奇函数,
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∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,g(0)=0.
又g(2)=4f(2)=0,∴g(-2)=-g(2)=0.
作出g(x)的简图如下:
数形结合可得g(x)=x2f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞),
∴f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).(共35张PPT)
第六章
6.2.1 导数与函数的单调性
课程标准
1.理解导数与函数单调性的关系;
2.能利用导数求函数的单调区间,判断或证明函数的单调性;
3.能利用导数解决函数单调性的综合问题.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
基础落实·必备知识全过关
知识点
用导数研究函数的单调性
一般地,(1)如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都 0,曲线呈 状态,因此f(x)在(a,b)上是 函数,如图①所示.
(2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都 0,曲线呈 状态,因此f(x)在(a,b)上是 函数,如图②所示.
定义域的非空子集
大于
上升
增
小于
下降
减
名师点睛
导数与函数单调性关系的深入理解
(1)若函数f(x)在区间(a,b)内是增函数,则f'(x)≥0在x∈(a,b)内恒成立;同理,若函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,则f'(x)≤0在x∈(a,b)内恒成立.
(2)当函数f(x)的单调递增(或递减)区间有多个时,各区间之间不能用“∪”连接,用“,”或“和”连接.
(3)对于函数f(x)来说,f'(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件;f'(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的充分不必要条件.如f(x)=x3在R上为增函数,但f'(0)=0,所以在x=0处不满足f'(x)>0.
过关自诊
1.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上( )
A.单调递增
B.单调递减
C.先增后减
D.先减后增
A
解析 ∵f(x)=2x-sin x,
∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞,+∞)内恒成立,
∴f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.
2.[2023内蒙古赤峰松山校级期末]函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
D
解析 f(x)=(x-3)ex,x∈R,
∴f'(x)=ex+(x-3)ex=ex(x-2),
令f'(x)>0,得x>2.
∴f(x)的单调递增区间是(2,+∞).
故选D.
3.若函数y=x3-2bx+6在区间(2,8)内单调递增,则( )
A.b≤6 B.b<6
C.b≥6 D.b>6
A
解析 y'=3x2-2b,由题意知y'≥0在(2,8)内恒成立,即b≤ x2在(2,8)内恒成立,所以b≤6.故选A.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 函数与导函数图象间的关系
【例1】 (1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为( )
D
解析 由函数的图象可知,当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正.对照选项,应选D.
(2)已知f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是
( )
D
规律方法 研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
变式训练1[人教A版教材习题]函数y=f'(x)的图象如图所示,试画出函数y=f(x)图象的大致形状.
解y=f(x)图象的大致形状如图所示.
探究点二 利用导数求函数的单调区间
【例2】 求下列各函数的单调区间:
(1)f(x)=2x3-3x2;
解 函数定义域为R,且f'(x)=6x2-6x.
令f'(x)>0,即6x2-6x>0.
解得x>1或x<0;
令f'(x)<0,即6x2-6x<0,解得0所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0]和[1,+∞),单调递减区间是[0,1].
所以f(x)的单调递增区间是(0,e],单调递减区间是[e,+∞).
(4)f(x)=ex+ax.
解 函数定义域为R,且f'(x)=ex+a.
①当a≥0时,f'(x)=ex+a>0恒成立,f(x)在R上单调递增;
②当a<0时,由f'(x)=ex+a>0,得ex>-a,
所以x>ln(-a),
由f'(x)=ex+a<0,得ex<-a,所以x所以f(x)在(ln(-a),+∞)内单调递增,在(-∞,ln(-a))内单调递减.
综上,当a≥0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞),无单调递减区间;
当a<0时,f(x)的单调递增区间是[ln(-a),+∞),单调递减区间是(-∞,ln(-a)].
规律方法 1.利用导数求函数单调区间的步骤如下:
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)求导数f'(x).
(3)在定义域内解不等式f'(x)>0,得单调递增区间;在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间.
2.与利用函数单调性的定义判断函数的单调性或求函数的单调区间相比,利用导数求函数的单调区间显得更加简单易行,其实质是转化为解不等式问题,但也必须首先求出函数的定义域,在定义域内解不等式.另外,利用导数适合求一些高次函数的单调区间,其单调区间有时不止一个,这时在写出它们的单调区间时,不能将各个区间用并集符号连接.
3.当函数f(x)的解析式中含有参数时,可能需要对参数进行分类讨论才能确定其单调区间.
f'(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2).
令f'(x)>0,解得x<-1或x>2;
令f'(x)<0,解得-1所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1)和(2,+∞),单调递减区间是(-1,2).
(2)[2023辽宁鞍山一模改编]已知函数f(x)= x2-aln x(a∈R,a≠0),求函数f(x)的单调区间.
解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),
探究点三 已知函数的单调性求参数的值或取值范围
【例3】 已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.
解 由已知,得f'(x)=3x2-a.
因为f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,
所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立,
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a的取值范围为
(-∞,0].
变式探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值.
解 f'(x)=3x2-a.
①当a≤0时,f'(x)≥0,
∴f(x)在(-∞,+∞)内为增函数.此时不满足题意.
变式探究2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.
解由题意,可知f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)内恒成立,
即a的取值范围是[3,+∞).
变式探究3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)内不单调,求实数a的取值范围.
解 ∵f(x)=x3-ax-1,
∴f'(x)=3x2-a.
规律方法 已知f(x)在区间(a,b)上的单调性求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
成果验收·课堂达标检测
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1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是( )
A
解析 f'(x)=-3x2-2x+1,
令f'(x)>0,即-3x2-2x+1>0,
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2.若函数f(x)= x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(-∞,-1)∪[3,+∞) B.[-1,3]
C.[0,3] D.[3,+∞)
C
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3.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0时,f(x)( )
A.是增函数
B.是减函数
C.是常数
D.既不是增函数也不是减函数
A
解析 由题意,函数f(x)=x3+ax2+bx+c,可得f'(x)=3x2+2ax+b,令f'(x)=3x2+2ax+b=0,因为Δ=4(a2-3b)<0,所以方程没有根,f'(x)>0恒成立,所以f(x)为增函数.故选A.
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4.[2023重庆高二校级联考期末]函数f(x)=ln(x+2)-ax在(1,3)内单调递增,则实数a的取值集合是 .
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5. 设f'(x)是函数f(x)的导数,y=f'(x)的图象如右图所示,则f(x)的图象最有可能是下列给出的四个图象中的 .(填序号)
③
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解析 由f'(x)的图象知,x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,x∈(0,2)时, f'(x)<0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数.只有③符合题意.
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6.求函数f(x)=2ln x-ax的单调区间.
(1)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)内单调递增;第六章6.2 利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
A级 必备知识基础练
1.[探究点一]设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是( )
2.[探究点二·2023山西吕梁期末]函数f(x)=2ln x-x的单调递增区间为( )
A.(-∞,2) B.(-2,2) C.(0,2) D.(2,+∞)
3.[探究点三]已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-)∪[,+∞)
B.[-]
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-)
4.[探究点三]若函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是 .
5.[探究点二·2023江苏淮安期末]已知定义在区间(0,π)内的函数f(x)=x-2sin x,则f(x)的单调递增区间为 .
6.[探究点三·2023河南新乡长垣月考]若函数f(x)=(x2+mx+1)ex在区间[-1,1]上单调递减,则实数m的取值范围为 .
7.[探究点二、三·2023四川成都外国语学校校考阶段练习]已知函数f(x)=x2-ax-2ln x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.
B级 关键能力提升练
8.[2023河北张家口期末]已知函数f(x)为偶函数,定义域为R,当x>0时,f'(x)<0,则不等式f(x2-x)-f(x)>0的解集为( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,1) D.(-2,2)
9.[2023山东聊城高二校考阶段练习]设函数f(x)=2x--aln x在(1,2)内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.[4,5] B.(5,+∞) C.[4,+∞) D.[5,+∞)
10.(多选题)[2023广西梧州龙圩校级期末]已知正实数x,y满足log2x-log2y<()x-()y,则( )
A. B.x3C.ln(y-x+1)>0 D.2x-y<
11.(多选题)已知定义在上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有cos xf'(x)+sin xf(x)<0成立,则( )
A.f
B.>f
C.f
D.
12.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c= .
13.已知f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)内单调递减,则实数b的取值范围是 .
14.已知函数y=f(x)的定义域为,且y=f(x)的图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式x·f'(x)<0的解集是 .
15.[2023江苏苏州模拟改编]已知函数f(x)=(x+1)ln x-2(x-1),讨论f(x)的单调性.
16.[2023重庆高二月考]已知函数f(x)=x-(a+2)ln x-(a>0).
(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,求切线l的方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
C级 学科素养创新练
17.[2023重庆渝中校级一模]已知奇函数f(x)的定义域为R,当x>0时,2f(x)+xf'(x)>0,且f(2)=0,则不等式f(x)>0的解集为 .
6.2.1 导数与函数的单调性
1.D 根据导函数图象,y=f(x)的单调递增区间为(-3,-1),(0,1),单调递减区间为(-1,0),(1,3),观察选项可得D符合,故选D.
2.C f'(x)=-1=,令f'(x)>0,则x<2,又x>0,
所以0故选C.
3.B f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)内恒成立,且不恒为0,
则Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤.
4.-∞, f(x)=(-x2+ax)ex,则f'(x)=ex(-x2+ax-2x+a),
函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)内存在单调递减区间,
只需-x2+ax+a-2x≤0在区间(-1,1)内有解,
记g(x)=-x2+(a-2)x+a,其图象的对称轴为直线x=,开口向下,
g(-1)=-1-(a-2)+a=1>0,
只需g(1)<0,
所以-1+a-2+a<0,解得a<.
5.,π 已知函数f(x)=x-2sinx,
则f'(x)=-2cosx.
令f'(x)≥0,
即cosx≤,
又x∈(0,π),
则≤x<π,
即f(x)的单调递增区间为,π.
6.(-∞,-2] f'(x)=[x2+(m+2)x+m+1]ex=(x+m+1)(x+1)ex.
由题意得f'(x)=(x+m+1)(x+1)ex≤0在[-1,1]上恒成立.
因为(x+1)ex≥0,所以x+m+1≤0在[-1,1]上恒成立,
即m≤-x-1在[-1,1]上恒成立.
设g(x)=-x-1,x∈[-1,1],只需m≤g(x)min,易知g(x)=-x-1在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=-2,
所以m≤-2,即m的取值范围是(-∞,-2].
7.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=x2-x-2lnx,
求导得f'(x)=x-1-,整理,得f'(x)=.
令f'(x)>0,得x>2,令f'(x)<0,得0从而,函数f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).
(2)由题意知当x∈[1,+∞)时,f'(x)≥0恒成立,即x-a-≥0恒成立,即a≤x-恒成立.
设g(x)=x-(x≥1),由g'(x)=1+>0,知g(x)在[1,+∞)内单调递增,所以g(x)min=g(1)=-1.
从而a≤g(x)min,即a≤-1.
所以实数a的取值范围是(-∞,-1].
8.B 因为当x>0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,
又函数f(x)是偶函数,所以当自变量取值的绝对值越小时,函数值越大.
由f(x2-x)-f(x)>0,得f(x2-x)>f(x),
所以|x2-x|<|x|,显然x≠0,所以可化简为|x-1|<1,则-1故选B.
9.D 因为函数f(x)=2x--alnx在(1,2)内单调递减,所以f'(x)=2+≤0在(1,2)内恒成立,
所以a≥2x+在(1,2)内恒成立.设函数h(x)=2x+,则h'(x)=2-,
所以h'(x)>0在(1,2)内恒成立,所以h(x)在(1,2)内单调递增,所以h(x)则实数a的取值范围是[5,+∞).
故选D.
10.BC 根据题意,设f(x)=log2x-x,x∈(0,+∞),
函数y=log2x和函数y=-x在(0,+∞)内都是增函数,则函数f(x)在(0,+∞)内为增函数.
若log2x-log2y由此分析选项:
对于A,若0对于B,若x对于C,x1,必有ln(y-x+1)>0,C正确;
对于D,x故选BC.
11.CD 设g(x)=,
则g'(x)=,
因为x∈时,cosxf'(x)+sinxf(x)<0,所以x∈时,g'(x)=<0,
因此g(x)在内单调递减,
所以g>g,g>g,
即,
即f,
即.
故选CD.
12.-12 由题意f'(x)=3x2+2bx+c,
所以3x2+2bx+c=0的两根为-1和3,
所以
所以b=-3,c=-9,b+c=-12.
13.(-∞,-1] 由题意,可知f'(x)=-x+≤0在x∈(-1,+∞)内恒成立,
即b≤x(x+2)在x∈(-1,+∞)内恒成立,
令f(x)=x(x+2)=x2+2x,x∈(-1,+∞),
∴f(x)>-1,∴要使b≤x(x+2),则b≤-1,
故实数b的取值范围为(-∞,-1].
14.∪(0,1) 当x<0时,y=f(x)在内单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0成立;y=f(x)在内单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0不成立;
当x>0时,y=f(x)在(0,1)内单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0成立;
y=f(x)在(1,3)内单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0不成立,
所以x·f'(x)<0的解集是-,-∪(0,1).
15.解由f(x)=(x+1)lnx-2(x-1),求导可得,f'(x)=lnx+(x+1)-2=lnx+-1,
令g(x)=f'(x)=lnx+-1,则g'(x)=,
令g'(x)<0,解得0令g'(x)>0,解得x>1,则g(x)在(1,+∞)内单调递增,
所以g(x)≥g(1)=0,当且仅当x=1时等号成立,
所以f'(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立,
故f(x)在(0,+∞)内单调递增.
16.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
由f(x)=x-(a+2)lnx-(a>0),得f'(x)=1-(a>0),
因为曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,
所以f'(1)=1,即1-(a+2)+2a=1,解得a=2.
所以f(x)=x-4lnx-,所以f(1)=-3,
所以f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程为y+3=x-1,
即x-y-4=0.
(2)f'(x)=1-,x∈(0,+∞),
令f'(x)=0,则x=2或x=a.
当a=2时,f'(x)=≥0,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当a>2时,当x>a或00,当2所以函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;
当02或00,当a所以函数f(x)在(0,a)和(2,+∞)内单调递增,在(a,2)内单调递减,
综上所述,当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当a>2时,函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;
当017.(-2,0)∪(2,+∞) 设g(x)=x2f(x),x∈R.
∵f(x)为R上的奇函数,
∴易得g(x)为R上的奇函数.
∵g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)],
又当x>0时,2f(x)+xf'(x)>0,
∴当x>0时,g'(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)内单调递增,又g(x)为R上的奇函数,
∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,g(0)=0.
又g(2)=4f(2)=0,∴g(-2)=-g(2)=0.
作出g(x)的简图如下:
数形结合可得g(x)=x2f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞),
∴f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).