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第六章
6.2.2 导数与函数的极值、最值
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点一(角度1)](多选题)[2023浙江宁波奉化期末]如图为函数f(x)的导函数的图象,则下列判断正确的是( )
A.f(x)在x=1处取得极大值
B.x=-1是f(x)的极小值点
C.f(x)在(2,4)内单调递减,在(-1,2)内单调递增
D.x=2是f(x)的极小值点
BC
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解析 由函数f(x)的导函数的图象可知,
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴x=-1是f(x)的极小值点,故B正确;
f(x)在(2,4)内单调递减,在(-1,2)内单调递增,故C正确;
x=2是f(x)的极大值点,故D错误;
f(x)在x=1处取不到极值,故A错误.
故选BC.
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2.[探究点一(角度2)·2023陕西西安蓝田月考]函数f(x)= x2-ln x的极小值为
( )
A. B.1 C.0 D.不存在
A
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3.[探究点二]函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为( )
A.4e-1 B.1 C.e2 D.3e2
C
解析 ∵f'(x)=(x2+2x)ex+1=x(x+2)ex+1,
∴令f'(x)=0,解得x=-2或x=0.
又∵当x∈[-2,1]时,ex+1>0,
∴当-2
当00.
∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.
又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,
∴f(x)的最大值为e2.
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4.[探究点二·2023山东枣庄市中校级月考]已知函数f(x)=x3-3x-1,若在区间
[-3,2]上函数f(x)的最大值为M,最小值为N,则M+N=( )
A.-22 B.-20 C.-18 D.-16
C
解析 因为f(x)=x3-3x-1,所以f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
当x>1或x<-1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当-1故函数在[-3,-1]上单调递增,[-1,1]上单调递减,[1,2]上单调递增.
因为f(-1)=1,f(2)=1,f(1)=-3,f(-3)=-19,
故M=1,N=-19,
则M+N=-18.故选C.
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5.[探究点三·2023江苏南京建邺校级开学考试]已知函数
f(x)=ex- x2-ax(a∈R)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.[0,1] D.(1,+∞)
D
解析 函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-x-a.
令h(x)=ex-x-a,则h'(x)=ex-1.
当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
故x=0时,h(x)取得唯一极小值,也是最小值h(0)=1-a.
当x→+∞时,h(x)→+∞;当x→-∞时,h(x)→+∞.
若要使f(x)有两个极值点,则h(x)有两个变号零点,
故1-a<0,即a>1.故选D.
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6.[探究点三]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x= 是y=f(x)的极值点,则a+b= .
-2
解析 ∵f'(x)=3x2+2ax+b,
解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.
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7.[探究点三]若函数f(x)= x2-x+aln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 .
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8.[探究点三]函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为 .
-71
解析 f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
令f'(x)=0,得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,则f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
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9.[探究点二·2023江苏常州天宁校级期中]函数f(x)=xcos x-sin x在区间[-π,0]上的最大值为 .
π
解析 由f(x)=xcos x-sin x,得f'(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.
当x∈[-π,0]时,sin x≤0,所以f(x)=-xsin x≤0,
则f(x)在[-π,0]上单调递减,
所以f(x)max=f(-π)=π.
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10.[探究点四·2023贵州模拟]若不等式a(x-1)≥ln(x-1)对任意x>1恒成立,则实数a的取值集合是 .
解析 因为x>1,所以x-1>0.
令t=x-1,则t>0,
故不等式a(x-1)≥ln(x-1)对任意x>1恒成立,可以转化为at≥ln t对任意t>0恒成立.
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11.[探究点二]设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
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B 级 关键能力提升练
12.(多选题)关于函数f(x)=ex-2,下列结论不正确的是( )
A.f(x)没有零点 B.f(x)没有极值点
C.f(x)有极大值点 D.f(x)有极小值点
ACD
解析 令f(x)=0,解得x=ln 2,所以f(x)有零点,所以A选项不正确.
f'(x)=ex>0,所以f(x)在R上递增,没有极值点,所以B选项正确,C,D选项不正确.
故选ACD.
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13.函数f(x)=4x-ln x的最小值为( )
A.1+2ln 2 B.1-2ln 2
C.1+ln 2 D.1-ln 2
A
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14.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=2,其导函数f'(x)满足 >0,若函数g(x)满足exg(x)=f(x),则下列结论错误的是( )
A.函数g(x)在(2,+∞)上单调递增
B.x=2是函数g(x)的极小值点
C.当x≤0时,不等式f(x)≤2ex恒成立
D.函数g(x)至多有两个零点
C
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f'(x)-f(x)>0,故y=g(x)在(2,+∞)内单调递增,选项A正确;当x<2时,f'(x)-f(x)<0,故y=g(x)在(-∞,2)内单调递减,故x=2是函数y=g(x)的极小值点,故选项B正确;由y=g(x)在(-∞,2)内单调递减,则y=g(x)在(-∞,0)内单调递减,
若g(2)<0,则y=g(x)有2个零点,若g(2)=0,则函数y=g(x)有1个零点,若g(2)>0,则函数y=g(x)没有零点,故选项D正确.故选C.
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15.已知函数f(x)= +2ln x,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是 .
[e,+∞)
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于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
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当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)内单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.
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17.[2023浙江开学考试]已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(1)当a=0时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若x>1时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)当a=0时,f(x)=(x+1)ln x,f'(x)=ln x+1+ ,f'(1)=2,f(1)=0,则切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.
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记μ(x)=x2+(2-2a)x+1,Δ=4a(a-2).
①当0≤a≤2时,Δ≤0,μ(x)>0在(1,+∞)内恒成立,即h'(x)>0在(1,+∞)内恒成立,
所以h(x)在(1,+∞)内单调递增,则h(x)>h(1)=0.
②当a<0时,2-2a>0,μ(x)>0在(1,+∞)内恒成立,即h'(x)>0在(1,+∞)内恒成立,
所以h(x)在(1,+∞)内单调递增,则h(x)>h(1)=0.
③当a>2时,Δ=4a(a-2)>0,设μ(x)=0的两根为x1,x2,不妨设x10,x1x2=1,则0所以当x∈(1,x2)时,μ(x)<0,
即h'(x)<0,则h(x)在(1,x2)内单调递减,又h(1)=0,则当x∈(1,x2)时,h(x)<0,矛盾.
综上所述,a≤2,即实数a的取值范围是(-∞,2].
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18.已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥ x3+1,求a的取值范围.
C 级 学科素养创新练
解 (1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.
故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
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所以g(x)在(0,2)内单调递增,而g(0)=1,
故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
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19.[2023上海静安二模]已知函数f(x)= x2-(a+1)x+aln x(其中a为常数).
(1)若a=-2,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a<0时,求函数y=f(x)的最小值;
(3)当0≤a<1时,试讨论函数y=f(x)的零点个数,并说明理由.
f'(2)=2,又f(2)=4-2ln 2,
所以切线方程为y-(4-2ln 2)=2(x-2),
即2x-y-2ln 2=0.
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令f'(x)=0,解得x1=a,x2=1,
当a<0时,f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)的情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
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(3)当a=0时,f(x)= x2-x,令f(x)=0,解得x1=2,x2=0(舍去),所以函数y=f(x)在(0,+∞)上有一个零点;
当0x (0,a) a (a,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)在(0,a)内单调递增,在(a,1)内单调递减,
所以函数y=f(x)在(0,1)内没有零点;
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所以函数f(x)在(1,+∞)内只有一个零点.
综上可得,当0≤a<1时,f(x)在(0,+∞)内有一个零点.(共54张PPT)
第六章
6.2.2 导数与函数的极值、最值
课程标准
1.理解极值、极值点的概念,明确极值存在的条件;
2.会求函数的极值;
3.会求函数在闭区间上的最值;
4.能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
基础落实·必备知识全过关
知识点1
函数的导数与极值
1.极值点与极值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有
(1) ,则称x0为函数f(x)的一个 ,且f(x)在x0处取极大值;
(2) ,则称x0为函数f(x)的一个 ,且f(x)在x0处取极小值.
只与附近值比较
f(x)极大值点
f(x)>f(x0)
极小值点
极大值点与极小值点都称为 ,极大值与极小值都称为 .显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.
不是点的坐标
2.极值点的求法
一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有 .
极值点
极值
f'(x0)=0
名师点睛
求函数y=f(x)极值的步骤
第1步,求导数f'(x).
第2步,求方程f'(x)=0的所有实数根.
第3步,观察在每个根x0附近,从左到右,导函数f'(x)的符号如何变化.如果f'(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果由负变正,则f(x0)是极小值.
如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右侧,f'(x)的符号不变,则f(x0)不是极值.
过关自诊
1.[人教A版教材习题]函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,试找出函数f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
解 函数f(x)的极值点有x2,x4,其中极大值点为x2,极小值点为x4.
2.[2023江苏南京鼓楼校级期末]若函数f(x)在x=x0处的导数存在,则“函数f(x)在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
A
解析 当函数f(x)在x0处取得极值时,f'(x0)=0一定成立,即“函数f(x)在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的充分条件;
当f'(x0)=0时,若f'(x0)左右两侧同号时,则不能推出在x0处取得极值,如f(x)=x3,
其导函数为f'(x)=3x2,
当x=0时,f'(x0)=0,但f(x)=x3是单调函数,无极值点,
所以“函数f(x)在x0处取得极值”不是“f'(x0)=0”的必要条件.
综上,“函数f(x)在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的充分不必要条件.
故选A.
3.[2023重庆永川校级月考]函数y=xex的极小值是( )
A.-1 B.-e
C
解析 由y=xex,得y'=ex+xex=(1+x)ex,令y'=0,得x=-1,
所以当x<-1时,y'<0;当x>-1时,y'>0,
所以当x=-1时,函数取得极小值 .
故选C.
知识点2
函数的最值
函数f(x)的最大(小)值是函数定义域内最大(小)的函数值.
一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么是极值点.
名师点睛
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
第1步,求f(x)在开区间(a,b)内所有使f'(x)=0的点.
第2步,计算函数f(x)在区间(a,b)内使f'(x)=0的所有点和端点的函数值,其中最大的为最大值,最小的为最小值.
过关自诊
1.函数y=f(x),x∈[a,b]的图象如图所示,请写出它的极值和最值.
解f(x1),f(x3),f(x5)是函数y=f(x)的极小值,f(x2),f(x4),f(x6)是函数y=f(x)的极大值.
函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(x3),最大值是f(a).
2.[2023河南月考]函数f(x)=x-3x3,x∈[0,1]的最大值是( )
B
重难探究·能力素养全提升
探究点一 函数的极值
角度1.函数极值点的判定
【例1】 (1)[2023河南月考]已知函数f(x)的导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则f(x)在开区间(a,b)内的极大值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
解析 由导函数的图象可知,在区间(a,b)内,f'(x)与x轴共有5个交点,从左往右设为x1,x2,x3,x4,x5.
第一个点x1处导数左负右正,第二个点x2处导数左正右负,第三个点x3处导数左负右正,第四个点x4处导数左正右正,第五个点x5处导数左正右负,所以极大值点是x2,x5,共两个.
故选B.
(2)[2023四川自贡模拟]已知函数f(x)=3x4-8x3+6x2,则f(x)( )
A.有2个极大值点
B.有1个极大值点和1个极小值点
C.有2个极小值点
D.有且仅有一个极值点
D
解析 f'(x)=12x3-24x2+12x=12x(x2-2x+1)=12x(x-1)2,
因为(x-1)2≥0(当且仅当x=1时取等号),
则当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)≥0,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0),
所以函数f(x)的极小值点为0,没有极大值点,
即函数f(x)有且仅有一个极值点.故选D.
规律方法 x0是极值点满足的条件
f'(x0)=0(从图象上看,在(x0,f(x0))
处切线平行于x轴)
↓
x0左右两侧导数值异号(从图象上看,
x0左、右两侧f(x)的单调性相反)
变式训练1(1)[2023山东菏泽鄄城校级月考]设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是
( )
C
解析 由函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数f(x)在x=-2的左侧附近单调递减,f'(x)<0,y=xf'(x)的图象在x=-2的左侧附近在x轴上方;函数f(x)在x=-2的右侧附近单调递增,f'(x)>0,y=xf'(x)的图象在x=-2的右侧附近在x轴下方,且
f'(-2)=0,则函数y=xf'(x)的图象可能是选项C.
故选C.
(2)[2023河北邯郸武安校级月考]已知函数f(x)= x3+(a-2)x2+x+5有极值,则实数a的取值范围是( )
A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
D
解析 由f(x)= x3+(a-2)x2+x+5,
得f'(x)=x2+2(a-2)x+1,
根据题意得Δ=[2(a-2)]2-4>0,
解得a>3或a<1,
所以实数a的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).
故选D.
角度2.利用导数求函数的极值
【例2】 求下列函数的极值:
(1)f(x)=1+3x-x3;
解 函数定义域为R,且f'(x)=3-3x2,
令f'(x)=0,得x=±1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ -1 ↗ 3 ↘
所以f(x)在x=-1处取极小值-1,
在x=1处取极大值3.
解 函数定义域为(0,+∞),
(3)f(x)=x2e-x.
解 函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=x(2-x)e-x,
令f'(x)=0,得x=0或x=2,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 0 ↗ 4e-2 ↘
从表中可以看出,当x=0时,函数有极小值,且f(0)=0;当x=2时,函数有极大值,且f(2)=4e-2.
规律方法 求函数极值的解题策略
求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行,其重点是列表判断导数为零的点的左右两侧的导数值是不是异号,若异号,则是极值;否则,不是极值.另外,在求函数的极值前,首先要研究函数的定义域.
变式训练2[人教A版教材例题改编]给定函数f(x)=(x+1)ex.判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的极值.
解(1)函数的定义域为R.
f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex=(x+2)ex.
令f'(x)=0,解得x=-2.
f'(x),f(x)的变化情况如表所示.
x (-∞,-2) -2 (-2,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ ↗
所以,f(x)在区间(-∞,-2)内单调递减,在区间(-2,+∞)内单调递增.
当x=-2时,f(x)有极小值f(-2)= ,无极大值.
探究点二 利用导数求函数的最值
【例3】 求下列函数的最值:
(1)f(x)=x3-2x2+1,x∈[-1,2];
解 f'(x)=3x2-4x,令f'(x)=0,有3x2-4x=0,解得x=0或x= .
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
从上表可知,最大值是f(0)=f(2)=1,最小值是f(-1)=-2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
由上表可知,
方程的解.
令g(x)=x2+ln x-1,x∈(0,+∞),
∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,∴x=1是方程f'(x)=0的唯一解.
当x>1时,f'(x)<0,
∴函数f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,
∴当x=1时,函数f(x)有最大值,且最大值是f(1)=-1,函数f(x)无最小值.
规律方法 求函数最值的解题策略
(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不间断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间[a,b]上的最值可简化过程,即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较大小,即可判定最大(或最小)的函数值,就是最大(或最小)值.
(3)求函数在闭区间上的最值时,需要对各个极值与端点的函数值进行比较,有时需要作差、作商,有时还要估算,甚至有时需要进行分类讨论.
(4)求函数在开区间上的最值时,要借助导数分析研究函数的单调性与极值情况,从而画出函数的大致图象,结合图象求出最值.
变式训练3[北师大版教材习题]求函数y=x3-12x2+45x-10在区间[0,10]上的最值.
解 y'=3x2-24x+45=3(x2-8x+15)=3(x-3)(x-5).
令y'=0,得x1=3,x2=5,设f(x)=x3-12x2+45x-10,
则f(0)=-10,f(10)=1 000-1 200+450-10=240,
f(3)=27-12×9+45×3-10=44,
f(5)=53-12×52+45×5-10=40.
因为f(0)所以函数的最大值是240,函数的最小值是-10.
探究点三 根据函数的极值与最值求参数值(或范围)
【例4】 (1)[2023天津河东期中]已知函数f(x)=ax3+bx+1的图象在点(1,a+b+1)处的切线斜率为6,且函数f(x)在x=2处取得极值,则a+b=( )
C
解析 由题意可知f'(x)=3ax2+b,
则f'(1)=3a+b=6.
又函数f(x)在x=2处取得极值,
则f'(2)=12a+b=0,
故选C.
(2)[2023上海松江二模]已知函数y= x3-x2-3x+a,a∈R,在区间(t-3,t+5)上有最大值,则实数t的取值范围是( )
A.(-6,0) B.(-6,0]
C.(-6,2) D.(-6,2]
B
又函数在区间(t-3,t+5)上有最大值,则t-3<-1即t∈(-6,0].
故选B.
规律方法 根据函数极值与最值求参数值(或范围)的解题策略
(1)已知函数的极值或最值求参数值时,主要根据极值点处的导数值为0和已知的极值,列出方程(组),利用待定系数法求解;同时应注意,导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
(2)对于可导函数f(x),若它有极值点x0,则必有f'(x0)=0,因此函数f(x)有极值的问题,往往可以转化为方程f'(x)=0有根的问题,从而可借助方程的知识进行求解.
(3)有些含参数的问题,需要对参数进行分类讨论求解.
(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.
解 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).
探究点四 极值问题的综合应用
【例5】 已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
解 令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,
解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f'(x)>0;当-11时,f'(x)>0.
所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;
当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.
因为方程f(x)=0有三个不同实根,
所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,如图.
解得-2变式探究1本例中,若方程f(x)=0恰有两个不同实根,则实数a的值如何求解
解由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,若f(x)=0恰有两个不同实根,则有2+a=0,或-2+a=0,所以a=-2或a=2.
变式探究2本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.
解由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a<0或-2+a>0,即a<-2或a>2.故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
规律方法 极值综合问题的求解策略
利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数.
变式训练5已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,求a,b的值;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围.
解 (1)f'(x)=3x2-2ax+b(a,b,c∈R).
因为函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,
所以-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.
经检验当a=3,b=-9时,f(x)在x=-1和x=3处取得极值.故a=3,b=-9.
(2)由(1),知f(x)=x3-3x2-9x+c(c∈R),
则f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值c+5 ↘ 极小值c-27 ↗
而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,
所以当x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54.
要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|成立即可.
当c≥0时,c+54<2c,所以c>54;
当c<0时,c+54<-2c,所以c<-18.
所以c的取值范围为(-∞,-18)∪(54,+∞).
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1.[2023河南洛阳期中]已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2时有极大值,则f(x)的极大值为( )
A.0 B.32
C.0或32 D.0或-32
B
解析 ∵f(x)=x(x-c)2,∴f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=3x2-4cx+c2=(x-c)(3x-c).
∵f(x)在x=2处取得极大值,∴f'(2)=0,
即(2-c)(6-c)=0,∴c=2或c=6.
当c=2时,f'(x)=(x-2)(3x-2).
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∴x=2是f(x)的极小值点,f(x)在x=2处取得极小值,不符合题意;
当c=6时,f'(x)=(x-6)(3x-6),
令f'(x)>0,则x<2或x>6,∴f(x)在(-∞,2)和(6,+∞)内单调递增,
令f'(x)<0,则2∴x=2是f(x)的极大值点,x=6是f(x)的极小值点,
∴f(x)的极大值为f(2)=2×(2-6)2=32.
故选B.
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2.[2023山东月考]当x=0时,函数f(x)=aex+bx取得最小值1,则f'(1)=( )
A.e-1 B.e+1
C.-e-1 D.-e+1
A
解析 ∵当x=0时,函数f(x)=aex+bx取得最小值1,
∴f(0)=a=1,f'(0)=0.
∵f'(x)=aex+b,
∴f'(0)=a+b=0,解得b=-1,
经检验,a=1,b=-1符合题意,
故f'(x)=ex-1,可得f'(1)=e-1.
故选A.
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D
令f'(x)=0,得x=2e.
∴当x∈(0,2e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(2e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)的极大值为f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2.
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4.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax+b在x=2处取得极值9,则a+2b= .
-24
解析 f'(x)=3ax2+6x-6a,
因为f(x)在x=2处取得极值9,
经检验,符合题意,所以a+2b=-2-22=-24.
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5.设函数f(x)=ex+x2-ax,若x=0是f(x)的极值点,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 .
e+1
解析 由已知,得f'(x)=ex+2x-a,所以f'(0)=1-a=0,得a=1,经检验,符合题意,所以f'(1)=e+2-1=e+1.
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6.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m∈R)在区间[-2,2]上有最大值3,求它在[-2,2]上的最小值.
解f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),
在(-2,2)上,只有x=0是f(x)的极值点,且为极大值点,
∴f(x)极大值=f(0)=m.
又f(-2)=-16-24+m=m-40,
f(2)=16-24+m=m-8.
容易判断m-40∴f(x)min=m-40=-37,即最小值是-37.第六章6.2.2 导数与函数的极值、最值
A级 必备知识基础练
1.[探究点一(角度1)](多选题)[2023浙江宁波奉化期末]如图为函数f(x)的导函数的图象,则下列判断正确的是( )
A.f(x)在x=1处取得极大值
B.x=-1是f(x)的极小值点
C.f(x)在(2,4)内单调递减,在(-1,2)内单调递增
D.x=2是f(x)的极小值点
2.[探究点一(角度2)·2023陕西西安蓝田月考]函数f(x)=x2-ln x的极小值为( )
A. B.1
C.0 D.不存在
3.[探究点二]函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为( )
A.4e-1 B.1 C.e2 D.3e2
4.[探究点二·2023山东枣庄市中校级月考]已知函数f(x)=x3-3x-1,若在区间[-3,2]上函数f(x)的最大值为M,最小值为N,则M+N=( )
A.-22 B.-20 C.-18 D.-16
5.[探究点三·2023江苏南京建邺校级开学考试]已知函数f(x)=ex-x2-ax(a∈R)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.[0,1] D.(1,+∞)
6.[探究点三]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b= .
7.[探究点三]若函数f(x)=x2-x+aln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 .
8.[探究点三]函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为 .
9.[探究点二·2023江苏常州天宁校级期中]函数f(x)=xcos x-sin x在区间[-π,0]上的最大值为 .
10.[探究点四·2023贵州模拟]若不等式a(x-1)≥ln(x-1)对任意x>1恒成立,则实数a的取值集合是 .
11.[探究点二]设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
B级 关键能力提升练
12.(多选题)关于函数f(x)=ex-2,下列结论不正确的是( )
A.f(x)没有零点 B.f(x)没有极值点
C.f(x)有极大值点 D.f(x)有极小值点
13.函数f(x)=4x-ln x的最小值为( )
A.1+2ln 2 B.1-2ln 2
C.1+ln 2 D.1-ln 2
14.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=2,其导函数f'(x)满足>0,若函数g(x)满足exg(x)=f(x),则下列结论错误的是( )
A.函数g(x)在(2,+∞)上单调递增
B.x=2是函数g(x)的极小值点
C.当x≤0时,不等式f(x)≤2ex恒成立
D.函数g(x)至多有两个零点
15.已知函数f(x)=+2ln x,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是 .
16.设f(x)=aln x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
17.[2023浙江开学考试]已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(1)当a=0时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若x>1时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
C级 学科素养创新练
18.已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.
19.[2023上海静安二模]已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x(其中a为常数).
(1)若a=-2,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a<0时,求函数y=f(x)的最小值;
(3)当0≤a<1时,试讨论函数y=f(x)的零点个数,并说明理由.
6.2.2 导数与函数的极值、最值
1.BC 由函数f(x)的导函数的图象可知,
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴x=-1是f(x)的极小值点,故B正确;
f(x)在(2,4)内单调递减,在(-1,2)内单调递增,故C正确;
x=2是f(x)的极大值点,故D错误;
f(x)在x=1处取不到极值,故A错误.
故选BC.
2.A 由f(x)=x2-lnx,x>0,
得f'(x)=x-.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)的极小值为f(1)=.
故选A.
3.C ∵f'(x)=(x2+2x)ex+1=x(x+2)ex+1,
∴令f'(x)=0,解得x=-2或x=0.
又∵当x∈[-2,1]时,ex+1>0,
∴当-2当00.
∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.
又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,
∴f(x)的最大值为e2.
4.C 因为f(x)=x3-3x-1,
所以f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
当x>1或x<-1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当-1故函数在[-3,-1]上单调递增,[-1,1]上单调递减,[1,2]上单调递增.
因为f(-1)=1,f(2)=1,f(1)=-3,f(-3)=-19,
故M=1,N=-19,
则M+N=-18.
故选C.
5.D 函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-x-a.
令h(x)=ex-x-a,则h'(x)=ex-1.
当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
故x=0时,h(x)取得唯一极小值,也是最小值h(0)=1-a.
当x→+∞时,h(x)→+∞;当x→-∞时,h(x)→+∞.
若要使f(x)有两个极值点,则h(x)有两个变号零点,
故1-a<0,即a>1.
故选D.
6.-2 ∵f'(x)=3x2+2ax+b,
∴
解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.
7.0, 因为函数f(x)=x2-x+alnx有两个不同的极值点,
所以f'(x)=x-1+=0在(0,+∞)内有2个不同的零点,
所以方程x2-x+a=0在(0,+∞)内有两个不同的实数根,
所以解得08.-71 f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
令f'(x)=0,得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,则f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
9.π 由f(x)=xcosx-sinx,得f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.
当x∈[-π,0]时,sinx≤0,所以f(x)=-xsinx≤0,
则f(x)在[-π,0]上单调递减,
所以f(x)max=f(-π)=π.
10.,+∞ 因为x>1,所以x-1>0.
令t=x-1,则t>0,
故不等式a(x-1)≥ln(x-1)对任意x>1恒成立,可以转化为at≥lnt对任意t>0恒成立.
即a≥在(0,+∞)内恒成立.
令g(t)=,
则g'(t)=,令g'(t)<0,则t>e,令g'(t)>0,则0故t>e时,函数g(t)单调递减,当0所以g(t)max=g(e)=.
所以a≥.
所以实数a的取值集合是,+∞.
11.解易知f(x)的定义域为.
(1)f'(x)=+2x=.
当-0;
当-1当x>-时,f'(x)>0,
从而f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减.
(2)由(1)知,f(x)在区间上的最小值为f=ln2+.
又因为f-f=ln-ln=ln<0,
所以f(x)在区间上的最大值为f+ln.
12.ACD 令f(x)=0,解得x=ln2,所以f(x)有零点,所以A选项不正确.
f'(x)=ex>0,所以f(x)在R上递增,没有极值点,所以B选项正确,C,D选项不正确.
故选ACD.
13.A f'(x)=4-(x>0).
令f'(x)>0,得x>;令f'(x)<0,得0所以当x=时,函数有最小值为f=4×-ln=1+ln4=1+2ln2.故选A.
14.C ∵exg(x)=f(x),∴g(x)=,则g'(x)=,由题意得当x>2时,f'(x)-f(x)>0,故y=g(x)在(2,+∞)内单调递增,选项A正确;当x<2时,f'(x)-f(x)<0,故y=g(x)在(-∞,2)内单调递减,故x=2是函数y=g(x)的极小值点,故选项B正确;由y=g(x)在(-∞,2)内单调递减,则y=g(x)在(-∞,0)内单调递减,由g(0)==2,得当x≤0时,g(x)≥g(0),∴≥2,故f(x)≥2ex,故选项C错误;若g(2)<0,则y=g(x)有2个零点,若g(2)=0,则函数y=g(x)有1个零点,若g(2)>0,则函数y=g(x)没有零点,故选项D正确.故选C.
15.[e,+∞) 由f(x)=+2lnx,得f'(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,
令f'(x)=0,得x=-(舍去)或x=.
当0时,f'(x)>0.
故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=lna+1.
要使f(x)≥2恒成立,需lna+1≥2恒成立,则a≥e.
16.解(1)因为f(x)=alnx+x+1,
故f'(x)=.
由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1.
(2)由(1),知f(x)=-lnx+x+1(x>0),
f'(x)=-.令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-.
因为x2=-不在定义域内,舍去.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)内单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.
17.解(1)当a=0时,f(x)=(x+1)lnx,f'(x)=lnx+1+,f'(1)=2,f(1)=0,则切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.
(2)当x>1时,f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)>0恒成立,即lnx->0恒成立.
令h(x)=lnx-,则h'(x)=,
记μ(x)=x2+(2-2a)x+1,Δ=4a(a-2).
①当0≤a≤2时,Δ≤0,μ(x)>0在(1,+∞)内恒成立,即h'(x)>0在(1,+∞)内恒成立,
所以h(x)在(1,+∞)内单调递增,则h(x)>h(1)=0.
②当a<0时,2-2a>0,μ(x)>0在(1,+∞)内恒成立,即h'(x)>0在(1,+∞)内恒成立,
所以h(x)在(1,+∞)内单调递增,则h(x)>h(1)=0.
③当a>2时,Δ=4a(a-2)>0,设μ(x)=0的两根为x1,x2,不妨设x10,x1x2=1,则0所以当x∈(1,x2)时,μ(x)<0,
即h'(x)<0,则h(x)在(1,x2)内单调递减,又h(1)=0,则当x∈(1,x2)时,h(x)<0,矛盾.
综上所述,a≤2,即实数a的取值范围是(-∞,2].
18.解(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.
故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
(2)f(x)≥x3+1等价于e-x≤1.
设函数g(x)=e-x(x≥0),
则g'(x)=-x3-ax2+x+1-x2+2ax-1e-x=-x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x=-x(x-2a-1)(x-2)e-x.
①若2a+1≤0,即a≤-,则当x∈(0,2)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,2)内单调递增,而g(0)=1,
故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
②若0<2a+1<2,即-0.
所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)内单调递减,在(2a+1,2)内单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)e-2≤1,即a≥.
所以当≤a<时,g(x)≤1.
③若2a+1≥2,即a≥,则g(x)≤x3+x+1e-x.
由于0∈,故由②可得x3+x+1e-x≤1.
故当a≥时,g(x)≤1.
综上,实数a的取值范围是.
19.解(1)当a=-2时,可得f(x)=x2+x-2lnx,则f'(x)=x+1-,所以f'(2)=2,又f(2)=4-2ln2,
所以切线方程为y-(4-2ln2)=2(x-2),
即2x-y-2ln2=0.
(2)由函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx,可得函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=.
令f'(x)=0,解得x1=a,x2=1,
当a<0时,f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)的情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以函数的极小值为f(1)=-a-,也是函数f(x)的最小值,
所以当a<0时,函数f(x)的最小值为-a-.
(3)当a=0时,f(x)=x2-x,令f(x)=0,解得x1=2,x2=0(舍去),所以函数y=f(x)在(0,+∞)上有一个零点;
当0x (0,a) a (a,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)在(0,a)内单调递增,在(a,1)内单调递减,
此时函数f(x)的极大值为f(a)=-a2-a+alna<0,
所以函数y=f(x)在(0,1)内没有零点;
当x>1时,因为0x2-(a+1)x,
令x2-(a+1)x>0,则x>2(a+1),取x=4,则f(4)>0.
因为f(1)=--a<0,函数f(x)在(1,+∞)内单调递增,
所以函数f(x)在(1,+∞)内只有一个零点.
综上可得,当0≤a<1时,f(x)在(0,+∞)内有一个零点.